【文档说明】湖南省永州市2023届高三上学期第一次适应性考试数学试卷.docx，共(16)页，768.898 KB，由小赞的店铺上传

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永州市2023年高考第一次适应性考试试卷数学一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若集合{|(1)0},|22xAxxxBx=−=，则AB=（）A.[0

,1]B.[0,1)C.1,12D.1,12【答案】C2.已知复数z满足()12i5z+=，则z=（）A.12i−B.12i+C.2i−D.2i+【答案】A3.已知平面向量,ab满足||2,4aab==，则b在a方向上的投影向量为（）A.12aB.12br

C.aD.b【答案】C4.如图所示，九连环是中国传统民间智力玩具，以金属丝制成9个圆环，解开九连环共需要256步，解下或套上一个环算一步，且九连环的解下和套上是一对逆过程.九连环把玩时按照一定得程序反复操作，可以将九个环

全部从框架上解下或者全部套上.将第n个圆环解下最少需要移动的次数记为()*9,nannN„，已知121,1aa==，按规则有()*12213,nnnaaannN−−=++…，则解下第4个圆环最少需要移动的次数为（）A.4B.7C.16D.31【答案】

B5.现有甲､乙､丙､丁四个人到九嶷山､阳明山､云冰山､舜皇山4处景点旅游，每人只去一处景点，设事件A为“4个人去的景点各不相同”，事件B为“只有甲去了九嶷山”，则(|)PAB=（）A.59B.49C.29D.13【

答案】C6.将函数2()3sincoscos1fxxxx=+−的图象向右平移6个单位长度，然后将所得函数图象上所有点的横坐标变为原来的12（纵坐标不变），得到函数()ygx=的图象，则()gx的单调递增区间是（）A.ππππ,(Z)12262kkk−++B.π

π5ππ,(Z)242242kkk−++C.π2π2π,2π(Z)33kkk−++D.π5π2π,2π(Z)66kkk−++【答案】A7.已知33311logπ,,logπ12logπabc===−−，则

（）A.abcB.bcaC.cabD.acb【答案】D8.已知椭圆221222:1(0),,xyCabFFab+=分别为其左､右焦点，过2F作直线lx⊥轴交椭圆C于,AB两点，将椭圆所在的平面沿x轴折成一个锐二面角，设其大小为，翻折后,AB两点

的对应点分别为,AB，记1AFB=.若4coscos3=+，则椭圆C的离心率为（）A.33B.22C.13D.12【答案】A二､多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分

，有选错的得0分，部分选对的得2分.9.,,,EFGH分别是正方体1111ABCDABCD−的棱111,,,ABBCCCCD的中点，则（）A.1AB//平面HGFB.FGHE∥C.直线1DF与直线HE

相交D.HE与平面ABCD所成的角大小是45【答案】ABD10.对于函数1()exxfx+=，则（）A.()fx有极大值，没有极小值B.()fx有极小值，没有极大值C.函数()fx与2yx=−+的图象有两个交点D.函数1()()2023gxfx=−有两个零点【答案】AD11.抛物线2:2(0

)Cypxp=，点(3,0)M−在其准线l上，过焦点F的直线m与抛物线C交于,AB两点（点A在第一象限），则下列说法正确的是（）A.6p=B.AMB有可能是钝角C.当直线m的斜率为3时，AFM△与BFM面积之比为3

D.当直线AM与抛物线C只有一个公共点时，||12AB=【答案】ACD12.已知函数448,13()1,323xxfxxfx−−=，则下列说法正确的是（）A.若函数()=−yfxkx有4个零点，则实数k的取值范围为

11,183B.关于x的方程()*31()0N2nfxn−−=有21n−个不同的解C.对于实数[1,)x+，不等式()80xfx−恒成立D.当()1*3,3Nnnxn−时，函数()fx的图象与x轴围

成的图形的面积为1342n−【答案】ABD三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.在5(21)x−的展开式中，3x的系数是___________.【答案】8014.已知两圆221:1Cxy+=与222:(2)(1)5Cx

y−+−=交于,AB两点，则直线AB的方程为___________.【答案】4210xy+−=15.函数()3ln23lnexxfxxx++=+−的最大值是___________.【答案】3−16.在四棱锥PABCD

−中，平面PAD⊥平面ABCD，四边形ABCD为等腰梯形，PAD△为等边三角形，,120,23ADBCBADPAAB===∥，则四棱锥PABCD−的外接球球心G到平面PCD的距离是___________.【答案】5四､解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.1

7.已知数列,nnab满足：111ab==，且210nnnnabab++−=.（1）若数列na为等比数列，公比为121,2qaa−=，求nb的通项公式；（2）若数列na为等差数列，11nnaa+−=，求nb的前n项和nT.【答案】【小问1详解】因为数列

na为等比数列，公比为q，且11211,2aaa=−=，所以212a=或232a=所以2112aaq==或32，又210nnnnabab++−=所以()*1221nnnnbanNbaq++==，即数列nb是以11b=为首项，21q为公比的等比数列，故14nnb−=或149n

−.【小问2详解】依题意得公差1d=，即()11nandn=+−=，由于210nnnnabab++−=所以()*1112,nnnnbannNba−−+=，从而1312221111221143nnnnnnnnnbbbaabaabbbbbbbaaaa−−−−−+==

1212112(2)(1)1nnaanaannnn+===−++又11b=满足上式，所以()*1121,1nbnnNnn=−+，12311111122121223111nnnTbbbbnnnn=++++

=−+−++−=−=+++.故21nnTn=+.18.如图甲，在边长为4的等边三角形ABC中，DEBC∥，将ADE沿DE折起，使点A到达点P的位置，连接,PBPC，得到如图乙所示的四棱锥PBDEC−，M为线段BC的中点.

（1）求证：DEPM⊥；（2）当翻折到平面PDE⊥平面BDEC时，求平面PDE与平面PDB的夹角的余弦值.【答案】【小问1详解】取DE的中点O，连接,OMOP，在等边三角形ABC中//,DEBCM为线段BC的中点，知,

DEPODEOM⊥⊥，又,POOMOPO=平面POM，OM平面POM，所以DE⊥平面POM，又PM面POM，故DEPM⊥.【小问2详解】因为平面PDE⊥平面BDEC，面PDE面,,BDECDEDEPOPO=⊥面P

DE所以PO⊥面BDEC，,ODOM面BDEC，则,,ODOMOP两两垂直，故可建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz−.设2DEa=，则()()()0,0,3,0,,0,233,2,0PaDaBa−，于是()()0,,3,323,2,

0PDaaBDaa=−=−−，平面PDE的一个法向量为()1,0,0n=.设平面PDB的一个法向量为(),,mxyz=，由()()3032320mPDayazmBDaxay=−==−+−=，设3y=，故()1,3

,1m=−，设平面PDE与平面PDB的夹角为，则5coscos,5mnmnmn===，所以平面PDE与平面PDB的夹角的余弦值为55.19.由扇形OAC和三角形OBC组成的平面图形如图所示，已知12OB=，8,90,60BCAOBCBO===，点E在扇形OAC的弧上运动.（1）

求sinBOC的值；（2）求四边形AOBE面积的最大值.【答案】【小问1详解】在BOC中，由余弦定理知，2222cosOCOBCBOBCBCBO=+−144642128cos60112=+−=所以47OC=由正弦定理知，sinsinOC

BCCBOBOC=，所以38sin212sin747BCCBOBOCOC===.【小问2详解】记四边形AOBE的面积为S,),,,90BOCEOB==，则90AOE=−，由

（1）可知，47OAOEOC===，所以()11sin4747sin9056cos22AOESOAOEAOE==−=，11sin4712sin247sin22EOBSOEOBEOB=

==，所以()56cos247sin877cos3sinAOEEOBSSS=+=+=+()73327cossin327sin,44=+=+其中73sin,cos44==故当90+

=，即3sincossin4==时，取等号，此时，四边形AOBE的面积S取得最大值327.20.我市为了解学生体育运动的时间长度是否与性别因素有关，从某几所学校中随机调查了男､女生各100名的平

均每天体育运动时间，得到如下数据：分钟性别（0，40]（40，60]（60，90]（90，120]女生10404010男生5254030根据学生课余体育运动要求，平均每天体育运动时间在（60，120]内

认定为“合格”，否则被认定为“不合格”，其中，平均每天体育运动时间在（90，120]内认定为“良好”.（1）完成下列22列联表，并依据小概率值0.005=的独立性检验，分析学生体育运动时间与性别因素有无关联；不合格合格合计女生男生合计（2）从女生平均每天体育运动时间在

((((0,4040,6060,9090,120，，，的100人中用分层抽样的方法抽取20人，再从这20人中随机抽取2人，记X为2人中平均每天体育运动时间为“良好”的人数，求X的分布列及数学期望；（3）从全市学生

中随机抽取100人，其中平均每天体育运动时间为“良好”的人数设为，记“平均每天体育运动时间为'良好'的人数为k”的概率为()Pk=，视频率为概率，用样本估计总体，求()Pk=的表达式，并求()Pk=取最大值时对应k的值.附：22()()()()()nadbc

abcdacbd−=++++，其中nabcd=+++.0.0100.0050.001x6.6357.87910.828【答案】【小问1详解】由题意可知，22列联表如下表不合格合格合计女生5050100男生3070100合计80120200零假设

为0H：性别与学生体育运动时间无关联.根据列联表中的数据，经计算得到()()()()222()200(50703050)258.3337.879801201001003nadbcabcdacbd−−===++++，根据小概率值0.005

=的独立性检验，我们推断0H不成立即认为性别因素与学生体育运动时间有关联，此推断犯错误的概率不大于0.005；【小问2详解】抽取的20人中，女生平均每天运动时间在((((0,4040,6060,9090

,120，，，的人数分别为2人，8人，8人，2人，易知X的所有可能取值为0,1,2，()20182220CC1530C190PX===，()11182220CC181C95PX===，()0218222

0CC12C190PX===，所以X的分布列为X012P15319018951190所以数学期望为()1531811012190951905EX++==；【小问3详解】平均每天运动时间在(90,120的频率为10300.2200+=，由题意可知

()100,0.2B，所以()()100100C0.20.80100,NkkkPkkk−==，由()()11991001001001C0.20.810011C0.20.814kkkkkkPkkPk

k++−−=+−===+，得19.2k，所以，当19k时，()()1PkPk=+=，即()()()20190PPP===，当20k时，()()1PkPk=+=，即()()()2021100PPP===，所以()max

()20PkP===，即()Pk=取最大值时，20k=.21.点(4,3)P在双曲线2222:1(0,0)xyCabab−=上，离心率72e=.（1）求双曲线C的方程；（2）,AB是双曲线C上的两个动点（异于点P），12,k

k分别表示直线,PAPB的斜率，满足1232kk=，求证：直线AB恒过一个定点，并求出该定点的坐标.【答案】【小问1详解】由题意点(4,3)P在双曲线2222:1(0,0)xyCabab−=上，离心率72e=可得；2222169172ababa−=+=

，解出，2,3ab==，所以，双曲线C的方程是22143xy−=【小问2详解】①当直线AB的斜率不存在时，则可设()()00,,,AnyBny−，代入22143xy−=，得220334yn=−，则220

1222003123393444(4)(4)2nyykknnynn−−−−−====−−−−，即2948480nn−+=，解得43n=或4n=，当4n=时，03y=，,AB其中一个与点()4,3P重合，不合题意；当43n=

时，直线AB的方程为43x=，它与双曲线C不相交，故直线AB的斜率存在；②当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程ykxm=+代入22143xy−=，整理得，()2223484120kxkmxm−−−−=，设()()1122,,,Ax

yBxy，则21212228412,3434kmmxxxxkk++==−−−，由()()22222Δ(8)4344120,34kmkmmk=−−−−−+，所以()()()2212121212121212121

23(3)33334444416kxxkmxxmyykxmkxmkkxxxxxxxx+−++−−−+−+−===−−−−−++32=所以，()()()221212232612212300kxxkmkxxmm−+−+++−−=，即()()22222412823261221

23003434mkmkkmkmmkk−−−+−++−−=−−,整理得()2231661690mkmk+−+−=，即()()343430mkmk+++−=，所以3430mk++=或430mk+−=，若3430mk++=，则433km+=−，直线AB化为413ykx=−−，

过定点4,13−；若430mk+−=，则43mk=−+，直线AB化为()43ykx=−+，它过点()4,3P，舍去综上，直线AB恒过定点4,13−另解：设直线AB的方程为()()431mxny−+−

=①，双曲线C的方程22143xy−=可化为()()22344]433]12xy−+−−+=，即()()223(4)4(3)24430xyxy−−−+−−−=②，由①②可得()()()()223(4)4(3)2443430xyxymxny−−−+−−−

−+−=，整理可得()()()()()22243(4)244(3)24430mxnynmxy+−−+−+−−−=，两边同时除以2(4)x−，整理得()()()23324424243044yynnmmxx−−+−−−+=−−③，()()22

Δ24()42442430nmnm=−+++，则12,kk是方程③的两个不同的根，所以()1224332442mkkn−+==+，即81230mn++=④，由①④可得()()3483312xy−−=−−=，解得431x

y==−，故直线AB恒过定点4,13−.22.已知2()ln1fxxkxx=−−，21()ln2gxaxxxx=−+（1）不等式()0fx对任意1x恒成立，求k的取值范围；（2）当()gx有两个极值点()1212,xxxx时，求证：()12(2e1)

2eaxx−+.【答案】【小问1详解】方法一：当1x时，不等式2ln10xkxx−−两边同除以x得：1ln0xkxx−−，1x，记()()1ln1hxxkxxx=−−，则()222111kxkxhxxxx−=+=+−，①当2Δ()40k=−−即22k−时，2

10−+xkx则()0hx，所以()hx在)1,+上递增，()()10hxh=满足要求，②当2k−时，210−+xkx则()()0,hxhx在)1,+上递增，()()10hxh=满足要求③当2k时，令()0hx得，2412kkx+−所以()hx在241,2k

k+−上递减，()()10hxh=与题设不符，舍去，综上，k的取值范围为(,2−；方法二：2ln10xkxx−−化为1ln0xkxx−−，1x，记()()1ln1hxxkxxx=−−，则()21111khxxkxxxx=+−

=+−①当k2时，由基本不等式可知：120xkkx+−−则()0hx，当且仅当1x=时取等，所以()hx在)1,+上递增，()()10hxh=满足要求；②当2k时，令()0hx得，2412kkx+

−所以()hx在241,2kk+−上递减，此时()()10hxh=与题设不符综上，k的取值范围为(,2−；【小问2详解】21()ln2gxaxxxx=−+定义域为()0,+，(

)lngxaxx−=，令()0gx=得lnxax=，由题意，12,xx是方程lnxax=的两个不等实根，记()lnxxx=，则()21lnxxx−=，令()0x得：()0,ex，令()0x，()e,x+，

故()x在()0,e上递增，在()e,+上递减，因为()()12xxa==，又()()110,ee==，且当1x时，()ln0xxx=恒成立，所以1210,1eeaxx，则21e1,1exx，由（1）取2k=，则1x时，11ln2xxx−221111

11ee1eln1ln2e2exxxxxx−−−，又11lnxax=代入，并整理得，()221112e2ee0axx−+−，同理，()22222221eln12e2ee0e2exxaxxx−−+−，所以()()()

()222222111212e2ee12e2ee2e12eaxxaxxaxx−+−−+−−+获得更多资源请扫码加入享学资源网微信公众号www.xiangxue100.com