【文档说明】【精准解析】北师大版必修5练案：第2章3第1课时距离和高度问题【高考】.docx，共(10)页，190.155 KB，由小赞的店铺上传

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[练案15]A级基础巩固一、选择题1．海上有A、B两个小岛相距10海里，从A岛望C岛和B岛成60°的视角，从B岛望C岛和A岛成75°的视角，则B、C间的距离是(D)A．103海里B．106海里C．52海里D．56海

里[解析]如图，由正弦定理得BCsin60°＝10sin45°，∴BC＝56.2．学校体育馆的人字形屋架为等腰三角形，如图，测得AC的长度为4m，∠A＝30°，则其跨度AB的长为(D)A．12mB．8mC．33mD

．43m[解析]在△ABC中，已知可得BC＝AC＝4，∠C＝180°－30°×2＝120°，所以由余弦定理得AB2＝AC2＋BC2－2AC·BCcos120°＝42＋42－2×4×4×－12＝48，∴AB＝43(m)．3．如图所示，为测一树的高度

，在地面上选取A，B两点，从A、B两点分别测得树尖的仰角为30°，45°，且A，B两点之间的距离为60m，则树的高度为(A)A．(30＋303)mB．(30＋153)mC．(15＋303)mD．(15

＋153)m[解析]由正弦定理可得60sin(45°－30°)＝PBsin30°，PB＝60×12sin15°＝30sin15°.h＝PB·sin45°＝30sin15°·sin45°＝(30＋303)(m)．4．甲船在湖中B岛的正南A

处，AB＝3km，甲船以8km/h的速度向正北方向航行，同时乙船从B岛出发，以12km/h的速度向北偏东60°方向驶去，则行驶15分钟时，两船的距离是(B)A．7kmB．13kmC．19kmD．10－33km[解析]由题意知AM＝8×1560＝2，BN＝12×1560＝3，MB＝AB－AM

＝3－2＝1，所以由余弦定理得MN2＝MB2＋BN2－2MB·BNcos120°＝1＋9－2×1×3×(－12)＝13，所以MN＝13km.5．如图所示，已知两座灯塔A和B与海洋观察站C的距离都等于a(km)，灯塔A在观察站

C的北偏东20°，灯塔B在观察站C的南偏东40°，则灯塔A与灯塔B的距离为(B)A．a(km)B．3a(km)C．2a(km)D．2a(km)[解析]在△ABC中，∠ACB＝180°－(20°＋40°)＝120°.∵AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC

cos120°＝a2＋a2－2a2×(－12)＝3a2，∴AB＝3a(km)．6．在200米高的山顶上，测得山下一塔顶与塔底的俯角分别为30°、60°，则塔高为(A)A．4003米B．40033米C．20033米D．2003米[解析]解法一：如图，设AB为山高，CD为塔高，则AB＝200，∠ADM

＝30°，∠ACB＝60°，∴BC＝200tan30°＝20033，AM＝DMtan30°＝BCtan30°＝2003.∴CD＝AB－AM＝4003.解法二：如图AB为山高，CD为塔高．在△ABC中，AC＝ABsin60°＝40033，在△ACD中，∠CAD＝30°，∠ADC＝120°.由正弦定理

CDsin∠CAD＝ACsin∠ADC.∴CD＝40033×1232＝4003(米)．二、填空题7．一只蜘蛛沿正北方向爬行xcm捕捉到一只小虫，然后向右转105°，爬行10cm捕捉到另一只小虫，这时它向右转135°爬行回它的出发点，则x＝1063cm.[解析]如图，由题意知，∠BAC＝75°，∠

ACB＝45°.∠B＝60°，由正弦定理，得xsin∠ACB＝10sinB，∴x＝10sin∠ACBsinB＝10×sin45°sin60°＝1063.8．如图所示，设A、B两点在河的两岸，一测量者在A所

在的河岸边选定一点C，测出AC的距离为50m，∠ACB＝45°，∠CAB＝105°后，就可以计算A、B两点的距离为502m.[解析]因为∠ACB＝45°，∠CAB＝105°，所以∠ABC＝30°，根据正

弦定理可知：ACsin∠ABC＝ABsin∠ACB，即50sin30°＝ABsin45°，解得AB＝502m.三、解答题9．海面上相距10海里的A、B两船，B船在A船的北偏东45°方向上，两船同时接到指令同时驶向C岛，C岛在B船的南偏

东75°方向上，行驶了80分钟后两船同时到达C岛，经测算，A船行驶了107海里，求B船的速度．[解析]如图所示，在△ABC中，AB＝10，AC＝107，∠ABC＝120°由余弦定理，得AC2＝BA2＋BC2－2BA·BC·cos120°即700＝100＋BC2＋10BC，∴BC＝20，设B船

速度为v，则有v＝2043＝15(海里/小时)．即B船的速度为15海里/小时．10．在上海世博会期间，小明在中国馆门口A处看到正前方上空一红灯笼，测得此时的仰角为45°，前进200米到达B处，测得此时的仰角为60°，小明身高1.8米，试计算红灯

笼的高度(精确到1m)．[解析]由题意画出示意图(AA′表示小明的身高)．∵AB＝200，∠CA′B′＝45°，∠CB′D′＝60°，∴在△A′B′C中，A′B′sin∠A′CB′＝B′Csin45°，∴B′C＝A′B′sin45°sin15°＝200×226－24

＝200(3＋1)．在Rt△CD′B′中，CD′＝B′C·sin60°＝100(3＋3)，∴CD＝1.8＋100(3＋3)≈475(米)．答：红灯笼高约475米．B级素养提升一、选择题1．一货轮航行到M处，测得灯塔S在货轮的北偏东15°，与灯

塔S相距20海里，随后货轮按北偏西30°的方向航行30分钟后，又测得灯塔在货轮的东北方向，则货轮的速度为(B)A．20(2＋6)海里/时B．20(6－2)海里/时C．20(6＋3)海里/时D．20(6－3)海里/时[解析]设货轮航行30分钟后到达N处

，由题意可知∠NMS＝45°，∠MNS＝105°，则∠MSN＝180°－105°－45°＝30°.而MS＝20，在△MNS中，由正弦定理得MNsin30°＝MSsin105°，∴MN＝20sin30°sin105°＝10

sin(60°＋45°)＝10sin60°cos45°＋cos45°sin45°＝106＋24＝10(6－2)．∴货轮的速度为10(6－2)÷12＝20(6－2)(海里/时)．2．如图所示，在山底A处测得山顶B的仰角∠CAB＝45°，沿倾斜角为30°的山坡向山顶走1000米

到达S点，又测得山顶仰角∠DSB＝75°，则山高BC为(D)A．5002mB．200mC．10002mD．1000m[解析]∵∠SAB＝45°－30°＝15°，∠SBA＝∠ABC－∠SBC＝45°－(90°－75°)＝30°，在△ABS中，AB＝AS·sin135°sin30°＝

1000×2212＝10002，∴BC＝AB·sin45°＝10002×22＝1000(m)．3．一船向正北航行，看见正西方向有相距10nmlie的两个灯塔恰好与它在一条直线上，继续航行半小时后，看见一灯塔在船的南偏西60°方

向上，另一灯塔在船的南偏西75°方向上，则这艘船的速度是每小时(C)A．5nmlieB．53nmlieC．10nmlieD．103nmlie[解析]如图，依题意有∠BAC＝60°，∠BAD＝75°，∴∠CAD＝∠CDA＝15°，从而CD＝CA＝10，在Rt△ABC中，求得AB＝5，∴

这艘船的速度是50.5＝10(nmlie/h)．4．要测量底部不能到达的东方明珠电视塔的高度，在黄浦江西岸选择甲、乙两观测点，在甲、乙两点分别测得塔顶的仰角分别为45°，30°，在水平面上测得电视塔与甲地连线及甲、乙两地连线所成的角为120°，甲、乙两地相距500米，则电视塔在这次测量中的

高度是(D)A．1002米B．400米C．2003米D．500米[解析]由题意画出示意图，设高AB＝h，在Rt△ABC中，由已知BC＝h，在Rt△ABD中，由已知BD＝3h，在△BCD中，由余弦定理BD2

＝BC2＋CD2－2BC·CD·cos∠BCD得3h2＝h2＋5002＋h·500，解之得h＝500(米)．二、填空题5．某地电信局信号转播塔建在一山坡上，如图所示，施工人员欲在山坡上A、B两点处测量与地面垂直的塔

CD的高，由A、B两地测得塔顶C的仰角分别为60°和45°，又知AB的长为40米，斜坡与水平面成30°角，则该转播塔的高度是4033米．[解析]如图所示，由题意，得∠ABC＝45°－30°＝15°，∠DAC＝60°－30°＝30°.∴∠BAC＝150°，∠ACB＝15°，∴AC＝AB＝40

米，∠ADC＝120°，∠ACD＝30°，在△ACD中，由正弦定理，得CD＝sin∠CADsin∠ADC·AC＝sin30°sin120°·40＝4033.6．如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正东行驶，到A处时，测量公路南侧远处一山顶D在东偏南15°的方向上，

行驶5km后到达B处，测得此山顶在东偏南30°的方向上，仰角为15°，则此山的高度CD等于5(2－3)km.[解析]在△ABC中，∠A＝15°，∠ACB＝30°－15°＝15°，所以BC＝AB＝5.又CD＝

BC·tan∠DBC＝5×tan15°＝5×tan(45°－30°)＝5(2－3)．三、解答题7．(2018·全国卷Ⅰ理，17)在平面四边形ABCD中，∠ADC＝90°，∠A＝45°，AB＝2，BD＝5.(1)求cos∠ADB；(2)若DC＝22，求

BC．[解析](1)在△ABD中，由正弦定理得BDsin∠A＝ABsin∠ADB，即5sin45°＝2sin∠ADB，所以sin∠ADB＝25.由题设知，∠ADB<90°，所以cos∠ADB＝1－225＝235.(2)由题设及(1)知，cos∠BDC＝s

in∠ADB＝25.在△BCD中，由余弦定理得BC2＝BD2＋DC2－2BD·DC·cos∠BDC＝25＋8－2×5×22×25＝25，所以BC＝5.8．某人在M汽车站的北偏西20°的方向上的A处，观察到点C

处有一辆汽车沿公路向M站行驶．公路的走向是M站的北偏东40°.开始时，汽车到A的距离为31千米，汽车前进20千米后，到A的距离缩短了10千米．问汽车还需行驶多远，才能到达M汽车站？[解析]由题画出示意图如图所示，设汽车前进20千

米后到达B处，在△ABC中，AC＝31，BC＝20，AB＝21.由余弦定理得cosC＝AC2＋BC2－AB22AC·BC＝2331，则sinC＝12331，所以sin∠MAC＝sin(120°－C)＝sin

120°cosC－cos120°sinC＝35362.在△MAC中，由正弦定理得MC＝AC·sin∠MACsin∠AMC＝3132×35362＝35，从而MB＝MC－BC＝15.即汽车还需行驶15千米才能到达M汽车站．获得更多资源请扫码加入享学资源网微

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