【文档说明】河北省保定市2020届高三上学期期末考试数学（理）试题含解析【精准解析】.doc，共(26)页，2.026 MB，由小赞的店铺上传

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2019-2020学年度第一学期高三期末调研考试数学试题（文科）注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干

净后，再选涂其它答案标号.3.在答题卡上与题号相对应的区域内答题，写在试卷、草稿纸上或答题卡，非题号对应的答题区域的答案一律无效.不得用规定以外的笔和纸答题，不得在答题卡上做任何标记.4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每

小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知1{|1},|42xxAxyxBx+==−=，则AB=（）A.(0,1)B.(0,1]C.RD.【答案】D【解析】【分析】根据二次根式有意义条件及指数不等式,可解得集合

A与集合B,再由集合交集运算即可得解.【详解】对于集合|1|1Axyxxx==−=对于集合121|42|22|1xxxxBxxxx++===所以|1|1ABxxxx==故选:D【点睛】本题考查了指数不等式的解法与二次根

式有意义的条件,交集的简单运算,属于基础题.2.复数(23)ii−对应的点位于（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【答案】A【解析】【分析】将复数根据乘法运算化简即可得在复平面内的坐标,即可判断所在

象限.【详解】由复数的乘法运算,化简可得()2233232iiiii−=−+=+则在复平面内对应点的坐标为()3,2所以对应的点在第一象限故选:A【点睛】本题考查了复数的乘法运算,复数的几何意义,属于基础题.3.函数2xyxex=+的图象在点(0,0)处的切线方程为（）A.21yx=−−B.21

yx=−C.3yx=D.3yx=−【答案】C【解析】【分析】先根据函数求得导函数,再根据切点的横坐标求得切线的斜率,即可由点斜式求得切线方程.【详解】函数2xyxex=+则'2xxyexe=++所以切线的斜率023ke=

+=由点斜式可得3yx=故选:C【点睛】本题考查了导数的几何意义,过曲线上一点切线方程的求法,属于基础题.4.已知ABC外接圆半径为1，圆心为O，若20OAABAC++=，则ABC面积的最大值为（）A.2B.32C.2D.1【答案】D

【解析】【分析】根据向量的线性运算,可判断出BC为圆的直径.结合勾股定理及不等式即可求得面积的最大值.【详解】根据向量的减法运算,化简20OAABAC++=可得20OAOBOAOAOC−+−+=,则0OBOC+=即O为BC的中点.又因为O为ABC外接圆圆

心,该外接圆的半径为1.所以2BC=由圆的性质可知,90BAC=设,ABaACb==则224ab+=由不等式性质可知2242abab=+,则2ab,当且仅当2ab==时取等号所以112122ABCS

ab=４=即ABC面积的最大值为1故选:D【点睛】本题考查了向量的线性运算,不等式性质的应用,属于基础题.5.设点Q为10220323xyxyxy+−−+−，所表示的平面区域内的动点，若在上述区域内满足

22xy+最小时所对应的点为P，则OP与OQ（O为坐标原点）的夹角的取值范围为（）A.[0,]4B.[0,]3C.[0,]2D.3[,]24【答案】A【解析】【分析】根据不等式组,可画出可行域.根据距离的最小值,可判断出P点位置.再由几何性质即可求得夹角的取值范围.【详

解】根据所给不等式组,画出可行域如下图所示:满足22xy+最小时所对应的点为P,即可行域内的P到原点距离的平方最小当OP与直线10xy+−=垂直时,交点即为P点.设直线10xy+−=与x轴交于点B,与y轴交于点A由直线10xy+−=的斜率与

倾斜角可知,45ABOBAO==由OP与直线10xy+−=垂直所以当Q与A或B重合时,OP与OQ的夹角取得最大值;当Q与P重合时,OP与OQ的夹角取得最小值即OP与OQ的夹角的取值范围为[0,]4故选:A【点睛】本题考查了线性规划的简单应用,距离型最值的求法,平面几何性质的

应用,属于基础题.6.已知递增等差数列{}na中，122aa=−，则3a的（）A.最大值为4−B.最小值为4C.最小值为4−D.最大值为4或4−【答案】B【解析】【分析】根据等差数列的通项公式可用1a表示出d.由数列单调递增可得10a

.用1a表示出3a,结合基本不等式即可求得最值.【详解】因为122aa=−由等差数列通项公式,设公差为d,可得()112aad+=−变形可得112daa=−−因为数列{}na为递增数列,所以1120daa=−−即10a而由等差数列通

项公式可知312aad=+()11111242aaaaa=+−−=−+−由10a−,140a−结合基本不等式可得()()311114424aaaaa=−+−−−=当且仅当12

a=−时取得等号所以3a的最小值为4故选:B【点睛】本题考查了等差数列通项公式与单调性的应用,基本不等式在求最值中的用法,属于中档题.7.如图为一个抛物线形拱桥，当水面经过抛物线的焦点时，水面的宽度为36m，则此时

欲经过桥洞的一艘宽12m的货船，其船体两侧的货物距离水面的最大高度应不超过（）A.6mB.6.5mC.7.5mD.8m【答案】D【解析】【分析】根据题意,抽象出抛物线的几何模型.根据抛物线的通经性质求得抛物线方程,即可求得当宽为12m时的纵坐标,进而求得水面到顶部

的距离.【详解】根据题意,画出抛物线如下图所示:设宽度为36m时与抛物线的交点分别为,AB.当宽度为12m时与抛物线的交点为,CD.当水面经过抛物线的焦点时,宽度为36m由抛物线性质可知236p=,则抛物线方程为236xy=−则()18,9A−当宽度为12m

时,设()6,Ca代入抛物线方程可得2636a=−,解得1a=−所以直线AB与直线CD的距离为()()198h=−−−=即船体两侧的货物距离水面的最大高度应不超过8m故选:D【点睛】本题考查了抛物线在实际问题中的应用,抛物线几何性质的应用,属于基础题.8.用若干个体积为1的正方体搭成一个几

何体，其正视图、侧视图都是如图所示的图形，则这个几何体的最小体积为（）A.5B.6C.7D.8【答案】A【解析】【分析】根据题意,当体积最小时,结合三视图还原空间几何体,即可求解.【详解】根据题意,当几何体体积最小时,空间几何图如下图所示:所以几何体的最小体积为5故选:A【

点睛】本题考查了三视图还原空间几何体的应用,对空间想象能力要求较高,属于中档题.9.函数131()2xfxx=−的零点所在的区间为（）A.1(0,)4B.11(,)43C.11(,)32D.1(,1)2【答案】C【解析】【分析】先判断出函数的单调性,结合零点存在

定理即可判断出零点所在区间.【详解】函数131()2xfxx=−所以函数在R上单调递增因为1113331311111033322f=−=−1113321211

111022222f=−=−所以函数零点在11,32故选:C【点睛】本题考查了根据零点存在定理判断零点所在区间,注意需判断函数的单调性,说明零点的唯一性,属于基础题.10.下列说法正确的个数为（）①“pq为真”是“pq为真”

的充分不必要条件；②若数据123,,,,nxxxx的平均数为1，则1232,22,,2,nxxxx的平均数为2；③在区间0,上随机取一个数x，则事件“6sincos2xx+”发生的概率为12④已知随机变量X服从正态分布2(2,)N，且(4)

0.84PX=，则(0)0.16PX=.A.4B.3C.2D.1【答案】C【解析】【分析】根据复合命题真假即可判断①;根据平均数的计算公式可判断②;对于③由辅助角公式化简三角函数式,结合正弦函数的图像与性质即可求得6sincos2xx+的x取值范围,进而由几何概型概率计算得解;对于④根

据正态分布曲线的性质,即可求得概率.【详解】对于①,由复合命题“pq为真”,可知p为真,或q为真;若“pq为真”,则p为真,且q为真.所以“pq为真”是“pq为真”的必要不充分条件,所以①错误；对于②,若数据1231nxxxxn++++=的平均数为1,由平均数公

式可知()123123222222nnxxxxxxxxnn++++++=+=+的平均数为2,所以②正确;对于③,在区间0,上.若6sincos2sin42xxx+=+,解得5,1212x

.则在区间0,上随机取一个数x,则事件“6sincos2xx+”发生的概率为5112123p−==,所以③错误;对于④,随机变量X服从正态分布2(2,)N,则2=.(4)0.84PX=,由正态分布曲线规律可知(0)(4)10.840.16PXPX==−=,

所以④正确.综上可知,正确的为②④故选:C【点睛】本题考查了复合命题真假判断,平均数的计算公式,正弦函数的图像与性质及几何概型的概率计算,正态分布曲线的性质及应用,属于基础题.11.若直线l与函数()xfxe=和()ln2gx

x=+的图象都相切，则k=（）A.2或eB.1或eC.0或1D.e【答案】B【解析】【分析】设出直线l与两个函数的切点,求得两个函数的导函数,并根据导数的意义求得切线的斜率.由点在曲线上的性质,可得方程组.化简后求得其中一个切

点的坐标,即可求得切线的斜率.【详解】设直线l与函数()xfxe=的图象相切于点()11,Axy,直线l与函数()ln2gxx=+的图象相切于点()22,Bxy,直线l的斜率为k.则1122l2,nxyeyx==+因为'()xfxe=,()1'gxx=则12

1xxke==所以11122212122ln211xxyeyxexyyxxx==+=−=−,则()12212ln21xexxxx−+=−由121xex=,可得21lnxx=−,代入上式可得()22222ln2l1n1xxxxx−+=−−,化简可得2222l

nln10xxxx−−−=即()()221ln10xx−+=,解得21,x=或21xe=代入21kx=可得1k=或ke=故选:B【点睛】本题考查了直线与曲线的切线问题,导数的几何意义应用,计算量较为复杂,属于中档题.12.正方形1111ABCDABCD−中

，若12CMMC=，P在底面ABCD内运动，且满足1DPCPDPMP=，则点P的轨迹为（）A.圆弧B.线段C.椭圆的一部分D.抛物线的一部分【答案】A【解析】【分析】根据题意,以D为原点,DA所在直线为x轴

,DC所在直线为y轴建立平面直角坐标系,设正方体棱长为1,(),Pxy.由1DPCPDPMP=及两点间距离公式,表示出P的轨迹方程.即可判断轨迹的形状.【详解】由题意以D为原点,DA所在直线为x轴,DC所在直线为y轴建立平面直角坐标系,

设正方体棱长为1,(),Pxy则()0,1C,由12CMMC=,可得23MC=因为P在底面ABCD内运动,且满足1DPCPDPMP=.由勾股定理及两点间距离公式代入可得()()2222222214119xyxyxyxy+−+=+++−+两边同时平方,并展开可得22222

2222113129xyxyyxyxyy++−+=+++−+交叉相乘,化简可得22189055xyy+−+=化为标准方程可得22936525xy+−=而因为P在底面ABCD内运动,所以其轨迹为一段圆弧故选:A【点睛】本题考查了空间几何体中

的轨迹方程问题,几何关系式的应用,计算量较为复杂,属于中档题.二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.二项式61()xx−的展开式中4x项的系数为__________．【答案】6−；【解析】【分析】根据二项展开式的通项

,代入即可求得4x项的系数.【详解】根据二项定理展开式的通项1CrnrrrnTab−+=则二项式61xx−的展开通项为()66216611rrrrrrrTCxCxx−−+=−=−所以当1r=时,4x

的系数为()11616C−=−故答案为:6−【点睛】本题考查了二项式定理及通项式的应用,属于基础题.14.如图，某地一天从614～时的温度变化曲线近似满足函数()yAsinxb＝＋＋0,0,0()A，则该函数的表达式为________．【答案】()8310204y

sinx＝＋＋，[6x，14]【解析】【分析】通过函数的图象，求出A，b，求出函数的周期，推出，利用函数经过(10,20)求出，得到函数的解析式．【详解】解：由题意以及函数的图象可知，10A=，20b=，2(146)1

6T=−=，所以28T==，由函数经过(10,20)所以2010sin(10)208=++，又0，所以34=，所以函数的解析式：310sin()2084yx=++，[6x，14]．故答案为：310sin()2084yx=++，[6x，14]．【点睛】

通过函数的图象求出函数的解析式，是三角函数常考题型，注意图象经过的特殊点，注意函数解析式的范围容易出错遗漏，属于基础题．15.若一个三位数的个位数字大于十位数字，十位数字大于百位数字，我们就称这个三位数为“递增三位数”.现从所有的递增三位数中随机抽取一个，则其三个数字依次成

等差数列的概率为__________．【答案】421；【解析】【分析】利用列举法列举出所有符合“递增三位数”的三位数,并找出符合等差数列的个数,即可由古典概型概率的计算公式求解.【详解】根据定义“递增三位数”,个位数字大于十位数字,十位数字大于百位数字.可

知个位数最小为3,最大为9当个位数为3时,三位数为123,共1个.三个数字依次成等差数列的有1个.当个位数为4时,三位数为124,134,234,共3个.三个数字依次成等差数列的为234,有1个当个位数为5时,三位数为125

,135,145,235,245,345,共6个.三个数字成等差数列的为135,345.有2个.当个位数为6时,三位数为126,136,146,156,236,246,256,346,356,456共10个.三个数字成等差数列的为246,

456,有2个.当个位数为7时,三位数为127,137,147,157,167,237,247,257,267,347,357,367,457,467,567共15个,三个数字成等差数列的为147,357,567,有3个.当个位数为8时

,三位数为128,138,148,158,168,178,238,248,258,268,278,348,358,368,378,458,468,478,568,578,678.共21个,三个数字成等差数列的为258,468,678,有3个.当个位数为

9时,三位数为129,139,149,159,169,179,189,239,249,259,269,279,289,349,359,369,379,389,459,469,479,489,569,579,5

89,679,689,789共28个,三个数字成等差数列的为159,369,579,789,有4个.综上可知,“递增三位数”共有1361015212884++++++=个.三个数字成等差数列的共有112233416++++

++=个则从所有的递增三位数中随机抽取一个,则其三个数字依次成等差数列的概率为1648421=故答案为:421【点睛】本题考查了古典概型概率的简单应用,列举法在概率中的应用,属于基础题.16.已知数列{}na中，11a=，其前n项和为nS，且满足213(2)nnSSnn−+=，则n

a=__________．【答案】1,134,*,,34,*,(1)nnnNnnnNnn=+−为偶数为奇数或1,13(1)4,*,2nnnnNn=+−【解析】【分析】根据递推公式,可求得+163nna

na=++,再递推后可得+2169nnaan++=+.两式相减可得+26nnaa−=,即当2n时隔项成等差数列.由递推公式及首项,求得2a,3a.即可求得通项公式.【详解】数列{}na中,其前n项和为nS,且满足21

3(2)nnSSnn−+=①则()22+13+1=363nnnnSSn+=++②−②①可得+163nnana=++则()+2161369nnanan++++=+=两式相减可得+26nnaa−=所以数列{}na当2n时隔项成等差数列,公差为6已

知数列{}na中,11a=当2n=时,代入213nnSSn−+=可得2112SS+=,即12112aaa++=,解得210a=当3n=时,代入213nnSSn−+=可得3227SS+=,1231227aaaaa++++=,解得35a=由数

列{}na当2n时隔项成等差数列可知当n偶数时,1016342nann+−=+=当n奇数时,1516342nann−+−=−=因而上式也可写成2n时,3(1)4,*,nnannN=+−综上可知1,134,*,,34,*,(1)nnannNnnnNnn

==+−为偶数为奇数或1,13(1)4,*,2nnnannNn==+−故答案为:1,134,*,,34,*,(1)nnannNnnnNnn==+−为偶数为奇数或1,13(1

)4,*,2nnnannNn==+−【点睛】本题考查了数列递推公式求通项公式的方法,奇偶项分类讨论求通项公式的应用,属于中档题.三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或

演算步骤.）17.已知ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为,,abc，设(sin,1cos)mBB=−，(2,0)n=.（1）若23B=，求m与n的夹角；（2）若||1,3mb==，求ABC周长的最大值.【答案】（1）3=（2）33【

解析】【分析】（1）将23B=代入可求得m.根据平面向量数量积的坐标运算求得mn,由数量积的定义即可求得cos,进而得夹角.（2）根据||1m=及向量模的坐标表示,可求得B.再由余弦定理可得22()4acb+=.结合基本不等式即可求得a

c+的最大值,即可求得周长的最大值;或由正弦定理,用角表示出ac+,结合辅助角公式及角的取值范围,即可求得ac+的取值范围,进而求得周长的最大值.【详解】（1）23B=,所以33,22m=,因为(2,0)n=,32032mn=+=∴,又2233||322m=+=

,||2n=,31cos2||||23mnmn==∴,3=,（2）因为||1m=,即22||sin(1cos)22cos1mBBB=+−=−=,所以3B=,方法1.由余弦定

理,得2222cosbacacB=+−.2222()()3()324acacacacac++=+−+−=,即2()34ac+,即23ac+≤,（当且仅当ac=时取等号）所以ABC周长

的最大值为33.方法2.由正弦定理可知,2sinsinsinacbACB===,2sin,2sinaAcC==∴,23AC+=,所以22sin2sin3sin3cos23sin36acAAAAA+=+−=+=+

,又203A,5666A+,1sin,162A+,(3,23]ac+∴,所以当3A=时,ac+取最大值23.所以ABC周长的最大值为33.【点睛】本题考查了平面向量数量积的定义,正弦定理与余弦定理在解三角形中的应用,三角形周长的

表示方法,基本不等式与正弦函数的图像与性质应用,属于基础题.18.已知数列{},{}nnab满足1,2nnnnaabb+−=+为等比数列，且12a=，24a=，310a=.（1）试判断列{}nb是否为等比数列，并说明理由；（2）求na.【答案】（1）数列{}nb不是等

比数列.见解析（2）+122nnan=−【解析】【分析】（1）根据所给通项公式及12a=,24a=,310a=,可求得123,,bbb,即可利用等比中项定义判断{}nb是否为等比数列.（2）根据{2}nb+为等

比数列,即可由（1）中所得首项与公比求得nb.根据1,nnnaab+−=结合递推公式与累加法,即可求得na.【详解】（1）数列{}nb不是等比数列.理由如下：由1nnnaab+−=,且1232,4,10aaa===得：所以1212baa=−=,2326baa=−=,又因为数列{2}nb+为等比数列

,所以可知其首项为4,公比为2.所以2324216b+==,314b=∴,显然22133628bbb==故数列{}nb不是等比数列.（2）结合（1）知,等比数列{2}nb+的首项为4,公比为2,故112422nnnb−++==,所以122nnb+=−,因为1nnnaab+−=,

122(2)nnnaan−−=−∴令2,,(1)nn=−累加得()2322222(1)nnan−=+++−−,()23222222nnan=++++−+()1221222221nnnn+−=−+=−−,又12a=满足上式,+122nnan=−∴【点睛】本

题考查了利用等比中项判断数列是否为等比数列的方法,构造数列法求通项公式的应用,累加法在求通项公式中的应用,属于中档题.19.如图，几何体ABCDFE中，ABC，DFE均为边长为2的正三角形，且平面//ABC平面DFE，四

边形BCED为正方形.（1）若平面BCED⊥平面ABC，求证:平面//ADE平面BCF；（2）若二面角DBCA−−为150，求直线BD与平面ADE所成角的正弦值.【答案】（1）见解析（2）3926【解析】【分析】（1）取BC的中点O,ED的中点G,连

接,,,AOOFFGAG.可证明//AOFG,结合AOFG=,可知四边形AOFG为平行四边形.进而由//AGOF和//DEBC及平面与平面平行的判定定理证明平面//ADE平面BCF;（2）连结GO,可知GOA即为二面

角DBCA−−的平面角.以O为原点建立空间直角坐标系.由线段关系写出各个点的坐标,求得平面ADE的法向量,即可根据直线与平面夹角的向量关系求得直线BD与平面ADE所成角的正弦值.【详解】（1）证明：取BC的中点O,ED的中

点G,连接,,,AOOFFGAG.如下图所示:因为AOBC⊥,且平面BCED⊥平面ABC,所以AO⊥平面BCED,同理FG⊥平面BCED,所以//AOFG,又因为3AOFG==,所以四边形AOFG为平行四边形,所以//AGOF//AG平面BCF,又//DEBC,DE平面BCF

,又因为AG和DE交于点G所以平面//ADE平面BCF.（2）连结GO,则GOBC⊥,又AOBC⊥所以GOA为二面角DBCA−−的平面角,所以150GOA=建立如图所示的空间直角坐标系,则(23,0,0),(0,1,1),(0,1

,1),(3,1,0)ADEB−所以(23,1,1),(0,2,0)ADED=−=设平面ADE的一个法向量是(,,)nxyz=,则00nADnED==,即2300xyzy−++==,令3,6xz==,即(3

,0,6)n=,又因为(3,0,1)BD=−,所以339sin,26||||239BDnBDnnBD===,即所求的角的正弦值为3926.【点睛】本题考查了平面与平面平行的判定,空间向量在求线面夹角中的用法.关键在于作出相应的辅助线,找到线线平行,找到合适的原点建立空间直角坐

标系,属于中档题.20.设椭圆2222:1(0)xyCabab+=的一个焦点为(2,0)，四条直线xa=，yb=所围成的区域面积为43.（1）求C的方程；（2）设过(0,3)D的直线l与C交于不同的两点,AB，设弦AB的中点为M，且1||||2OMAB=

（O为原点），求直线l的方程.【答案】（1）2213xy+=（2）113yx=+【解析】【分析】（1）由题意,结合椭圆的性质可得,,abc的方程组,解方程组即可求得椭圆的标准方程.（2）因为直线过定点,设出直线方程

,并联立椭圆方程.化简后利用判别式求得斜率的取值范围.由三角形几何性质可知OAOB⊥,结合平面向量数量积定义及韦达定理求得斜率的方程,解方程即可求得斜率,进而可得直线l的方程.【详解】（1）依题意得2222222232243,2cababab

abc===−=−=,解得223,1ab==椭圆C的方程为2213xy+=．（2）易知直线l的斜率存在,并设直线方程为3ykx=+,联立椭圆,22133xyykx+==+,化简得()221318240kxkx+++

=,设()11,Axy、()22,Bxy,()2228(18)961303kkk=−+,且1212221824,1313kxxxxkk+=−=++,由三角形几何性质可知OAOB⊥0OAOB=,即()()121212120330xxyyxxkxkx+=+++=,()()

212121390kxxkxx++++=．将1212221824,1313kxxxxkk+=−=++代入上式得()222224154901313kkkk+−+=++化简得2333k=,所以11k=故所求的直线方程为113yx=+【点睛】本题考查了由,,abc关系求椭圆标准方程的

求法,直线过定点时与椭圆的位置关系,平面向量与解析几何的综合应用,韦达定理在用坐标研究向量关系中的应用,属于中档题.21.已知函数()fx满足:①定义为R；②2()2()9xxfxfxee+−=+−.（1）求()fx的解析式；（2）若12,[

1,1]xx−；均有()()21122(2)61xaxxfx−+−+−…成立，求a的取值范围；（3）设2(),(0)()21,(0)fxxgxxxx=−−+，试求方程[()]10ggx−=的解.【答案】（1）()3xfxe=−（2）[3,7

]−（3）3−，(12)−+、ln3，ln(3ln4)+、12(1ln2)−−【解析】【分析】（1）利用构造方程组法即可求得()fx的解析式;（2）根据不等式,构造函数2()(2)6xxax=−+−+与()()()13xFxxe=−−.根据不等式恒成立可知满足minmax()()xFx

.求得(),Fx()Fx.通过判断()Fx的符号可判断()Fx的单调性,由其单调性可得()0minFx,进而可知()Fx为单调递增函数,即可求得max()Fx.再根据minmax()()xFx及二次函数性质,可得a的取值范

围;（3）根据()gx的解析式,画出函数图像.并令()Tgx=,则方程变为()1gT=.解得T的值.即可知()2gx=−、()0gx=及()ln4gx=.结合函数图像及解析式,即可求得对应方程的解.【详解】（1）2()2()9xxfxfxee+−=+−,…①所以2()2()9xxfxfxee−−

−+=+−即1()2()29xxfxfxee−+=+−…②由①②联立解得:()3xfxe=−.（2）设2()(2)6xxax=−+−+,()()()1333xxxFxxeexex=−−=+−−,依题意知:当11x−时,m

inmax()()xFx()()33xxxxFxeexexe+=−+=−+又()(1)0xFxxe=−+在(1,1)−上恒成立,所以()Fx在[1,1]−上单调递减()(1)30minFxFe==−()Fx在[1,1]−上单调递增,max()(1)0FxF==(1

)70(1)30aa−=−=+,解得:37a−实数a的取值范围为[3,7]−.（3）()gx的图象如图所示：令()Tgx=,则()1gT=1232,0,ln4TTT=−==当()2gx=−时有1个解3−,当()0gx=时有2个解：(12)−+、ln3,当()ln4gx=时

有3个解:ln(3ln4)+、12(1ln2)−−.故方程[()]10ggx−=的解分别为：3−,(12)−+、ln3,ln(3ln4)+、12(1ln2)−−【点睛】本题考查了构造方程组法求函数解析式,二次求导的方法判断函数的单调性与最值,在定区间上恒

成立问题的解法,换元法解复合函数与方程的应用,综合性强,属于难题.22.某大型公司为了切实保障员工的健康安全，贯彻好卫生防疫工作的相关要求，决定在全公司范围内举行一次乙肝普查.为此需要抽验960人的血样进行化验，由于人数较多，检疫

部门制定了下列两种可供选择的方案.方案①：将每个人的血分别化验，这时需要验960次.方案②：按k个人一组进行随机分组，把从每组k个人抽来的血混合在一起进行检验，如果每个人的血均为阴性，则验出的结果呈阴性，

这k个人的血就只需检验一次（这时认为每个人的血化验一次）；否则，若呈阳性，则需对这k个人的血样再分别进行一次化验.这样，该组k个人的血总共需要化验1k+次.假设此次普查中每个人的血样化验呈阳性的概率为p，且这些人之间的试验反应相互独立.（1）设

方案②中，某组k个人中每个人的血化验次数为X，求X的分布列；（2）设0.1p=.试比较方案②中，k分别取2，3，4时，各需化验的平均总次数；并指出在这三种分组情况下，相比方案①，化验次数最多可以平均减少多少次？（最后结果四舍五入保留整数

）.【答案】（1）见解析（2）390次【解析】【分析】（1）根据概率性质可知若每个人的血样化验呈阳性的概率为p,则每个人的血呈阴性反应的概率为1qp=−.由独立性事件概率性质可得k个人的血混合后呈阴性反应和呈阳性反应的概率.

即可由血化验次数为X得其分布列.（2）结合（1）可求得平均每个人化验次数()Ex.当0.1p=时,0.9q=.将k分别取2,3,4,代入平均化验次数的表达式,即可求得化验次数.根据结果,即可求得相比方案①,化验次数最多平均减少的次数.【详解】（1）设每个人的血呈阴性反应

的概率为q,则1qp=−.所以k个人的血混合后呈阴性反应的概率为kq,呈阳性反应的概率为1kq−.依题意可知11,1Xkk=+,所以X的分布列为：X1k11k+Pkq1kq−（2）方案②中.结合（1）知每个人的平均化验次数为：()1

11()111kkkExqqqkkk=++−=−+,所以当2k=时,21()0.910.692EX=−+=,此时960人需要化验的总次数为662次,3k=时,31()0.910.60433EX=−+=,此时

960人需要化验的总次数为580次,4k=时,41()0.910.59394EX=−+=,此时960人需要化验的次数总为570次,即2k=时化验次数最多,3k=时次数居中,4k=时化验次数最少而采用方案①则需化验960次,故在这三种分组情况下,相比方

案①,当4k=时化验次数最多可以平均减少960570390−=次.【点睛】本题考查了离散型随机变量的两点分布的分布列求法,并对平均值进行判断和应用,文本信息量大,要理解好题意,属于中档题.