【文档说明】【精准解析】高中数学北师大必修4一课三测：2.6平面向量数量积的坐标表示含解析【高考】.docx，共(15)页，222.715 KB，由小赞的店铺上传

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§6平面向量数量积的坐标表示填一填1.平面向量的数量积、模、夹角、垂直的坐标表示(1)数量积的坐标表示：设向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a·b＝________.(2)模、夹角、垂直的坐标表示：2．直线的方向向量(1)定义：与直线l________的非零向量m称为直线l的方

向向量．(2)性质：给定斜率为k的直线l的一个方向向量为m＝________.判一判1.直线x＋2y－1＝0的方向向量为(1,2)．()2．两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和．()3．向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)的数量积仍是向量，其坐标为(x1x2，y1y2

)．()4．|AB→|的计算公式与A，B两点间的距离公式是一致的．()5．若非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)的夹角为锐角，则x1x2＋y1y2>0，反之，若非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)满足x1x2＋y1y2>0，则它们的夹角为锐角．()6．在△

ABC中，AB→＝(1,1)，BC→＝(－4,3)，AB→·BC→＝－1<0，则△ABC为钝角三角形．()7．在直角△ABC中，AB→＝(1,1)，BC→＝(－4，m)，则m＝4.()8．向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a·b＝x1x2－y1y2.()想一想1

.对数量积的坐标表示的理解？提示：(1)两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和．(2)引入坐标运算后，使得平面向量数量积的运算和两个向量的坐标运算联系起来，从而使得向量的工具性作用更强．(3)平面向量的坐标可以把几何问

题转化为代数问题，用向量的坐标运算来实现几何问题的求解，数形结合的思想在数量积的应用中将体现更多．2．对向量模长公式的理解？提示：(1)模长公式是数量积的坐标表示a·b＝x1x2＋y1y2的一种特例，当a＝b时，则可得|a|2＝x2＋y2.(2)若点A(x1，y1)，B(x2，y2

)，则AB→＝(x2－x1，y2－y1)，所以|AB→|＝(x2－x1)2＋(y2－y1)2，即|AB→|的实质是A，B两点间的距离或线段AB的长度，这也是模的几何意义．思考感悟：练一练1.已知a＝(－3,4)，b＝(5,2)，则a·b的值是()A．23B．7C．－2

3D．－72．已知a＝(－2,1)，b＝(x，－2)，且a⊥b，则x的值为()A．－1B．0C．1D．23．已知a＝(1，3)，b＝(－2,0)，则|a＋b|＝________.4．a＝(－4,3)，b＝(1,2)，则2|a|2－3a·b＝___

_____.知识点一数量积的坐标运算1.设向量a＝(1，－2)，向量b＝(－3,4)，向量c＝(3,2)，则向量(a＋2b)·c＝()A．(－15,12)B．0C．－3D．－112．已知向量b与向量a＝(1，－2)的方向相反，且|b|＝35.(1)求向量b的坐标；(2)若c＝(2,3)，求(c－a

)·(c－b)的值．知识点二向量的模3.设x∈R，向量a＝(x,1)，b＝(1，－2)，且a∥b，则|a＋b|＝()A.5B.52C．25D．54．已知点A(0,1)，B(1，－2)，向量AC→＝(4，－1)，则|BC→|＝________.知识点三向

量的夹角、垂直问题5.设向量a＝(x,1)，b＝(1，－3)，且a⊥b，则向量a－3b与b的夹角为()A.π6B.π3C.2π3D.5π66．已知点A(2,1)，B(3,2)，D(－1,4)．(1)求证：AB⊥AD.(2)要使四边形ABCD为矩形，求点C的坐标以及矩形ABCD两对角线所夹锐角的

余弦值．综合知识数量积的综合应用7.设向量a＝(1，3)，b＝(m，3)，且a，b的夹角为锐角，则实数m的取值范围是________．8．已知向量a＝35，45，|b|＝22，a与b的夹角为π4.(1)求向量a在b方向上的投影；(2)求

a－b与a＋b的夹角的余弦值．基础达标一、选择题1．已知向量a＝(1,2)，b＝(2，x)，且a·b＝－1，则x的值等于()A.12B．－12C.32D．－322．已知向量a＝(4,3)，2a＋b＝(3,18)，则a，b夹角的余弦值等于()A.865B．－865C.1665D．－16653．若

a＝(2,3)，b＝(－4,7)，则a在b方向上的投影为()A.655B.65C.135D.134．已知向量a＝(－1,2)，b＝(3,1)，c＝(k,4)，且(a－b)⊥c，则k＝()A．－6B．－1C．1D．65．已知向量a

＝(2，－2)，则向量a的单位向量是()A．(1，－1)B．(－1,1)C.22，－22D.－22，226．已知平面向量a＝(2,4)，b＝(－1,2).若c＝a－(a·b)b，则|c|＝()A．42B．25C．8D．827．已知向量m＝(1,1)，向量n

与向量m的夹角为3π4，且m·n＝－1，则|n|＝()A．－1B．1C．2D．－28．在四边形ABCD中，AC→＝(1,2)，BD→＝(－4,2)，则该四边形的面积为()A.5B．25C．5D．10二、填空题9．已知向量a＝(1,2)，b＝(3,4)，则(a－b)·(2a＋3b)＝_____

___.10．已知向量a＝(x,1)，b＝(1,2)，c＝(－1,5)，若(a＋2b)∥c，则|a|＝________.11．已知点A(－1,1)，B(1,2)，C(－2，－1)，D(3,4)，则向量AB→在CD→方向上的投影为________．12．已知平面向量a＝(3,4)，

b＝(9，x)，c＝(4，y)，且a∥b，a⊥c，若m＝2a－b，n＝a＋c，则向量m，n的夹角的大小为________．三、解答题13．已知a与b同向，b＝(1,2)，a·b＝10.(1)求a的坐标

；(2)若c＝(2，－1)，求a(b·c)及(a·b)c.14．已知向量a，b，c是同一平面内的三个向量，其中a＝(1，－1)．(1)若|c|＝32，且c∥a，求向量c的坐标；(2)若b是单位向量，且a⊥(a－2b)，求a与b的夹角θ.能力提升15.已知点O是锐角三角形ABC的外心，AB＝8，A

C＝12，A＝π3.若AO→＝xAB→＋yAC→，求6x＋9y的值．16．在平面直角坐标系xOy中，已知A，B，C三点的坐标分别为A(2，－1)，B(3,5)，C(m,3)．(1)若AB→⊥AC→，求实数m的值；(2)若A，B，C三点能构成三角形，求实数m的取值范围．§6平面向量数

量积的坐标表示一测基础过关填一填1．(1)x1x2＋y1y2(2)x2＋y2a·b|a||b|＝x1x2＋y1y2x21＋y21·x22＋y22x1x2＋y1y2＝02．(1)共线(2)(1，k)判一判1．×2.√3.×4.√5.×6.×7.

×8.×练一练1．D2.A3.24.44二测考点落实1．解析：依题意可知，a＋2b＝(1，－2)＋2(－3,4)＝(－5,6)，所以(a＋2b)·c＝(－5,6)·(3,2)＝－5×3＋6×2＝－3.答案：C2．解析：(1)设

b＝－λa，λ>0，则b＝(－λ，2λ)．则|b|＝(－λ)2＋(2λ)2＝35，平方得λ2＋4λ2＝45，解得λ＝3或λ＝－3(舍去)．∴b＝(－3,6)．(2)∵c－a＝(2,3)－(1，－2)＝(1,5)，c－b＝(2,3)－(－3,6)＝(5，－3)，∴(c－a)·(c－b)＝5＋(－

15)＝－10.3．解析：因为a＝(x,1)，b＝(1，－2)，且a∥b，所以－2x－1×1＝0，解得x＝－12.所以a＋b＝－12，1＋(1，－2)＝12，－1，|a＋b|＝122＋(－1)2＝52.答案：B4

．解析：设C(x，y)，∵点A(0,1)，向量AC→＝(4，－1)，∴AC→＝(x，y－1)＝(4，－1)，∴x＝4，y－1＝－1，解得x＝4，y＝0，∴C(4,0)，∴BC→＝(3,2)，|BC→|＝9＋4＝13

.答案：135．解析：向量a＝(x,1)，b＝(1，－3)，且a⊥b，则a·b＝x－3＝0，得x＝3，∴a－3b＝(3，1)－3(1，－3)＝(0,4)，(a－3b)·b＝0×1＋4×(－3)＝－43，|a－3b|＝4，|b|＝

2，设向量a－3b与b的夹角为θ，则cosθ＝(a－3b)·b|a－3b|·|b|＝－434×2＝－32，∵0≤θ≤π，∴θ＝5π6.答案：D6．解析：(1)因为A(2,1)，B(3,2)，D(－1,4)，AB→＝(1,1)，AD→＝(－3,3)，所以AB→·AD→＝1×(－3)＋1×3＝

0，所以AB→⊥AD→，即AB⊥AD.(2)因为AB→⊥AD→，四边形ABCD为矩形，所以AB→＝DC→，设C点的坐标为(x，y)，则由AB→＝(1,1)，DC→＝(x＋1，y－4)，得x＋1＝1，y－4＝1，解得

x＝0，y＝5，所以C点的坐标为(0,5)，从而AC→＝(－2,4)，BD→＝(－4,2)，且|AC→|＝25，|BD→|＝25.AC→·BD→＝8＋8＝16，设AC→与BD→的夹角为θ，则cosθ＝AC→·BD→|AC→||BD→|＝1620

＝45，所以矩形的两条对角线的夹角的余弦值为45.7．解析：因为a，b的夹角为锐角，所以a·b＝m＋3>0，解得m>－3，又当m＝1时，〈a，b〉＝0，不符合题意，所以m>－3且m≠1.答案：m>－3且m≠18．解析：(1)|a|＝352＋452＝

1，∴向量a在b方向上的投影为|a|cosπ4＝22.(2)由(1)知，a·b＝12，设a－b与a＋b的夹角为θ，则cosθ＝(a－b)·(a＋b)|a－b||a＋b|，|a－b|2＝|a|2＋|b|2－2a·b＝12，则|a－b

|＝22，|a＋b|2＝|a|2＋|b|2＋2a·b＝52，则|a＋b|＝102，(a－b)·(a＋b)＝a2－b2＝12，cosθ＝(a－b)·(a＋b)|a－b||a＋b|＝55.三测学业达标1．解析：因为a＝(1,2)，b＝(2，x)，所以a·b＝(1,2)·(2，

x)＝1×2＋2x＝－1，解得x＝－32.答案：D2．解析：∵a＝(4,3)，∴2a＝(8,6)．又∵2a＋b＝(3,18)，∴b＝(－5,12)，∴a·b＝－20＋36＝16.又∵|a|＝5，|b|＝13，∴cos〈a，b〉＝165×13＝1665，故选C.答案：C3．解析：设a与b的夹角为θ，

则cosθ＝a·b|a||b|＝2×(－4)＋3×74＋9×16＋49＝55，∴a在b方向上的投影为|a|cosθ＝13×55＝655.答案：A4．解析：∵a＝(－1,2)，b＝(3,1)，∴a－b＝(－4,1)，∵(a－b)⊥c，∴－4k＋

4＝0，解得k＝1.答案：C5．解析：向量a的单位向量是a|a|＝(2，－2)22＝22，－22.答案：C6．解析：因为a·b＝2×(－1)＋4×2＝6，所以c＝(2,4)－6(－1,2)＝(8，－8)，所以|c|＝82＋(－8)2＝82.答案：D7．解析：c

os3π4＝m·n|m||n|＝－12|n|＝－22，|n|＝1.故选B.答案：B8．解析：AC→·BD→＝(1,2)·(－4,2)＝0，故AC→⊥BD→.故四边形ABCD的对角线互相垂直，面积S＝12|AC→|·|BD→|＝12×5×25＝5.答案：

C9．解析：方法一：因为a＝(1,2)，b＝(3,4)，所以a·b＝(1,2)·(3,4)＝1×3＋2×4＝11，(a－b)·(2a＋3b)＝2a2＋a·b－3b2＝2|a|2＋a·b－3|b|2＝2(12＋22)＋11－3(32＋42)

＝－54.方法二：因为a－b＝(1,2)－(3,4)＝(－2，－2)，2a＋3b＝2(1,2)＋3(3,4)＝(2×1＋3×3,2×2＋3×4)＝(11,16)，所以(a－b)·(2a＋3b)＝(－2，－2)·(11,16)＝－2×11＋(－2)×16＝－54.答案：－5410

．解析：∵a＝(x,1)，b＝(1,2)，∴a＋2b＝(x＋2,5)，又(a＋2b)∥c，∴5(x＋2)＝－5，解得x＝－3，∴a＝(－3,1)，∴|a|＝10.答案：1011．解析：由题意得AB→＝(2,1)，CD→＝(5,5)，所以AB→·CD→

＝15，所以向量AB→在CD→方向上的投影为|AB→|cos〈AB→，CD→〉＝AB→·CD→|CD→|＝1552＝322.答案：32212．解析：因为a∥b，所以3x＝4×9，所以x＝12.因为a⊥c，所以3×4＋4y＝0，所以y＝－3，所以b＝(9,12)，c

＝(4，－3)．m＝2a－b＝(6,8)－(9,12)＝(－3，－4)，n＝a＋c＝(3,4)＋(4，－3)＝(7,1)．设m，n的夹角为θ，则cosθ＝m·n|m||n|＝－3×7＋(－4)×1(－3)2＋(－4)

2×72＋12＝－25252＝－22，因为θ∈[0，π]，所以θ＝3π4，即m，n的夹角为3π4.答案：3π413．解析：(1)设a＝λb＝(λ，2λ)(λ>0)，则a·b＝λ＋4λ＝10，∴λ＝2，∴a＝(2,

4)．(2)∵b·c＝1×2－2×1＝0，a·b＝10，∴a(b·c)＝0a＝0，(a·b)c＝10(2，－1)＝(20，－10)．14．解析：(1)设c＝(x，y)，由|c|＝32，c∥a可得y＋x＝0，x2＋y2＝18，所以x＝－

3，y＝3，或x＝3，y＝－3，故c＝(－3,3)或c＝(3，－3)．(2)因为|a|＝2，且a⊥(a－2b)，所以a·(a－2b)＝0，即a2－2a·b＝0，∴a·b＝1，故cosθ＝a·b|a|·|b|

＝22，∴θ＝π4.15．解析：如图所示，连接OA，过点O分别作OD⊥AB，OE⊥AC，垂足分别为D，E，则D，E分别为AB，AC的中点．∴AO→·AB→＝(AD→＋DO→)·AB→＝12AB→2＝12×82＝32，AO→·AC→＝(AE→＋EO→

)·AC→＝12AC→2＝12×122＝72.∵A＝π3，∴AB→·AC→＝8×12×cosπ3＝48.∵AO→＝xAB→＋yAC→，∴AO→·AB→＝xAB2→＋yAC→·AB→，AO→·AC→＝xAB→·AC→＋yAC2→，即32＝64x＋48

y,72＝48x＋144y，联立解得x＝16，y＝49.∴6x＋9y＝5.16．解析：(1)由题意，有AB→＝(1,6)，AC→＝(m－2，4)，由AB→⊥AC→，得AB→·AC→＝0，即(m－2)×1＋4×6＝0，解得m＝

－22.(2)若A，B，C三点能构成三角形，则A，B，C三点不共线，即AB→与AC→不平行，故1×4－6(m－2)≠0，解得m≠83，即实数m的取值范围是－∞，83∪83，＋∞.获得更多

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