【文档说明】专题1-2 空间向量与立体几何20类解答题专练（原卷版）.docx，共(26)页，4.120 MB，由小赞的店铺上传

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专题1-2空间向量与立体几何20类解答题专练知识点梳理模块一平行证明（拆分练习）【题型1】由中位线得出平行关系【题型2】构造平行四边形得到平行关系【题型3】由面面平行得出线面平行【题型4】构造2个平面的交线模块二垂直证明（拆分

练习）【题型5】证明线面垂直【题型6】证明异面直线垂直【题型7】证明面面垂直【题型8】平行垂直的向量证明方法模块三点与面【题型9】证明四点共面【题型10】求点到平面的距离模块四空间中的角【题型11】异面直线夹角【题型12】线面角【题型13】求二面角（重点）【题型14】求面

面角（重要）【题型15】已知线面角或二面角，求其它量（重要）【题型16】与角有关的最值与范围问题（难点）模块五探究类问题【题型17】验证满足平行条件的点是否存在【题型18】验证满足垂直条件的点是否存在【题型19】验证满足角度条件的点是否存在【题型20】已知点到平面距离，求参数知识点

梳理一、平行证明：中位线法，平行四边形法，构造平行平面法证明四点共面一般转化为证明平行二、垂直证明证明直线与直线垂直：1、如果一条直线垂直于一个平面，那么这条直线垂直于这个平面内的任意一条直线。这是证明直线与直线垂直最常用的方法。2、如果两条平行线中的一条垂直于一条直线，那么另一条

也垂直于这条直线。3、三垂线定理及其逆定理。4、勾股定理逆定理：如果三角形的三边长是一组勾股数，则这个三角形是一个直角三角形。5、等腰三角形三线合一：等腰三角形底边上的中线、顶角角平分线和底边上的高是同一条线段。6、菱形对角线互相垂直。7、矩形的相邻两边

垂直。8、全等或相似三角形中的垂直证明直线与平面垂直：1、如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面。2、如果两个平面垂直，那么其中一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面。3、如果两条平行线中的一条

垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面。4、如果一条直线垂直于两个平行平面中的一个，那么这条直线也垂直于另一个平面。证明平面与平面垂直：1、如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面垂直。2、如果二面角的平面角是直角，那么二面角的两个面所在的平面互相垂

直。3、直棱柱的底面垂直于侧面。三、点到平面的距离（1）法一：等体积法（2）法二：法向量：如图，已知平面的法向量为，是平面内的定点，是平面外一点.过点作平面的垂线，交平面于点，则是直线的方向向量，且点到平面的距离就是在直线上的投影向量的长度.四、异面直线所成角已知，为两异面直

线，，与，分别是，上的任意两点，，所成的角为，则①②.五、线面角范围：，公式：设直线的方向向量为，平面的法向量为，直线与平面所成的角为，与的角为，则有nAPPlQnlPAPlQP||||||||||||nAPnAPnPQAPnnn===abACBDababcos,||

||ACBDACBDACBD=cos|cos,|ACBDACBDACBD==0,2sincos,ABn=lauau六、面面角范围：，公式：七、二面角范围：，公式：模块

一平行证明（拆分练习）母题：如图，P是四边形ABCD所在平面外的一点，AB∥CD，CD＝2AB，E是PC的中点．方法一：作相交平面找线（1）证明BE//平面PAD0,2coscos,nm=(0,coscos,nm=（2）若F是DC的中点，证明PA//平面BEF方法二：BE/

/平面PAD（正向平移法：构造平行四边形）（3）方法三：BE//平面PAD（反向平移法：构造面面平行）【题型1】由中位线得出平行关系1．如图，PO是三棱锥−PABC的高，PAPB=，ABAC⊥，E是PB的中

点．ECABDPECFABDPECABDPECABDP证明：//OE平面PAC；【题型2】构造平行四边形得到平行关系2．如图，四棱台1111ABCDABCD−的下底面和上底面分别是边4和2的正方形，侧棱1CC上点E满足1113CECC=，证明：直线1//AB平面1

ADE【题型3】由面面平行得出线面平行3．如图，四边形ABCD为矩形，P是四棱锥P－ABCD的顶点，E为BC的中点，请问在PA上是否存在点G，使得EG∥平面PCD，并说明理出4．如图，AD//BC且AD＝2BC，AD⊥CD，EG//AD且EGAD=，//CDFG

且2CDFG=，DG⊥平面ABCD，DADCDG==，若M为CF的中点，N为EG的中点，求证：MN//平面CDE．【题型4】构造2个平面的交线5．如图，三棱柱111ABCABC−中，E，P分别是11BC和CC1的中点，点F在棱11A

B上，且112BFAF=，证明：1//AP平面EFC．EPDABCNMFEBADCG6．如图，四棱锥P－ABCD的底面为正方形，且PD⊥面ABCD．设平面PAD与平面PBC的交线为l．证明：l∥CB模块二

垂直证明（拆分练习）【题型5】证明线面垂直7．如图，在四棱锥中，已知、，，，平面，求证：平面.ABCA1B1C1EFPCDABPPABCD−//ABCDADCD⊥1ABAD==2DCDP==PD⊥ABCDBC⊥PBD8．如图

，在四棱锥中，，，，，点为的中点，且平面．求证：平面【题型6】证明异面直线垂直9．已知直三棱柱中，侧面为正方形，，，分别为和的中点，为棱上的点，．证明：；10．如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，，，，，，分别为，的中点，

，．证明：；PABCD−PAPD=//ABCDCDAD⊥2CDAB=EPCBE⊥PCDCD⊥PAD111ABCABC−11AABB2ABBC==EFAC1CCD11AB11BFAB⊥BFDE⊥PABC

D−ABCD120ABC=1AB=4BC=15PA=MNBCPCPDDC⊥PMMD⊥ABPM⊥11．如图，已知三棱柱111ABCABC-，平面11AACC⊥平面ABC,90ABC=，1130,,,B

ACAAACACEF===分别是11,ACAB的中点.证明：【题型7】证明面面垂直12．在四棱锥QABCD−中，底面ABCD是正方形，若2AD=，5QDQA==，3QC=，求证：平面QAD⊥平面ABCD13．图1是由矩形

ADEB，RtABC和菱形BFGC组成的一个平面图形，其中1AB=，2BEBF==，60FBC=．将其沿AB，BC折起使得BE与BF重合，连结DG，如图2．证明：图2中的EFBC⊥A，C，G，D四点共面，且平面ABC⊥平面BCGE【题型8】平行垂直的向量

证明方法14．如图，在四棱锥PABCD−中，PD⊥底面ABCD，底面ABCD是边长为2的正方形，PDDC=，F，G分别是PB，AD的中点．求证：GF⊥平面PCB；15．如图，在三棱柱11ABCABC−中，1CC⊥平面ABC，ACBC⊥，14BCACCC=

==，D为1AB的中点，1CB交1BC于点E．证明：11CBCD⊥.16．如图，在四棱锥PABCD−中，底面ABCD为正方形，PA⊥平面ABCD，E为PD的中点，2PAAB==.求证：PB//平面AEC；模块三点与面【题型9】证明四点共面17．如图，在长方体111

1ABCDABCD−中，点,EF分别在棱11,DDBB上，2DE＝ED1，BF＝2FB1，证明：点1C在平面AEF内．18．如图，多面体ABCGDEF中，AB，AC，AD两两垂直，平面ABC//平面,DEFG平面BEF//平面AD

GC，AB＝AD＝DG＝2，1.ACEF==判断点B，C，F，G是否共面，并说明理由．CGDBEFA19．如图，四棱锥PABCD−的底面为正方形，PA⊥平面,2,3,2ABCDABPAPMMB===，1,4PNNDPHPA==.(1)证明：,,,CMHN四点共面；(2)求点P到平面MNC的距离

.【题型10】求点到平面的距离20．如图，直三棱柱111ABCABC-的体积为4，1ABC的面积为22，求A到平面的距离21．如图，在底面为梯形的四棱锥EABCD−中，//,BCADBE⊥底面,1ABC

DABBC==，3,2BEADAC===.1ABC(1)证明：AD⊥平面ABE.(2)延长AB至点F，使得ABBF=，求点F到平面CDE的距离.22．如图，在正方体1111ABCDABCD−中，2AB=．(1)求证：11BCAC^；(2)求点1D到平面1BCD的距离．23．如图，

在直三棱柱111ABCABC-中，190,2ACBACBCCC====．(1)求证：11ABBC⊥；(2)求点1C到直线1AB的距离．模块四空间中的角【题型11】异面直线夹角24．如图，三棱锥−PABC中的三条棱,,APABAC两两互相垂直，π6PBA=，点D满足

4PBPD=．若APAC=，求异面直线CD与AB所成角的余弦值．25．如图，在四棱锥PABCD−中，PA⊥平面ABCD，ABAD⊥，//ADBC，1APABAD===，且直线PB与CD所成角的大小为3.(1)求B

C的长；(2)求点C到平面PBD的距离.【题型12】求线面角26．在四棱锥中，底面．(1)证明：；(2)求PD与平面所成的角的正弦值．27．如图，在四棱锥PABCD−中，底面ABCD是平行四边形，120ABC=，1AB=，2BC=，PDCD⊥．(1)证明：ABPB⊥(2)若平面P

AB⊥平面PCD，且102PA=，求直线AC与平面PBC所成角的正弦值．PABCD−PD⊥,,1,2,3ABCDCDABADDCCBABDP=====∥BDPA⊥PAB【题型13】求二面角（重点）28．如图，四棱锥PABCD−的底面是矩

形，PD⊥底面ABCD，1PDDC==，M为BC的中点，且PBAM⊥．（1）求BC；（2）求二面角APMB−−的正弦值．29．如图，三棱锥ABCD−中，DADBDC==，BDCD⊥，60ADBADC==，E为BC的中点．(1)证明：BC

DA⊥；(2)点F满足EFDA=，求二面角DABF−−的正弦值．30．如图，在三棱台ABCDEF−中，4,2,1,5,ACBCEFDEADBECF======.(1)求证：平面ABED⊥平面ABC；(2)若四面体BCDF的体积为2，求二面角

EBDF−−的余弦值.【题型14】求面面角（重要）31．如图，在四棱锥POABC−中，已知1OAOP==，2CP=，4AB=，π3CPO=，π6ABC=，π2AOC=，E为PB中点，F为AB中点.

(1)证明：平面//CEF平面PAO；(2)若3PA=，求平面POC与平面PAB所成夹角的余弦值.【题型15】已知线面角或二面角，求其它量（重要）32．如图，在多面体ABCDE中，平面ACD⊥平面ABC，BE⊥平面ABC，ABC和ACD均为正三角形，2

3ACBE==，，点M为线段CD上一点．(1)求证：DEAM⊥；(2)若EM与平面ACD所成角为π3，求平面AMB与平面ACD所成锐二面角的余弦值．33．如图（1）所示，在ABC中，60ABC=，过点A作ADBC⊥，垂足D在线段

BC上，且23AD=，5CD=，沿AD将CDA折起（如图（2）），点E、F分别为棱AC、AB的中点.（1）证明：ADEF⊥；（2）若二面角CDAB−−所成角的正切值为2，求二面角CDFE−−所成角的余弦值.34．如图，在正四棱柱1111ABCDABCD−中，12,4A

BAA==．点2222,,,ABCD分别在棱111,,AABBCC,1DD上，22221,2,3AABBDDCC====．(1)证明：2222BCAD∥；(2)点P在棱1BB上，当二面角222PACD−−为150

时，求2BP．35．如图，在四棱锥PABCD−中，底面ABCD是边长为2的菱形，60ABC=，PAB为正三角形，平面PAB⊥平面ABCD，E为线段AB的中点，M是线段PD（不含端点）上的一个动点．(1)记平面BCM交PA于点N，求证：//MN平面PBC；图2图1EFC

BAABCDD(2)是否存在点M，使得二面角PBCM−−的正弦值为1010，若存在，确定点M的位置；若不存在，请说明理由．36．如图多面体ABCDEF中，四边形ABCD是菱形，60ABC=，EA⊥平面ABCD，

//EABF，22ABAEBF===(1)证明：平面EAC⊥平面EFC；(2)在棱EC上有一点M，使得平面MBD与平面ABCD的夹角为45，求点M到平面BCF的距离.37．如图，在三棱锥PABC−中，22ABBC==，

4PAPBPCAC====，O为AC的中点．（1）证明：PO⊥平面ABC；（2）若点M在棱BC上，且二面角MPAC−−为30°，求PC与平面PAM所成角的正弦值．38．如图，在四棱锥PABCD−中，PA⊥平面ABCD，,,60ACADABBCBCA⊥⊥=，2APADAC===，E为CD的中

点，M在AB上，且2AMMB=，(1)求证：//EM平面PAD；(2)求平面PAD与平面PBC所成锐二面角的余弦值；(3)点F是线段PD上异于两端点的任意一点，若满足异面直线EF与AC所成角为45，求AF的长．【题型16】与角有关的最值与范围问题（难点）39．如图AB是圆O的直径，PA垂直

于圆O所在的平面，C为圆周上不同于A，B的任意一点．(1)求证：平面PAC⊥平面PBC；(2)设PA=AB=2AC=4，D为PB的中点，M为AP上的动点（不与A重合）求二面角A—BM—C的正切值的最小值．40．在四棱锥Q

－ABCD中，底面ABCD是正方形，若AD=2，5QDQA==，QC=3.(1)证明：平面QAD⊥平面ABCD；(2)若点P为四棱锥Q－ABCD的侧面QCD内（包含边界）的一点，且四棱锥P－ABCD的体积为43，求BP与平面ABCD所成角的正弦值的最小值.41．如图，四棱锥P

ABCD−中，//ABCD，ABAD⊥，平面PAD⊥平面PCD.(1)证明：平面PAD⊥平面ABCD；(2)若22ADAB==，2PB=，5PD=，BC与平面PCD所成的角为，求sin的最大值.模块五探究类问题【题型17】验证满足平行条件的

点是否存在42．如图，在正方体中，点为线段上的动点，，分别为棱，的中点，若平面，求11DPDB．43．如图1所示，在矩形中，，，点为线段上一点，，现将沿折起，将点折到点位置，使得点在平面上的射影在线段上，得到

如图2所示的四棱锥．在图2中，线段上是否存在点，使得平面？若存在，求的值，若不存在，请说明理由.44．如图，在四棱柱1111ABCDABCD−中，四边形ABCD是一个边长为2的菱形，60DAB=，侧棱1DD⊥平面ABCD，13DD=．

1111ABCDABCD−P1DBMNBCAB//DP1BMNMD1C1CDNABA1B1ABCD4AB=62BC=EAB1AE=BCECEBBBAECDADBAECD−BCF//EFBADBFBC(1)求平面1CDB

与平面1DDC的夹角的余弦值．(2)设E是1DB的中点，在线段1DC上是否存在一点P，使得//AE平面PDB？若存在，请求出的11DPDC值；若不存在，请说明理由．【题型18】验证满足垂直条件的点是否存在45．如图，在棱

长为1的正方体1111ABCDABCD−中，E是CD的中点，在对角线1AC上是否存在点P，使得DP⊥平面1ADE？若存在，求出CP的长；若不存在，请说明理由．46．如图，四棱锥PABCD−中，底面ABCD

是平行四边形，PG⊥平面ABCD，垂足为G，G在线段AD上，13AGGD=，BGGC⊥，2BGGC==，E是BC的中点，四面体PBCG−的体积为83．（1）求异面直线GE与PC所成角的余弦值；（2）棱PC

上是否存在一点F，使DFGC⊥，若存在，求PFFC的值，若不存在，请说明理由．47．三棱柱111ABCABC−被平面11ABC截去一部分后得到如图所示几何体，1BB⊥平面ABC，90ABC=，1BCBB=，E为

棱1BC上的动点（不包含端点），平面ABE交1AC于点F，试问是否存在点E，使得平面ABE⊥平面11ABC？并说明理由．48．斜三棱柱111ABCABC-的各棱长都为2，160AAB=，点1A在下底面ABC的投影为AB的中点O．在棱1BB（含端点）上是否存在一

点D使11ADAC⊥？若存在，求出BD的长；若不存在，请说明理由；49．斜三棱柱111ABCABC-的各棱长都为14,60AAB=，点1A在下底面ABC的投影为AB的中点O.在棱1BB（含端点）上是否存在一点D使11ADAC⊥？若存在，求出BD的长；若不存在，

请说明理由；50．如图1，在边长为4的菱形ABCD中，60BAD=，DEAB⊥于点E，将ADEV沿DE折起到1ADE△的位置，使1ADDC⊥，如图2.(1)求证：1AE⊥平面BCDE；(2)判断在线

段EB上是否存在一点P，使平面1ADP⊥平面1ABC？若存在，求出EPPB的值；若不存在，说明理由.【题型19】验证满足角度条件的点是否存在51．已知矩形ABCD中，4AB=，2BC=，E是CD的中点，如图所示，沿BE将BCE翻折至BFE△，使得平面BFE⊥平面ABCD.(1)证明：

BFAE⊥；(2)若(01)DPDB=是否存在，使得PF与平面DEF所成的角的正弦值是63？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.52．如图，在四棱锥SABCD−中，四边形ABCD是矩形，SAD是正三角形，且平面SAD⊥平面ABCD，1AB=，P为棱AD

的中点，四棱锥SABCD−的体积为233．(1)若E为棱SB的中点，求证：//PE平面SCD；(2)在棱SA上是否存在点M，使得平面PMB与平面SAD所成锐二面角的余弦值为235？若存在，指出点M的位置并给以证明；若不存在，请说明理由.5

3．如图甲，在矩形ABCD中，222,ABADE==为线段DC的中点，ADEV沿直线AE折起，使得6DC=，如图乙.(1)求证：BE⊥平面ADE；(2)线段AB上是否存在一点H，使得平面ADE与平面DHC所成的角为π4？若不存在，说明理由；若存在，求出H点

的位置.【题型20】已知点到平面距离，求参数54．如图：在直三棱柱111ABCABC-中，2ACBC==，122AA=，90ACB=，M是1AA的中点，N是1BC的中点．(1)求证：MN∥平面111ABC；

(2)求：二面角11BCMA−−的余弦值；(3)在线段1BC上是否存在点P，使得点P到平面MBC的距离为33，若存在求此时1BPBC的值，若不存在请说明理由．