【文档说明】2023届高考数学易错题专项突破——易错点24 空间中的位置关系含解析【高考】.docx，共(16)页，304.560 KB，由小赞的店铺上传

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以下为本文档部分文字说明：

1易错点24空间中的位置关系一、单选题1.如图，在四面体ABCD中，已知𝐴𝐵⊥𝐴𝐶.𝐵𝐷⊥𝐴𝐶，那么D在平面ABC内的射影H必在A.直线AB上B.直线BC上C.直线AC上D.△𝐴𝐵𝐶内部2.如图，在正四棱柱𝐴𝐵

𝐶𝐷−𝐴1𝐵1𝐶1𝐷1中，E、F分别是𝐴𝐵1、𝐵𝐶1的中点，则以下结论中不成立的是A.EF与𝐵𝐵1垂直B.EF与BD垂直C.EF与CD异面D.EF与𝐴1𝐶1异面3.已知三个不同的平面𝛼,𝛽,𝛾和直线𝑚,𝑛，若𝛼∩𝛾=𝑚，𝛽∩𝛾=𝑛，

则“𝛼//𝛽”是“𝑚//𝑛”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件4.已知两个不同的平面𝛼,𝛽和两条不重合的直线𝑚,𝑛，下列四个命题①若𝑚//𝑛，𝑚⊥𝛼，则𝑛⊥𝛼；

②若𝑚⊥𝛼,𝑚⊥𝛽，则𝛼//𝛽；③若𝑚⊥𝛼，𝑚//𝑛，𝑛⊂𝛽，则𝛼⊥𝛽；④若𝑚//𝛼，𝛼∩𝛽=𝑛，则𝑚//𝑛其中真命题的个数是A.1B.2C.3D.45.下列四个命题：2①任意两条直线都可以确定一个平面

；②若两个平面有3个不同的公共点，则这两个平面重合；③直线a，b，c，若a与b共面，b与c共面，则a与c共面；④若直线l上有一点在平面𝛼外，则l在平面𝛼外.其中错误命题的个数是A.1B.2C.3D.46.在正方体𝐴𝐵𝐶𝐷−𝐴

1𝐵1𝐶1𝐷1中，E为棱CD的中点，则A.√2B.C.D.7.若a、b表示直线，𝛼表示平面，下列命题中正确的有①𝑎⊥𝛼，𝑏//𝛼⇒𝑎⊥𝑏；②𝑎⊥𝛼，𝑎⊥𝑏⇒𝑏//𝛼；③𝑎//𝛼，𝑎⊥𝑏⇒𝑏⊥𝛼．A.①②B.③C.②D.①8.如图(1)所

示，在正方形𝑆𝐺1𝐺2𝐺3中，E，F分别是𝐺1𝐺2及𝐺2𝐺3的中点，D是EF的中点，现在沿SE，SF及EF把这个正方形折成一个四面体，使𝐺1，𝐺2，𝐺3三点重合，重合后的点记为G，如图(2)所示，那么，在四面体𝑆−𝐸𝐹𝐺

中必有A.𝑆𝐺⊥△𝐸𝐹𝐺所在平面B.𝑆𝐷⊥△𝐸𝐹𝐺所在平面C.𝐺𝐹⊥△𝑆𝐸𝐹所在平面D.𝐺𝐷⊥△𝑆𝐸𝐹所在平面二、填空题9.已知直线a，b和平面𝛼，若𝑎//𝑏，且直线b在平面

𝛼内，则a与𝛼的位置关系是．10.如图，已知四棱锥𝑃−𝐴𝐵𝐶𝐷的底面为正方形，𝑃𝐴⊥平面ABCD，则四棱锥的五个面中，与平面PAD垂直的平面有_________________．11.正

方体𝐴𝐵𝐶𝐷−𝐴1𝐵1𝐶1𝐷1的棱长为a，点P是棱AD上一点，且𝐴𝑃=𝑎3，过𝐵1，𝐷1，P的平面交底面ABCD于PQ，点Q在直线CD上，则PQ的长为_________12.设m是一条直线，𝛼,𝛽是两个不同的平面，且𝑚⊂𝛼，给出下列两个论断：①𝑚

//𝛽；3②𝛼//𝛽，以其中一个论断作为条件，另一个论断作为结论，写出一个真命题：______________(用“⇒”符号作答)。三、解答题13.矩形ABCD中，𝐴𝐵=2𝐴𝐷=2，P为线段DC的中点，将△𝐴𝐷𝑃沿AP折起，使得平面𝐴𝐷𝑃⊥平面ABCP．(Ⅰ)求证：�

�𝐷⊥𝐵𝑃；(Ⅱ)求点P到平面ADB的距离．14.如下图所示，在矩形ABCD中，已知𝐴𝐵=12𝐴𝐷，E是AD的中点，沿BE将△𝐴𝐵𝐸折起至△𝐴′𝐵𝐸的位置，使𝐴′𝐶=𝐴′𝐷。求证：平面𝐴′𝐵𝐸⊥平面BCDE．415.设四边形ABCD

为矩形，点P为平面ABCD外一点，且𝑃𝐴⊥平面ABCD，若𝑃𝐴=𝐴𝐵=1，𝐵𝐶=2．(1)求PC与平面PAD所成角的正切值；(2)在BC边上是否存在一点G，使得点D到平面PAG的距离为√2

，若存在，求出BG的值，若不存在，请说明理由；(3)若点E是PD的中点，在△𝑃𝐴𝐵内确定一点H，使𝐶𝐻+𝐸𝐻的值最小，并求此时HB的值．16.如图，在四棱锥𝐸−𝐴𝐵𝐶𝐷中，底面ABCD为直角梯形，𝐴𝐵//𝐶𝐷，𝐵𝐶⊥𝐶𝐷，𝐴�

�=2𝐵𝐶=2𝐶𝐷.△𝐸𝐴𝐵是以AB为斜边的等腰直角三角形，且平面𝐸𝐴𝐵⊥平面𝐴𝐵𝐶𝐷.点F满足：𝐸𝐹⃗⃗⃗⃗⃗=𝜆𝐸𝐴⃗⃗⃗⃗⃗(𝜆∈[0,1])．5(1)试探究𝜆为何值时，�

�𝐸//平面BDF，并给予证明；(2)在(1)的条件下，求直线AB与平面BDF所成角的正弦值一、单选题1如图，在四面体ABCD中，已知𝐴𝐵⊥𝐴𝐶.𝐵𝐷⊥𝐴𝐶，那么D在平面ABC内的射影H必在A.直线AB上B.直线B

C上C.直线AC上D.△𝐴𝐵𝐶内部【答案】A【解析】解：在四面体ABCD中，已知𝐴𝐵⊥𝐴𝐶，𝐵𝐷⊥𝐴𝐶，𝐴𝐵∩𝐵𝐷=𝐵，AB，𝐵𝐷⊂𝐴𝐵𝐷，∴𝐴𝐶⊥平面ABD，∵𝐴𝐶⊂平面ABC，∴平面𝐴𝐵𝐶⊥

平面ABD，平面𝐴𝐵𝐶∩平面𝐴𝐵𝐷=𝐴𝐵，所以点D在平面ABC内的射影H必在直线AB上．故选：A．2如图，在正四棱柱𝐴𝐵𝐶𝐷−𝐴1𝐵1𝐶1𝐷1中，E、F分别是𝐴𝐵1、𝐵𝐶1

的中点，则以下结论中不成立的是A.EF与𝐵𝐵1垂直B.EF与BD垂直C.EF与CD异面D.EF与𝐴1𝐶1异面【答案】D【解析】解：连𝐵1𝐶，则𝐵1𝐶交𝐵𝐶1于F且F为𝐵𝐶1中点，三角形𝐵1𝐴𝐶中𝐸𝐹//𝐴𝐶，并且𝐸𝐹=12𝐴𝐶，所以𝐸𝐹//

平面ABCD，而𝐵1𝐵⊥面ABCD，6所以EF与𝐵𝐵1垂直；故A正确；又𝐴𝐶⊥𝐵𝐷，所以EF与BD垂直，EF与CD异面；故B、C正确；观察正方体，连𝐵1𝐶，则𝐵1𝐶交𝐵𝐶1于F且F为𝐵𝐶1中点，可得𝐸𝐹//𝐴𝐶，所以𝐸𝐹//𝐴

1𝐶1；故选D．3已知三个不同的平面𝛼,𝛽,𝛾和直线𝑚,𝑛，若𝛼∩𝛾=𝑚，𝛽∩𝛾=𝑛，则“𝛼//𝛽”是“𝑚//𝑛”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分

也不必要条件【答案】A【解析】解：根据面面平行的性质定理，可知当“”时，有“𝑚//𝑛”，故充分性成立；反之，当𝑚//𝑛时，可能相交(如图)，故必要性不成立．所以“”是“𝑚//𝑛”的充分不必要条件．故选A．4已知两个不同的平面𝛼,𝛽和两条不重合的直线𝑚

,𝑛，下列四个命题①若𝑚//𝑛，𝑚⊥𝛼，则𝑛⊥𝛼；②若𝑚⊥𝛼,𝑚⊥𝛽，则𝛼//𝛽；③若𝑚⊥𝛼，𝑚//𝑛，𝑛⊂𝛽，则𝛼⊥𝛽；④若𝑚//𝛼，𝛼∩𝛽=𝑛，则𝑚//𝑛其中真命题的个数是A.1B.2C.3D.4【答案】C

【解析】解：①因为两平行线中的一条垂直平面𝛼，则另一条也垂直这个平面，是直线与平面垂直的判定定理之一，故①真命题；7②垂直同一直线的两平面平行，是两个平面平行的判定之一，故②真命题；③根据直线与平面垂直可推出平面与平面

垂直．故③真命题；④𝑚、n可以是异面直线．故④是假命题．故选C．5下列四个命题：①任意两条直线都可以确定一个平面；②若两个平面有3个不同的公共点，则这两个平面重合；③直线a，b，c，若a与b共面，b与c共面，则a与c共面；④若直线l上有一点在平面𝛼外，则l在平面𝛼外.其中错误命题的个数是

A.1B.2C.3D.4【答案】C【解析】解：在①中，两条异面直线不能确定一个平面，故①错误；在②中，若两个平面有3个不共线的公共点，则这两个平面重合，若两个平面有3个共线的公共点，则这两个平面相交，故②错误；在③中，直线a，b，c，若a

与b共面，b与c共面，则a与c不一定共面，如四面体𝑆−𝐴𝐵𝐶中，SA与AB共面，AB与BC共面，但SA与BC异面，故③错误；在④中，若𝑙⊂𝛼，则l上所有点都在𝛼内；反之，若l上有一个点不在𝛼内，则l必在𝛼外，④正确．故

错误命题为①②③，共3个．8故选：C．6在正方体𝐴𝐵𝐶𝐷−𝐴1𝐵1𝐶1𝐷1中，E为棱CD的中点，则A.√2B.C.D.【答案】C【解析】解：连𝐵1𝐶，由题意得𝐵𝐶1⊥𝐵1𝐶，∵𝐴1𝐵

1⊥平面𝐵1𝐵𝐶𝐶1，且𝐵𝐶1⊂平面𝐵1𝐵𝐶𝐶1，∴𝐴1𝐵1⊥𝐵𝐶1，𝐵𝐶1⊄平面𝐴1𝐸𝐶𝐵1,𝐴1𝐵1⊂平面𝐴1𝐸𝐶𝐵1，𝐵1𝐶⊂平面𝐴1𝐸𝐶𝐵1，∵𝐴1𝐵1∩

𝐵1𝐶=𝐵1，∴𝐵𝐶1⊥平面𝐴1𝐸𝐶𝐵1，∵𝐴1𝐸⊂平面𝐴1𝐸𝐶𝐵1，∴𝐴1𝐸⊥𝐵𝐶1．故选C．7若a、b表示直线，𝛼表示平面，下列命题中正确的有①𝑎⊥𝛼，𝑏//𝛼⇒𝑎⊥�

�；②𝑎⊥𝛼，𝑎⊥𝑏⇒𝑏//𝛼；③𝑎//𝛼，𝑎⊥𝑏⇒𝑏⊥𝛼．A.①②B.③C.②D.①【答案】D【解析】解：①𝑎⊥𝛼，𝑏//𝛼⇒𝑎⊥𝑏，故正确；②𝑎⊥𝛼，𝑎⊥𝑏⇒𝑏//𝛼或𝑏⊂�

�，故错误；③𝑎//𝛼，𝑎⊥𝑏⇒𝑏与𝛼可能斜交或𝑏⊂𝛼或𝑏//𝛼，故错误．即命题中正确的有①．故选D．8如图(1)所示，在正方形𝑆𝐺1𝐺2𝐺3中，E，F分别是𝐺1𝐺2及𝐺2𝐺3的中点，D是EF的中点，现在沿SE，

SF及EF把这个正方形折成一个四面体，使𝐺1，𝐺2，𝐺3三点重合，重合后的点记9为G，如图(2)所示，那么，在四面体𝑆−𝐸𝐹𝐺中必有A.𝑆𝐺⊥△𝐸𝐹𝐺所在平面B.𝑆𝐷⊥△𝐸𝐹𝐺所在平面C.𝐺𝐹⊥△

𝑆𝐸𝐹所在平面D.𝐺𝐷⊥△𝑆𝐸𝐹所在平面【答案】A【解析】解：∵在折叠过程中，始终有𝑆𝐺1⊥𝐺1𝐸，𝑆𝐺3⊥𝐺3𝐹，即𝑆𝐺⊥𝐺𝐸，𝑆𝐺⊥𝐺𝐹，𝐺𝐸∩𝐺𝐹

=𝐺，GE，𝐺𝐹⊂平面EFG，∴𝑆𝐺⊥平面EFG，故A正确B错误；因为𝐺𝐹⊥𝐺𝐸，𝐺𝐹⊥𝑆𝐺，𝐺𝐸∩𝑆𝐺=𝐺，GE，𝑆𝐺⊂平面SGE，所以𝐺𝐹⊥平面SGE，故C错误．若

𝐺𝐷⊥面SEF，则𝑆𝐷⊥𝐺𝐷，由(1)知𝑆𝐺⊥𝐺𝐷，在𝛥𝑆𝐺𝐷中，这是不可能的，D错．故选A．二、填空题9已知直线a，b和平面𝛼，若𝑎//𝑏，且直线b在平面𝛼内，则a与𝛼的位置关系是．【答案】𝑎//平面𝛼或𝑎⊂平面𝛼【解

析】解：因为𝑎//𝑏，所以a，b共面，若此平面就是平面𝛼，满足题意，所以直线𝑎⊂平面𝛼；若a，b构成的平面不是平面𝛼，则根据线面平行的判定定理，可知直线𝑎//平面𝛼．综上可知直线a与平面𝛼的位置关系为𝑎//平面𝛼或�

�⊂平面𝛼，故答案为𝑎//平面𝛼或𝑎⊂平面𝛼．10如图，已知四棱锥𝑃−𝐴𝐵𝐶𝐷的底面为正方形，𝑃𝐴⊥平面ABCD，则四棱锥的五个面中，与平面PAD垂直的平面有_________________．【答案】平面PAB、平面

PCD、平面ABCD10【解析】解：因为𝑃𝐴⊥平面ABCD，𝐴𝐵⊂平面ABCD，所以𝑃𝐴⊥𝐴𝐵.因为底面ABCD为正方形，所以𝐴𝐵⊥𝐴𝐷.因为PA，𝐴𝐷⊂平面PAD，𝑃𝐴∩𝐴𝐷=𝐴，所以𝐴𝐵⊥平面𝑃𝐴�

�.又因为𝐴𝐵//𝐶𝐷，所以𝐶𝐷⊥平面PAD．因为𝐴𝐵⊥平面PAD，𝐴𝐵⊂平面PAB，所以𝐴𝐵⊥平面PAD故答案为：平面PAB、平面PCD、平面ABCD11正方体𝐴𝐵𝐶𝐷−𝐴1𝐵1𝐶1𝐷1的棱长为a，点P是棱AD上一点，且𝐴𝑃=𝑎3，过𝐵1，𝐷1

，P的平面交底面ABCD于PQ，点Q在直线CD上，则PQ的长为_________【答案】2√23𝑎【解析】解：因为平面𝐴1𝐵1𝐶1𝐷1//平面ABCD，而平面𝐵1𝐷1𝑃∩平面𝐴𝐵𝐶𝐷=𝑃𝑄，平面𝐵1

𝐷1𝑃∩平面𝐴1𝐵1𝐶1𝐷1=𝐵1𝐷1，所以𝐵1𝐷1//𝑃𝑄．又因为𝐵1𝐷1//𝐵𝐷，所以𝐵𝐷//𝑃𝑄，设𝑃𝑄∩𝐴𝐵=𝑀，因为𝐴𝐵//𝐶𝐷，所以△𝐴𝑃𝑀∽△𝐷𝑃𝑄.所以𝑃𝑄𝑃𝑀=𝑃𝐷𝐴𝑃=2，即

𝑃𝑄=2𝑃𝑀．又知△𝐴𝑃𝑀∽△𝐴𝐷𝐵，所以𝑃𝑀𝐵𝐷=𝐴𝑃𝐴𝐷=13，所以𝑃𝑀=13𝐵𝐷，又𝐵𝐷=√2𝑎，所以𝑃𝑄=2√23𝑎．故答案为2√23𝑎1112设m是一

条直线，𝛼,𝛽是两个不同的平面，且𝑚⊂𝛼，给出下列两个论断：①𝑚//𝛽；②𝛼//𝛽，以其中一个论断作为条件，另一个论断作为结论，写出一个真命题：______________(用“⇒”符号作答)。【答案】【解析】解：∵

𝛼,𝛽是两个不同的平面，，且𝑚⊂𝛼，．故答案为．三、解答题13矩形ABCD中，𝐴𝐵=2𝐴𝐷=2，P为线段DC的中点，将△𝐴𝐷𝑃沿AP折起，使得平面𝐴𝐷𝑃⊥平面ABCP．(Ⅰ)求证：𝐴𝐷⊥𝐵𝑃；(Ⅱ)求点P到平面ADB的距离．【答案】解：(Ⅰ)∵𝐴𝑃=√

2，𝐴𝐵=2，𝐵𝑃=√2，∴𝐴𝑃2+𝐵𝑃2=𝐴𝐵2，∴𝐵𝑃⊥𝐴𝑃，∵平面𝐴𝐷𝑃⊥平面ABCP，平面𝐴𝐷𝑃∩平面𝐴𝐵𝐶𝑃=𝐴𝑃，𝐵𝑃⊂平面ABCP，∴𝐵

𝑃⊥平面ADP，∵𝐴𝐷⊂平面ADP，∴𝐵𝑃⊥𝐴𝐷.(Ⅱ)由(Ⅰ)知，𝐵𝑃⊥𝐴𝐷，∵𝐷𝑃⊥𝐴𝐷，𝐷𝑃∩𝐵𝑃=𝑃，12∴𝐴𝐷⊥平面DBP，∴平面𝐴𝐷𝐵⊥平面DBP，∵平面𝐴𝐷𝐵∩平面𝐷𝐵𝑃=𝐵

𝐷，在平面DBP内作𝑃𝐸⊥𝐵𝐷于E，则𝑃𝐸⊥平面ADB，在𝑅𝑡𝛥𝐵𝑃𝐷中，𝑃𝐸=𝐷𝑃·𝐵𝑃𝐷𝐵=1×√2√1+2=√63，∴点P到平面ADB的距离为√63．14如下图所示，在矩形ABCD中，已知�

�𝐵=12𝐴𝐷，E是AD的中点，沿BE将△𝐴𝐵𝐸折起至△𝐴′𝐵𝐸的位置，使𝐴′𝐶=𝐴′𝐷。求证：平面𝐴′𝐵𝐸⊥平面BCDE．【答案】解：证明：如图所示，取CD的中点M，BE的中点

N，连接𝐴′𝑀，𝐴′𝑁，MN，则𝑀𝑁//𝐵𝐶．∵𝐴𝐵=12𝐴𝐷，E是AD的中点，∴𝐴𝐵=𝐴𝐸，即𝐴′𝐵=𝐴′𝐸．∴𝐴′𝑁⊥𝐵𝐸.∵𝐴′𝐶=𝐴′𝐷，∴𝐴′𝑀⊥𝐶𝐷．在四边形BCDE

中，𝐶𝐷⊥𝑀𝑁，又𝑀𝑁∩𝐴′𝑀=𝑀，∴𝐶𝐷⊥平面𝐴′𝑀𝑁.∴𝐶𝐷⊥𝐴′𝑁．∵𝐷𝐸//𝐵𝐶且𝐷𝐸=12𝐵𝐶，∴𝐵𝐸必与CD相交．又𝐴′𝑁⊥𝐵𝐸，𝐴′𝑁⊥𝐶

𝐷，∴𝐴′𝑁⊥平面BCDE．又𝐴′𝑁⊂平面𝐴′𝐵𝐸，∴平面𝐴′𝐵𝐸⊥平面BCDE．1315设四边形ABCD为矩形，点P为平面ABCD外一点，且𝑃𝐴⊥平面ABCD，若𝑃𝐴=𝐴𝐵=1，𝐵𝐶=2

．(1)求PC与平面PAD所成角的正切值；(2)在BC边上是否存在一点G，使得点D到平面PAG的距离为√2，若存在，求出BG的值，若不存在，请说明理由；(3)若点E是PD的中点，在△𝑃𝐴𝐵内确定一点H，使𝐶𝐻+𝐸𝐻的值最小，并求此时HB的值．【答案】解：(1)因为平面

，𝐶𝐷⊂平面，所以，又因为底面是矩形，所以，又𝑃𝐴∩𝐴𝐷=𝐴，𝑃𝐴,𝐴𝐷⊂平面APD，所以平面，所以与平面所成角为，又由题意可得：，，所以tan∠𝐶𝑃𝐷=√55．所以与平面所成

角的正切值为√55．(2)假设边上存在一点G满足题设条件，作，又𝑃𝐴⊥平面ABCD，所以𝑃𝐴⊥𝐷𝑄，14因为𝐴𝐺∩𝑃𝐴=𝐴，所以平面，所以．因为𝑆△𝐴𝐺𝐷=12×2×1=12×𝐴𝐺×√2，所以𝐴𝐺=√2，所以𝐵𝐺=1<2，故存在点G，当时，使

点D到平面的距离为．(3)延长CB到，使，因为平面，平面，所以，又因为底面是矩形，所以，因为𝑃𝐴∩𝐴𝐵=𝐴，所以平面，则𝐶′是点C关于面的对称点，连接𝐶′𝐸，交面于H，则点H是使的值最小时，在面上的一点．作于M，则点M是AD的中点，连接交AB于N，连接HN，则，15所

以，又，所以，而，所以．所以．16如图，在四棱锥𝐸−𝐴𝐵𝐶𝐷中，底面ABCD为直角梯形，𝐴𝐵//𝐶𝐷，𝐵𝐶⊥𝐶𝐷，𝐴𝐵=2𝐵𝐶=2𝐶𝐷.△𝐸𝐴𝐵是以AB为斜边的等腰直角三角形，且平面𝐸𝐴𝐵⊥平面𝐴𝐵𝐶𝐷.点F满足：𝐸𝐹⃗

⃗⃗⃗⃗=𝜆𝐸𝐴⃗⃗⃗⃗⃗(𝜆∈[0,1])．(1)试探究𝜆为何值时，𝐶𝐸//平面BDF，并给予证明；(2)在(1)的条件下，求直线AB与平面BDF所成角的正弦值．【答案】解(1)当𝜆=13时，

𝐶𝐸//平面FBD．证明如下：连接AC，交BD于点M，连接MF．因为𝐴𝐵//𝐶𝐷，所以𝐴𝑀:𝑀𝐶=𝐴𝐵:𝐶𝐷=2:1，又𝐸𝐹⃗⃗⃗⃗⃗=13𝐸𝐴⃗⃗⃗⃗⃗，所以𝐹𝐴:𝐸𝐹=2:1，所以𝐴𝑀:𝑀𝐶=𝐴𝐹

:𝐸𝐹=2:1，所以MF//𝐶𝐸，又𝑀𝐹⊂平面BDF，𝐶𝐸⊄平面BDF，所以𝐶𝐸//平面FBD．16(2)取AB的中点O，则𝐸𝑂⊥𝐴𝐵，又因为平面𝐴𝐵𝐸⊥平面ABCD，平面𝐴𝐵𝐸

∩平面𝐴𝐵𝐶𝐷=𝐴𝐵，所以𝐸𝑂⊥平面ABCD，因为𝑂𝐷⊂平面ABCD，所以𝐸𝑂⊥𝑂𝐷，由𝐵𝐶⊥𝐶𝐷，及𝐴𝐵=2𝐶𝐷得𝑂𝐷⊥𝐴𝐵，由𝑂𝐵,𝑂𝐷,𝑂𝐸两两垂直可建立空间直角坐标

系𝑂−𝑥𝑦𝑧，因为△𝐸𝐴𝐵为等腰直角三角形，𝐴𝐵=2𝐵𝐶=2𝐶𝐷，所以𝑂𝐴=𝑂𝐵=𝑂𝐷=𝑂𝐸，设𝑂𝐵=1，所以𝑂(0,0,0)，𝐴(−1,0,0)，𝐵(1,0,0)，𝐶(1,1,0)，𝐷(0,1,0)，𝐸(0,0

,1)，所以𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗=(2,0,0)，𝐵𝐷⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(−1,1,0)，𝐸𝐹⃗⃗⃗⃗⃗=13𝐸𝐴⃗⃗⃗⃗⃗=(−13,0,−13)，𝐹(−13,0,23)，所以𝐹𝐵⃗⃗⃗⃗⃗=(43,0,−23)，设平面BDF的法向量为𝑛⃗⃗=(𝑥,𝑦,�

�)，则有{𝑛⃗⃗·𝐵𝐷⃗⃗⃗⃗⃗⃗=0𝑛⃗⃗·𝐹𝐵⃗⃗⃗⃗⃗=0,所以{−𝑥+𝑦=043𝑥−23𝑧=0,取𝑥=1，得𝑛⃗⃗=(1,1,2)，设直线AB与平面BDF所成的角为𝜃，则sin𝜃=|cos⟨𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗,𝑛⃗⃗⟩|=|𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗·𝑛⃗⃗|

|𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗||𝑛⃗⃗|=|2×1+0×1+0×2|2√12+12+22=√66．即直线AB与平面BDF所成角的正弦值为√66