【文档说明】黑龙江省哈尔滨市第九中学2023-2024学年高一下学期开学考试 数学 含解析.docx，共(22)页，1.186 MB，由envi的店铺上传

转载请保留链接：https://www.doc5u.com/view-ad25085d0fcc91f661c19eced2a3b205.html

以下为本文档部分文字说明：

哈尔滨市第九中学2023—2024学年度下学期2月学业阶段性评价考试高一数学学科考试试卷（考试时间：120分钟满分：150分共2页）第I卷（共60分）一､选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.每小题只有一个选项符合题意）1.已知集合30log2Axx=

，33Bxx=−，则AB=（）A.0,1B.0,9C.1,6D.6,92.命题“()21,2,23xxx+”否定是（）A.()21,2,23xxx+B.()21,2,23xxx+C()21,

2,23xxx+D.()21,2,23xxx+3.已知命题:paR，1a，命题:q指数函数()(42)xfxa=−在(,)−+上是增函数，则p是q的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分又不

必要条件4.若关于x的不等式20xpxq++的解集为(,1)(2,)−−+，则不等式280xqxxp+−+的解集为（）．A.(4,1)(2,)−+B.(2,1)(4,)−+C.(,2)(1,4)−−D.(,4)(1,

2)−−5.某海岛核污水中含有多种放射性物质，其中放射性物质3H含量非常高，它可以进入生物体内，还可以在体内停留，并引起基因突变，但却难以被清除．现已知3H的质量()kgM随时间t（年）的指数衰减规律是

：0.00802tMM−=（其中0M为3H的初始质量）．则当3H的质量衰减为最初的316时，所经过的时间约为（参考数据：lg20.30，lg30.48）A.300年B.255年C.175年D.125年6.下列选项中两数大小关系错误的是（）A.0.30.3log0.7log0.

9B.0.30.4ee的.C.330.70.8D.3ππtantan75−−7.已知实数1x，则121xx−−−的（）A.最小值为1B.最大值为1C.最小值为1−D.最大值为1−8.定义区间()

)(,,,,,,,abababab的长度均为dba=−．用x表示不超过x的最大整数．记xxx=−，其中xR．设()(),1fxxxgxx==−，若用d表示不等式()()fxgx解集区间的长度，则当03x时，有A.1d=B.2d=

C.3d=D.4d=二､多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对得2分，有选错的得0分）9.下列等式恒成立的是（）A.3πcossin2−=B.

()22cossincos2−=−C.()tan3πtan−=−D.()ππsinsinπ2sin24−+−=+10.已知函数3(1),()1,xxafxxxa−=−，则下列结论正确的是（）A.存在实数a，函数(

)fx无最小值B.对任意实数a，函数()fx都有零点C.当1a时，函数()fx在(1,)+上单调递增D.对任意(1,2)a，都存在实数m，使关于x的方程()0fxm−=有3个不同的实根11.已知函数()πsin23fxx=+

的图象的一个对称中心为π,06−，其中(0,1，则（）A.直线π12x=为函数()fx的图象的一条对称轴B.函数()fx单调递增区间为5ππ2π,2π612kk−+，kΖC.当π0,2x

时，函数()fx的值域为3,12−的D.将函数sin2yx=的图象向左平移π6个单位长度后得到函数()fx的图象12.已知函数221,0()log,0xkxxfxxx−+=，下列关于函数[()]1yffx=+的零点个数的说法中，正确的是（）A.当1k，有1个零点

B.当1k时，有3个零点C.当0k时，有9个零点D.当4k=−时，有7个零点第II卷（共90分）三､填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分.）13.求函数252xyx+=−的定义域为________.

14.已知函数()2fxxbxc=−+满足()()11fxfx+=−，且()03f=，则()xfb与()xfc的大小关系为__________.15.计算：tan73tan1933tan73tan13−−＝______.16.已知函数()()22

cos20fxx=−在区间0,π有且仅有3个零点，则的取值范围是__________四､解答题（本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤）17已知函数()sincoscos6ππ3fxxxxa=−+−++，且

π13f=（1）求常数a的值；（2）求使()0fx成立的实数x的取值集合．18.设2()(1)fxaxaxa=+++．（1）若不等式()0fx有实数解，试求实数a的取值范围；（2）当0a时，试解关于x的不等式()1fxa−.19.近来，国内多个城市

纷纷加码布局“夜经济”，以满足不同层次的多元消费，并拉动就业、带动创业，进而提升区域经济发展活力．某夜市的一位工艺品售卖者，通过对每天销售情况的调查发现：该工艺品在过去的一个月内（以30天计），每件的销售价

格()Px（单位：元）与时间x（单位：天）的函数关系近似满足()10kPxx=+（k为常数，且0k），日销售量()Qx（单位：件）与时间x（单位：天）的部分.数据如下表所示：x1015202530()Qx5055605550已知第10天的日销售收入为505元．（1）给出以下四

个函数模型：①()Qxaxb=+；②()Qxaxmb=−+；③()Qxabx=−；④()logbQxax=．请你根据上表中的数据，从中选择你认为最合适的一种函数模型来描述日销售量()Qx与时间x的变化关系，并求出该函数的解析式；（2）设该工艺品的日销售收入为()fx（单位：元），求()fx的

最小值．20.已知函数()1121933xxfxkk−=−+，1,0x−.（1）1k=−时，求()fx的值域；（2）若()fx的最小值为4，求k的值.21.已知函数()fx对任意实数,xy恒有()()()fxyfxfy+=+，且当0x时

，()0fx，又()12f=−．（1）判断()fx的奇偶性；（2）判断()fx在R上的单调性，并证明你的结论；（3）当1,32x时，()()2220fkxfx++恒成立，求实数k的取值范围．22.若函数()fx在定义域内存

在实数x满足()()0fxkfx−+=，kZ，则称函数()fx为定义域的“k阶局部奇函数”.（1）若函数()sin2tanfxxx=−，判断()fx是否为[0,]上的“二阶局部奇函数”？并说明理由；（2）若函数()lg()fxmx=−是[3,3]−上的“一阶局部奇

函数”，求实数m的取值范围；（3）对于任意实数1,2t−，函数2()fxxxt=−+恒为R上的“k阶局部奇函数”，求k的取值集合.的哈尔滨市第九中学2023—2024学年度下学期2月学业阶段性评价考

试高一数学学科考试试卷（考试时间：120分钟满分：150分共2页）第I卷（共60分）一､选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.每小题只有一个选项符合题意）1.已知集合30log2Axx=，

33Bxx=−，则AB=（）A.0,1B.0,9C.1,6D.6,9【答案】C【解析】【分析】首先解对数不等式和绝对值不等式求出集合A、B，再根据交集的定义计算可得.详解】由30log2x

，即333log1loglog9x，所以19x，所以30log219Axxxx==，由33x−，即333x−−，解得06x，所以33|06Bxxxx=−=，所以16ABxx

=.故选：C2.命题“()21,2,23xxx+”的否定是（）A.()21,2,23xxx+B.()21,2,23xxx+C.()21,2,23xxx+D.()21,2,23xx

x+【答案】C【解析】【分析】直接根据全称命题的否定是特称命题得到答案.【详解】命题“()21,2,23xxx+”否定是：()21,2,23xxx+.故选：C3.已知命题:paR，1a，命题:q指数函数()(42)xfxa=−在(,)−+上是增函数，则p是

q的（）【的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件【答案】A【解析】【分析】根据函数是增函数，得到不等式，求出34a，根据推出关系，得到答案.【详解】由421a−得34a，故当34a时

，指数函数()(42)xfxa=−在(,)−+上是增函数，因为341aa，34a1a，所以p是q的充分不必要条件.故选：A4.若关于x的不等式20xpxq++的解集为(,1)(2,)−−+，则不等式280xqxxp+−+的解集为（）．A.(4,1)(2,)−+

B.(2,1)(4,)−+C.(,2)(1,4)−−D.(,4)(1,2)−−【答案】B【解析】【分析】根据关于x的不等式20xxpxq++的解集是|12xx−，利用韦达定理可得1,2=−=

−pq，将不等式等价转化为()()4201xxx−+−，进而求解.【详解】因为关于x的不等式20xpxq++的解集为(,1)(2,)−−+，所以20xpxq++=的两根是1−或2，由韦达定理可得：1,2=−=−pq，所以280xqxxp+−+可

转化为()()4201xxx−+−，解得2<<1x−或>4x.所以原不等式的解集为(2,1)(4,)−+，故选：B.5.某海岛核污水中含有多种放射性物质，其中放射性物质3H含量非常高，它可以进入生物体内，还

可以在体内停留，并引起基因突变，但却难以被清除．现已知3H的质量()kgM随时间t（年）的指数衰减规律是：0.00802tMM−=（其中0M为3H的初始质量）．则当3H的质量衰减为最初的316时，所经过的时间约为（参考数据：lg20.30，lg30

.48）A.300年B.255年C.175年D.125年【答案】A【解析】【分析】根据题意列出方程，进而结合对数的运算法则即可求得答案．【详解】依题意可得0.008003216tMM−=，即23lg

34lg20.4840.30.008log2.416lg20.3t−−−===−，所以300t．故选：A．6.下列选项中两数大小关系错误的是（）A.0.30.3log0.7log0.9B.0.30.4eeC.330.70.

8D.3ππtantan75−−【答案】C【解析】【分析】利用指对幂函数及正切函数的单调性可得答案.【详解】因为0.3logyx=为减函数，0.70.9，所以0.30.3log0.7log0.9，A正确.因为exy=为增函数，0.30.4，所以

0.30.4ee，B正确.因为3yx=为增函数，0.70.8，所以330.70.8，C错误.因为tanyx=在区间π,02−上为增函数，3ππ75−−，所以3ππtantan75−−，D正确.故选：

C.7.已知实数1x，则121xx−−−的（）A.最小值为1B.最大值为1C.最小值为1−D.最大值为1−【答案】D【解析】【分析】由基本不等式得出结果.【详解】因为()()1111211111211211111xxxxxxxx−−=+−−=−−+−−=−=−−−

−−，当且仅当111xx=−−即2x=时取等号；故最大值为1−，故选：D.8.定义区间())(,,,,,,,abababab的长度均为dba=−．用x表示不超过x的最大整数．记xxx=−，其中xR．设()(),1fxxx

gxx==−，若用d表示不等式()()fxgx解集区间的长度，则当03x时，有A.1d=B.2d=C.3d=D.4d=【答案】A【解析】【详解】试题分析：()0(013)[]([]){1(12)2(2)(23)xxfxxxxxxxx==−=−−或故1(013)

()(){0(12)3(23)xxxfxgxxxx−=−=−或令f(x)－g(x)<0，可得2≤x≤3，故d＝3－2＝1．选A考点：新定义问题二､多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选

对得2分，有选错的得0分）9.下列等式恒成立的是（）A.3πcossin2−=B.()22cossincos2−=−C.()tan3πtan−=−D.()ππsinsinπ2sin24−+−=+

【答案】BCD【解析】【分析】由诱导公式可判断AC，由二倍角公式、辅助角公式可分别判断BD.【详解】对于A，3ππcoscossin22−=−−=−，故A错误；对于B，()22cossincos2cos2−=

=−，故B正确；对于C，()()tan3πtantan−=−=−，故C正确；对于D，()ππsinsinπcossin2sin24−+−=+=+，故D正确.故选：BCD.10.已知函数3(1),()1,xxafxxxa−

=−，则下列结论正确的是（）A.存在实数a，函数()fx无最小值B.对任意实数a，函数()fx都有零点C.当1a时，函数()fx在(1,)+上单调递增D.对任意(1,2)a，都存在实数m，使关于x的方程()

0fxm−=有3个不同的实根【答案】ABD【解析】【分析】取特值结合单调性判断A；分段讨论判断B；举特值分析单调性判断C；分析函数性质，结合图象判断D.【详解】函数3(1),()1,xxafxxxa−=−的定义域为R，函数3(1)yx=−图象由函数3y

x=的图象向右平移1个单位而得，函数3yx=在R上是增函数，对于A，当0a=时，函数3()(1)fxx=−在(0,)+上单调递增，当01x时，31(1)0x−−，当0x时，()10fxx=−+，此

时函数()fx无最小值，A正确；对于B，当1a时，由()0fx=，得3(1)0x−=，解得1x=，当1a时，由()0fx=，得|1|0x−=，解得1x=，因此对任意实数a，函数()fx都有零点，B正确；对于C，取32a=，当312x时，()1fxx=-在3[1,]2上单调递增，当

32x时，3()(1)fxx=−在3(,)2+上单调递增，而33113(1)()2822f−==，此时函数()fx在(1,)+上不单调，C错误；对于D，对任意(1,2)a，函数3(1),()1,11,1xxafxxxaxx−

=−−+在(,1)−上单调递减，函数值集合为(0,)+，在[1,]a上单调递增，函数值集合为[0,1]a−，在(,)a+上单调递增，函数值集合为3((1),)a−+，显然恒有3(1)1aa−−

，当3(1)1ama−−时，直线ym=与函数()yfx=的图象有3个交点，因此方程()0fxm−=有3个不同的实根，D正确.故选：ABD思路点睛：涉及给定函数零点个数求参数范围问题，可以通过分离参数，等价转化直线与函数图象交点个数，数形结合推理作答.11.已知函

数()πsin23fxx=+的图象的一个对称中心为π,06−，其中(0,1，则（）A.直线π12x=为函数()fx的图象的一条对称轴B.函数()fx的单调递增区间为5ππ2π,2π612kk−+，kΖC.

当π0,2x时，函数()fx的值域为3,12−D.将函数sin2yx=的图象向左平移π6个单位长度后得到函数()fx的图象【答案】ACD【解析】【分析】先根据题意求出函数()fx的解析式，利用整体代入的方法判断函数的对称轴即可判断A；

利用整体代入的方法求解函数单调递增区间即可判断B；利用整体思想，求出函数()fx的值域即可判断C；根据三角函数的平移伸缩变换求出平移后的解析式即可判断D．为【详解】由函数()πsin23fxx=+的图象的一个对称中心为π,06−，则πππsin0633f

−=−+=，得πππ33k−+=，即13k=−，Ζk，又(0,1，得1=，所以()πsin23fxx=+．对于A，当π12x=时，πππ21232+=，所以直线π12x=为函数()fx的图象的一条对称轴，故A正确；对于B，令πππ22π,2

π322xkk+−+，Ζk，解得5πππ,π1212xkk−+，Ζk，故B错误；对于C，由π0,2x，则ππ4π2,333x+，所以()π3sin2,132fxx=+−，故C正确；对于D，将函数si

n2yx=的图象向左平移π6个单位长度后得到ππsin2sin263yxx=+=+的图象，故D正确．故选：ACD．12.已知函数221,0()log,0xkxxfxxx−+=，下列关于函数[

()]1yffx=+的零点个数的说法中，正确的是（）A.当1k，有1个零点B.当1k时，有3个零点C.当0k时，有9个零点D.当4k=−时，有7个零点【答案】AD【解析】【分析】设()fxt=，即有()1ft=−，再按

1k和4k=−讨论并作出函数()fx图象，数形结合即可判断得解.【详解】由0y=，得[()]1ffx=−，则函数[()]1yffx=+的零点个数即为[()]1ffx=−解的个数，设()fxt=，则()1ft=−，二次函数21yxkx=−+，其图象开口向上，过点(

0,1)，对称轴为2kx=，当1k时，21yxkx=−+在(,0]−上单调递减，且1y，如图，由()1ft=−，得2log1t=−，解得12t=，由()fxt=，得21log2x=，解得2x=，因此函数[()]1yffx=+的零点个数是1，A正确，B错误；当4k=−时，()2241,0l

og,0xxxfxxx++=，作出函数()fx的图象如图，由图象知()1ft=−有3个根，当0t时，2log1t=−，解得12t=；当0t时，2411tt++=−，解得22t=−，当12t=时，1()2fx=，若21log2x

=，则2x=，若21412xx++=，则1422x=−，此时共有3个解；当22t=−+时，()22fx=−+，此时2log22x=−+有1个解，24122xx++=−+，即2(2)12x+=+有2个解，当22t=−−时，()22fx=−−，此时2lo

g22x=−−有1个解，24122xx++=−−即2(2)120x+=−无解，因此当4k=−时，函数[()]1yffx=+的零点个数是7，D正确，C错误.故选：AD【点睛】方法点睛：关于复合函数的零点的判断问题，首先将零点问题转化为方程的解的问题；解

答时要采用换元的方法，利用数形结合法，先判断外层函数对应方程的解的个数问题，继而求解内层函数对应方程的解.第II卷（共90分）三､填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分.）13.求函数252xyx+=−的定义域为________.【答案】552()22−+，，【解析】【分析】

用函数定义域的知识直接求解即可.【详解】由题意得20x+，520x−，解得552()22x−+，，，故答案为:552()22−+，，14.已知函数()2fxxbxc=−+满足()(

)11fxfx+=−，且()03f=，则()xfb与()xfc的大小关系为__________.【答案】()()xxfcfb【解析】【分析】利用题意得到2b=，3c=，可知()fx在(),1−单调递减，在

()1,+单调递增，然后分0x，0x，0x=三种情况进行讨论，即可得到答案【详解】因为()fx满足()()11fxfx+=−，所以()fx关于1x=对称，因为()22224bbfxxbxcxc=−+=−+−

，所以12b=，解得2b=，因为()03fc==，所以()223xxxf=−+，故()fx在(),1−单调递减，在()1,+单调递增，当0x时，321xx，所以()()32xxff，即()()xxfcfb；当0x时，321xx，所以()()32xxff，即()()xx

fcfb；当0x=时，321xx==，所以()()32xxff=，即()()xxfcfb=，综上所述，()()xxfcfb故答案为：()()xxfcfb15.计算：tan73tan1933tan73tan13−−＝______.【答案】

3【解析】【分析】由题意由两角差的正切公式即可得解.【详解】由题意()()tan73tan133tan73tan13tan73131tan73tan133tan73tan133−−=−+−=．故答案为：3．16.已知函数()()22

cos20fxx=−在区间0,π有且仅有3个零点，则的取值范围是__________【答案】)2,3【解析】【分析】由()0fx=可得cos21x=，由0,πx可得出2x的取值范围，由已知条件可得出关于的不等式，解之即可.【详解】由()22cos2cos210fxx

x=−=−=，可得cos21x=，当0πx时，022πx，因为方程cos21x=在区间0,π有且仅有3个实根，则4π2π6π，解得23.因此，实数的取值范围是)2,3.故答案为：)2,3.四､解答题（本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明

过程或演算步骤）17.已知函数()sincoscos6ππ3fxxxxa=−+−++，且π13f=（1）求常数a的值；（2）求使()0fx成立的实数x的取值集合．【答案】（1）1

a=−（2）4π2π2π,Z3xkxkk−+【解析】【分析】（1）根据正弦差角公式、余弦差角公式、辅助角公式化简函数并求值即可；（2）根据题意并结合正弦函数图象相关知识列出不等式求解即可.【小问1详解】()sincoscos6π

π3fxxxxa=−+−++sincoscossincoscossinsincos6633ππππxxxxxa=−++++3113sincoscossincos2222xxxxxa=−++++3sincosxxa=++π2sin6xa=++2sin21π3

π36πfaa=++=+=，所以1a=−【小问2详解】由（1）知，()2sin16fxx=+−，由()0fx，即π2sin106x+−所以1sin62

πx+，所以7π2π2π,Z666ππkxkk−+++，所以4π2π2π,Z3kxkk−+，则使()0fx成立的实数x的取值集合为4π2π2π,Z3xkxkk−+18.设2()(1)fxaxaxa=

+++．（1）若不等式()0fx有实数解，试求实数a的取值范围；（2）当0a时，试解关于x的不等式()1fxa−.【答案】（1）13a−（2）答案见解析【解析】【分析】（1）依题意不等式()2

10axaxa+++有实数解，分0a=、0a、a<0三种情况讨论，当a<0时需0，即可求出参数的取值范围；（2）原不等式可化为()110xxa++，再分1a=、01a、1a三种情况讨论，分别求出不等式的解集.【小问1详解】依题意，()0fx有实数解，即

不等式()210axaxa+++有实数解，当0a=时，0x有实数解，则0a=符合题意.当0a时，取0x=，则()210axaxaa+++=成立，符合题意.当a<0时，二次函数()21yaxaxa=+−+的图像开口向下，要0y有解，当且仅当()2211

4013aaa=+−−，所以103a−.综上，实数a的取值范围是13a−.【小问2详解】不等式()()21110fxaaxax−+++，因为0a，所以不等式可化为()110xxa++

，当11a−=−，即1a=时，不等式()()110xx++无解；当11−−a，即01a时，11xa−−；当11a−−，即1a时，11xa−−；综上，当01a时，原不等式的解集为1(,1)a−−，当1a=时，原不等式的解集为，

当1a时，原不等式的解集为1(1,)a−−．19.近来，国内多个城市纷纷加码布局“夜经济”，以满足不同层次的多元消费，并拉动就业、带动创业，进而提升区域经济发展活力．某夜市的一位工艺品售卖者，通过对每天销售情况的调查发现：该工艺品在过去的一个月内（以3

0天计），每件的销售价格()Px（单位：元）与时间x（单位：天）的函数关系近似满足()10kPxx=+（k为常数，且0k），日销售量()Qx（单位：件）与时间x（单位：天）的部分数据如下表所示：x1015202530()Qx505

5605550已知第10天的日销售收入为505元．（1）给出以下四个函数模型：①()Qxaxb=+；②()Qxaxmb=−+；③()Qxabx=−；④()logbQxax=．请你根据上表中的数据，从

中选择你认为最合适的一种函数模型来描述日销售量()Qx与时间x的变化关系，并求出该函数的解析式；（2）设该工艺品的日销售收入为()fx（单位：元），求()fx的最小值．【答案】19.选择模型②：()||Qxaxmb=−+，()()2060130,N*Q

xxxx=−−+20.441【解析】【分析】（1）由表格中的数据知，当时间x变长时，()Qx先增后减，所以选择模型②：()||Qxaxmb=−+.由()()1525QQ=，确定20m=，()15555(

20)60QabQb=+===，确定,ab的值，就可确定()Qx;（2）由第10天的日销售收入为505元确定1k=，根据题意确定()fx的解析式，分别用基本不等式和函数单调性求得最小值.【小问1详解】由表格中的数据知，当时间x变长时，()Qx先

增后减，①③④函数模型都描述的是单调函数，不符合该数据模型．所以选择模型②：()||Qxaxmb=−+，由()()1525QQ=，可得|15||25|mm−=−，解得20m=，由()15555(20)60QabQb=+===，解得1a=−，60b=，

则日销售量()Qx与时间x的变化的关系式为()()2060130,N*Qxxxx=−−+．【小问2详解】因为第10天的日销售收入为505元，则105050510k+=，解得1k=．由（1）知()40,120,N*206080,2030,N*xxxQxxxxx+

=−−+=−+，由()()()4010401,120,N*8010799,2030,N*xxxxfxPxQxxxxx++==−++，当120x，*xN时，()404010401210401441fxxxxx=++

+=，当且仅当4010xx=时，即2x=时等号成立，，当20x30，*xN时，()8010799fxxx=−++为减函数，所以函数的最小值为()()min8304994413fxf==+，综上可得，当2

x=时，函数()fx取得最小值441．20.已知函数()1121933xxfxkk−=−+，1,0x−.（1）1k=−时，求()fx的值域；（2）若()fx的最小值为4，求k的值.【答案】20.2,1421.3k

=−【解析】【分析】（1）设13xt=可将原函数转化为二次函数，结合二次函数性质计算即可得；（2）设13xt=可将原函数转化为二次函数，对k的取值进行分类讨论，结合二次函数性质计算即可得.小问1详解】由题意得，()21

1233xxfxkk=−+，1,0x−，令13xt=，1,3t，()22,1,3gttktkt=−+，当1k=−时，()221gttt=+−，1,3t，()gt在1,3上单调递增，故()()()()minmax12

314gxggxg====，，故()gx的值域为2,14；【小问2详解】由（1）得()22gttktk=−+，1,3t，对称轴tk=，①当1k时，()gt在1,3上单调递增，()()min114gxgk==−=，解得3k=−；②当13k时，()gt在

1,k上单调递减，在,3k上单调递增，()()2min4gxgkkk==−=无解，舍去；③当3k时，()gt在1,3上单调递减，()()min3954gxgk==−=，解得1k=，舍去；综上所述，3k=−.21.已知函数(

)fx对任意实数,xy恒有()()()fxyfxfy+=+，且当0x时，()0fx，又()12f=−．（1）判断()fx的奇偶性；（2）判断()fx在R上的单调性，并证明你的结论；【（3）当1,32x时，()()2220fkxfx++恒成立，求实数k的取值范围

．【答案】（1）()fx为奇函数；（2）()fx在R上单调递减，证明见解析；（3）(),1−−.【解析】【分析】（1）通过特殊值以及函数的奇偶性的定义判断即可；（2）判断函数的单调性，利用单调性的定义证明即可；（3）结合已知利用函数的单调性化简不等式，分离参数，转化为最值求解即可．

【小问1详解】结合题意：由函数()fx的定义域为R,且()()()fxyfxfy+=+，取0xy==，则()()()000fff=+，即()00f=，取yx=−，则()()()0fxxfxfx−=+−=，所以()()fxfx−=−，所以()fx为奇函数.【小问2详解】()fx在

R上的单调递减，证明如下：任取12,xxR，且12xx，则210xx−，令21,xxyx==−，则()()()2121fxxfxfx−=+−，因为()fx为奇函数，所以()()()2121fxxfxfx−=−，因为当0x时，()0fx，所以()()()21210fxfxfxx−=−

，即()()21fxfx，所以()fx在R上的单调递减.【小问3详解】由()()2220fkxfx++，得()()()2221fkxfxf+−=，因为()()()fxyfxfy+=+，所以()()221fkxxf+，因为()fx在R上的单调递减，

所以221kxx+，的即1,32x时，2210kxx+−恒成立，等价于对任意1,32x时，221212xkxxx−=−恒成立，令11,23tx=，则()()22211gtt

tt=−=−−，所以()()min11gtg==−，所以()min1kgt=−，故实数k的取值范围为(),1−−.【点睛】关键点睛：解题关键是利用()()()fxyfxfy+=+进行恰当的赋值,转化为函数的单调性与奇偶性问题,最后一问主要是借助单调性，并进行分参，将恒

成立问题转化为最值问题.22.若函数()fx在定义域内存在实数x满足()()0fxkfx−+=，kZ，则称函数()fx为定义域的“k阶局部奇函数”.（1）若函数()sin2tanfxxx=−，判断()fx是否为[0,]上的“二阶局部奇函数”？并说明理由；（2）若函数()lg()fxmx=−是[

3,3]−上的“一阶局部奇函数”，求实数m的取值范围；（3）对于任意的实数1,2t−，函数2()fxxxt=−+恒为R上的“k阶局部奇函数”，求k的取值集合.【答案】（1）是奇函数，理由见解析（2）(3,10（3）{5,4,3,2,1}k−−−−−【解析】【分析】（1

）代入()2()0fxfx−+=，再化简可得2sin10cosxx−=，进而根据[0,π]x求解即可；（2）代入定义有()22lg0mx−=，再根据对数定义域与存在性条件列式求解即可；（3）化简可得2(1)(1)(1)0kxkxkt++−++=有解，再讨论二次

项系数是否为0，结合二次函数的判别式求解即可.【小问1详解】由题意得()2()0sin()2tan()2sin4tan0fxfxxxxx−+=−−−+−=，即sin2tan0xx−=，故2sin10sin0cosxxx−==或2

10cosx−=，当sin0x=时，[0,π]x，0x=或π；当210cosx−=时，cos21x=（舍），()fx是[0,]上的“二阶局部奇函数”.【小问2详解】由题意得，()22()()0lg()lg()lg0fxfxmxmxmx−+=

++−=−=，故221mx−=，结合对数定义域与存在性条件，有(()222maxmax[1,10][3,3],1[3,3],0(),[3,3]3,10[3,3],0,[3,3]mxmxxmxmxxmxmxmxx−=+−+−−−−

−.【小问3详解】由题意得，()()0fxkfx−+=在R上有解()22()()0xxtkxxt−−−++−+=有解，即2(1)(1)(1)0kxkxkt++−++=有解，①当1k=−时，0x=R，满足题意；②当1k−时，对于任意的实数1,2t−，22

221(1)4(1)04(1)(1)02kktkk=−−++−−2610322,322kkk++−−−+，由于kZ，故{5,4,3,2,1}k−−−−−.综上，{5,4,3,2,1}k−−−−−.