【文档说明】《中考数学重难点专项突破（全国通用）》专题32 两圆相切的存在性问题（解析版）.docx，共(19)页，993.834 KB，由管理员店铺上传

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以下为本文档部分文字说明：

1专题32两圆相切的存在性问题一、以函数为背景的两圆相切的存在性问题【知识讲解】1、知识内容：（1）如果两圆的半径长分别为1R和2R，圆心距为d，那么两圆的位置关系可用1R、2R和d之间的数量关系表达，具体表达如下：两圆外离12dRR

+；两圆外切12dRR=+；两圆相交1212RRdRR−+；两圆内切120dRR=−；两圆内含120dRR−．注：两圆相切包含外切和内切两种情况．（2）设11(,)Axy、22(,)Bxy，则A、B两点间的距离公式为：221212()()ABxxyy=−+−

．2、两圆相切本质：线段的和差；3、解题思路：（1）利用两点距离公式或者是题目中已知条件表示出圆心距及两圆半径；（2）根据条件列方程（可采用相似或勾股定理等其它方法）；（3）根据题意对所求的解进行取舍．【例题讲解】1、如图，在平面直角坐标系中，抛物线224yaxax=−−与x轴交于A、B两点，与y

轴交于点C，其中点A的坐标为（3−，0），点D在线段AB上，AD=AC．如果以DB为半径的⊙D与⊙C外切，求⊙C的半径．【解析】∵抛物线224yaxax=−−经过点A（-3，0），∴2(3)2(3)40aa−−−−=，ABCO

xy2解得：415a=．∴所求抛物线的关系式为：24841515yxx=−−．∴抛物线的对称轴是直线1x=．当0x=时，4y=−，即得C（0，-4）．又由A（-3，0），得22(30)(04)5AC=−−++=．∴AD=AC=5．又由

A（-3，0），得D（2，0），∴22(20)(04)25CD=−++=．又由直线1x=为抛物线24841515yxx=−−的对称轴，得B（5，0）．∴BD=3．设圆C的半径为r．∵圆D与圆C外切，∴CD=BD+r．即得：253r=+．解得：253r=−．∴圆C的半

径长为253−．【总结】本题比较基础，主要考查函数背景下的两圆外切问题，注意将位置关系转化为数量关系进行求解即可．32、如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC是等腰梯形，其中OA=AB=BC=4，tan3BCO=．（1）若点P在第四象限，且POC与AOB相似，求满足条件的所有点P的坐标

；（2）在（1）的条件下，若Pe与以OC为直径的De相切，请直接写出Pe的半径．【解析】（1）∵tan∠BCO=3，∴∠AOC=∠BCO=60°，∵等腰梯形OABC，∴AB//CO，∴∠CBA=120°=∠BAO=120°．在OAB

中，∵OA=AB=BC=4，∴∠OBA=∠BOA=30°，OC=8．要使POC∽AOB，则POC必为等腰三角形，存在两种情况．○1如图1，当PO=PC时，则∠OPC=120°．∴∠POC=∠PCO=30°，∴P（4，433−）．xyABCOABCDOPxyABCOP

xy图1图24○2如图2，当OC=CP时，则∠OCP=120°．∴∠COP=∠CPO=30°，∵OC=PC=8，∴∠PCD=60°，∴PD=43，CD=4，∴P（12，43−），综上所述，满足条件的所有点P的坐标为（4，433−）或（12，43−）；（2）

Pe的半径4343和474．如图1，∵PD=433，∴Pe的半径为4343+或4343-．如图2，取OC中点Q，作QMOP⊥．∵∠POC=30°，∴11224QMOQOC===，23OM=∵P（12，43−），∴83OP=，∴63PMOPOM=−=，∴2247PQPMQM=+=，∴

Pe的半径为474−或474+．综上，Pe的半径为4343+或4343-或474−或474+．【总结】本题主要考查平面直角坐标系背景下的相似问题及相切问题，注意进行分类讨论，并对相应的解题方法进行归纳整理

．3、如图，线段PA=1，点D是线段PA延长线上的点，AD=a（a>1），点O是线段AP延长线上的点，2OAOPOD=g，以O圆心，OA为半径作扇形OAB，90BOA=，点C是弧AB上的点，联结PC、DC．（1）联结BD交弧AB于E

，当a=2时，求BE的长；（2）当以PC为半径的Pe和以CD为半径的Ce相切时，求a的值；5（3）当直线DC经过点B，且满足PCOABCOP=gg时，求扇形OAB的半径长．【解析】（1）过点O作OFBE⊥，垂足为F．设

OAx=，则1OPx=−，ODxa=+；∵2OAOPOD=，即2(1)()xxxa=−+，解得：1axa=−；∴1aOAa=−，11OPa=−，21aODa=−；当2a=时，可得：2OA=，4OD=，∴25B

D=；易得BOF∽BDO，∴BFOBOBOD=，又2OBOA==，∴255BF=，∴455BE=．（2）当点C与点A重合时，CDADaPCPA==．当点C与点A不重合时，联结OC，∵OCOA=，∴2OCOPOD=；即OPOCOCOD=，又COPDOC=，∴OCP∽ODC，∴CD

ODaPCOC==，∴CDaPC=；又1a，∴CDPC；∵⊙P和⊙C相切，PC是圆心距，∴⊙P和⊙C相只能内切；∴CDPCPC−=；即aPCPCPC−=；解得：2a=．DBACOPEF6（3）联结BP、OC．∵OCP∽ODC，∴OCPD=；∵OC

OB=，∴OBCOCB=；∵90DOBC+=，∴90OCPOCB+=，即90BCP=．∵PCOABCOP=，OAOB=，∴PCOPBCOB=；又90BOPBCP==，∴BOP∽BC

P；∴1OBBPCBBP==；∴CBOB=，∴CBOBOC==；∴OBC是等边三角形，∴60OBC=；在RtBOD中，90BOD=，tanODDOBaOB==，即tan603a==，3312aOAa+==−．即扇形OAB的半径长为332+．【总结】本题主要考查

扇形背景下的两圆相切问题，注意将位置关系转变为数量关系进行计算，另外第（3）问中注意对所给出的条件进行分析，从而找出相似的三角形进行求解．练习：1、如图，在梯形ABCD中，AD//BC，∠A=90°，AD=6，AB=8，4s

in5C=，点P在射线DC上，点Q在射线AB上，且PQ⊥CD．设DP=x，若以点B为圆心、BQ为半径的Be与以点C为圆心、CP为半径的Ce相切，求线段DP的长．7【解析】延长BA、CD相交于点S，由题意条件，易得BC=1

2．∵AD//BC且BC=12，∴AD=12BC，∴12SASDADSBSCBC===，∴SD=DC=10，SA=AB=8．∵DP=x，∴SP=x+10．由SPQ∽SAD，得：54SQSDSPSA==．∴5(10)4SQx=+，∴55716(10)442BQxx=−+=

−+．当Be与Ce相切时，有三种情况：（ⅰ）当点P在线段DC上，且点Q在线段AB上时，只有可能两圆外切，由BQ+CP=BC，57101242xx−++−=，解得：23x=；（ⅱ）当点P在线段DC上，且点Q在线段AB的延长线上时，两圆不可能相切；（ⅲ）当点P在线段DC的延长线上，且点Q在线段AB的

延长线上时，此时5742BQx=−,CP=x-10，若两圆外切，BQ+CP=BC，即57101242xx−+−=，解得：343x=；若两圆内切，BQCPBC−=，即57(10)1242xx−−−=；由57(10)1242xx−−−=，解得：22x=；由57(10)12

42xx−−−=−，解得：74x=−．综上所述，Be与Ce相切时，线段DP的长为23或343或22．【总结】本题主要考查梯形背景下的两圆相切问题，本题综合性较强，要从多个角度考虑问题，首先要分ABCDPQS8析动点

的位置，其次相切问题下要分为内切和外切两种情况进行讨论．92、如图1，已知梯形ABCD中，AD//BC，∠D=90°，BC=5，CD=3，cotB=1．点P是边BC上的一个动点（不与点B、C重合），过点P作射线PE，使射线PE交射线BA于点E，∠

BPE=∠CPD．（1）如图2，当点E与点A重合时，求∠DPC的正切值；（2）当点E落在线段AB上时，设BPx=，BEy=，试求y与x之间的函数解析式，并写出x的取值范围；（3）设以BE长为半径的Be和以AD为直径的Oe相切，求BP的长．【解析】（1）过点A作AHBC⊥，垂足为点H．由

题意得，3AHDC==．在RtAPH中，∵cot1B=，∴3BH=，32AB=．由5BC=，可得2CH=．易证AHP≌DCP．∴1HPCP==，∴tan3DPC=．（2）过点E作EGBC⊥，垂足为点G．P

ABCDHPABCDGEABCDPA（E）BCD图1图210在Rt△EBG中，22BGEGy==，∴22PGxy=−．∵BPECPD=，∴tantanBPECPD=．可得232522yxxy=−−，解得

：328xyx=−．x的取值范围为04x．（3）联结BO，过点O作OQBC⊥，垂足为点Q．在RtOBQ中，得5BO=．○1Be和Oe外切时，BEAOBO+=，即15y+=，将328xyx=−代入上式，得分式方程3248xx=−，解得：48

264x=−；经检验，48264x=−是方程的根且符合题意．QABCDO11∴当Be和Oe外切时，48264x=−．○2Be和Oe内切时，BEAOBO−=，得6BE=．设EP与AD的交点为M，AMAEBPBE=，即632286xx−−=，解得16

82x=−；经检验，1682x=−是方程的根且符合题意．∴当Be和Oe内切时，1682x=−．综上所述：当Be与Oe相切时，BP的长是48264−或1682−．【总结】本题考查的是直角梯形、相似三角形、锐角三角比及两

圆相切的相关知识，综合性较强，解答时要注意数形结合的思想和分类讨论思想的综合运用．3、如图，在梯形ABCD中，∠ABC=90°，AD//BC，AB=8，BC=18，4sin5BCD=，点P从点B开始沿BC边向终点C以每秒3个单位的速度移动，点Q从点D开始沿DA边向终点A以每秒2个单

位的速度移动，设运动时间为t秒．如果Pe的半径为6，Qe的半径为4，在移动的过程中，试探索：t为何值时Pe与Qe外离、外切、相交？【解析】过点D作DEBC⊥于点E（如图1）．Q∠ABC＝90°，AD//BC，PABCDMEABCD

EQP图1128DEAB==．4sin5DEBCDCD==Q，10CD=当Pe与Qe外切时，6410PQ=+=，此时PQCD=．故当Pe与Qe外切时，四边形PQDC为等腰梯形或平行四边形．当四边形PQD

C为等腰梯形时（如图2），过点Q作QFBC⊥于点F，则8QFAB==，所以6PF=．3BPt=Q，2DQt=，36AQBPPFt=+=+．36212ADAQQDtt=+=++=，65t=．当四边形PQDC为平行四边形时（如

图3），过点Q作QMBC⊥于点M，同理，得：36AQBMBPPMt==−=−，36212ADAQDQtt=+=−+=，185t=．当605t或1865t时，Pe与Qe外离；ABCDFQP图2ABCDMQP图313当65t=或185t=时，Pe与Qe

外切；当61855t时，Pe与Qe相交．【总结】本题主要考查梯形背景下的两元位置关系的讨论，综合性较强，主要从外切的关系入手，求出相应的值，再进行讨论，同时注意动点所处的问题的讨论．二、以几何为背景的两圆相切的存在性问题【知识讲解】1、知识内容：（1）如果两圆的半径长

分别为1R和2R，圆心距为d，那么两圆的位置关系可用1R、2R和d之间的数量关系表达，具体表达如下：两圆外离12dRR+；两圆外切12dRR=+；两圆相交1212RRdRR−+；两圆内切120dRR=−；两圆内含120dRR−．注：两圆相切包含外切和内切两种情

况．2、两圆相切本质：线段的和差；3、解题思路：（1）根据动点的运动方式表示出相关线段的长度；（2）利用几何图形的相关性质表示出线段间的关系；（3）根据相似的性质或者是勾股定理或者是两圆相切的关系等列出有关未知数的方程；（4）求出方程的解，并根据题意进行取舍

．【例题讲解】1、如图，已知：在ABC中，射线AM//BC，P是边BC上一动点，∠APD=∠B，PD交射线AM于点D，联结CD．AB=4，BC=6，∠B=60°．（1）求证：2APADBP=g；（2）如果以AD为半径的Ae与以BP为半

径的Be相切，求线段BP的长度．ABCDMPH14【解析】（1）∵AM//BC，∴∠PAD=∠APB．∵∠APD=∠B，∴APD∽PBA．∴BPAPAPAD=．∴2APADBP=g．（2）过点A作AH⊥BC，垂足为点H．∵∠B=60°，AB=4，∴BH=2，32

=AH．设BP=x，那么2−=xPH．∴164)32()2(2222+−=+−=xxxAP．∴xxxBPAPAD16422+−==．（i）当Ae与Be外切时，ABADBP=+．即41642=++−xxxx．整理，得：0842=+

−xx，∵08442−=，∴此方程无实数解．（ii）当Ae与Be内切时，ABADBP=−．即24164-xxxx−+=．当41642=−+−xxxx时，解得x=2；当41642=+−−xxxx，此方程无解．综上所述，如果两圆相切，那么BP=2．【总结】本题比较基础，主要考查几何背景下的两

圆相切问题，注意将位置关系转化为相应的数量关系，并进行分类讨论．152、如图，在ABC中，AB=AC=10，BC=12，点E、F分别在边BC、AC上（点F不与点A、C重合），EF//AB．把ABC沿直线EF翻折，点C与点D重合，设FC=x．（1）求∠B的余切值；（2）当点D在ABC的外部时

，DE、DF分别交AB于M、N，若MN=y，求y关于x的函数关系式并写出定义域；（3）（直接写出结果即可）以点E为圆心，BE为半径的Ee与边AC，○1有公共点时，求x的取值范围；②一个公共点时，求x的取值范围；○3个公共点时，求x的取值范围．【解析】（1）如图1，作AHBC⊥垂足为H．

∵10ABAC==，12BC=，∴6BHCH==．∴228AHABBH=−=，∴63cot84BHBAH===．ABCEFABCH图116（2）∵EF//AB，∴ECCFBCCA=，∴65ECx=，∴6125BEx=−．∵CEFDEF=，EF/

/AB，∴BMEDEF=，CEFB=，∴BMEB=，∴6125MEBEx==−，∴12125DMDEMEx=−=−．∵EF//MN，∴DMMNDEEF==1212565xyxx−=．∴210yx=−(510)x．（3）①当55018x或50

109x时，Ee与边AC没有公共点；②当509x=或55518x时，Ee与边AC有一个公共点；③5059x时，Ee与边AC有两个公共点．【总结】本题主要考查几何图形背景下的锐角三角比及相似的综合，第（3）问中，主要从临界点区分即可，由于是圆与边的交点个数，因此要从多个角度考虑．练习：

1、如图，已知在直角梯形ABCD中，AD//BC，∠ABC=90°，AB=4，AD=3，25sin5BCD=，点P是对角线BD上一动点，过点P作PH⊥CD，垂足为H．（1）求证：∠BCD=∠BDC；（2）如图，若以P为圆心、PB为半

径的圆和以H为圆心、HD为半径的圆外切时，求DP的长．ABCDEFNM图217【解析】（1）过点D作DG⊥BC，垂足为G．∵在RtABD中，∠ABC=90º，AB=4，AD=3，∴BD=5．在RtDCG中，∠DGC=90º，25sin5BCD==DGDC，∵AD//BC，∴AB

=DG=4，AD=BG=3，∴DC=25，∴CG=2，∴BC=3+2=5，∴BD=BC，∴∠BCD=∠BDC．．（2）设DP=x，则RP=PB=5x−．∵∠BCD=∠BDC，∴25sinsin5BCDBDC==．在RtPDH中，∠PHD=90º，25sin5BDC==PHPHPDx=，∴P

H=255x，∴DH=55x，∴RH=HD=55x．∵Pe与He外切，∴PHRRPH+=．∴525555xxx−+=，解得：25554x−=．即25554DP−=．【总结】本题主要考查直角梯形背景下的锐角三角比与两圆相切的综合运用，由于本题强调的是外切，因此只要考虑一种情况即可．2、如图，RtAB

C中，∠ACB=90°，AC=4厘米，BC=3厘米，Oe为ABC的内切圆．（1）求Oe的半径；（2）动点P从点B沿BA向点A以每秒1厘米的速度匀速运动，以P为圆心，PB为半径作圆．设点P运动的时间为t秒，若Pe与Oe相切，求t的值．【解析】解：（1）如图1，设Oe与AB、BC、

CA分别相切于点D、E、F，ABCDPHG18连接OD、OE、OF，则AD=AF，BD=BE，CE=CF．QOe为ABC的内切圆，OFAC⊥，OEBC⊥，即90OFCOEC==o．90C=oQ，四边形CEOF是矩形．OEOF=Q，四边形CEOF是正方形．设Oe的半径为rcm

，则FCECOErcm===．在RtABC中，∠ACB=90°，AC=4cm，BC=3cm，=5ABcm．43ADAFACFCrBDBEBCECr==−=−==−=−Q，，4+3=5rr−−，解得：=1r．即Oe的半径为

1cm．（2）如图2，过点P作PGBC⊥，垂足为G．90PGBC==oQ，PG//AC．PBG∽ABC，PGBGBPACBCBA==．BPt=Q，43==55ACBCPGBPtBGBPtBABA==，．若Pe与Oe相切，则可分为两种情况，Pe与Oe外切和Pe与Oe

内切．当Pe与Oe外切时，如图3．连接OP，则1OPt=+，过点P作PHOE⊥，垂足为H．90PHEHEGPGE===oQ，四边形PHEG是矩形，HEPG=，PHGE=，415OHOEHEt=−=−，3331=255PHGEBCECBGtt=

=−−=−−−．在RtOPH中，由勾股定理，得：22243(1)(2)(1)55ttt−+−=+，解得：23t=．当Pe与Oe外切时，如图4．DEF图1ABCOPABCOPDEFG图2ABCOPEG图3ABCOPEG19连接OP，则1OPt=−，过点O作

OMPG⊥，垂足为M．90MGEOEGOMG===oQ，四边形OEGM是矩形，MGOE=，OMEG=，415PMPGMGt=−=−，3331=255OMGEBCECBGtt==−−=−−−．在RtOPM中，由勾股定理

，得：22243(1)(2)(1)55ttt−+−=−，解得：2t=．综上所述，Pe与Oe相切时，23t=s或2t=s．【总结】本题综合性较强，考查的知识点也比较多，解题时注意利用相应的性质，同时综合运用数形结合思想及分类讨论思想．M