【文档说明】上海市南洋模范中学2019-2020学年高二上学期10月月考数学试题【精准解析】.doc，共(12)页，912.500 KB，由小赞的店铺上传

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2019学年度第一学期10月考试高二年级数学试卷一、填空题1.已知向量(1,2)AB=，(3,5)AC=，则向量BC的坐标是____________．【答案】23（，）【解析】【分析】利用BCACAB=−，代入点坐标，即可．【详解】()()()3,51,22,3BCACAB=−=

−=【点睛】本道题考查了向量加减法运算，代入点坐标，即可．2.下列等式：0aa+=，abba+=+，ABACBC+=，ABBCBC+=，ABACBC−=，()0aa+−=，()abab+−=−中正确的个数是______.【答案】3【解析】【分析】根据向量的加法与减法的定义判断即可【详解】0aa+

=正确；abba+=+满足向量加法的交换律，正确；根据减法运算法则BCACAB=−，故ABACBC+=错误；ABBCBC+=只有在向量0AB=的情况下符合，错误；ABACBC−=根据向量减法应有ABACCB−=，错误；()0aa+−=错误，应为()0aa+−=；()abab+

−=−正确；故正确个数为3个故答案为3【点睛】本题考查向量的加法与减法基本运算，属于基础题3.已知()2,3a=−，()1,5b=−，则3ab−=______.【答案】75【解析】【分析】先表示出3ab−，再根据模长公式求解即可【详解】()2

,3a=−，()1,5b=−，()37,14ab−=−，()22371475ab−=−+=故答案为75【点睛】本题考查向量的坐标运算、模长的计算，属于基础题4.计算：()()()()34lim132nnnnn→+−=−−______.【答案】12−【

解析】【分析】观察式子可知，分子分母展开式n的最高次幂均为2次，故只需将对应的二次项系数作比即可【详解】()()()()2234121limlim1322532nnnnnnnnnn→→+−−−==−

−−−+−故答案为12−【点睛】本题考查根据极限的定义求值，属于基础题5.已知()()2,3,4,7ab=−，则a在b上的投影为．【答案】655【解析】试题分析：根据向量投影的概念，a在b上的投影()()22243765547abb−+===+−．考

点：向量的投影6.已知a为非零向量，()3,4b=，且ab⊥，则a的单位向量0a=______.【答案】43,55−或43,55−【解析】【分析】可设单位向量()0,axy=，根据ab⊥rr得出,xy的关系式，

又结合单位向量定义可得221xy+=，联立方程求解即可【详解】设()0,axy=，ab⊥，故满足221340xyxy+=+=，解得4535xy==−或4535xy=−=，则单位向量为43,55−或43,55−故答案为43,55

−或43,55−【点睛】本题考查单位向量的求法，向量垂直的坐标运算，属于基础题7.已知向量(),2ax=与()3,5b=−−，a与b夹角为钝角，则x的取值范围为______.【答案】1066,,355−+U【解析】【分

析】由向量的数量积公式进行判断，需排除两向量反向的特殊情况【详解】a与b夹角为钝角，0ab，即1031003xx−−−，当两向量平行时有6565xx−=−=，（此条件需排除），故x的取值范围为1066,,355−+U故答案为1066,,355

−+U【点睛】本题考查向量夹角的判断，易错点为忽略两向量平行的条件，属于基础题8.用数学归纳法证明“()22111...11nnaaaaaa++−++++=−”，在验证1n=成立时，等号左边的式子是______.【答案】21aa++【解析】

【分析】根据左边的式子是从0a开始，1na+结束，且指数依次增加1求解即可.【详解】因为左边的式子是从0a开始，1na+结束，且指数依次增加1所以1n=，左边的式子为0111aaa+++=21aa++，故答案为21aa++.【点睛】项数的变化规律，是利用

数学归纳法解答问题的基础，也是易错点，要使问题顺利得到解决，关键是注意两点：一是首尾两项的变化规律；二是相邻两项之间的变化规律.9.如果1131lim33nnnnnaa++→+=+，则实数a的取值范围是_____【答案】【解析】试题

分析：首先3a=时，结论成立，当3a时，由题意1111()313limlim333()3nnnnnnnnaaaa++→→+++==++，则13a，即33a−，综上33a−．考点：数列的极限．10.已知数列112，123，134，……，(

)11nn+，……则数列的所有项和为______.【答案】1【解析】【分析】采用裂项公式和数学归纳法即可求解【详解】()1111+1nnnn=−+，则1231111121111131,1,1222233223344SSS=−==−+−==−+−+−=猜测+1nnS

n=，运用数学归纳法证明：当1n=时，111122S==，成立假设当nk=()2,kkN+时，+1kkSk=成立，则当1nk=+时，()()()()()111111112+112211kkkkSSkkkkkkk++=+=+−=−=+++++++即当1nk=

+时，等式也成立，故对所有的nN+，+1nnSn=都成立则1l+iml1i1limm11nnnnnSnn→→→===+故答案为1【点睛】本题考查裂项求和公式的用法，数学归纳法的应用，极限的简单求值，属于基础题11.在数列na中，11a=，且na是公比为13的等比数列．设135

21Tnnaaaa−=++++，则limnnT→=__________．(*nN)【答案】9lim8nnT→=【解析】【分析】构造新数列21na−，计算前n项和，计算极限，即可．【详解】构造新数列21na−，该数列首项为1，公比为19，则()111119911118919

nnnnaqTq−−===−−−而1lim09nn→+=，故9lim8nnT→+=【点睛】本道题考查了极限计算方法和等比数列前n项和

，属于中等难度的题目．12.在△ABC中，O为中线AM上的一个动点，若AM＝2，则·(OAOBOC+）的最小值是________．【答案】【解析】试题分析：因为M为中点，所以,且与夹角为，设，则，()()2222224OAOBOCOAOMOAOMxxxx+=

=−=−−=−，因为，所以当时，其最小值为．考点：1．向量的加法；2．向量的数量积；3．二次函数的最值；二、选择题13.已知数列na的极限为A，如果数列nb满足662103310nnnanban=，那么数列nb的极限是（）A.AB.23AC

.3AD.不存在【答案】C【解析】【分析】根据极限的定义，确定数列nb的表达式选择，再根据极限定义求解即可【详解】lim,limlim33lim3nnnnnnnnaAbaaA→→→→====故选C【点睛】本题考查根据极限的定义求解具体数列的极限，

属于基础题14.若()lim12nnx→−存在，则x的取值范围是（）A.01xB.01xC.01xD.1x或0x【答案】C【解析】【分析】要使极限存在，需满足121x−，结合求得的x取值范围验证合理性，即可求解【详解】若()lim12nnx→−存在，则应满足121x−，解得

0,1x，当1x=时，()lim1nn→−的取值在-1和1之间转化，不存在极限，所以1x，所以x的取值范围是01x故选C【点睛】本题考查极限存在的判断，易错点为忽略1x=的特殊情况讨论，属于基础题15

.某个命题与自然数n有关，若*()nkkN=时命题成立，那么可推得当1nk=+时该命题也成立，现已知5n=时，该命题不成立，那么可以推得A.6n=时该命题不成立B.6n=时该命题成立C.4n=时该命题不成立D.4n=时该命题成立【答案】C【解析】【分析】根据数学归纳法的有关

概念，利用5n=时命题不成立，得出4n=时命题不成立，而6n=无法判断.由此得出正确选项.【详解】假设4n=时该命题成立，由题意可得5n=时，该命题成立，而5n=时，该命题不成立，所以4n=时，该命题不成立.而5n=时，该命题不成立，不能推得6n

=该命题是否成立．故选C．【点睛】本小题主要考查数学归纳法的有关知识，考查归纳猜想的知识，属于基础题.16.设||,||||,||abab表示平面向量，都是小于9的正整数，且满足(||||)(||3||)105abab+

+=，()()333abab+=+，则ab和的夹角大小为（）.A.6B.3C.23D.56【答案】C【解析】【分析】本道题目利用,ab都为正整数，建立方程，排除，即可得到相应,ab的值，代入题目第二个方程，计算结果，即可．【详解】由3105

abab++=，可得1.1{3105abab+=+=2.3{335abab+=+=3.5{321abab+=+=4.7{315abab+=+=而需要满足19,19ab，解上面四个方程，发现只有4号方程满足条

件故3,4ab==由()()333abab+=+，可得2234cos33abab++=，代入得到1cos2=−，则23=，故选C．【点睛】本道题考查了向量数量积，结合题目，采取试误法，计算结果，即可，难度偏难．三、解答题17.已知A、B、D的坐标分别是()0,1−，()5,1−，

()7,2，且//DCAB，BCAB⊥，求点C的坐标.【答案】()3,6−【解析】【分析】可设点C坐标为(),xy，根据//DCAB，BCAB⊥建立方程即可求解【详解】设(),Cxy，则()7,2DCxy=−−uuur，()5,2AB=−uuur，()5,1BCxy=+−uuur，因为//D

CAB，BCAB⊥，故有2524052270xyxy+−=−+=，解得36xy=−=故C的坐标为()3,6−【点睛】本题考查向量的平行与垂直的坐标运算，属于中档题18.已知2231lim45nncnnanbn→++−=+，

求常数a、b、c的值.【答案】0a=，34b=，154c=.【解析】【分析】先对所求的极限进行通分化简,再分析分子分母项的系数确定结果.【详解】223223222223131443144lim4limlimnnnncnncnanbnncnanbnnanbn

anbnanbnanbn→→→+++++++−−−=−=++++3224(34)1limnanbncnanbn→−+−++=+,其中最高项次数项,分子为34an−,分母为2an,若0a则极限

不可能为常数.故0a=,此时32224(34)1(34)1limlimnnanbncnbncnanbnbn→→−+−++−++=+,同理3340,4bb−==,此时21(34)114limlimlim533344nnncbncncn

cnbnn→→→+−+++====,故154c=.综上所述,0a=，34b=，154c=【点睛】当0kjab时1111011110,()...lim=,()...0,()kkkkkjjnjjjkjanananaakjbnbnbnbbk

j−−−→−++++=++++.注意最高次项系数为0时,讨论系数为0的情况.19.已知无穷等比数列na，公比q满足01q，()123nnnnakaaa+++=+++，求实数k的取值范围.【答案】()(),20,−−+U【解析】【

分析】根据无穷等比数列性质，可结合极限的概念表示出()123nnnnakaaa+++=+++的代换式，再结合数列的通项公式11nnaaq−=，代换得11kq=−，结合01q即可求得k的取值范围【详解】等比数列的前n项和公式()111nnaqSq−=−，12311,nnqaaaaa

++++++QLL的值趋向于正无穷时，即1lim1nnaSq→=−，()()2311111111nnnnnnaakaakqaaSqkqaq+++=+++==−−−−−−11naqkq−=

，又11nnaaq−=，111111nnqkaqaqq−−==−，01qQ，且0q，()()1,11,q−−+U故()(),20,k−−+U【点睛】本题考查等比数列通项公式与前n项和公式的应用，极限思想在处理数列中的应用，推理转化能力，运算能力，属于难

题20.已知数列na满足：11a=，133nnnaaa+=+，()*0nanN.（1）求2a、3a、4a；（2）猜想na的通项公式，并用数学归纳法加以证明.【答案】（1）34；35；12（2）32nan=+，(

)*nN【解析】【分析】（1）根据公式133nnnaaa+=+，令1,2,3n=可依次求出2a、3a、4a；（2）猜想32nan=+，采用数学归纳法结合133nnnaaa+=+证明即可【详解】由133nnnaaa+=+，令1n=

，可求得1213334aaa==+；令2n=，可求得2323335aaa==+令3n=，可求得3433132aaa==+（2）猜想32nan=+，1n=时显然成立，假设当nk=()2,kkN+时，32kak=+成立；则当1nk=+时，()132332333312nnnkaaakk+==+++

=+++，命题成立，综上所述，32nan=+，()*nN【点睛】本题考查由递推公式求数列的具体项，数学归纳法证明数列的通项公式，属于中档题21.设a与b是两个不共线的非零向量()tR.（Ⅰ）记OAa=,OBtb

=,()13OCab=+,那么当实数t为何值时，A、B、C三点共线？（Ⅱ）若1ab==,且a与b的夹角为0120，那么实数x为何值时axb−的值最小？【答案】（1）11,32t==实数；（2）13,22xaxb=−−时取最小值.【解析】【分析】（1）根据三点共线的关系()1OCO

AOB=+−求解（2）axb−平方后转化为二次函数求最值即可.【详解】（1）A、B、C三点共线知存在实数(),1OCOAOB=+−使即()()113abatb+=+−，则11,32t==实数（2）1c

os120,2abab==−22222||21,axbaxbxabxx−=+−=++当13,22xaxb=−−时取最小值【点睛】本题主要考查三点共线的向量关系，向量数量积的运算，属于中档题.