【文档说明】2023高考数学难点突破专题训练（5）：立体几何.doc，共(24)页，9.891 MB，由小赞的店铺上传

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2023高考数学难点突破专题训练（5）：立体几何12023高考数学难点突破专题训练（5）立体几何★热身训练1.（广东省深圳市高级中学（集团）2022-2023学年高三上学期期末测试数学试题）如图，棱长为4的正方体1111ABCDABCD−，

点A在平面内，平面ABCD与平面所成的二面角为30，则顶点1C到平面的距离的最大值是()A．2(22)+B．2(32)+C．2(31)+D．2(21)+2.（江苏省常州高级中学2022-2023学年高三上学期1月月考数学试题）

（多选题）如图，点O是正四面体PABC底面ABC的中心，过点O且平行于平面PAB的直线分别交AC，BC于点M，N，S是棱PC上的点，平面SMN与棱PA的延长线相交于点Q，与棱PB的延长线相交于点R，则（）A．若MN∥平面PAB，则ABRQ∥B．存在点S与直线MN，使()0P

SPQPR+=C．存在点S与直线MN，使PC⊥平面SRQ2023高考数学难点突破专题训练（5）：立体几何2D．1113PQPRPSPA++=3.（江苏省苏北四市（徐州、淮安、宿迁、连云港）2022-2023学年度高三年级第一次调研测试数学试题）

如图，在四棱锥S－ABCD中，侧面SAD⊥底面ABCD，SA⊥AD，且四边形ABCD为平行四边形，AB＝1，BC＝2，∠ABC＝π3，SA＝3．(1)求二面角S－CD－A的大小；(2)点P在线段SD上且满足→SP＝λ→SD，试确定λ的值，使得直线BP与面PCD所成角最大．4.

（江苏省常州高级中学2022-2023学年高三上学期1月月考数学试题）如图，空间几何体ADEBCF-中，四边形ABCD是梯形，//ABCD，四边形CDEF是矩形，且平面ABCD⊥平面,,2,4CDEFADDCABADDEEF⊥====，M是线段AE上的动点.（1）试确定点M的位置

，使//AC平面MDF，并说明理由；（7分）（2）在（1）的条件下，平面MDF将几何体ADEBCF-分成两部分，求空间几何体MDEF−与空间几何体ADMBCF−的体积的比值.（7分）2023高考数学难点突破专题训练（5）：立体几何3★高考引领2

023高考数学难点突破专题训练（5）：立体几何42023高考数学难点突破专题训练（5）：立体几何52023高考数学难点突破专题训练（5）：立体几何62023高考数学难点突破专题训练（5）：立体几何72

023高考数学难点突破专题训练（5）：立体几何82023高考数学难点突破专题训练（5）：立体几何92023高考数学难点突破专题训练（5）：立体几何102023高考数学难点突破专题训练（5）：立体几何112023高考数学难点突破专题训练（5）：立体几何122023高考数学难点突破专题训

练（5）：立体几何132023高考数学难点突破专题训练（5）：立体几何142023高考数学难点突破专题训练（5）：立体几何15本题题源是教材习题，改编自2016年江苏高考第17题。教材习题求函数c

ossin2=y)20(的最大值。试题修改对教材习题进行处理，将符号语言转换成图像语言。可以有两种处理方向：处理成侧棱长为1，高线长未知的正四棱锥的体积；处理成母线长为1，高线长未知的圆锥的体积。为使得处理的情况具有一般性，将“

侧棱长为1”、“母线长为1”均改为“长为a”.（1）按处理方向处理，形成1稿.1稿已知一正四棱锥1111DCBAP−的高为1PO,侧棱长为a)0(a，记=11POA)20(，求其体积V的最大值及此时1PO的长。提示：cossin3223aV=，

cos1aPO=2稿现要设计一个仓库，它由上下两部分组成，上部分形状为正四棱锥1111DCBAP−，其侧棱长为a)0(a，其底面正方形的中心为1O,下部分形状为正四棱柱1111DCBAABCD−，其底面正方形的中心为O,要求正四

棱柱的高OO1是正四棱锥的高1PO的k)0(k倍，求仓库容积V最大时1PO的长.2稿分析：记=11POA)20(，则cossin)232(23akV+=；注意到2422cossin)cos(sin=222cos2sinsin21=3222)3cos2

sinsin(21++274=2023高考数学难点突破专题训练（5）：立体几何16，当且仅当22cos2sin=，即33cos=时，等号成立；33)232(932)232(274akakV+=+，aaPO33cos1==.201

6年江苏高考第17题为2稿的特例（高考题为4,6==ka的情况，321=PO,3416V）（2）按处理方向处理，形成问题变式.变式现要设计一个仓库，它由上下两部分组成，上部分形状是顶点为P,底面圆圆心为1O的圆锥，

其母线长为a)0(a，下部分形状是底面圆面积与上部分圆锥的底面圆面积相等的圆柱，其下底面圆圆心为O，要求圆柱的高OO1是圆锥的高1PO的k)0(k倍，求仓库容积V最大时1PO的长.注：该例为笔者文章“[2]例谈高中数学教材试题的衍生——以江苏高

考数学试题命制为例[J].文理导航(中旬),2017,(02)”节选。也是《江苏高考数学复习指南》（刘蒋巍著）、《中学学科学法指导》（刘蒋巍著）一书内容。以此为背景命制的题有很多，譬如：《拓展阅读1：2019江苏19题第3问及其新

解法》拓展阅读1：《2019江苏19题第3问及其新解法》设函数()()()(),,,Rfxxaxbxcabc=−−−、()f'x为f（x）的导函数．若0,01,1abc==„，且f（x）的极大值为M，求证:M≤427．（3

）因为0,1ac==，所以32()()(1)(1)fxxxbxxbxbx=−−=−++，2()32(1)f'xxbxb=−++．因为01b，所以224(1)12(21)30bbb=+−=−+，则()f'x有2个不同的零点，设为()1212,xxxx．由()0

f'x=，得22121111,33bbbbbbxx+−−+++−+==．列表如下：2023高考数学难点突破专题训练（5）：立体几何17x1(,)x−1x()12,xx2x2(,)x+()f'x+0–0+()fx极大值极小值所以()fx的极大值()1Mfx=．解法三：注意到：当)2,0(

时，42sincos222sinsincos221=3222)3sinsincos2(21++274=，当且仅当22cos2sin=，即33cos=时，等号成立；令)1,0(cos

2=x，则274)1(2−xx；因为01b，所以1(0,1)x．274)1()1)(()(2111111−−−==xxxxbxxfM．2023高考数学难点突破专题训练（5）：立体几何18★难点突破：立体几何（1）1.（湖北省二十一所重点中学2023届高三上学期第三次联考数学试题）

图1是一个不倒翁模型，它是一种古老的中国儿童玩具，最早记载出现于唐代，一经触动就摇摆然后恢复直立状态.如图2，将图1的模型抽象成一个正圆锥和半球的组合体.已知半球的密度是圆锥的2倍，已知要让半球质量不小于圆锥质量，才能使它在一定角度范围内“不倒”，则圆锥的高和底面半径之比至

多为（）A.12B.1C.2D.42.（全国大联考2023届高三第四次联考数学试卷）正四棱台的上、下底面边长分别为2，4，侧棱长为11，则其体积为（）A.28B.283C.32D.243.（全国大联考2023届高三第四次联考数学试卷）在三棱锥A

－BCD中，已知AB⊥平面BCD，BCCD⊥，若AB＝2，BC＝CD＝4，则AC与BD所成角的余弦值为（）A.155B.223C.105D.334.（江苏省南师附中、天一中学、海安中学、海门中学2022-2023学年高三上学期12月联考数学试卷）四棱锥P－ABC

D中，底面ABCD是边长为23的正方形，侧面△PAD为正三角形，则其外接球体积最小值为A．2873πB．323πC．86πD．43π2023高考数学难点突破专题训练（5）：立体几何195.（江苏省泰兴中学、南

菁高级中学、常州市第一中学三校联考2022-2023学年高三上学期第二次阶段考试数学试题）（多选题）棱长为1的正方体1111ABCDABCD−内部有一圆柱21OO，此圆柱恰好以直线1AC为轴，且圆柱上下底面分别与正方体中以1CA，为公共点的3个面都有一个公共点，以下命题正确的

是（）A．在正方体1111ABCDABCD−内作与圆柱21OO底面平行的截面，则截面的最大面积为23B．无论点1O在线段1AC上如何移动，都有CBBO11⊥C．圆柱21OO的母线与正方体1111ABCDABCD−所有的棱所成的角都相等D．圆柱21OO外接球体积的最小值为

66.（江苏省南师附中、天一中学、海安中学、海门中学2022-2023学年高三上学期12月联考数学试卷）（多选题）在棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1，E为A1D的中点，则A．B1E⊥A1CB．BE与B1C所成的角为π3C．四面

体A1EBC1的体积为16D．A1C与平面ABC1D1所成的角为π67.（江苏省苏州中学、扬州中学、盐城中学、常州中学2022-2023学年高三上学期12月G4联考数学试卷）（多选题）在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为正方形，PA⊥底面ABCD，PA＝AB＝1．G为PC的中点，

M为平面PBD上一点下列说法正确的是A．MG的最小值为36B．若MA＋MG＝1，则点M的轨迹是椭圆C．若MA＝156，则点M的轨迹围成图形的面积为π12D．存在点M，使得直线BM与CD所成角为30°2023高考数学难点突破专题训练（5）：立体几何208.（江苏省南通市如皋市2022-202

3学年高三上学期教学质量调研(三)数学试题）（多选题）在正方体1111ABCDABCD−中，1BPBCBB=+，则下列说法正确的是A.若1+=，则1APBD⊥B.若=，Q为线段11AB上的动点，则四面体1ADQP的体积为定值

C.若12=，1=，R为线段1DD的中点，则ARBP∥D.若221+=，则线段AP的长度为定值9.（全国大联考2023届高三第四次联考数学试卷）在棱长为2的正方体1111ABCDABCD−中，N为BC的中点．当点M在平面11DCCD内运动时，有//MN平面1ABD，则线段MN的

最小值为______．10.（江苏省苏州中学、扬州中学、盐城中学、常州中学2022-2023学年高三上学期12月G4联考数学试卷）在轴截面为正方形ABCD的圆柱中，M，N分别为弧AD，弧BC的中点，且在平面ABCD的两侧．(1)求证：四边形A

NCM是矩形；(2)求二面角B－MN－C的余弦值．2023高考数学难点突破专题训练（5）：立体几何2111.（江苏省南师附中、天一中学、海安中学、海门中学2022-2023学年高三上学期12月联考数学试卷）如图1，梯形ABCD中，AD

∥BC，AB＝BC＝2，AD＝4，将△ABC沿对角线AC翻折，使点B至点P，且使平面PAC⊥平面ACD，如图2．(1)求证：PA⊥CD；(2)连接PD，当四面体PACD体积最大时，求二面角C－PA－D的大小．12.（湖北省二十一所重点中学2023届高三上学期

第三次联考数学试题）如图，在几何体ABCDE中，底面ABC为以AC为斜边的等腰直角三角形.已知平面ABC⊥平面ACD，平面ABC⊥平面,BCEDE平面,ABCADDE⊥.（1）证明：DE⊥平面ACD；（2）若22ACCD==，设M为棱BE的中点，求当

几何体ABCDE的体积取最大值时AM与CD所成角的正切值.2023高考数学难点突破专题训练（5）：立体几何2213.(江苏省常熟市2022-2023学年高三上学期12月份抽测二数学试题)如图，在四棱锥P－ABCD中，平面PAD⊥

平面ABCD，AB∥DC，△PAD是等边三角形，已知AB＝2AD＝2DC＝4，BD＝23，M是线段PC上的一点(不与端点P，C重合)．(1)求证：平面MBD⊥平面PAD；(2)若点M是线段PC上靠近C的三等分点，求锐二面角M－BD－C的大小．14.（全国大联考2023届高三第四次联

考数学试卷）如图，在三棱锥A－BCD中，△ABC是正三角形，平面ABC⊥平面BCD，BD⊥CD，点E，F分别是BC，DC的中点．（1）证明：CD⊥平面AEF．（2）若∠BCD＝60°，点G是线段BD上的动点，问：

点G运动到何处时，平面AEG与平面ACD所成锐二面角的余弦值最大．2023高考数学难点突破专题训练（5）：立体几何23★难点突破：立体几何（2）1.（浙江省宁波市2023届高三上学期一模数学试题）在正四棱台1111ABCDABCD−中，112ABAB=，13AA=．当该正四棱

台的体积最大时，其外接球的表面积为（）A.332B.33C.572D.572.（2023届12月⾼三年级苏州⼋校联盟第⼆次适应性检测）（多选题）3.（浙江省宁波市2023届高三上学期一模数学试题）在棱长均相等的四面体ABCD中，P为棱AD（不含端

点）上的动点，过点A的平面α与平面PBC平行．若平面α与平面ABD，平面ACD的交线分别为m，n，则m，n所成角的正弦值的最大值为__________．4.（2023届12月⾼三年级苏州⼋校联盟第⼆次适应性检测）祝你2023金榜题名！2023高考数学难点突破专题训练（

5）：立体几何24