【文档说明】2021高考数学（理）集训9　三角函数与解三角形 .docx，共(11)页，106.142 KB，由小赞的店铺上传

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专题限时集训(九)三角函数与解三角形1．(2019·全国卷Ⅰ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.设(sinB－sinC)2＝sin2A－sinBsinC．(1)求A；(2)若2a＋b＝2c，求sinC．[解](1)由已知得

sin2B＋sin2C－sin2A＝sinBsinC，故由正弦定理得b2＋c2－a2＝bc.由余弦定理得cosA＝b2＋c2－a22bc＝12.因为0°＜A＜180°，所以A＝60°.(2)由(1)知B＝120°－C，由题设及正弦定理得2sinA＋sin(120°－C)＝2sinC，即

62＋32cosC＋12sinC＝2sinC，可得cos(C＋60°)＝－22.由于0°＜C＜120°，所以sin(C＋60°)＝22，故sinC＝sin(C＋60°－60°)＝sin(C＋60°)co

s60°－cos(C＋60°)sin60°＝6＋24.2．(2018·全国卷Ⅰ)在平面四边形ABCD中，∠ADC＝90°，∠A＝45°，AB＝2，BD＝5.(1)求cos∠ADB；(2)若DC＝22，求BC．[解](1)在△ABD中，由正弦定理得BDsin

∠A＝ABsin∠ADB，即5sin45°＝2sin∠ADB，所以sin∠ADB＝25.由题设知，∠ADB＜90°，所以cos∠ADB＝1－225＝235.(2)由题设及(1)知，cos∠BDC＝sin∠ADB＝25.在△BCD中，由余弦定理得B

C2＝BD2＋DC2－2·BD·DC·cos∠BDC＝25＋8－2×5×22×25＝25.所以BC＝5.3．(2017·全国卷Ⅰ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知△ABC的面积为a23sinA.(1

)求sinBsinC；(2)若6cosBcosC＝1，a＝3，求△ABC的周长．[解](1)由题设得12acsinB＝a23sinA，即12csinB＝a3sinA.由正弦定理得12sinCsinB＝sinA3sinA.故sinBsinC＝23.(2)由题设及(1)得cosBcosC－

sinBsinC＝－12，即cos(B＋C)＝－12.所以B＋C＝2π3，故A＝π3.由题意得12bcsinA＝a23sinA，a＝3，所以bc＝8.由余弦定理得b2＋c2－bc＝9，即(b＋c)2－3bc＝9.由bc＝8，得b＋c＝33.故△ABC的周长为3＋33.4．(2020·全国卷Ⅱ)

△ABC中，sin2A－sin2B－sin2C＝sinBsinC．(1)求A；(2)若BC＝3，求△ABC周长的最大值．[解](1)由正弦定理和已知条件得BC2－AC2－AB2＝AC·AB．①由余弦定理得BC2＝AC2＋AB2－2AC·ABcosA．②由①②得cosA＝－1

2.因为0<A<π，所以A＝2π3.(2)由正弦定理及(1)得ACsinB＝ABsinC＝BCsinA＝23，从而AC＝23sinB，AB＝23sin(π－A－B)＝3cosB－3sinB．故BC＋AC＋AB＝3＋3sinB＋3cosB＝3＋23sinB＋π3.又0<B<π3

，所以当B＝π6时，△ABC周长取得最大值3＋23.1．(2020·安庆二模)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且b＋ca＋c＝sinAsinB－sinC.(1)求角B的大小；(2)若△ABC的

周长等于15，面积等于1534，求a，b，c的值．[解](1)由b＋ca＋c＝sinAsinB－sinC，根据正弦定理得b＋ca＋c＝ab－c⇒b2－c2＝a2＋ac⇒a2＋c2－b2＝－ac，根据余弦定理得cosB＝a2＋c2－b22ac＝－12，由0<B<π，所以B＝2π3.(2)由S△

ABC＝12acsinB＝34ac＝1534，得ac＝15.又a＋b＋c＝15，由(1)知b2＝a2＋c2＋ac＝(a＋c)2－15＝(15－b)2－15，所以b＝7，所以a＋c＝8.解得a＝3，c＝5，或者a＝5，c＝3.所以a＝3，b＝7，c＝5，或

者a＝5，b＝7，c＝3.2．(2020·昆明模拟)在△ABC中，D为BC边上一点，AD⊥AC，AB＝10，BD＝2，AD＝2.(1)求∠ADB；(2)求△ABC的面积．[解](1)因为AB＝10，BD＝2，AD＝2，所以在△ABD中，

由余弦定理可得：cos∠ADB＝AD2＋BD2－AB22AD·BD＝－22，又因为∠ADB∈(0，π)，所以∠ADB＝3π4.(2)因为∠ADB＋∠ADC＝π，所以∠ADC＝π4.因为AD⊥AC，所以

△ADC为等腰直角三角形，可得AC＝2，所以S△ABC＝S△ABD＋S△ADC＝12×2×2×22＋12×2×2＝3.3．(2020·宝鸡二模)已知函数f(x)＝2sin2x＋23sinxcosx－1，x∈R.(1)求f(x)的单调递

增区间；(2)△ABC内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若fA2＝1且A为锐角，a＝3，sinC＝2sinB，求△ABC的面积．[解](1)由于函数f(x)＝2sin2x＋23sinxcosx－1＝1－cos2x＋3sin2x－1＝2sin2x－π6，令2kπ

－π2≤2x－π6≤2kπ＋π2，k∈Z，解得kπ－π6≤x≤kπ＋π3，k∈Z，可得函数f(x)的单调递增区间为kπ－π6，kπ＋π3，k∈Z.(2)∵fA2＝1且A为锐角，可得2sin2×A2－π6＝1，解得sin

A－π6＝12，∴由A－π6∈－π6，π3，可得A－π6＝π6，可得A＝π3.∵sinC＝2sinB,∴由正弦定理可得c＝2b，又∵a＝3，由余弦定理a2＝b2＋c2－2bccosA，可得9＝b2＋c2－bc＝b2＋4b2－

2b2＝3b2，∴b＝3，c＝23，∴S△ABC＝12bcsinA＝12×3×23×32＝332.4．(2020·南开区模拟)在△ABC中，a，b，c分别为三个内角A，B，C的对边，若△ABC的面积为332，a－b＝1，3acosC－csinA＝0.(1)求c及cosA；(2)求cos(2A－

C)的值．[解](1)在△ABC中，∵3acosC－csinA＝0，∴3sinAcosC－sinCsinA＝0，∵sinA≠0,∴3cosC－sinC＝0，即tanC＝3，∵C∈(0，π),∴C＝π3，∴S△ABC＝34ab＝332，解得ab＝6，又a

－b＝1，解得a＝3，b＝2，又由余弦定理可得c2＝a2＋b2－2abcosC＝7，解得c＝7，∴cosA＝b2＋c2－a22bc＝714.(2)由(1)可得sinA＝32114，∴sin2A＝2sin

AcosA＝3314，cos2A＝2cos2A－1＝－1314，∴cos(2A－C)＝cos2AcosC＋sin2AsinC＝－1314×12＋3314×32＝－17.1．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，设3b

sinA＝a(2＋cosB)．(1)求B；(2)若△ABC的面积等于3，求△ABC的周长的最小值．[解](1)因为3bsinA＝a(2＋cosB)，由正弦定理得3sinBsinA＝sinA(2＋cosB)．显然sinA>0，所以3sinB－

cosB＝2.所以2sinB－π6＝2，∵B∈(0，π)．所以B－π6＝π2，所以B＝2π3.(2)依题意得3ac4＝3，所以ac＝4.所以a＋c≥2ac＝4，当且仅当a＝c＝2时取等号．又由余弦定理得

b2＝a2＋c2－2accosB＝a2＋c2＋ac≥3ac＝12.∴b≥23，当且仅当a＝c＝2时取等号．所以△ABC的周长最小值为4＋23.2．[结构不良试题]已知锐角△ABC，同时满足下列四个条件中的三个：①A＝π3；②a＝13；③c＝15；④sinC＝13.(1)请指出这三个条件，并说明

理由；(2)求△ABC的面积．[解](1)△ABC同时满足①②③.理由：若△ABC同时满足①④，因为是锐角三角形，所以sinC＝13<12＝sinπ6，∴C<π6，结合A＝π3，∴B>π2.与题设矛盾．故△ABC同时满足①④

不成立．所以△ABC同时满足②③.因为c>a，所以C>A．若满足④，则A<C<π6，∴B>π2，与题设矛盾，故此时不满足④.∴△ABC同时满足①②③.(2)因为a2＝b2＋c2－2bccosA，所以13

2＝b2＋152－2×b×15×12.解得b＝8或7.当b＝7时，cosC＝72＋132－1522×7×13<0，C为钝角，与题设矛盾．所以b＝8，S△ABC＝12bcsinA＝303.3.如图，在△ABC中，C＝π

4，∠ABC的平分线BD交AC于点D，且tan∠CBD＝12.(1)求sinA；(2)若CA→·CB→＝28，求AB的长．[解](1)设∠CBD＝θ，因为tanθ＝12，又θ∈0，π2，故sinθ＝55，cosθ＝255.则sin∠ABC＝s

in2θ＝2sinθcosθ＝2×55×255＝45，cos∠ABC＝cos2θ＝2cos2θ－1＝2×45－1＝35，故sinA＝sinπ－π4＋2θ＝sinπ4＋2θ＝22(sin2θ＋cos2θ)＝22×

45＋35＝7210.(2)由正弦定理BCsinA＝ACsin∠ABC，即BC7210＝AC45，所以BC＝728AC．又CA→·CB→＝22|CA→||CB→|＝28，所以|CA→||CB→|＝282，所以AC＝42，又由ABsinC＝ACsin∠ABC，得AB22＝AC45，所

以AB＝5.4．已知在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且asinBbcosA＝3.(1)若a＝25，b＝2，求c的大小；(2)若b＝2，且C是钝角，求△ABC面积的取值范围．[解](1)在△ABC中，asinBbcosA＝3，由正弦定理，得si

nAsinB＝3sinBcosA．∵0<B<π，∴sinB≠0，∴sinA＝3cosA，∴tanA＝sinAcosA＝3.又∵0<A<π，∴A＝π3.在△ABC中，由余弦定理，得a2＝b2＋c2－2b

ccosA，即20＝4＋c2－4c·12，解得c＝1－17(舍去)，c＝1＋17.∴c＝1＋17.(2)由(1)知A＝π3，∴S△ABC＝12bcsinA＝32c.由正弦定理，得csinC＝bsinB，∴c＝bsinCsinB＝2sin2π3－BsinB

＝3tanB＋1.∵A＝π3，C为钝角，∴0<B<π6，∴0<tanB<33，∴c>4，∴S△ABC＞23.即△ABC面积的取值范围是(23，＋∞)．获得更多资源请扫码加入享学资源网微信公众号www.xiangxue100.com