【文档说明】山东省枣庄市2018-2019学年高二下学期期末考试数学试题含解析【精准解析】.doc,共(26)页,2.066 MB,由管理员店铺上传
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2018~2019学年度第二学期质量检测第Ⅰ卷(选择题共52分)注意事项:1.答题前,考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、座号、考生号、县区和科类填写在答题卡和试卷规定的位置上2.第I卷每小题
选出答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑:如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号.答案写在试卷上无效.3.第Ⅱ卷必须用0.5毫米黑色签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置,不能写在试卷上:如需改动,先
划掉原来的答案,然后再写上新的答案:不能使用涂改液、胶带纸、修正带.不按以上要求作答的答案无效.4.填空题请直接填写答案,解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤.一、单项选择题:本大题共10小题,每小题4分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目
要求的.1.设集合{|11}Axx=−,则A=N()A.{1}B.{0,1}C.{1,1}−D.{1,0,1}−【答案】B【解析】【分析】由交集的定义,即得解.【详解】集合{|11}Axx=−,由交集的定义:A=N{0,1}故选:B【点睛】本题考查了集合的交集运算,考查了
学生概念理解,数学运算的能力,属于基础题.2.已知mR,若:0pm;:qxR,sinmx.那么p是q的()A.充要条件B.既不充分也不必要条件C.充分不必要条件D.必要不充分条件【答案】C【解析】【分析】转化xR,sinmx为1
m£,分析即得解【详解】若命题q为真,则xR,sinmx等价于max(sin)1mx=因此p是q的充分不必要条件故选:C【点睛】本题考查了充分必要条件的判定,及存在性问题的转化,考查了学生逻辑推理,转化划归,数学运算的能力,属于基础题.3.
从1,2,3,4,5,6,7,8,9中不放回地依次取2个数,事件A为“第一次取到的是奇数”,B为“第二次取到的是3的整数倍”,则(|)PBA=()A.38B.1340C.1345D.34【答案】B【解析】【分析】由条件概率的定义()(|)()PABPBA
PA=,分别计算(),()PABPA即得解.【详解】由题意5()9PA=事件AB为“第一次取到的是奇数且第二次取到的是3的整数倍”:若第一次取到的为3或9,第二次有2种情况;若第一次取到的为1,5,7,第二次有3种情况,故共有223313+=个事件1313()9872PAB==由条件概率的定
义:()13(|)()40PABPBAPA==故选:B【点睛】本题考查了条件概率的计算,考查了学生概念理解,分类讨论,数学运算的能力,属于中档题.4.已知0.13a=,3log2b=,cos4c=,则()A.cabB.acbC.cbaD.b
ca【答案】C【解析】【分析】通过0,1分段法,根据指数函数、对数函数和三角函数的性质,判断出10abc,由此选出正确结论.【详解】解:∵0.10331=,3330log1log2log31==,342,cos40;∴cba.故选C.【点睛】本小题主要考查利用
对数函数、指数函数和三角函数的性质比较大小,考查0,1分段法比较大小,属于基础题.5.已知nS是等差数列na的前n项和,且939SS=,则na的通项公式可能是()A.22nan=+B.22nan=−C.21nan=+D.21nan=−【答案】D【解析】【分析】由等差数列的求和公式,转化9
39SS=为12da=,故1(21)nana=−,分析即得解【详解】由题意,等差数列na,且939SS=可得11983299(3)22adad+=+故12da=所以1111(1)2(1)(21)naandanana=+−=+−=−当11a=时,21nan=−则na的通项
公式可能是21nan=−故选:D【点睛】本题考查了等差数列的通项公式和求和公式,考查了学生概念理解,数学运算的能力,属于中档题.6.已知随机变量~(4,)XBp,若4()3EX=,则(2)PX==()A.481B.19C.23D.827【答案】D【解析】【分析】由二项分
布的期望公式,可计算得13p=,由222412(2)()()33PXC==,即得解.【详解】由题意随机变量~(4,)XBp,由二项分布的期望公式,可得41()433EXnppp====2224128(2)()()3327PXC===故选:D【点睛】本题考查了二项分布的期望公式
及概率公式,考查了学生概念理解,数学运算的能力,属于中档题.7.已知O是ABCD的两条对角线的交点.若DOABAC=+,其中,R,则:=()A.-2B.2C.12−D.12【答案】A【解析】【分析】
由向量的线性运算,可得12DOOBOAABACAB==+=−+,即得解.【详解】由于12DOOBOAABACAB==+=−+,故11,2==−所以:2=−故选:A【点睛】本题考查了平面向量的线性运算,考查了学生数形结合,数学运算的能力,
属于基础题.8.已知随机变量X的分布列:X0a2P12p−12p若()1EX=,(21)2DX+=,则p=()A.13B.14C.15D.16【答案】B【解析】【分析】由(21)4()DXDX+=,可得1()2DX=,由随机变量分布列的期望、方差公式,联立即得解.【详解】由题
意,11()0()2121222aEXpapp=−++=+=且(21)2DX+=,又1(21)4()()2DXDXDX+==22211()(01)()(1)(21)222DXpap=−−+−+−=联立可得:11,4a
p==故选:B【点睛】本题考查了随机变量分布列的期望和方差,考查了学生概念理解,数学运算的能力,属于中档题.9.已知nS是等比数列na的前n项和,且9S是3S与6S的等差中项,则()A.2,a5,a8
a成等差数列B.2,a8,a5a成等差数列C.2,a4,a6a成等差数列D.2,a6,a4a成等差数列【答案】B【解析】【分析】由于9S是3S与6S的等差中项,得到9362SSS=+,分1q=,1q两种情况讨论,用等比数列的前n项和公式代入,
得到742qqq=+,即8252aaa=+,故得解.【详解】由于9S是3S与6S的等差中项,故9362SSS=+由于等比数列na,若1q=:111129360aaaa=+=,矛盾;若1q:9361119362(1)(1)(1)
2111aqaqaqSSSqqq−−−=+=+−−−9362(1)1+1qqq−=−−747411122qqqaqaqaq=+=+8252aaa=+,即2,a8,a5a成等差数列故选:B【点睛】本题考查了等差、等比数列
综合,考查了学生概念理解,转化划归,数学运算的能力,属于中档题.10.已知函数()2()log41xfxx=+−,则使得2(21)1log5fx−+成立的x的取值范围是()A.(,1)−B.(1,)+C.(0,
1)D.(,0)(1,)−+【答案】C【解析】【分析】转化函数21()log(2)2xxfx=+,证明函数单调性,奇偶性,再转化2(21)1log5fx−+为(21)(1)fxf−,即|2|11x−,求
解即可.【详解】由题意,函数()221()log41log(2)2xxxfxx=+−=+,定义域为R2211()log(2)log(2)()22xxxxfxfx−−−=+=+=,故()fx为偶函数令122xxt=+,在[0,)+单调递增,且2logyt=在(0,)+
单调递增则225(21)1log5(21)log(21)(1)2fxfxfxf−+−−因此|21|101xx−故选:C【点睛】本题考查了函数的奇偶性、单调性在解不等式中的应用,考查了学生
综合分析,转化划归,数学运算的能力,属于较难题.二、多项选择题:本大题共3小题,每小题4分,共12分在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求.全部选对得4分,选对但不全的得2分,有选错的得0分.11.有如下命题,其中真命题的标号为()A.若幂函数()yfx=
的图象过点12,2,则1(3)2fB.函数1()1xfxa−=+(0a,且1a)的图象恒过定点(1,2)C.函数212()1logfxxx=−−有两个零点D.若函数2()24fxxx=−+在区间[0,]m上的最大值为4,最小值为3,
则实数m的取值范围是[1,2]【答案】BD【解析】【分析】A.设幂函数()fxx=,代入12,2,求解幂函数解析式,代入x=3,求解即得解;B.由xya=恒过定点(0,1),令10x−=,即得解;C.转化212()1log0fxxx=−−=为
2121=logxx−,在同一直角坐标系下画出数21yx=−与12logyx=的图像,即得解;D.画出函数2()24fxxx=−+的图像,结合(0)(2)4,(1)3fff===,数形结合即得解.【详解】A.设幂函数()
fxx=,代入12,2,得到1121()2fxx==−=,11(3)32f=故A不成立;B.由于xya=恒过定点(0,1),因此令10x−=,即1x=时,恒有(1)2f=,即图象恒过定点(1,2),故B正确;C.转化2
12()1log0fxxx=−−=为2121=logxx−函数21yx=−与12logyx=在同一直角坐标系下的图像如图:两个函数只有一个交点,故函数()fx只有一个零点,C选项不正确.D.函数2()24fxxx=−+的图像如图所示
,(0)(2)4,(1)3fff===数形结合,可得若函数在区间[0,]m上的最大值为4,最小值为3,则实数m的取值范围是[1,2],D选项正确.故选:BD【点睛】本题考查了二次、幂、指数、对数函数的图像与性质,考查了学生概念理解,转化划归,数形结合的能力,属于中档题.12.如下的四个命题中
真命题的标号为()A.97100162700C=B.3239910CCC+=C.12345678888888CCCCCCC254++++++=D.10(12)x+的展开式中二项式系数最大的项是513579(4)5
!x【答案】BCD【解析】【分析】运用组合数的性质可判断A,B;由二项式定理的二项式系数的性质和通项公式可判断C,D.【详解】由于9731001001009998161700321CC===,故A错误;由组合数的性质:11mm
mnnnCCC−++=,3239910CCC+=,故B正确;1234567808888888888CCCCCCC22562254CC++++++=−−=−=,故C正确;10(12)x+的展开式中二项式系数最大的项是51098
76(2)5!x=513579(4)5!x,故D正确.故选:BCD【点睛】本题考查了组合数的性质和二项式系数的性质,考查了学生概念理解,数学运算能力,属于中档题.13.已知函数()sin()fxx=+(0,||2)在2,23−
上至少存在两个不同的1x,2x满足()()121fxfx=,且()fx在,312−上具有单调性,点,06−和直线712x=分别为()fx图象的一个对称中心和一条对称轴,则下列命题中正确的是()A.()fx的最小正周期为
2B.2332f=−C.()fx在,62上是减函数D.将()fx图象上每一点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变),得到()ygx=的图象,则()sin26gxx=+【答案】BC【解析】【分析】由对称中心和对称轴
方程,可得41()32wk=+,由题意可得1,2,3kw===,结合三角函数的周期性和单调性,图像平移变换可得所求结论.【详解】由题意可得7()0,()1612ff−==,即70,,6122wwkkZ−+=+=+可得41()32wk=+在2[,]2
3−上至少存在两个最大值或最小值,且在[,]312−具有单调性当1k=时,解方程可得2,3w==()fx的最小正周期为,故A不正确;253()sin332f==−,故B正确;由于2()sin(2)3fxx=+可得减区间为7[,],1212kkkZ++可得
()fx在(,)62上是减函数,故C正确;将()fx图像上每一点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变),得到()ygx=的图像,可得()sin()3gxx=+,故D错误.故选:BC【点睛】本题考查了正弦型函数性质的综合,考查了学生综合分析,转化划归,数学运
算的能力,属于中档题.第Ⅱ卷(共98分)三、填空题:本大题共4小题,每小题4分,共16分.14.在平面直角坐标系xOy中,角的顶点为坐标原点,且以Ox为始边,它的终边过点31,22−−,则cos4−的值为________.【答案】624+−【解析
】【分析】由任意角的三角函数定义求得sin,cos的值,再由两角差的余弦求解cos()4−的值.【详解】由题意,13sin,cos22=−=−321262coscoscossinsin44422224+−=+=−−=−故
答案为:624+−【点睛】本题考查了任意角三角函数的定义和两角差的余弦,考查了学生概念理解,数学运算能力,属于基础题.15.已知函数2,2()(1),2xxfxfxx=−,则()2log6f=________.【答案】3【解析】【分析】根据题意,由对数的运
算性质可得222log42log6log83,==结合函数的解析式可得222(log6)(log61)(log3)fff=−=,进而计算可得答案.【详解】根据题意,222log42log6log83,==则222
(log6)(log61)(log3)fff=−=又由21log32则2log322(log6)(log3)23ff===故答案为:3【点睛】本题考查了指数、对数的运算和分段函数求值,考查了学生综合分析,数学运算的能力,属于基础题.16.向量a,b,c在正方
形网格(每个小正方形的边长为1)中的位置如图所示,若向量ab+与c共线,则||ab−=________.【答案】13【解析】【分析】建立平面直角坐标系,从而得到,,abc的坐标,这样即可得出ab+的坐标,根据ab+与c共线,可求出,从而求出ab−的坐标,即
得解.【详解】建立如图所示平面直角坐标系,则:(1,1),(0,1),(2,1)abc==−=;(,1)ab+=−ab+与c共线2(1)02−−==(2,3)ab−=22||2313ab−=+=故答案为:13【点睛】本
题考查了平面向量线性运算和共线的坐标表示,考查了学生概念理解,数形结合,数学运算的能力,属于中档题.17.若827801278(21)xaaxaxaxax−=+++++,则3a=________,246
8aaaa+++=________(用数字作答).【答案】(1).-448(2).3280【解析】【分析】根据通项公式可求出3a,再令1,1xx==−,即可求出【详解】由于827801278(21)xaaxaxaxax−=+++++则33382448aC=−=
−令00,1xa==;令01281,...1xaaaa=++++=令801281,...(3)xaaaa=−−+−+=−上面两式相加得:8024682()136562aaaaa++++=+=24683280aaaa+++=故答案为:-448,3280【点睛】本题考查了二项式的系数及赋值
法求系数和,考查了学生综合分析,转化划归,数学运算的能力,属于中档题.四、解答题:本大题共6小题,共82分.18.已知2()23cossin3(0)2xfxx=+−的图象上相邻两对称轴之间的距离为4.(1)
求()fx的单调递增区间;(2)若()065fx=,且0214,33x,求()02fx+的值.【答案】(1)1028,833kk−++,kZ.(2)85−【解析】【分析】(1)利用半角公式和辅助角公式可得()2sin3fxwx=+,根据相邻两对称轴之间
的距离为4求解周期T,即得w,再令222432xkk−+++,求解即得单调递增区间;(2)代入()065fx=,可得03sin435x+=,转化()0022cos43xfx+=+,结合032432x+即得解【详解】(1)解:()3cos
sinfxwxwx=+312cossin22wxwx=+2sin3wx=+.由题意,最小正周期248T==,所以284w==.所以()2sin43xfx=+.由222432xkk−+++,kZ,得102
8833kxk−++,kZ.所以()fx的单调递增区间为1028,833kk−++,kZ.(2)因为()065fx=,由(1)知()0062sin435xfx=+=,即03
sin435x+=.因为0214,33x,所以032432x+.从而2034cos14355x+=−−=−.所以()0022sin423xfx+=++02cos
43x=+48255=−=−.【点睛】本题考查了正弦型函数的综合应用,考查了学生综合分析、转化划归、数学运算的能力,属于中档题.19.最新研究发现,花太多时间玩手机游戏的儿童,患多动症的风险会加倍.青少年的大脑会很快习惯闪烁
的屏幕、变幻莫测的手机游戏,一旦如此,他们在教室等视觉刺激较少的地方,就很难集中注意力.研究人员对110名年龄在7岁到8岁的儿童随机调查,并在孩子父母的帮助下记录了他们在1个月里玩手机游戏的习惯.同时,教师记下这些孩子出现的注意力不集中问题.统计得到下列数据:注意力不集中注意力集中
总计不玩手机游戏204060玩手机游戏302050总计5060110(1)试估计7岁到8岁不玩手机游戏的儿童中注意力集中的概率;(2)能否在犯错误的概率不超过0.010的前提下认为玩手机游戏与注意力集中有关系?附表:()20PKk0.100.050.0250.0100.0050.0010k
2.7063.8405.0246.6357.87910.82822()()()()()nadbcKabcdacbd−=++++.【答案】(1)23(2)在犯错误的概率不超过0.010的前提下认为玩手机游戏与注意力集中有关系.【解析】【分析】(1)利用频率表示概率即得解;(2)根据题目所给的
数据计算2K的值,对照表格中的数据,可得出结论.【详解】(1)根据题设数据,可得7岁到8岁不玩手机游戏的儿童中注意力集中的概率为402603=.(2)根据表格中的数据,22()()()()()nadbcKabcdacbd−=++++
2110(20203040)50605060−=7.822.可见,26.635K,所以在犯错误的概率不超过0.010的前提下认为玩手机游戏与注意力集中有关系.【点睛】本题考查了频率估计概率以及列联表的应用,考查了学生概念理
解,数据处理,数学运算的能力,属于基础题.20.如图,在ABC中,D是边BC上一点,ABAC=,2BD=,sin2sin3BADCAD=.(1)求DC的长;(2)若2AD=,求ABC的面积.【答案】(1)3(2)5154【解析】【分析】(1)在ABD△中,ACD中分别
使用正弦定理,结合BC=,sin2sin3BADCAD=,即32DCBD=,即得解;(2)在ABD△中,ACD中分别使用余弦定理,结合BDACDA+=,可解得1cos4BDA=−,分别计算,ABDACDSS,又ABCA
BDACDSSS=+可得解.【详解】(1)在ABD△中,由正弦定理,得sinsinBDADBADB=.在ACD中,由正弦定理,得sinsinDCADCADC=.因为ABAC=,所以BC=,所
以sinsinBC=.从而有sinsinBDDCBADCAD=,即sinsinBDBADDCCAD=.又sin2sin3BADCAD=,所以332DCBD==.(2)在ABD△中,由余弦定理,得2222cosABADBDAD
BDBDA=+−2222222cos88cosBDABDA=+−=−.在ACD中,由余弦定理,得2222cosACDCADDCADCDA=+−223212cos1312cosCDACDA=+−=−.由ABAC=,得88cos1312cosBDACDA−=−.因为BDAC
DA+=,所以coscosCDABDA=−.故有88cos1312cosBDABDA−=+.解得1cos4BDA=−.又(0,)BDA,所以15sin4BDA=,15sin4CDA=.111515sin222242A
BDSBDADBDA===;1115315sin322244ACDSCDADCDA===.故ABC的面积5154ABCABDACDSSS=+=.【点睛】本题考查了正弦定理、余弦定理的综合应用,考查了学生综合分析,转化划归,数学运算的能力,属于
中档题.21.已知数列na满足1231(1)(41)23(1)6nnnnnaaanana−+−++++−+=.(1)求na;(2)求数列11nnaa+的前n项和nT;(3)已知
nb是公比q大于1的等比数列,且11ba=,35ba=,设112nanncb++=−,若{}nc是递减数列,求实数的取值范围【答案】(1)21nan=−(2)21nnTn=+(3)1,3+.【解析】【分析】(
1)利用项和转换可得1nnnnaSS−=−,即得na;(2)1111122121nnaann+=−−+,裂项求和法可得解;(3)代入na,可得13nnb−=.23nnnc=−,转化{}nc是递减数列为1nncc+恒成立,化简可得*nN,1223n
恒成立,又1223n是递减数列,即得解.【详解】(1)由题意,数列nna的前n项和(1)(41)6nnnnS+−=.当1n=时,有1111aS==,所以1
1a=.当2n=时,1nnnnaSS−=−(1)(41)(1)(45)66nnnnnn+−−−=−[(1)(41)(1)(45)]6nnnnn=+−−−−()()224314956nnnnn=+−−−+(21)nn=−.所以,当2n=时,
21nan=−.又11a=符合2n=时na与n的关系式,所以21nan=−.(2)111111(21)(21)22121nnaannnn+==−−+−+,12233411111nnnTaaaaaaa
a+=++++1111111112335572121nn=−+−+−++−−+11122121nnn=−=++.(3)由111ba==,359==ba得29q=.又1q,所以3q=.所以1113
nnnbbq−−==.11223nannnncb++=−=−.因为nc是递减数列,所以1nncc+,即112323nnnn++−−.化简得232nn.所以*nN,1223n恒成立.又1223n
是递减数列,所以1223n的最大项为11121233a==.所以13,即实数的取值范围是1,3+.【点睛】本题考查了数列综合,考查了项和转换、裂
项求和、数列的单调性等知识点,考查了学生综合分析,转化划归,分类讨论,数学运算的能力,属于较难题.22.已知函数21()cos12fxxax=+−−,aR.(1)当32a=时,求()fx在0,2上的最大值和
最小值:(2)若xR,()0fx恒成立,求a的取值范围.【答案】(1)最大值是214−,最小值为0.(2)[1,)+【解析】【分析】(1)记()fx的导函数'()fx的导数为''()fx,分析可得()cos20fxx=−+
,结合(0)0f=,可得()fx在R上是增函数,再(0)0f=,可得()fx在0,2上是增函数,即得解;(2)分1212a−,1212a−−,11212a−−三种情况分析()fx的单调性,继而分析()fx的最小值
,即得解.【详解】(1)为表述简单起见,记()fx的导函数'()fx的导数为''()fx.当32a=时,2()cos1fxxx=+−,则()sin2fxxx=−+.()cos20fxx=−+,所以()fx在R上是增函数.又(0)0f
=,所以当0x时,()(0)0fxf=,所以()fx在0,2上是增函数.故()fx在0,2上的最大值是2124f=−,最小值为(0)0f=.(2)1()s
in22fxxax=−+−,1()cos22fxxa=−+−.①若1212a−,即1a时,()110fx−+=,所以()fx在R上是增函数.又(0)0f=,所以当0x时,()(0)0fxf=,所以()fx在(0,)+上是增函数
.所以当0x时,()(0)0fxf=.可见,当0x=,()0fx=.又()fx是偶函数,所以()0fx恒成立.所以1a符合题意.②若1212a−−,即0a时,()1(1)0fx+−=,所以()fx在R上是减函数.所以当0x时,()(0)0fxf=,所以()
fx在(0,)+上是减函数.所以当0x时,()(0)0fxf=.这与()0fx恒成立矛盾,所以0a不符合题意.③当01a时,11212a−−.由1()cos202fxxa=−+−=,得1cos22
xa=−.由cosyx=的图象,知存在唯一的0(0,)x,使得01cos22xa=−.当()00,xx时,()0111()cos2220222fxxafxaa=−+−=−−
+−=.所以()fx在()00,x上是减函数.所以当()00,xx时,()(0)0fxf=,所以()fx在()00,x上是减函数.所以当()00,xx时,()(0)0fxf=.这与()0fx恒成立矛盾,所以
01a不符合题意.综上,a的取值范围是[1,)+.【点睛】本题考查了函数与导数综合,考查了二次求导,含参函数的最值,不等式恒成立问题,考查了学生综合分析,转化划归,分类讨论,数学运算的能力,属于较难题
.23.随着中美贸易战的不断升级,越来越多的国内科技巨头加大了科技研发投入的力度.中华技术有限公司拟对“麒麟”手机芯片进行科技升级,根据市场调研与模拟,得到科技升级投入x(亿元与科技升级直接收益y(亿元)的数据统计如下:序号1234
56789101112x2346810132122232425y1322314250565868.56867.56666当017x时,建立了y与x的两个回归模型:模型①:ˆ4.111.8yx=+;模型②:ˆ21.314.4yx=−;当17x时,确定y与x满足的线性回归方程为ˆ0.7y
xa=−+.(1)根据下列表格中的数据,比较当017x时模型①、②的相关指数2R的大小,并选择拟合精度更高、更可靠的模型,预测对“麒麟”手机芯片科技升级的投入为17亿元时的直接收益.回归模型模型①模型②回归方程ˆ4.111.8yx=+ˆ21.314.4yx=−()721ˆiiiyy=−
182.479.2(附:刻画回归效果的相关指数()()22121ˆ1niiiniiyyRyy==−=−−,174.1)(2)为鼓励科技创新,当科技升级的投入不少于20亿元时,国家给予公司补贴5亿元,以回归方
程为预测依据,比较科技升级投入17亿元与20亿元时公司实际收益的大小.(附:用最小二乘法求线性回归方程ˆˆˆybxa=+的系数:()()()1122211ˆnniiiiiinniiiixynxyxxyybxnxxx====−−−==−−,ˆˆaybx=−)(3)科技升级后,
“麒麟”芯片的效率X大幅提高,经实际试验得X大致服从正态分布()20.52,0.01N.公司对科技升级团队的奖励方案如下:若芯片的效率不超过50%,不予奖励:若芯片的效率超过50%,但不超过53%,每部芯片奖励2元;若芯片的效率超过53%,每部芯片奖励4元记为每部芯片获得的奖励,求()EY(精确到
0.01).(附:若随机变量()2~,(0)XN,则()0.6827PX−+=,(22)0.9545PX−+=)【答案】(1)见解析(2)技术升级投入20亿元时,公司的实际收益更大.(3)2.27元【解析】【分析】(1)由表格
中的数据,182.479.2,所以()()772211182.479.2iiiiyyyy==−−,转化()()772211182.479.211iittyyyy==−−−−,利用相关指数的定义即得解;(2)当17x时,由已知可得,xy,可得
0.7ayx=+,可得y与x满足的线性回归方程,代入计算即得结论;(3)由20.50−=,0.53+=,所以(0.500.53)PX(2)PX=−+(2)()PXPX=−
−+−+,即得解.【详解】解:(1)由表格中的数据,182.479.2,所以()()772211182.479.2iiiiyyyy==−−,所以()()772211182.479.211iittyyyy==−−−−.可见
模型①的相关指数21R小于模型②的相关指数22R.所以回归模型②的拟合效果更好.所以当17x=亿元时,科技升级直接收益的预测值为ˆ21.31714.421.34.114.472.93y=−−=(亿元
).(2)当17x时,由已知可得2122232425235x++++==.68.56867.5666667.25y++++==.所以0.767.20.72383.3ayx=+=+=.所以当17x时,y与x满足的线性回归方程为ˆ0.783.3yx=−+.当20x=时,科技升级直接收益的
预测值为ˆ0.72083.369.3y=−+=亿元.当20x=亿元时,实际收益的预测值为69.3574.3+=亿元72.93亿元,所以技术升级投入20亿元时,公司的实际收益更大.(3)因为20.50−=,0.53+=,所以(0.500.53)(2)PXPX=−
+(2)()PXPX=−−+−+0.95450.68270.68270.81862−=+=;10.6827(0.53)()2PXPX−=+=.所以10.6827()020.818642
EY−=++2.27182.27=(元).【点睛】本题考查了线性回归方程、回归系数,正态分布等知识点,考查了学生综合分析,转化划归,数学运算能力,属于中档题.