【文档说明】浙江省杭州学军中学2024届高三下学期模拟测试数学试题 含解析.docx，共(19)页，1.607 MB，由管理员店铺上传

转载请保留链接：https://www.doc5u.com/view-ab5b5fd428d1e2e81abb2d1120e85fbc.html

以下为本文档部分文字说明：

杭州学军中学2024届高三下模拟数学学科试卷命题人：王馥审题人：徐政一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.设集合(),|2Axyxy=+=，()2,|Bxyyx==，则AB=（）A.()1,1B.(

)2,4−C.()()1,1,2,4−D.【答案】C【解析】【分析】由题意可知AB实质是求交点，进而联立组成方程组求解即可.【详解】解：集合A与集合B均为点集，AB实质是求2xy+=与2yx=的交点，所以联立组成方程

组得22xyyx+==，解得11xy==，或24xy=−=，从而集合()()1,1,2,4AB=−，故选：C.【点睛】本题考查集合的交集运算，属于基础题.2.已知(,)abiabR+是11i

i−+的共轭复数，则ab+=A.1−B.12−C.12D.1【答案】D【解析】【分析】首先计算11ii−+，然后利用共轭复数的特征计算,ab的值.【详解】21(1)21(1)(1)2iiiiiii−−−===

−++−，()abiii+=−−=，0,1,1abab==+=.故选:D.【点睛】本题考查复数的计算，属于基础题型.3.设向量(1,1),(1,3),(2,1)abc==−=，且()abc−⊥，则等于（）A.3B.2C.2−D.3−【答案】A【解析】【分析】由向量线性关系及垂

直的坐标表示列方程求参即可.【详解】由题意得(1,13)ab−=+−，又()abc−⊥，所以()2(1)130abc−=++−=，可得3=.故选：A4.已知点A为曲线()40yxxx=+上的动

点，B为圆()2221xy−+=上的动点，则AB的最小值是（）A.3B.4C.32D.42【答案】A【解析】【分析】数形结合分析可得，当()2,4A时能够取得||AB的最小值，根据点到圆心的距离减去半径求解即可.【详解】圆()2221

xy−+=圆心为()2,0，半径为1，由对勾函数的性质,可知44yxx=+，当且仅当2x=时取等号，结合图象可知当A点运动到()2,4时能使点A到圆心的距离最小，最小值为4，从而AB的最小值为413−=.故选：A的5.()102x+的展开式各项的系数中最大的是（）A.2x的系数B.3x的系数C.

4x的系数D.5x的系数【答案】B【解析】【分析】利用二项式通项的性质和组合数的性质计算出符合条件的k值即可.【详解】通项公式为10110C2kkkkTx−+=，因为11110101010C2C22CCkkkkkk−−−，所以()()()()()210911109

122112213220!1!3kkkkkkkkk−−−−−同理11110101010C2C2C2Ckkkkkk+++，所以()()()()()()1091121091021019131910!1!13kkkkkk

kkk−−−−+++，所以7k=，所以展开式各项的系数中最大的是第八项，为773810C2Tx=，即3x的系数最大.故选：B6.某大学在校学生中，理科生多于文科生，女生多于男生，则下述关于该大学在校学生的结论中，一定成立的是（）A.理科男生多于文科女生B.文

科女生多于文科男生C.理科女生多于文科男生D.理科女生多于理科男生【答案】C【解析】【分析】将问题转化为不等式问题，利用不等式性质求解.【详解】根据已知条件设理科女生有1x人，理科男生有2x人，文科女生有1y人，文科男生有2y人；根据题意可知1212xxyy++，2211xyxy++，

根据异向不等式可减的性质有()()()()12221211xxxyyyxy+−++−+，即有12xy，所以理科女生多于文科男生，C正确.其他选项没有足够证据论证.故选：C.7.已知三棱锥SABC−中，π,4,2,32SABABCSBABBC

=====，SA和BC所成的角为π3，则该三棱锥外接球的表面积是（）A.12πB.16πC.24πD.32π【答案】B【解析】【分析】将三棱锥SABC−放入长方体ABCDEFGH−中，并建立适当的空间直角坐标系，由已知表示出各个点的

坐标，进一步结合OAOSR==，列出方程组求出R即可进一步求解.【详解】将三棱锥SABC−放入长方体ABCDEFGH−中，S在棱EH上面，并以A为原点，,,ABADAE所在直线分别为,,xyz轴建立如图所示的空间直角坐标系：由题意π,4,2,32SABABCSBABBC=

====，所以16423SA=−=，因为SA和BC所成的角为π3，//ADBC，所以ππ23sin3,23cos333AEES====，而底面三角形外接圆圆心为AC中点1O，设球心O到平面ABC的距离为h，则()()()()1330,0,0,2,0,0,2,3,0,0,3,3,1,,0

,1,,22ABCSOOh，所以331,,,1,,322OAhOSh=−−−=−−，则由()2223311344OAOSRRhh===++=++

−，解得23,42hR==，从而24π16πSR==，即该三棱锥外接球的表面积是16π.故选：B.8.已知定义在[0,1]上的函数()fx满足：①(0)(1)0ff==；②对所有,[0,1]xy，且xy，有1

()()2fxfyxy−−.若对所有,[0,1]xy，()()fxfyk−，则k的最小值为A.12B.14C.12D.18【答案】B【解析】【详解】试题分析：不妨令01xy，则()()12fxfyxy−−法一：()()()()()()()

()201fxfyfxffxfyfyf−=−+−−−()()()()()()01fxffxfyfyf−+−+−()()11111110112222222xxyyxyxy−+−+−=+−+−=，即得()()14fxfy−，另一方面，

当10,2u时，()()1,02{11,12uxxfxuxx=−−，符合题意，当12u→时，()110224uff−=→，故14k法二：当12xy−时，()()1124fxfyxy−−，当12xy−时，()()()()()()

01fxfyfxffyf−=−−−()()()()10fxffyf−+−()()11111111012222224xyxyyx−+−=−+=+−，故14k考点：1.抽象函数问题；2.绝对值不等式.二、选择题：本题共3小题

，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.我国于2015年10月宣布实施普遍二孩政策，为了解户籍、性别对生育二胎选择倾向的影响，某地从育龄

群体中随机抽取了容量为200的调查样本，其中城镇户籍与农村户籍各100人；男性120人，女性80人，绘制的不同群体中倾向选择生育二胎与倾向选择不生育二胎的人数比例图如图所示，其中阴影部分表示倾向选择生育二胎的对应比例，则下列叙述正确的是（）A.是否倾向选择生育二胎与户

籍有关B.是否倾向选择生育二胎与性别无关C.调查样本中倾向选择生育二胎的群体中，男性人数与女性人数相同D.倾向选择不生育二胎的群体中，农村户籍人数多于城镇户籍人数【答案】AB【解析】【分析】根据题中数据结合比例图逐项分析判断.【详解】由不同群体中倾向选择生育二胎与倾向选择不生

育二胎的人数比例图，知：在A中，城镇户籍倾向选择生育二胎的比例为40%，农村户籍倾向选择生育二胎的比例为80%，所以是否倾向选择生育二胎与户籍有关，故A正确；在B中，男性倾向选择生育二胎比例为60%，女性倾向选择生育二胎的比例为60%，所以是否倾向选择生育二胎与性

别无关，故B正确；在C中，男性倾向选择生育二胎的比例为60%，人数为12060%72=人，的女性倾向选择生育二胎的比例为60%，人数为8060%48=人，所以倾向选择生育二胎的人员中，男性人数与女性人数不相同，故C错误；在D中，倾向选择不生育二胎的人员中，农村户籍人数为

()100180%20−=人，城镇户籍人数为()100140%60−=人，所以倾向选择不生育二胎的人员中，农村户籍人数少于城镇户籍人数，故D错误.故选：AB.10.双曲线具有以下光学性质：从双曲线的一个焦点发出的光线，经双曲线反射后，反射光线的反向延长线经过双曲线的另

一个焦点．由此可得，过双曲线上任意一点的切线平分该点与两焦点连线的夹角．已知12,FF分别为双曲线22:13xCy−=的左，右焦点，过C右支上一点()()000,3Axyx作双曲线的切线交x轴于点M，交y轴于点N，则（）A.平面上点()24,1,BAFAB+的最小值为3723−B

.直线MN的方程为0033xxyy−=C.过点1F作1FHAM⊥，垂足H，则2OH=（O为坐标原点）D.四边形12AFNF面积的最小值为4【答案】ABD【解析】【分析】对A，利用双曲线定义将2AF转化为12AFa−可得解

；对B，设出直线MN的方程为()00yykxx−=−与双曲线联立，根据Δ0=化简运算得解；对C，由双曲线的光学性质可知，AM平分12FAF，延长1FH与2AF的延长线交于点E，则AH垂直平分1FE，即1AFAE=，H为1FE的中点，进而得

212OHFE=得解；对D，求出N点坐标，根据121212AFNFAFFNFFSSS=+VV，结合基本不等式可求解.【详解】对于A，由双曲线定义得12223AFAFa−==，且()12,0F−，则()22112323421

233723AFABAFABBF+=+−−=−−+−=−，所以2AFAB+的最小值为3723−.故A正确；为对于B，设直线MN的方程为()00yykxx−=−，33k，联立方程组()002233yykxx

xy−=−−=，消去y整理得，()()222222000000136636330kxkxkyxkxkxyy−+−−+−−=，0=，化简整理得2220000960ykxykx−+=，解得003xky=，可得直线MN的方程为()00003xyyxxy−=−，即0033xxyy−

=，故B正确；对于C，由双曲线的光学性质可知，AM平分12FAF，延长1FH与2AF的延长线交于点E，则AH垂直平分1FE，即1AFAE=，H为1FE的中点，又O是12FF中点，所以()()22121113222OHFEAEAFAFAFa==−=−==，故C错误；对于D，由直线MN的

方程为0033xxyy−=，令0x=，得01yy=−，则010,Ny−，121212120000111142422AFNFAFFNFFSSSFFyyyy=+=+=VV，当且仅当001yy=，即01y=时等号成立，所以四边形12AFNF面

积的最小值为4，故D项正确.故选：ABD..【点睛】关键点睛：C项中，结合已知给出的双曲线的光学性质，即可推出AH垂直平分1FE，212OHFE=.11.数列na满足()31166(1,2,3)4nnaan+=−+=，则（）A.当13a=时，na为递减数列，且存在RM，使naM恒成立

B.当15a=时，na为递增数列，且存在6M，使naM恒成立C.当17a=时，na为递减数列，且存在6M，使naM恒成立D.当19a=时，na递增数列，且存在RM，使naM恒成立【答案】BC【解析】【分析】首先由数学归纳

法求出数列的通项，再令13,5,7,9a=时代入通项中，求出具体通项公式，最后结合指数函数的性质逐一判断即可.【详解】由题意可知()311664nnaa+−=−，()()()()233333213211311111166,6666444444aaaaaa−=−−

=−=−=−，归纳猜想：()()()11122113331111333133131126666424nnnnnnnaaaa−−−−−−++++−−−=−=−=−，A：当13a=时，133622nna−−=−，则na为递减数

列，无边界，故A错误；B：当15a=时，131622nna−−=−，则na为递增数列，有边界，由指数函数的单调性可知，当n→时，6na→，故存在6M，使naM恒成立，故B正确；C：当17a=时，131622nna−−=，则na为递减数列，有边界，由指数

函数的单调性可知，当n→时，6na→，故存在6M，使naM恒成立，故C正确；D：当19a=时，133622nna−−=，则na为递增数列，无边界，故D错误；故选：BC.【点睛】关键点点睛：（1）当所给递推数列较为复杂时，（不为用常见的累加累乘等）可考虑先写出几项，

然后用数学归纳法求出通项公式.（2）判断数列是否存在边界或数列不等式恒成立问题可结合指数函数的单调性判断.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知43cossin65a+−=，则11sin6+=______．【答案】45−

【解析】【分析】由题意可得π3343cossincossin3sin62265+−=−=−−=，结合诱导公式可得结果.【详解】由π3343cossincossin3sin62265+−=−=−−=，∴4sin65

−=−而11πππ4sinsin2sin6665+=−+=−=−．故答案为45−【点睛】本题考查三角函数的恒等变换，考查两角和与差正弦公式、诱导公式，考查计算能力，属于常考题型.

13.设随机试验每次成功的概率为p，现进行3次独立重复试验．在至少成功1次的条件下，3次试验全部成功的概率为413，则p=____________．【答案】23【解析】【分析】利用条件概率直接求解.【详解】在至少成功1次的条件下，3次试验全部成功的概率为41

3，则()3341311pp=−−，解得23p=或2−（舍去）.故答案为：2314.若函数()()ecos1xfxxax=++−存在最小值，则a的取值范围是______．【答案】(),1−【解析】【分

析】从1a=，1a，及1a进行分析求解.【详解】注意到，当1a=时，()ecosxfxx=+，由于e0x，1cos1x−，显然()min1fx→−，没有最小值；当1a时，ecos1xx+−且无限接近1−，()1yax=−为增函数，则x→−

，()ecos1xxa++−x→−，x→+，()ecos1xxax++−→+，此时没有最小值；当1a时，()1yax=−为减函数，则x→−，()ecos1xxax++−→+，x→+，由于exy=增长变化速度远大于()1yax=−减少速度，此时()ecos1xxax+

+−→+，由于函数定义域为R,函数连续不断，所以()()ecos1xfxxax=++−存在最小值．故答案为：(),1−四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.在△ABC中，∠A＝90°，点D在BC边上．在平面A

BC内，过D作DF⊥BC且DF＝AC．（1）若D为BC的中点，且△CDF的面积等于△ABC的面积，求∠ABC；（2）若=45ABC，且BD＝3CD，求cos∠CFB．【答案】（1）∠ABC＝60°（2）51751【解析】【分析】（1）由两三角形的面积相等可得1

122ABACCDDF=，再由DFAC=可得CDAB=，从而结合已知可得2BCAB=，进而可求得∠ABC；（2）设ABk=，则32,2,,4ACkCBkBDkDFk====，然后在,BDFCDF中分别利用勾股定理求出,CFBF，再在CBFV中利用余弦定理可求得结果.【

小问1详解】如图所示在ABC中，90A=，点D在BC边上．在平面ABC内，过D作DFBC⊥且DFAC=，所以12ABCSABAC=，12CDFSCDDF=，且CDF的面积等于ABC的面积，由于DFAC=

，所以CDAB=，因为D为BC的中点，故2BCAB=，所以1cos22ABABABCBCAB===，因为ABC为锐角，所以60ABC=．【小问2详解】如图所示：设ABk=，由于90A=，=45A

BC，3,BDDCDFAC==，所以32,2,,4ACkCBkBDkDFk====，由于DFBC⊥，所以222CFCDDF=+，则324CFk=．且222BFBDDF=+，解得344BFk=，在CBFV中，利用余弦定理得222222917251788cos2513234244kkkCF

BFBCCFBCFBFkk+−+−===16.如图，四棱锥SABCD−中，底面ABCD为矩形.SA⊥底面ABCD，E，F分别为AD，SC的中点，EF与平面ABCD成45角.（1）证明：EF为异面直

线AD与SC的公垂线；（2）若12EFBC=，求二面角BSCD−−的余弦值.【答案】（1）证明见解析；（2）33−.【解析】【分析】（1）要证EF为异面直线AD与SC的公垂线，即证ADEF⊥，EFSC⊥，通过线面垂直即可证明；（2）以A为坐标原点

，AB，AD，AS所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，求出平面BSC和平面SCD的法向量，计算求解即可.【小问1详解】连接AC，BD交于点G，连接EG，FG，因为四边形ABCD为矩形，且E，F分别为AD，SC的中点，所以//GECD，且//GFSA，又S

A⊥底面ABCD，所以GF⊥底面ABCD，又AD平面ABCD，所以GFAD⊥，又ADGE⊥，GEGFG=，,GFGE面GEF，所以AD⊥平面GEF，EF面GEF，所以ADEF⊥，因为EF与平面ABCD成45角，所以45FEG=o，所以GFGE=，由2,2SAFGABGE==，所

以SAAB=，取SB的中点H，连接AH，FH，由F，H分别为SC，SB的中点，知//FHBC，12FHBC=，又//AEBC，12AEBC=，所以//FHAE，FHAE=，所以四边形AEFH为平行四边形，又

SAAB=，所以AHSB⊥，又BC⊥平面SAB，AH平面SAB，所以BCAH⊥，又BCSBB=，,BCSB面SBC，所以AH⊥平面SBC，而//AHEF，所以EF⊥平面SBC，又SC平面SBC，所以EFSC⊥，所以EF为异面直线AD与SC的公垂线；【小问

2详解】若12EFBC=，设2BC=，则1EF=，则22GEGF==，所以2SAAB==，以A为坐标原点，AB，AD，AS所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，则()2,0,0B，()0,2,0D，()0,0,2S，()2,2,0C，从而()2,2,2

SC=−，()0,2,0BC=，()2,0,0CD=−，设平面BSC的法向量为()1111,,nxyz=，则1100nSCnBC==，即1111222020xyzy+−==，令11z=，可得()11,0,1n=，设平面SCD的法向量为()2222,,nxyz=，则2200

nSCnCD==，即2222222020xyzx+−=−=，令22z=，可得()20,1,2n=，所以12121223cos,323nnnnnn===，由图可知二面角BSCD−−的平面角为钝角，所以二面角BSCD−−的余

弦值为33−.17.A，B两组各有7位病人，他们服用某种药物后的康复时间（单位：天）记录如下：A组：10，11，12，13，14，15，16；B组：12，13，15，16，17，14，a．假设所有病人的康复时间互相独立，从A，B两组随机各

选1人，A组选出的人记为甲，B组选出的人记为乙．（1）如果25a=，求甲的康复时间比乙的康复时间长的概率；（2）当a为何值时，A，B两组病人康复时间的方差相等?【答案】（1）1049（2）11a=或18【解析】【分析】（1）列举出符合条件的方法，利用古典概率计算即可

；（2）利用方差的意义求出即可.【小问1详解】从两组中随机选取一人，共有49种方法；其中甲的康复时间比乙的康复时间长的方法如下：()()()()()()()()()()13,12,14,12,14,13,15,12

,15,13,15,14,16,12,16,13,16,15,16,14，共有10种方法，所以概率为1049.【小问2详解】把B组数据调整为：12，13，14，15，16，17，a，或a，12，13，14，15，16，17，根据方差的意义为反应样本波动性的大小

可知，11a=或18.18.已知抛物线2(0)yaxa=与双曲线1yx=交于点T，两条曲线的公切线分别与抛物线、双曲线切于点P，Q．（1）证明：PQT△存两条中线互相垂直；（2）求PQT△的面积．【答案】（1）证明见解析；（2）274.【解析】【

分析】（1）设出切点,PQ的坐标，利用导数的几何意义求出公切线方程，进而求出三边的中点坐标即可推理得证.（2）利用（1）的结论，结合三角形重心定理求出面积.【小问1详解】设21(,),(,)PPQQPxaxQxx，由2yax=、1yx=，求导得2yax=、21yx=−，则抛物线2(0)ya

xa=在点P处切线方程为22()PPPyaxaxxx−=−，双曲线1yx=在点Q处切线方程为211()QQQyxxxx−=−−，由直线PQ是两条曲线的公切线，得22122PQPQaxxaxx=−−=，解得4=PQxx，

且22PQaxx−=，令12Qxt=−，则2Pxt=−，21(,4),(,2)2PtQttt−−−，且3,0att=，由21yaxyx==，解得1,xytt==，即点1(,)Ttt，则边PQ中点5(,)4Mtt−，边PT的中点15(,)22tKt−，边Q

T的中点1(,)42tLt−，显然直线:MTyt=，直线1:2KQxt=−，则直线MTKQ⊥，在所以PQT△存在两条中线互相垂直.【小问2详解】由（1）知，99,24tKQMTt==，令PQT△的重心为H，所以PQT△的面积122992722233244PQTKQTtSS

KQTHKQMTt=====.【点睛】结论点睛：函数y=f(x)是区间D上的可导函数，则曲线y=f(x)在点00(,())xfx0()xD处的切线方程为：000()()()yfxfxxx−=−.

19.已知函数()7xfxxa+=+关于点()11,−中心对称．（1）求函数()fx的解析式；（2）讨论()()()2gxxfx=在区间()0,+上的单调性；（3）设()111,nnaafa+==，证明：222lnln71nna−−．【答案】（1）()71xfxx+=

+（2）答案见解析（3）证明见解析【解析】【分析】（1）由中心对称函数的性质得出即可；（2）利用导数分析其单调性即可；（3）将要证明的不等式利用对数运算变形为221ln72nna−，再用数学归纳法结合（2）证明即可.【

小问1详解】因为函数()7xfxxa+=+关于点()11,−中心对称，所以()()112fxfx−−+−+=，即1717211xxaxxa−−+−+++=−−−++，取2x=，可得48231aa+=−+，解得1a=或7a

=（舍去），所以1a=，()71xfxx+=+.小问2详解】因为()()()2gxxfx=，0x，所以()()()()()()()2222372377621111xxxxgxxxxxx+−+++=+−=++++，

因为()()3270,10,233xxx++−+，所以()0gx恒成立，所以()()()2gxxfx=在区间()0,+上单调递增.【小问3详解】证明：要证222lnln71nna−−，即证221ln72nna−

，当1n=时，2211211lnlnln7lne2727a−==，成立，即证2111ln72nna+−，即证2211lnln727nnaa+，由题意得0na，则即证21lnln77nnaa+，因为()1171,1nnnnaaafaa++===+

，()()171777711nnnnnaaaaa+−−+−=−=++，由0na，即7na−与17na+−异号，当7na，107na+，即证217lnln7nnaa+，即证2177nnaa+，即证2177nnaa+，即证27771nnnaaa+

+，由（2）可知，当()()7,777nnagag=成立.【当17,07nnaa+，即证217lnln7nnaa+，即证2177nnaa+，即证2177nnaa+，即证27771nnnaaa++，由（2）可知，当()()07,777nn

agag=成立.综上，得证.【点睛】关键点点睛：（1）若函数()fx满足()()2fmxfmxn−++=，则对称中心为(),mn；（2）判断符合函数的单调性时，常用导数判断；（3）证明数列不等式，可用数学归纳法证明，分别取当1n=时的特例和1n的一般情况证明.