【文档说明】湖南师范大学附属中学2023-2024学年高一下学期期末考试数学试卷 Word版含答案.docx，共(10)页，721.971 KB，由小赞的店铺上传

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湖南师大附中2023-2024学年度高一第二学期期末考试数学命题人时量：120分钟满分：150分得分：_______一、选择题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题意的．）1．已知点()2,1,4A−−，则点A关于x轴的对称点

的坐标为A．()2,1,4−−−B．()2,1,4−−C．()2,1,4D．()2,1,4−−2．在简单随机抽样中，某一个个体被抽到的可能性A．与第几次抽样有关，第一次抽到的可能性最大B．与第几次抽样有关，第一次抽到的可能性最小C．与第几次抽样无关，每一次抽到的可能性相等D．与第几次

抽样无关，与样本量也无关3．已知x，Cy，则“1xy==”是“1xyii+=+”的A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件4．已知一组数据1x，2x，3x，4x，5x的平均数为3，方差为12，则另

一组数据132x−，232x−，332x−，432x−，532x−的平均数、方差分别为A．3，12B．3，1C．7，32D．7，925．已知向量()1,2a=r，()2,2b=−r，()1,c=r．若()2cab⊥+rrr，则λ

=A．12−B．12C．-2D．26．如图，P为平行四边形ABCD所在平面外一点，E为AD的中点，F为PC上一点，当PA∥平面EBF时，PFFC=A．23B．14C．13D．127．柯西不等式是数学家柯西（Cauchy）在研究数学分析中的“

流数”问题时得到的一个重要不等式，而柯西不等式的二维形式是同学们可以利用向量工具得到的：已知向量()11,axy=r，()22,bxy=r，由ababrrrr得到()()()2222212121122xxyyxyxy+++，当且仅当122

1xyxy=时取等号．现已知0a，0b，5ab+=，则223ab+++的最大值为A．18B．9C．23D．338．冰雹猜想又称考拉兹猜想、角谷猜想、31x+猜想等，其描述为：任一正整数x，如果是奇数就乘以3再加1，如果是偶数就除以2，反复计算，最终都将会得到数字1．例如：给出正整数5

，则进行这种反复运算的过程为5→16→8→4→2→1，即按照这种运算规律进行5次运算后得到1．若从正整数6，7，8，9，10中任取2个数按照上述运算规律进行运算，则运算次数均为奇数的概率为A．110B．35C．7

10D．56二、选择题（本大题共3个小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求的，全部选对的得6分，部分选对的得部分3分，有选错的得0分．）9．为了加深师生对党史的了解，激发广大师生知史爱党、知史爱国的热情．某校举办了“学党史、育文化”暨“喜

迎党的二十大”党史知识竞赛，从1000名参赛师生中随机选取100人的竞赛成绩作为样本（满分100分成绩取整数）得到如图所示的频率分布直方图，则下列说法正确的是A．a的值为0.05B．估计这100人竞赛

成绩的众数为75C．1000名参赛师生中成绩低于60分的约有25人D．以频率估计概率．从1000名参赛师生中随机抽取1人，该选手成不低于90分的概率为0.0510．在ABC△中，角A、B，C所对的边分别为a，b，c，以下说法正确的是A．若AB，则sinsinABB．若4a=，5

b=，6c=，则ABC△为钝角三角形C．若5a=，10b=，4A=，则符合条件的三角形不存在D．若coscosaAbB=，则ABC△一定是等腰三角形11．如图，在平行六面体1111ABCDABCD−中，12ABADAA==

=，1160DABAABAAD===，若1AQmABnADpAA=++，其中m，n0,1，则下列结论正确的有A．若点Q在平面1111ABCD内，则1p=B．若CQDB⊥，则mn=C．当12p=时，三棱锥QABD−的体积为928D．

当1mn+=时，CQ长度的最小值为2三、填空题（本大题共3个小题，每小题5分，共15分．）12．某工厂甲、乙、丙三个车间生产了同一种产品，数量分别为120件，80件，60件．为了解它们的产品质量是否存在显著差异，用分层

随机抽的方法抽取了一个容量为n的样本进行调查，其中从丙车间的产品抽取了3件，则n=______．13．角，满足()()sincos22cossin4+++=+，则()tan−=______．14．如图，边长为4的正方形ABC

D中，半径为1的动圆Q的圆心Q在边CD和DA上移动（包含端点A，C，D），P是圆Q上及其内部的动点，设(),RBPmBCnBAmn=+，则mn+的取值范围是______．四、解答题（本大题共5个小题，共77分．解答应写出文字说

明、证明过程或演算步骤．）15．（本小题13分）已知ABC△的内角A，B，C所对边分别为a，b，c，且2b=，()2213ac=−+．（1）求A；（2）若4sinsinaAB=，求cosC的值．16．（本小题15分）在四棱

锥PABCD−中，底面ABCD是边长为2的正方形，PAPD=，直线PA与BC所成的角的正切值等于2，3PB=，M，N分别是PB，PC的中点．（1）判断直线AM和DN的位置关系并说明理由；（2）证明：平面PAD/平面ABCD；（3）求平面MPD与平面APD夹角的余弦值．17．（本小

题15分）某校举办“创新杯”围棋比赛活动，经过激烈的角逐后，甲、乙两名选手进入到最后的决赛，决赛采用五局三胜的赛制，决出最后的冠军．通过分析，若甲先下，则甲赢的概率为34，若乙先下，则乙赢的概率为23，每局没有和棋，不同局的结果互不影响．已

知第一局甲先下，甲、乙两人依次轮流先下．（1）求比赛四局乙赢的概率；（2）已知前两局甲、乙各赢一局，求比赛五局结束的概率．18．（本小题17分）如图，已知正方体ABCDEFGH−的棱长为2，点M，N分别在线段AB，BF上．（1）当AM

FN=时，求异面直线EM与GN所成角的取值范围；（2）已知线段HN的中点为点K，当2AMFN+=时，求三棱锥MNK的体积的最小值．19．（本小题17分）已知函数()yfx=，若存在实数m，()0km，使得对于定义

域内的任意实数x，均有()()()mfxfxkfxk=++−成立，则称函数()fx为“可平衡”函数，有序数对(),mk称为函数()fx的“平衡”数对．（1）若()2fxx=，求函数()fx的“平衡”数对；（2）若1m=

，判断()sinfxx=是否为“可平衡”函数，并说明理由；（3）若1m，2mR，且1,2m，2,4m均为函数()cos204fxxx=的“平衡”数对，求2212mm+的取值范围

．湖南师大附中2023—2024学年度高一第二学期期末考试数学参考答案题号1234567891011答案BCADCDDABDACABD一、选择题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项

中，只有一项是符合题意的．）1．B【解析】空间点关于x轴对称，横坐标不变，另外两个坐标相反，所以点A关于x轴的对称点为()2,1,4−−．故选B．2．C【解析】在简单随机抽样中，某一个个体被抽到的可能性均相同，与第几次抽

样无关，但和要抽取的样本量有关，样本量越大，被抽到的概率越大．故选C．3．A【解析】略三、填空题（本大题共3个小题，每小题5分，共15分）12．1313．-114．221,244−+四、解答题（本大题共5个小题．共77分．解答

应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15．【解析】（1）由已知条件得()2222221322accccbcb=−+=−+=−+．由余弦定理可得2222221cos2222bcabccbcbbcAbcbcbc+−+−+−===

=，因为()0,A，所以3A=．（2）若4sinsinaAB=，则结合正弦定理得sinsinsinsin24BABBb===．所以21sin2B=，从而sin22B=，得4B=或34B=．而23BACA=−−−=，故4B=．所以()()

coscoscosCABAB=−−=−+sinsincoscosABAB=−321262sinsincoscos343422224−=−=−=．16．【解析】（1）直线AM与DN相交．由M，N分别是PB，PC的中点，故MNBC∥，12MNBC=，又BCAD∥，所以四边形AM

ND为梯形，且AM与DN是梯形的两条腰，故直线AM与DN相交．（2）取AD的中点为O，连接PO，BO，因为PAPD=，所以POAD⊥，因为BCAD∥，所以∠PAD就是直线PA与BC所成的角，所以tan2PAD=，又底面ABCD是边长为2的正方形，所以22ABADAO===

，1AO=，5BO=，由tan2PADPOAO==得2PO=，又3PB=，则有222PBPOBO=+，所以POBO⊥，又AD，BO平面ABCD，BOADO=I，所以PO⊥平面ABCD，而PO平面PAD，所以平面P

AD⊥平面ABCD．（3）因为M是PB的中点，所以平面MPD即为平面BPD，在正方形ABCD中，取BC的中点Q，连接OQ，则OQAD⊥，又由（2）知PO⊥平面ABCD，故以O为原点，OQ，OA，OP所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立如图所

示的空间直角坐标系，则()2,1,0B，()0,1,0D−，()0,0,2P，(2,2,0)BD=−−uuur，(2,1,2)BP=−−uuur，设平面BPD的一个法向量为(),,nxyz=r，则220220mBDxymBP

xyz=−−==−−+=uuuruuur取2x=，则2y=−，1z=，故()2,2,1n=−r，平面APD的一个法向量为()1,0,0m=r，()()2222120102cos||||31221nmnmnm+−+===+−+．所以平面MP

D与平面APD夹角的余弦值为23．17．【解析】（1）设“乙先下乙赢”为事件A．“甲先下乙赢”为事件B．由题知，()23PA=，()14PB−，设比赛四局乙赢为事件C，则()()()()PPBABAPBABACPBABA=++32121112123213434343

43434372=++=所以比赛四局乙赢的概率为1372．（2）已知前两局甲、乙各赢一场，且比赛五局结束比赛，则第三局和第四局甲、乙各赢一场，第五局甲、乙都有可能赢，设“前两局甲、乙各赢一场，比赛五局结束”为事件D，则()()()11327434312PDPBAPBA=+=+

=，所以前两局甲、乙各赢一场，比赛五局结束的概率为712．18．【解析】（1）由题意，正方体的三条棱长DA，DC，DH两两互相垂直，故以D为原点，DA，DC，DH所在直线分别为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，2AB=，由题意不妨设AMFNa==，0,2a，所以()2,0,2E，()

0,2,2G，()2,,0Ma，()2,2,2Na−，所以(0,,2)EMa=−uuuur，(2,0,)GNa=−uuur，设异面直线EM与GN所成角为，0,2，所以22222coscos444EMGNaaEMGNaEMGNaa====

+++uuuuruuuruuuuruuuruuuuruuur，（4分）令()224afaa=+，,02a，当0a=时，()0fa=；当0a时，()2211024,22afaaaa==++，,02a，综上，()1cos0,2fa=，则,32

，所以异面直线EM与GN所成角的取值范围为32,．（9分）（2）如图所示，由题意，线段HN的中点是K，2AB=，不妨设AMa=，2FNa=−，,02a，所以()0,0,2H，()2,2,Na，1,1,12aK+，1,1

,12aKN=−uuur，取平面EMN的一个法向量为()1,0,0n=r，所以点K到平面EMN的距离为1nKNdn==uuurrr，（亦可直接说明112EdH==）而()()111222222222EMNEMABMN

EFNAEFBaSSSSSaaa=−−−=−−−−−正方形VVVV21122aaaa−−−=++()2211321222aaa=−+=−+，所以三棱锥EMNK−的体积为()21111362EMNKKMNEEMNVVSad−−===−+△

，,02a，所以当且仅当1a=时，三棱锥EMNK−的体积取最小值12．19．【解析】（1）根据题意可知，对于任意实数x，()()2222222mxxkxkxk=++−=+成立，即22222mxxk=+，即()22220mxk−−=对于任意实数x恒成立，则2m=，0k=，故函数(

)²fxx=的“平衡”数对为()2,0．（2）若1m=，则()sinmfxx=，()()()()sinsin2sincosfxkfxkxkxkxk++−=++−=，要使得()fx为“可平衡”函数，需使()12cos

sin0kx−=对于任意实数x均成立，则cos12k=，此时23kn=，nZ，故k存在，所以()sinfxx=是“可平衡”函数．（3）假设存在实数m，k（0m），有序数对(),mk为函数()2cos04fxxx=

的“平衡”数对，则()()222coscoscosmxxkxk=++−，∴()()()1111cos21cos21cos2222mxxkxk+=++++−，∴()1cos21cos2cos2sin2sin21cos2cos2sin2sin2mxxkxkxkx

k+=+−+++，∴()1cos222cos2cos2mxxk+=+，∴1,2m，2,4m均为函数()2cos04fxxx=的“平衡”数对，∴()11cos222cos2cos

22cos2mxxx+=+=−，()21cos222cos2cos22mxx+=+=，∵04x，∴022x，∴0cos21x，∴()2221222212sin22cos22sin2tan1cos212cos1cosxxxmxxxx−−−==

==++−，22211cos2cosmxx==+，∴22412414tancosmmxx+=+，设()4414tan0cos4hxxxx=+，函数单调递增，∴()()40hhxh，即()18hx，∴2212mm+的取值范围为(1,8．