【文档说明】天津市南开区南开中学2020届高三上学期2月月考数学试题含解析【精准解析】.doc，共(18)页，1.436 MB，由小赞的店铺上传

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南开中学2020届高三数学统练（4）一、选择题1.设2,|21,log0xUAxBxx===R,则CUAB=A.{|0}xxB.1xxC.{|01}xxD.{|01}xx【答案】C【解

析】因为|21xAx==()0,+,B=2|log0xx=()1,+,所以((C,1,C0,1UUBAB=−=.故选C．2.一个圆锥的表面积为，它的侧面展开图是圆心角为120的扇形，则该圆锥的高为（）A.1B.2C.2D.22

【答案】B【解析】试题分析：设圆锥底面半径是，母线长，所以，即，根据圆心角公式，即，所以解得，，那么高考点：圆锥的面积3.设函数246,0()6,0xxxfxxx−+=+，则不等式()(1)fx>f的解集是（）A.(3,1)(3,)−+B.(3,1)(2,)−

+C.(1,1)(3,)−+D.(,3)(1,3)−−【答案】A【解析】试题分析：由函数f（x）＝246,0{6,0xxxxx−++得(1)3()3ffx=不等式化为即20{463xxx−+或0{63xx+所以301-303-31xxxxx

或或或考点：分段函数和解不等式．【此处有视频，请去附件查看】4.下列四个函数：①y＝3－x；②y＝2x－1(x>0)；③y＝x2＋2x－10；④y＝()0{?1(0)xxxx，其中定义域与值域相同的函数的个数为()A.1B.2C

.3D.4【答案】B【解析】【分析】逐个选项分析，分析函数的定义域及值域即可.【详解】对于①，函数y＝3－x的定义域和值域均为R，符合题意；对于②，函数y＝2x－1(x>0)的定义域为()0,+，值域为1,2+，不合题意；对于③，函数y＝x2＋2

x－10的定义域为R，值域为[－11，＋∞)，不合题意；对于④，函数,0{1,0xxyxx=的定义域和值域都是R．综上可知定义域与值域相同的函数是①④，共有2个．选B．【点睛】本题主要考查了一次函数，指数型函数，二次函

数，分段函数的定义域及值域的求法，属于中档题.5.函数()()2,211,22xaxxfxx−=−是R上的单调减函数，则实数a的取值范围是（）A.(),2−B.13,8−

C.()0,2D.138,2【答案】B【解析】【分析】分段函数在定义域内单调递减须满足在各段单调递减，还需要注意连接点处的函数值，由此可得()22012212aa−−−

，解出即可．【详解】解：因为函数()()2,211,22xaxxfxx−=−是R上的单调减函数，所以()22012212aa−−−，所以138,a−

，故选：B．【点睛】本题主要考查分段函数的单调性，属于易错的基础题．6.已知函数()1,2,{(02log,2axxfxaxx−=+且1)a的最大值为1,则a的取值范围是A.1,12B.()0,1C.

10,2D.()1,+【答案】A【解析】【分析】对x进行分类讨论，当x≤2时，f（x）=x﹣1和当x＞2时，2+logax≤1．由最大值为1得到a的取值范围．【详解】∵当x≤2时，f（x）=x﹣

1，∴f（x）max=f（2）=1∵函数()1,2,{2log,2axxfxxx−=+（a＞0且a≠1）的最大值为1,∴当x＞2时，2+logax≤1．∴01log21aa−，解得a∈[12，1）故答案为：A【点睛】（1）本题主要考查分段函数的最值问题

，考查对数函数的图像和性质，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2)本题的解题关键是分析推理出当x＞2时，2+logax≤1．7.设奇函数()fx在(0)+，上为增函数，且(1)0f=，则不等式()()0fxfxx−−的解集为（）A.(10)(1)−+，，B.(

1)(01)−−，，C.(1)(1)−−+，，D.(10)(01)−，，【答案】D【解析】由f(x)为奇函数可知，()()fxfxx−−＝()2fxx<0而f(1)＝0，则f(－1)＝－f(1)＝0.当x>0时，f(x)<0＝f(1)；当x<0时，f(

x)>0＝f(－1)．又∵f(x)在(0，＋∞)上为增函数，∴奇函数f(x)在(－∞，0)上为增函数．所以0<x<1，或－1<x<0.选D点睛：解函数不等式：首先根据函数的性质把不等式转化为(())(())fgxfhx的形式，然后根据函数的单调性去掉“f”，转化为具体的不等式(组)，

此时要注意()gx与()hx的取值应在外层函数的定义域内【此处有视频，请去附件查看】8.已知函数()2sin3fxxx=−，若对任意[2,2]m−，2(3)()0fmafa−+恒成立，则a的取值范围是（）A.(1,1)−B.(,1)(3,)−−+C.()3,3−D.(,3)(1,)−−

+【答案】A【解析】()()fxfx−=−,且()2cos30fxx=−，所以函数()fx为单调递减的奇函数，因此()()230fmafa−+222(3)()()3fmafafamaa−−=−−−即22312

3111323aaaaaaa−−−−−−−−，选A.点睛：解函数不等式：首先根据函数的性质把不等式转化为(())(())fgxfhx的形式，然后根据函数的单调性去掉“f”，转化为具体的不等式(组)，此时要

注意()gx与()hx的取值应在外层函数的定义域内9.已知函数()yfx=是R上的偶函数，对于xR都有()()()63fxfxf+=+成立，且()62f−=−，当1x，20,3x，且12xx时，都有()()12120fxfxxx−−.则给出下列命题

：①()20162f=−；②6x=−为函数()yfx=图象的一条对称轴；③函数()yfx=在()9,6−−上为减函数；④方程()0fx=在9,9−上有4个根；其中正确的命题个数为（）A.1B.2C.3D.4

【答案】D【解析】【分析】由()()()63fxfxf+=+可得()30f−=，结合偶函数的性质可得()30f=，从而推出()()6fxfx+=，可得函数()yfx=是以6为周期的周期函数，从而可判断①②，又根据当1x，20,3x，且12xx

时，都有()()12120fxfxxx−−可得函数在0,3上单调递增，结合函数值以及对称性可判断③④．【详解】解：对于①，令3x=−，由()()()63fxfxf+=+得()30f−=，又函数()

yfx=是R上的偶函数，∴()()330ff=−=，∴()()6fxfx+=，即函数()yfx=是以6为周期的周期函数，∴()()()201633660fff==；又()62f−=−，所以()02f=−，从而()20162f=−，即①正确；对于②，函数关于y

轴对称，周期为6，∴函数()yfx=图象的一条对称轴为6x=−，故②正确；对于③，当1x，20,3x，且12xx时，都有()()12120fxfxxx−−，设12xx，则()()12fxfx，故函数

()yfx=在0,3上是增函数，根据对称性，易知函数()yfx=在3,0−上是减函数，根据周期性，函数()yfx=在()9,6−−上为减函数，故③正确；对于④，因为()()330ff=−=，又由其单调性及周

期性可知在9,9−，有且仅有()()()()33990ffff=−==−=，即方程()0fx=在9,9−上有4个根，故④正确；故选：D．【点睛】本题主要考查抽象函数的基本性质的综合应用，属于中档题．二、填空题10.已知函数()fx的定义域为()0,+，且()1fx2fx1x=

−，则()fx=______．【答案】21x33+【解析】【分析】易知()11f?2fx1xx=−，联立已知式子，得关于()fx和1fx的方程组，解方程进而可解.【详解】在()1fx2fx1x=−，用1x代替x，得()11f2fx1xx

=−，联立得()()1fx=2fx-1x11f=2fx-1xx，将()2fx1f1xx=−代入()1fx2fx1x=−中，可求得()21fxx33=+．故填：21x33+【点睛】本题考查了通过给定条件求函

数解析式的问题；求解函数解析式的几种常用方法有：①换元法；②待定系数法；③凑配法；④消元法；⑤赋值法等.11.已知函数()fx的定义域为R，直线1x=和2x=是曲线()yfx=的对称轴，且()01f=，则()(

)410ff+=________.【答案】2【解析】【分析】（定义法）由()yfx=的图象关于直线1x=对称，得()()2fxfx−=+，同理得()()4fxfx−=+，从而可推出()()2fxfx=+，进而可得出答案．

（性质法）由直线1x=和2x=是曲线()yfx=的对称轴，可得函数()yfx=的周期是2，从而可求出答案．【详解】解：（定义法）由()yfx=的图象关于直线1x=对称，得()()2fxfx−=+，同理得()()4fxfx−=+，则()()22

2fxfx+=++，所以()()2fxfx=+，则()()()()410002ffff+=+=.（性质法）由直线1x=和2x=是曲线()yfx=的对称轴，可得函数()yfx=的周期是2.又()01f=，则()()()()410002ffff+=+=.

故答案为：2．【点睛】本题主要考查函数对称性的应用，考查函数的周期性，属于中档题．12.设()fx是定义在R且周期为1的函数，在区间)0,1上，()2,,xxDfxxxD=其中集合1,nDxxnNn

−==，则方程()lg0fxx−=的解的个数是____________【答案】8【解析】由于()[0,1)fx，则需考虑110x的情况，在此范围内，xQ且xD时，设*,,,2qxpqpp=N，且,pq互质，若lgxQ，则

由lg(0,1)x，可设*lg,,,2nxmnmm=N，且,mn互质，因此10nmqp=，则10()nmqp=，此时左边为整数，右边为非整数，矛盾，因此lgxQ，因此lgx不可能与每个周期内xD对应的部分相等，只需考虑lgx与每

个周期xD的部分的交点，画出函数图象，图中交点除外(1,0)其他交点横坐标均为无理数，属于每个周期xD的部分，且1x=处11(lg)1ln10ln10xx==，则在1x=附近仅有一个交点，因此方程()lg0fxx−=的解的个数为8．

点睛:对于方程解的个数(或函数零点个数)问题，可利用函数的值域或最值，结合函数的单调性、草图确定其中参数范围．从图象的最高点、最低点，分析函数的最值、极值；从图象的对称性，分析函数的奇偶性；从图象的走向趋势，分

析函数的单调性、周期性等．13.设函数()yfx=的定义域为D，若对于任意的12,xxD，当122xxa+=时，恒有()()122fxfxb+=，则称点(),ab为函数()yfx=图像的对称中心.研究函数()3sin2fxxx=++的某一个对称中心，并

利用对称中心的上述定义，可得到()()1919112020ffff−+−+++=.【答案】82【解析】试题分析：由()3sin2fxxx=++知当时，()()1222fxfx+=.1120−+=，1919202020−+=，

，(1)(1)22ff−+=，1919()()222020ff−+=，，则()()1919112020ffff−+−+++=.考点：函数的对称性.【方法点晴】平时

我们讲得对称中心都在轴上，很容易得到为奇函数，对称中心为,由()3sin2fxxx=++可得到该函数对称中心为，由此可得，再由值的对称性，即可求结果．本题虽然考查的知识点比较少，但内容抽象，不易理解，还要借助于数的对称，来解决问题．本题属于难

题.14.已知定义在R上的奇函数()fx满足()()4fxfx−=−，且在区间0,2上是增函数，若方程()()0fxmm=在区间8,8−上有四个不同的根1x，2x，3x，4x，则1234xxx

x+++=________.【答案】8−【解析】【分析】()()4fxfx−=−可得()()8fxfx+=，从而有函数的一个周期为8，再结合奇函数的性质可得函数()fx的图象关于2x=对称，结合题意可画出函数的大致图象，结合图象可求出答案．【详解

】解：因为()()4fxfx−=−，所以()()()84fxfxfx+=−+=，即函数()fx的一个正周期为8，又因为()fx为奇函数，()()()4fxfxfx+=−=−，故函数()fx的图象关于2x=对称，又由

题意可知()fx在0,2上单调递增，综上，可以画出函数图象的示意图：方程()()0fxmm=在区间8,8−上有四个不同的根1x，2x，3x，4x，不妨设1234xxxx<<<，则1212xx+=−

，344xx+=，则12348xxxx+++=−．【点睛】本题主要考查函数的图象与性质得综合应用，考查数形结合思想，属于难题．15.定义：如果函数()yfx=在定义域内给定区间,ab上存在()00xaxb，满足()()()0fbfafxba−=

−，则称函数()yfx=是,ab上的“平均值函数”，0x是它的一个均值点，例如2yx=是1,1−上的平均值函数，0就是它的均值点.现有函数()3fxxmx=+是1,1−上的平均值函数，则实数m的取值范围是________.【答案】33,4−−【解析】【分

析】根据新定义可得31xmxm+=+在区间()1,1−上有解，利用分离变量法即可求出答案．【详解】解：设11x−，()()()()11111fffxm−−==+−−，∴31xmxm+=+在区间()1,1

−上有解，∴()311xmx−=−，21mxx=−−−，()1,1x−.∵2213124yxxx=−−−=−+−在()1,1−的值域为33,4−−，所以方程有解实数m的取值范围是33,4−−，故答案为：33,4−−．【点睛】本题主要考查函数

在区间上能成立的问题，常用分离变量法，属于难题．三、解答题16.设函数()2sincossin4fxxxx=−−.（1）求函数()fx的最小正周期；（2）求函数6fx−在0,2

上的最大值与最小值.【答案】（1）；（2）最大值12，最小值3122−−.【解析】【分析】（1）根据降幂公式以及诱导公式化简函数()fx，再根据周期计算公式即可得出答案；（2）先求得1sin2632fxx−=−−，再求出23x−的范围，从而可求出函数

的最值．【详解】解：（1）因为()2sincossin4fxxxx=−−1cos212sin222xx=−−−111sin2cos22222xx=+−−111sin2sin2222xx=−+1sin22x=−，所以函数()

fx的最小正周期为；（2）由（1）得1sin2632fxx−=−−，因为02x，所以22333x−−，所以3sin2123x−−，所以3111sin222322x−−−−，当512x=时，6fx−

取到最大值12；当0x=时，6fx−取到最小值3122−−．【点睛】本题主要考查三角函数的周期、最值，属于基础题．17.如图，三棱锥PABC−，侧棱2PA=，底面三角形ABC为正三角形，边长为2，顶点P在平面ABC上

的射影为D，有ADDB⊥，且1DB=.（1）求证：//AC平面PDB；（2）求二面角PABC--的余弦值；（3）线段PC上是否存在点E使得PC⊥平面ABE，如果存在，求CECP的值；如果不存在，请说明理由.【答案】

（Ⅰ）见解析;（Ⅱ）217−;（Ⅲ）见解析.【解析】【详解】试题分析：（1）证线面平行，则要在平面PDB找一线与之平行即可，显然分析//DBAC即得证，（2）求二面角可借助空间直角坐标系将两个平面的法向

量一一求出，再根据向量的数量积公式便可求解（3）存在问题可以根据结论反推即可，容易得因为()()2,3,11,3,010PCAB=−−=−，所以PC与AB不垂直，故不存在试题解析：（Ⅰ）因为ADDB⊥，且1DB

=，2AB=，所以3AD=，所以60DBA=.因为ABC为正三角形，所以60CAB=，又由已知可知ACBD为平面四边形，所以//DBAC.因为AC平面PDB，DB平面PDB，所以//AC平面PDB.（Ⅱ）由点P在平面ABC上的射影为D可得PD⊥平面ACBD，所以PDDA⊥，PDDB⊥

.以,,DBDADP分别为,,xyz建立空间直角坐标系，则由已知可知()1,0,0B，()0,3,0A，()0,0,1P，()2,3,0C.平面ABC的法向量()n0,0,1=，设()m,,xyz=为平面P

AB的一个法向量，则由m0,{m0BABP==可得令1y=，则3,3xz==，所以平面PAB的一个法向量()m3,1,3=，所以mn321cosm,n771mn===，所以二面角PABC--的余弦值为217−.（Ⅲ）由（Ⅱ）

可得()1,3,0AB=−，()2,3,1PC=−，因为()()2,3,11,3,010PCAB=−−=−，所以PC与AB不垂直，所以在线段PC上不存在点E使得PC⊥平面ABE.点睛：对于立体几何问题，首先要明

确线面平行，线面垂直，以及二面角的定义和判定定理，而对于二面角问题我们通常首选建立坐标系用向量来解题，但在写坐标时要求其注意坐标的准确性18.已知数列na的前n项和nS满足113nnnnSSan++=+（*nN），且11a=.（Ⅰ）证明：数

列nan是等比数列；（Ⅱ）求数列na的前n项和nS.【答案】（1）见解析（2）94nS=−931423nn+.【解析】试题分析：证明数列为等比数列，就是要证明等比数列符合等

比数列的定义，所证数列的通项恰好就是最好的暗示，从已知利用11nnnSSa++−=把条件转化为1na+与na的关系，进而得到证明；再利用错位相减法求出数列的和.试题解析：（Ⅰ）依题意可得：113nnn

nSSan++−=，113nnnaan++=，1113nnaann+=+.又11a=，数列nan是首项为1，公比13q=的等比数列.（Ⅱ）令nnabn=，113nnbb+=.又1111ab==，数列nb是以1为首项，13为公比的等比数列.1111133

nnnbb−−==.113nnan−=（*nN）.01111233nS=++2133++()2111133nnnn−−−+，111133nS=+23112333

++()111133nnnn−+−+.两式相减得：122111333nS=++313+++11133nnn−−.11112331313n

nS−−=−1332nn−=−3123nn+.94nS=−931423nn+.【点睛】数列问题是高考必考问题，特别是等差数列和等比数列，使用

12,nnnnaSS−=−这个公式是解决数列问题的关键；数列求和要掌握几种基本方法，19.已知函数()()21ln3fxtxtxt=+++，tR.（1）若0t=，求证:当0x时，()2112xfxx−+；（2）若()4fxx对任意)1,x+恒成立，求t的取值范围.【答案】（1）

证明见解析；（2）)1,+．【解析】【分析】（1）将0t=代入解析式得()lnfxx=，从而有()()1ln1fxx+=+，令()()()21ln102gxxxxx=+−+，求导判断函数的单调性，从而求出最值得出结论；（2）由题意得(

)21ln340txtxtx+++−，令()()21ln34xtxtxtx=+++−，先根据()101t，此时()2241txxtxx−++=，令()2241hxtxxt=−++，从而可推出函数()x在)1,+递增，

从而得出结论．【详解】（1）证：当0t=时，()lnfxx=，()()1ln1fxx+=+，即证()21ln12xxx−+；令()()()21ln102gxxxxx=+−+，则()201xgxx=+，所以()gx在()0,+上单调递增，所以()()00gxg=，即(

)2112xfxx−+；（2）解：由()()241ln340fxxtxtxtx++−+，令()()21ln34xtxtxtx=+++−，首先由()101t，此时()2241txxtx

x−++=，令()2241hxtxxt=−++，因为1t所以()16810tt=−+，所以()0hx恒成立，即()0x，()x在)1,+递增，故()()1440xt=−，综上：t

的取值范围)1,+．【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的单调性与最值问题，考查恒成立问题，属于难题．20.已知函数()()12fxlnxaxaRx=++在2x=处的切线经过点()4,2ln2−（1）讨论函数

()fx的单调性；（2）若不等式2211lnxmxx−−恒成立，求实数m的取值范围.【答案】（1）()fx在()0,+?单调递减；（2）(,0−.【解析】试题分析：(1)对函数进行求导，结合导函数与切线的关系求得实数a的值，确定函数的解析

式之后即可讨论函数的单调性.(2)分离系数后讨论m的取值范围即可，构造新函数后求导，讨论新函数的值域，注意讨论值域时利用反证法假设存在实数b满足()0gxb，由得出的矛盾知假设不成立，即函数的最小值开区间处为0.试题解析：（1）由题意得()22

1,0fxaxxx=+−∴()324fa=+，∴()fx在2x=处的切线方程为()()()222yffx−=−即32214yaxln=++−，∵点()4,22ln−在该切线上，∴1a=−，∴()()22

212110xfxxxx−−=−−=函数()fx在()0,+单调递减；（2）由题意知0x且1x，原不等式2211lnxmxx−−等价于21121lnxxmxx−+−，设()()22111211gxlnxxfxxxx=−+=−−，由（1）得()

fx在()0,+单调递减，且()10f=，当01x时，()()0,0fxgx；当1x时，()()0,0fxgx；∴()0gx，假设存在正数b，使得()0gxb，若01b，当1xb

时，()22111lnxgxbxxx=+−；若1b，当11xb时，()22111lnxgxbxxx=+−；∴不存在这样的正数b，使得()0gxb，∴()gx的值域为()0,+∴m的取值范围

为(,0−.点睛：(1)准确求切线的方程是本题求解的关键；第(2)题将分离系数后考查恒成立的问题，进而运用导数研究，体现了函数思想与转化思想的应用．