【文档说明】天津市蓟州区2018-2019学年高二下学期期中考试数学试题含解析【精准解析】.doc，共(13)页，871.500 KB，由小赞的店铺上传

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蓟州区2018~2019学年度第二学期期中形成性练习高二数学一､选择题：本大题共8道小题，每小题4分，共32分1.4名同学分别报名参加学校的足球队、篮球队、乒乓球队，每入限报其中的一个运动队，则不同的报名方法种数是（）．A

.3!B.34AC.34D.43【答案】D【解析】分析：先求每一个同学报名的方法数，再求4个同学不同的报名总数.详解：每个同学报各都有3种情况，共有4个同学，则有3333=43种报名方法．点睛：(1)本题主要考查乘法分步原理，意在考查学生对该基础知识的掌握水平.

(2)本题容易错选D，错在没有分清事件的主体，由于每一个学生都要找到对象，所以学生是事件的主体，而每一个人有3种报名方法，所以根据乘法分步原理共有3333=43种报名方法.2.8名学生站成两排，前排5人，后排3人，则不同的站法种数为

（）A.5383AAB.5383AA+C.5353AA+D.8812A【答案】A【解析】【分析】8人站成两排需要分步完成，第一步，5个位置8个人选，求出情况数；第二步，3个位置3个人选，全排，两者相乘即可.【详解】由题意有

，前排5人，相当于有5个位置，后排3人相当于有3个位置，∴前排5个位置8个人的排列数有58A种，∴剩下3人3个位置的排列数有33A种，又∵上述是分步处理“8名学生站成两排”，∴不同站法种数为：5383AA故选：A.【点睛】本题考查学生对分步计数原理的运用情况，以及排列数的相关计算，会处理

基本的排列组合问题，为容易题3.设曲线2yx=在点P处的切线斜率为3，则点P的坐标为（）A.(3,9)B.(3,9)−C.（39,24）D.（39,24−）【答案】C【解析】设(),Pxy，则2y'x=，因为曲线2yx=在点P处的切线

斜率为3，所以2=3x，可得339,,224xP=，故选C.【方法点睛】本题主要考查利用导数的几何意义，属于中档题.应用导数的几何意义求切点处切线的斜率，主要体现在以下几个方面：(1)已知切点()()00,Axfx求斜率k,即求该点处的导数()0kfx=；(2)己知斜率

k求切点()()11,,Axfx即解方程()1fxk=；(3)巳知切线过某点()()11,Mxfx(不是切点)求切点,设出切点()()00,,Axfx利用()()()10010fxfxkfxxx−==−求解.本题可利用方法(2)求得点P的坐标.4.函数()

xfxex=−的单调递减区间为（）A.(,0)−B.(0,)+C.(,1)−D.(1,)+【答案】A【解析】【分析】求出()'fx，令导数()'fx小于0,得x的取值区间，即为()fx的单调减区间.【详解】因为函数(

)xfxex=−，所以()'1xfxe=−,令()'0fx得01xee=,可得0x，函数()fx的单调递减区间为(),0−,故选A.【点睛】本题主要考查利用导数求函数的单调区间，是基础题.利用导数求函数单调区间的步骤：（1）求出()'fx；（

2）在定义域内，令()'0fx求得x的范围，可得函数()fx增区间，令()'0fx求得x的范围，可得函数()fx的减区间.5.已知向量()()1,1,0,1,0,2,ab==−且kab+与2ab−互相垂直，则k=（）A.75B.1

C.35D.15【答案】A【解析】【分析】首先表示出kab+与2ab−的坐标，再根据kab+与2ab−互相垂直，得到()()20kabab+−=计算可得；【详解】解：因为()1,1,0a=r，()1,0,2b=−r()1,,2kabkk+=−，

()23,2,2ab−=−又因为kab+与2ab−互相垂直，所以()()20kabab+−=，33240kk−+−=，解得75k=故选：A.【点睛】本题考查空间向量的坐标运算，属于基础题.6.假设200件产品中有3件次品，现在从中任取5件，其中至少有2件次品的抽法

有（）A.223198CC种B.233231973197()CCCC+种C.34200197CC−种D.5142003197()CCC−种【答案】B【解析】根据题意，“至少有2件次品”可分为“有2件次品”与“有3件次品”两种情况，“有2件次品”的抽取方法有C32

C1973种，“有3件次品”的抽取方法有C33C1972种，则共有C32C1973+C33C1972种不同的抽取方法，故选B．7.在5212-xx的二项展开式中,x的系数为()A.10B.-10C.40D.-40【答案】D【解析】分析

：先求出二项式5212xx−的展开式的通项公式，令x的指数等于1，求出r的值，即可求得展开式中x的项的系数.详解：∵1rT+r5C=()522rx−r1-x=()512rr−−r5·

C103rx−,∴当1031r−=时,3r=.∴()35312−−35C40=−,故选D.点睛：本题主要考查二项展开式定理的通项与系数，属于简单题.二项展开式定理的问题也是高考命题热点之一，关于二项式定理的命题方向比较明确，主要从以下几个方面命题：（1）考查二项展开式

的通项公式1CrnrrrnTab−+=；（可以考查某一项，也可考查某一项的系数）（2）考查各项系数和和各项的二项式系数和；（3）二项展开式定理的应用.8.在10件产品中有8件一等品和2件二等品，如果不放回地依次抽取2件产品，则在第一次抽到一等品条

件下，第二次抽到一等品的概率是（）A.45B.2845C.79D.59【答案】C【解析】【分析】此为条件概率典型题，求出第一次抽到一等品的概率，然后求出两次都抽到一等品的概率，后者除以前者，即得答案.【详解

】记事件A为第二次抽到一等品，事件B为第一次抽到一等品，则由条件概率公式可知：2821018110()7(|)()9CCPABPABPBCC===故选：C.【点睛】本题考查了学生处理不放回事件的概率问题，能运用条件概率公式处理相关实际问题，为基础题.小记，在事件B发生条件下

事件A发生的概率公式为：()(|)()PABPABPB=.二､填空题：本大题共5道小题，每小题4分，共20分9.已知集合1,2,3,4,5A=，恰含有一个奇数的子集个数为_____.【答案】12.【解析】【分析】当集合中只有一个奇数元素时，用列举法即可求出将另两

个偶数元素放入其中的子集个数为4个，故集合A中恰含有一个奇数的子集个数为12.【详解】∵集合1,2,3,4,5A=有3个奇数，2个偶数∴子集中选取一个奇数，偶数可以有：0个，1个（两种），2个共4种情况∴子集个数为：12个.故答案为：12.

【点睛】本题考查了集合中子集个数问题，考验了学生用分类讨论的思想处理相关问题，为基础题.小记，一个集合中有n个元素，则其子集个数为2n.10.函数2logyx=的导数为_____.【答案】12xln【解析】【分析】将函数换成以e为底的对

数函数，再对函数进行求导，即得答案.【详解】由换底公式可知，2ln()logln2xfxx==，∴1()ln2fxx=故答案为：1ln2x【点睛】单纯的对数求导问题，考查了学生对对数求导公式的记忆情况，为

基础题.小记，1(ln)xx=.11.已知点(1,2,3)A，(0,1,2)B，(1,0,)C−，若A，B，C三点共线，则=_____.【答案】1.【解析】【分析】写出AB→，BC→，由A，B，C三点共线得出//ABBC→→，则其向量对应,,xyz坐

标之比相等，从而求得的值.【详解】由题意有，(1,1,1)AB→=−−−，(1,1,2)BC→=−−−∵A，B，C三点共线，∴//ABBC→→∴111112−−−==−−−∴1=.故答案为：1.【点睛】本题考查了学生运用平面上

三点共线，从而得出相关向量坐标比相等的关系，考查了学生对平面向量知识的掌握情况，为容易题.12.一名射手击中靶心的概率0.9p=，如果他在同样条件下连续射击5次，则他击中靶心的次数的均值为_____.【答案】4.5【解析】【分析】由n

次独立重复实验的性质，即可求得结果.【详解】∵射手5次射击为5次独立重复实验，∴他击中靶心的次数均值为：50.94.5=.故答案为：4.5【点睛】考查独立重复实验的均值问题，需要学生记住相关公式即可处理类似问题，为容易题.小记，某个事件A发生的

概率为p，将该事件重复n次，则事件A发生的均值（数学期望）为：np，事件A发生的方差为：(1)npp−.13.61(2)2xx−的展开式的常数项是（用数字作答）【答案】-20【解析】由题知61(2)2xx−的通项为，令得，故常数项为．三､解答题：本大题共48分

14.在某年级的联欢会上设计一个摸奖游戏，在一个口袋中装有4个红球和4个白球，这些球除颜色外完全相同，一次从中摸出3个球，X表示摸出红球的个数.（1）求X的分布列；(用数字作答)（2）至少摸到2个红球就

中奖，求中奖的概率.(用数字作答)【答案】（1）分布列答案见解析.（2）12【解析】【分析】（1）由题意可知X可取的值为：0，1，2，3，由组合数公式分别求出其对应的概率，列出分布列即可；（2）至少摸到2个红球，则可以摸到2个红球或

者摸到3个红球，根据（1）中分布列读出，相加即可.【详解】（1）X的取值为0，1，2，3，则(0)PX=3438114CC==，(1)PX=12443837CCC==，(2)PX=21443837CCC==，(3)PX=343

8114CC==∴X的分布列为：X0123P1143737114（2）中奖的概率为1(2)(2)(3)2PXPXPX==+==.【点睛】本题考查学生求简单随机事件的分布列问题，并能根据分布列求随机事件的概率，考查了学生运用组合数处理相关问题的概率，为容易题15.某居民小区有两

个相互独立的安全防范系统(简称系统)A和B，系统A和B在任意时刻发生故障的概率分别为110和15.（1）求在任意时刻至少有一个系统不发生故障的概率；（2）设系统A在3次相互独立的检测中不发生故障的次数为随机变量，求的概率分布列及数学期望E.(用数字作答)【答案】（1）49

50.（2）分布列答案见解析，数学学期望：2710【解析】【分析】（1）考虑求“至少有一个系统不发生故障”的反面为“两个系统都发生故障”的概率，然后用“1”减，即得结果；（2）分别求出在0，1，2，3时候的概率，列出分布列，由期望公式，求出数学期望即可.【详解】（1）由题

意，系统A和B在任意时刻都发生故障的概率为：11110550=，所以在任意时刻，至少有一个系统不发生故障的概率14915050P=−=.（2）的可能取值为0，1，2，3.∴()0P=03311()101000C==；(1)P=1231127()1101

01000C=−=；(2)P=22311243(1)10101000C=−=；(3)P=3331729(1)101000C=−=；∴的分布列为0123P11000271000243100

07291000数学期望E127243729270123100010001000100010=+++=.【点睛】本题考查了相互独立事件的概率，要求学生会逆向思考一些数学问题，能够利用相关统计知识

处理数学期望以及某个事件的分布列.为容易题16.已知函数()ln()fxxaxaR=−.（Ⅰ）当2a=时，求曲线y=()fx在点(1,(1))Af处的切线方程；（Ⅱ）求函数()fx的极值.【答案】(1)x＋y－2＝0；(2)当a≤0时，函数f(x)无极值；当a＞0时，函数f(x)在x

＝a处取得极小值a－alna无极大【解析】解：函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝1－ax.(1)当a＝2时，f(x)＝x－2lnx，f′(x)＝1－2x(x>0)，因而f(1)＝1，f′(1)＝－1，所以曲线y＝f(

x)在点A(1，f(1))处的切线方程为y－1＝－(x－1)，即x＋y－2＝0.(2)由f′(x)＝1－ax＝xax−，x>0知：①当a≤0时，f′(x)>0，函数f(x)为(0，＋∞)上的增函数，函数f(x)无极值；②当a>0时，由f′(x)＝0

，解得x＝a，又当x∈(0，a)时，f′(x)<0；当x∈(a，＋∞)时，f′(x)>0，从而函数f(x)在x＝a处取得极小值，且极小值为f(a)＝a－alna，无极大值．综上，当a≤0时，函数f(x)无极值；当a>

0时，函数f(x)在x＝a处取得极小值a－alna，无极大值．17.如图，在直三棱柱111ABCABC−中，ABAC⊥，2ABAC==，14AA=，点D是BC的中点.（1）求异面直线1AB与1CD所成角的余弦值；（2）求平面1ADC与1

ABA所成二面角的正弦值.【答案】（1）31010；（2）53.【解析】【分析】（1）以1,,ABACAA→→→为单位正交基底建系，找出1AB→与1CD→的坐标，用向量法来求解异面直线1AB与1CD所成角；（2）由（1）中建系可知，平面1ABA的一个法向量为()0,

2,0AC→=，再设出平面1ADC的法向量()mxyz=，，，则m与平面内的两个不共线向量乘积为0，从而求得m，再来求出两个法向量夹角余弦值，进而通过三角函数平方和为1，求得两个平面夹角的正弦值.【详解】（1）以1,,ABACAA→→→

为单位正交基底建立空间直角坐标系Axyz−，则由题意知(0,0,0)A，(2,0,0)B，(0,2,0)C，1(0,0,4)A，(1,1,0)D，1(0,2,4)C，∴()12,0,4AB→=−，1(1,1,4)CD→=−−，∴11111118310cos12018,0ABCDABCDAB

CD→→→→→→===，∴异面直线1AB与1CD所成角的余弦值为31010.（2）()0,2,0AC→=是平面1ABA的一个法向量，设平面1ADC的法向量为()mxyz=，，，∵()()1110024ADAC→→==，，，

，，，∴10240mADxymACyz=+==+=，取1z=，得2y=−，2x=，∴平面1ADC的法向量为()221m=−，，，设平面1ADC与1ABA所成二面角为，∴42coscos,329ACm→−===，∴sinθ

2251()33=−=.∴平面ADC1与ABA1所成二面角的正弦值为53.【点睛】本题主要介绍空间向量处理立体几何中异面直线的夹角问题，以及会用空间向量处理二面角的夹角正弦值，考验了学生的空间思维，数学计算能力，为中档题.18.红队队员甲、乙、丙与蓝队队员A、B

、C进行围棋比赛，甲对A，乙对B，丙对C各一盘，已知甲胜A，乙胜B，丙胜C的概率分别为0.6，0.5，0.5，假设各盘比赛结果相互独立．（I）求红队至少两名队员获胜的概率；（II）用表示红队队员获胜的总盘数，求的分布列和数学期望E．【答案】（Ⅰ）0.55；（Ⅱ）详

见解析【解析】【详解】解：（I）设甲胜A的事件为D，乙胜B的事件为E，丙胜C的事件为F，则,,DEF分别表示甲不胜A、乙不胜B，丙不胜C的事件．因为()0.6,()0.5,()0.5===PDPEPF，()0.4,()0.5,()

0.5===PDPEPF．红队至少两人获胜的事件有：,,,DEFDEFDEFDEF，由于以上四个事件两两互斥且各盘比赛的结果相互独立，因此红队至少两人获胜的概率()()()()0.60.50.50.60.50.50.40.50.50.60.50

.50.55PPDEFPDEFPDEFPDEF=+++=+++=（II）由题意知可能的取值为0，1，2，3．又由（I）知,,DEFDEFDEF是两两互斥事件，且各盘比赛的结果相互独立，因此(0)()0.40.50.50.1PPDEF==

==，(1)()()()==++PPDEFPDEFPDEF(1)0.40.50.50.40.50.50.60.50.50.35==++=P(3)()0.60.50.50.15PPDEF====，由对立事件的概率公式得(2)1[(0)

(1)(3)]0.4.PPPP==−=+=+==所以的分布列为：0123P0.10.350.40.15因此00.110.3520.430.151.6=+++=E