【文档说明】重庆市育才中学2021届高三上学期周考数学测试题（11.29） .docx，共(11)页，910.313 KB，由小赞的店铺上传

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重庆市育才中学2021届高三上期（11.29）周考数学测试题一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知向量(2,1),(1,),==−⊥abxab,则x的值为A.12−B.−1C

.2D.−22．已知函数e,0,()1,0=−xxfxxx,则f(f(1))=A.0B.1C.eD.1−e3．已知集合{|||}==Axxx,集合2{|430}=++Bxxx,命题p:xA,命题q:xB,则p是q的A.

充分不必要条件B必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件4．复数z满足|z−1|=1,则|z|的最大值为A.1B.2C.3D.25．在某校举行的秋季运动会中，有甲，乙，丙，丁四位同学参加了50米短跑比赛．现将四位同学安排在1,2,3,4这4

个跑道上，每个跑道安排一名同学，则甲不在1道，乙不在2道的不同安排方法有()种．A.12B.14C.16D.186．如图1,在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形.PA⊥底面ABCD,PA=AB=2,AD=4.E为PC的中点，则异面直线PD与BE所成角的余弦值为A.35B.3

010C.1010D.310107．科克曲线(Kochcurve)(如图2)是一种典型的分形曲线．它是科克(Koch，H.von)于1904年构造出来的．其形成如下：把一个边长为1的等边三角形，取每边中间的三分之一，接上去一

个形状完全相似的但边长为其三分之一的三角形，结果是一个六角形.取六角形的每个边做同样的变换，即在中间三分之一接上更小的三角形，以此重复，直至无穷．外界的边比原来越细微曲折，形状接近理想化的雪花．它是一个

无限构造的有限表达，每次变化面积都会增加，但总面积不会超过起初三角形的外接圆．按照上面的变化规则，第四个图形的面积与第三个图形的面积之差为A.23243B.43243C.163243D.398．已知函数221()cos,

()2=−−=−fxxxgxxk,若f(x)与g(x)的图象有且只有一个公共点，则k的值为A.−1B.0.C.1D.2二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求的．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分

选对的得3分)9．函数g(x)=ln(2x+1)−ln(2x−l),关于g(x)下列说法正确的是A．定义域为(0,+)B．值域为(0,+)C．g(x)为减函数D．g(x)为奇函数10．已知函数f(x)=2(|sinx|+sinx)

•cosx,关于f(x)下列说法正确的是A．f(x)为奇函数B．2为f(x)的周期C．f(x)的值域为[-2,2]D．f(x)的单调增区间为[2k,2k+4](kZ)11．如图，在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，P为线段B1D1上一动点（包括端点），

则以下结论正确的有A.三棱锥P–A1BD的体积为定值13B.过点P平行于平面A1BD的平面被正方体ABCD-A1B1C1D1截得的多边形的面积为32C.直线PA1与平面A1BD所成角的正弦值的范围为36[,]33D.当点P与B1重合

时，三棱锥P-A1BD的外接球的体积为3212．设a>0,b>0,a+b=1,则A．a2+b2的最小值为12B．4a+1b的范围为[9,+)C．(1)(1)++abab的最小值为22D．若c>l,则2311(2)1+−+−acabc的最小值为8

三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填写在答题卡相应位置上）13．二项式51()+xxx展开式中的常数项为＿＿＿＿．14．某产品的广告投入x(万元)与销售额y(万元)具有较强的线性相关性,该产品的广告投入x(万元)与相应的销售额y(万元)的几组对应

数据如下表所示:x1234y356a若根据表中数据得出y关于x的线性回归方程为y=2x+0.75,则表中a的值为.c,15．已知双曲线()222:10yCxbb−=左､右焦点分别为1F，2F，过2F的直线分别交双曲线C的两条渐近线于点M，N两点.若点M是线段2FN的中点，且12N

FNF⊥，则b=16．在在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,B=60°,且b2sinAcosC+bcsinBcosA=4sinB,则b=,a+2c的最大值为．（第一空2分，第二空3分

）四、解答题（共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．(本小题满分10分）2020年10月，第27届全国中学生物理学奥林匹克竞赛，在重庆育才中学隆重举行，若将本次成绩转化为百分制，现从中随机抽取了50名学生的成绩，经统计，这批学生的成绩全部介于50至100之间，将数据按

照[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100]的分组作出频率分布直方图如图4所示.（1）求频率分布直方图中a的值，并估计这50名学生成绩的中位数；（2）若按照分层随机抽样从成绩在[80,90),(90,100]的两

组中抽取了6人，再从这6人中随机抽取3人，记为3人中成绩在[90,100]的人数，求的分布列和数学期望．18．(本小题满分12分）在①sinsinsin+=−−AbcBCba,②cos13sin+=cCaA,③23=

SCACB这三个条件中任选一个,补充在下面的横线上,并加以解答在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,S为△ABC的面积，若.（1）求角C的大小；（2）点D在CA的延长线上，且A为CD的中点,

线段BD的长度为2,求△ABC的面积S的最大值.（注：如果选择多个条件分别作答，按第一个解答计分．）19．(本小题满分12分）已知数列{an}满足a2=2,a5=5,且122,2,2++nnnaaa构成等比数列．（1）求数列{an}的通项公式；（2）Sn为数列{2}n

a的前n项和，记12++=nnnnSbSS,求证：b1+b2+…＋bn<12.的20．(本小题满分12分）已知函数f(x)=ax2−2lnx.（1）当a=1时，求y=f(x)在点(1,f(l))处的切线方程；（2）若对x[l,3],都有f(x)≤14恒成立，求

a的取值范围.21．(本小题满分12分）如图5,四边形ABCD是一个边长为2的菱形，且B=3，现沿着AC将△ABC折到△EAC的位置，使得平面EAC⊥平面ACD,M,N是线段EC,ED上的两个动点（不含端

点），且=EMENECED,平面AMN与平面ACD相交于l.（1）求证：l//MN;（2）P为l上的一个动点，求平面PEC与平面ACD所成锐二面角的最小值．22．(本小题满分12分）已知椭圆22221(0)：+=xyCabab的左顶点为A，右焦点为F，过点A作斜率为33的直线与C相交于A,B,

且AB⊥OB，O坐标原点．（1）求椭圆的离心率e;（2）若b=l，过点F作与直线AB平行的直线l，l与椭圆C相交于P,Q两点，(i)求kOP•kOQ的值；(ii)点M满足2=OMOP，直线MQ与椭圆的另一个交点为N，求NMNQ的值．重庆市育才中学

2021届高三上期（11.29）周末考试测试题答案一、选择题CBADBBBC二、多选题ABCBCBCDABD三、填空题1093242137．由观察可知：第一个图形有3条边，第二个图形有12条边（不算里面绿色

的这条边，每一条边变为4条边），第三个图形有48条边，第四个图形有192条边，后一个图形与前一个图形相比，每一条边会增加一个边长为前面边长的13的小三角形，故第二个图形比第一个图形多3个小三角形（第一个图形3条边），第三个图形比第二个图形多12个小三角形，第4个图形比第三个

图形多48个小三角形，故面积之差为2314348427243=，故选B．8．即f（x）＝g（x）有唯一解，即23cos2kxx=+有唯一解，令()23cos2hxxx=+，h′（x）＝3x-sinx，h″（x）＝3-cosx＞0，所以h′（x）在R上单调递

增．又h′（0）＝0，当x∈（-∞，0）时，h′（x）＜0，当x∈（0，＋∞）时，h′（x）＞0，故h（x）在（-∞，0）上减，在（0，＋∞）上单增，h（x）min＝h（0）＝1．当x→-∞时，h（x）

→＋∞，当x→＋∞时，h（x）→＋∞，故k＝h（x）有唯一解，k＝1，故选C．11．A选项111211213226PABDAPBDVV−−===，A不正确；B选项此平面为平面B1D1C，故三角形B1D1C的面积为()233242=，B选项正确；由等体积法知：点P到平

面A1BD的距离为33，当点P在线段B1D1上运动时，|PA1|max＝1（P为端点时），1min2||2PA=，设直线PA1与平面A1BD所成角为θ，则36sin,33，C正确；∠B1BD＝∠B1A1D＝90°，所以三棱锥P-A1BD的外接球的

球心为B1D的中点，故半径为32，三棱锥P-A1BD的外接球的体积为3π2，D正确，故选BCD．12．A选项：由()222122abab++=≥，当且仅当12ab==时取等，知A正确；B选项：()4141455249baab

ababab+=++=+++=≥，当且仅当223ab==，13b=时取得最小值9，B选项正确；C选项：()()1112ababababababab+++++==+，又102ab≤，所以21219412222ab

ab++=+=≥，C选项不正确；D选项：()2223314224aabaabababba+++−=−=+≥．当且仅当b＝2a，13a=，23b=时取等，()231112414811accabcc+−+−++−−≥≥，当且仅当32c=时取等，选项D正确，故选ABD．17．解：（1）（

0.012＋0.024＋0.04＋a＋0.008）×10＝1，∴a＝0.016，∵[50，60），[60，70）的概率之和为（0.012＋0.024）×10＝0.36．∴中位数为0.14701073.50.4+=（分）．（2）[80，90）共0.016×10×50＝8（人），[90，1

00]共0.008×10×50＝4（人）．∴[80，90）抽取了4人，[90，100]抽取了2人．ξ的取值为0，1，2．()3436C10C5P===，()214236CC31C5P===，()124236CC12C

5P===，ξ012P153515∴()1310121555E=++=．18．解：（1）选①：sinsinsinAbcBCba+=−−，∵由正弦定理得abcbcba+=−−，∴a（b-a）＝（b＋c）（b-c），

即a2＋b2-c2＝ab，∴1cos2C=，∵C∈（0，π），∴π3C=．选②：由正弦定理得sincos1sin3sinCCAA+=，sinA≠0，∴3sincos1CC=+，π2sin16C−=，π1sin62C−=，∵C∈（0，π），∴ππ5π,666C−

−，∴ππ66C−=，∴π3C=．选③：23SCACB=，sin3cosabCabC=，∴tan3C=，∵C∈（0，π），∴π3C=．（2）在△BCD中，由余弦定理知a2＋（2b）2-2×a×2b×cos60°＝22，∴a2＋4b2-

2ab＝4≥2·a·2b-2ab＝2ab，∴ab≤2，当且仅当a＝2b，即a＝2，b＝1时取等号，此时ab的最大值为2，面积13sin24SabCab==取得最大值32．19．（1）解：2na，12na+，22na+构

成等比数列，∴()122222nnnaaa++=，∴2an＋1＝an＋an＋2，∴{an}是一个等差数列，由a2＝2，a5＝5，3d＝a5-a2，∴d＝1，a1＝1，an＝a1＋（n-1）d＝n．（2）证明：22nan=，∴2n

a是一个以2为首项，以2为公比的等比数列，∴()12122212nnnS+−==−−，∴()()1121221122222222nnnnnnb+++++==−−−−−，∴1223341221111111112222222222222222nnn

nbbb++++++=−+−++−=−−−−−−−−．20．解：（1）当a＝1时，f（x）＝x2-2lnx，f（1）＝1，()2'2fxxx=−，k＝f′（1）＝0，∴f（x）在（1，f（1））处的切线方程为y＝1．（2）法一：由题意()max14f

x≤，()()2212'2axfxaxxx−=−=．①当a≤0时，f′（x）＜0，f（x）在[1，3]上单调递减，∴()()max114fxfa==≤恒成立，∴a≤0；②当a＞0时，f′（x）＞0，1xa，∴f（x）在10,a上单减，在

1,a+上单增，（ⅰ）当11a≤，a≥1时，f（x）在[1，3]上单增，()()max134fxf=≤，12ln349a+≤，舍去；（ⅱ）当13a≥，109a≤时，f（x）在[1，3]上单减，()()

max114fxf=≤，14a≤，∴109a≤；（ⅲ）当113a，119a时，f（x）在11,a上单减，1,3a上单增，()()11,413,4ff≤≤14

a≤，∴1194a≤，综上，14a≤．法二：()212ln4fxaxx=−≤恒成立，212ln4xax+≤，令()212ln4xgxx+=，()334ln2'xgxx−=，g′（x）＞0，381ex，∴g（x）在[1，38e]上单增，[38e，3]上单减，()114g=，()12ln

314394g+=，∴()min14agx=≤．21．（1）证明：∵EMENECED=，∴MN∥CD，∵MN平面ACD，CD平面ACD，∴MN∥平面ACD，∵平面AMN与平面ACD相交于l，MN平面AMN，∴l∥MN．（2）解：AB∥CD，由（1）可得MN∥CD，∴AB∥CD，∴A

，B，M，N四点共面，平面AMN∩平面ACD＝AB＝l，∴P在AB上，如图，取AC的中点为O，π3B=，则BO⊥AC，EO⊥AC，平面EMC⊥平面ACD，平面EAC∩平面ACD＝AC，∴EO⊥平面ACD．法一

：以O为坐标原点，分别以OB，OC，OE所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，则A（0，-1，0），B（3，0，0），C（0，1，0），D（3−，0，0），E（0，0，3），设APAB=，()3,1,0P−，则()0,1,3EC=−，()3,2,0CP=−，平面EP

D的法向量(),,nabc=，则()30,320,ECnbcCPnab=−==+−=令c＝λ，则a＝2-λ，3b=，()2,3,n=−，平面ACD的法向量为()0,0,1m=，∴()2

222cos,54423nm==−+−++，∵平面PEC与平面ACD所成角为锐二面角，令λ＞0，∴222111cos,244544115442nm===−+−+−+≤，

当且仅当λ＝2时取等，此时平面PEC与平面ACD所成锐二面角有最小值π3．法二：EO⊥平面ACD，且3EO=，过点O作OF⊥PC于F，连接EF，则EF⊥PC，∴∠EFO为所求锐二面角的平面角，记为θ，∴3tanEOOFOF==，当OF最大时，θ最小，∵OF⊥FC，∴F在以OC为直径的圆上，当F

与C重合时，|OF|max＝1，∴3tan31OEOF==≥，∴θ的最小值为π3．22．解：（1）已知|OA|＝a，||2aOB=，π6BAF=，则3,44aaB−，代入椭圆C的方程：2222311616aaab+=，∴225ab=，5ab=，∴222cabb=−=

，∴255cea==．（2）（i）由（1）可得b＝1，5a=，∴C：2215xy+=，设直线l：32xy=+，P（x1，y1），Q（x2，y2），N（x3，y3）．∵2OMOP=，∴11,22xyM，联立直线l与椭圆C的方程：22

32,55,xyxy=++=284310yy+−=，Δ＞0恒成立，1232yy+=−，1218yy=−，∴()()()121212125323232348xxyyyyyy=++=+++=，∴121215OPOQyykkxx==−

．（ⅱ）设NMNQ=，()01NMNQ=，1133,22xyNMxy=−−，()2323,NQxxyy=−−，()()13231323,2,2xxxxyyyy−=−−=−∴()()123123221,221,xx

xyyy−=−−=−()()()()31231212,2112,21xxxyyy=−−=−−∵P，Q，N在椭圆上，∴221155xy+=，222255xy+=，223355xy+=，()()()()2212122222

554141xxyy−−+=−−，∴()()()2222221122121254545201xyxyxxyy+++−+=−，由（ⅰ）可知x1x2＋5y1y2＝0，∴1＋4λ2＝4（1-λ）2，∴38=，∴38NMNQ=．