【文档说明】第04讲 直线与圆、圆与圆的位置关系 (精练）（解析版）-2023年高考数学一轮复习讲练测（新教材新高考）.docx，共(13)页，889.638 KB，由管理员店铺上传

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第04讲直线与圆、圆与圆的位置关系(精练）A夯实基础B能力提升C综合素养A夯实基础一、单选题1．已知两圆分别为圆221:49Cxy+=和圆2226890Cxyxy+−−+=:，这两圆的位置关系是（）A．相离B．相交C．内切D．外切【答案】B由题意得，圆1C圆心()0,0，半径为

7；圆()()222:3416Cxy−+−=，圆心()3,4，半径为4，两圆心之间的距离为22345+=，因为74574−+，故这两圆的位置关系是相交.故选：B.2．已知圆224690xyxy++++=与直线10kxy−+

=相切，则k=（）A．34B．43C．43−D．34−【答案】A圆的标准方程是()()22234xy+++=，圆心为()2,3−−，半径为2，所以223121kk−++=+，解得34k=．故选：A．3．已知圆1C：()()22225xay−++=，圆2C：()

()2214xya+++=，若圆1C与圆2C内切，则实数a的值是（）A．2−B．2C．1−或2D．1或2−【答案】C由题可知圆心()1,2Ca−，半径15r=，圆心()21,Ca−−，半径22r=，因为圆1C与圆2C内切，所以()()221212123CCaarr=++−+=−=，解得1a=−或

2a=．故选：C．4．直线2ykx=+与圆22(2)(3)4−+−=xy相交于,MN两点，若23MN，则k的取值范围是（）A．33,44−B．3,3−C．33,33−D．40,3【答案】D圆2

2(2)(3)4−+−=xy的圆心为()2,3,半径2r=,直线2ykx=+的方程化为一般形式为20kxy−+=.23MN，设圆心到直线2ykx=+的距离为d，则2412MNd=−，2223221111kkdkk−+−==++，解得403k.故选：D.5．已知(

)3,0M是圆228280xyxy+−−+=内一点，则过点M最短的弦长为（）A．27B．7C．6D．8【答案】A圆228280xyxy+−−+=，即()()22419xy−+−=，则该圆的半径为3，圆心为()4,1，M到圆心的距离112+=，过点M最短的弦长为292−=27．故选

：A6．已知圆C：22(3)(5)1xy−+−=和两点()1Am−，，()1(0).Bmm，若圆C上存在点P，使得APB为直角，则m的取值范围是（）A．24，B．46，C．26，D．48，【答案】B圆C：()()22351xy−+−=的圆心()

35C，，半径为1，由90APB=，可知点P在以AB为直径的圆M上，圆心()M0，1，半径为m．点P在圆C上，即圆C和圆M有交点，221(51)31mm−−++，又0m，解得：46m．故选：B．7．已知点

,PQ分别为圆()()221:241Cxy−++=与圆()()222:234Cxy+++=的任意一点，则PQ的取值范围是（）A．174,174−+B．173,173−+C．172,172−+D．

171,171−+【答案】B()()221:241Cxy−++=的圆心为()12,4C−,半径11r=，()()222:234Cxy+++=的圆心为()22,3C−−,半径22r=，圆心距()()221222431712drr=++−+=+=+，∴两圆相离，∴

1212,PQdrrdrr−−++=173,173−+，故选：B.8．若直线20kxy−−=与曲线21(1)1yx−−=−有两个不同的交点，则实数k的取值范围是（）A．4(,2]3B．4(,4]3C．44[2,)(,2]33−−D．4(,)3+【答案】A方程20kxy−−

=是恒过定点(0,2)P−，斜率为k的直线，曲线21(1)1yx−−=−，即22(1)(1)1(1)xyx−+−=，是圆心为(1,1)C，半径1r=在直线1x=及右侧的半圆，半圆弧端点(1,0),(1,2

)AB，在同一坐标系内作出直线20kxy−−=与半圆C：22(1)(1)1(1)xyx−+−=，如图，当直线20kxy−−=与半圆C相切时，由2|12|11kk−−=+得切线PT的斜率43k=，当直线PT绕点P逆时针旋转到

过点A的直线的过程中的每一个位置的直线与半圆C均有两个公共点，包含直线PA，不包含直线PT，旋转到其它位置都没有两个公共点，直线PA的斜率2PAk=，所以直线20kxy−−=与曲线21(1)1yx−−=−有两个不同的交点，则实数k的取值范围是4(,2]3.故选：A二、多选题9．

若直线:lyxm=+与曲线2:34Cxyy=−−有公共点，则实数m可以（）A．122−−B．221−C．3−D．4−【答案】BC解：由题知2:430Cyyx−=−，两边平方整理得()()()223243,04xyxy−+−=，所以，曲线C是以(3,2)为圆心，半径为2左半圆，如图

，当直线l与曲线C相切时，由|312(1)|22m+−+=，解得221m=−，当直线过点()3,0时，3m=−，所以，结合图形可知，实数m的取值范围是：3,221−−．故实数m可以为3,221−−内的任意值.故选：BC10．阿波罗尼斯(古希腊数学家，约公元

前262190年)的著作《圆锥曲线论》是古代世界光辉的科学成果，它将圆锥曲线的性质网罗殆尽，几乎使后人没有插足的余地．他证明过这样一个命题：平面内与两定点距离的比为常数(0kk且1)k的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆．现有圆C：()22()[22]1xty

t−+−−=和点()03Q，，若圆C上存在点P，使2(PQPO=其中O为坐标原点)，则t的取值可以是（）A．1B．2C．3D．4【答案】AB设(,)Pxy，由2PQPO=得2222(3)2xyxy+−=+，整理得22230xyy++−=，即22(1)4x

y++=，依题意可知，圆22:()[2(2)]1Cxtyt−+−−=与圆22(1)4xy++=有交点，两圆圆心分别为(,24)tt−和(0,1)−，两圆半径分别为1和2，圆心距为()2222415129tttt+−+=−+，所以2|21|512912tt−−++，即

22512805120tttt−+−，解得1205t，所以t的取值可以是1和2.故选：AB三、填空题11．直线l过点(2,1)截圆22(1)4xy−+=所得的弦长等于23，则直线l的方程是___________．【答

案】2x=或1y=因为圆的半径为2，弦长为23，所以圆心(1,0)到直线l的距离222(3)1d=−=，当直线l斜率不存在时，:2lx=，满足题意；当直线l斜率存在时，设:1(2)lykx−=−，由圆心到直线距离为1得2|1

|11−+==+kdk解得0k=，所以l的方程为2x=或1y=．故答案为：2x=或1y=．12．已知圆1C：()()22231xy−+−=，圆2C：()()22349xy−+−=，M、N分别是圆1C，2C上动点P是x轴上动点，则||||PNPM−的最大值是______

___.【答案】42+##24+由题设，1(2,3)C且半径11r=，2(3,4)C且半径23r=，所以221221||(32)(43)22CCrr=−+−=−=，即圆2C包含圆1C，又M、N分别是圆1C，2C上动点P是x轴上动点，要使||||

PNPM−的最大，12,,,,PMNCC共线且,MN在12,CC的两侧，所以max1221(||||)||42PNPMCCrr−=++=+.故答案为：42+四、解答题13．已知圆M的圆心在直线12yx=上，圆

M与y轴相切，且圆M截x轴正半轴所得弦长为23．(1)求圆M的标准方程；(2)若过点(2,2)Q且斜率为k的直线l交圆M于A、B两点，且点(2,1)P−，当PAB△的面积为33，求直线l的方程．【答案】(1)22(2)(1

)4xy−+−=；(2)2y=.(1)设圆M的圆心(,)Mab，半径为r，则由已知可得()222123rababa==+=，所以212abr===，所以圆的方程为22(2)(1)4xy−+−=．(2)根据题意，设直线l的方程为22ykxk=

−+，则圆心M到直线l的距离211dk=+，则222234||221kABrdk+=−=+，又由(2,1)P−，则P到直线l的距离22|21|311dkk+==++，若PAB△的面积为33，则有22134||3

3321kdABk+==+，解可得：0k=，则直线l的方程为2y=．14．如图，圆22():21Mxy−+=，点(1,)Pt−为直线:1lx=−上一动点，过点P引圆M的两条切线，切点分别为A，B.(1)求直线AB的方程，并写出直线AB

所经过的定点的坐标；(2)若两条切线PA，PB与y轴分别交于S､T两点，求||ST的最小值.【答案】(1)）350xty−−=，直线AB过定点5(,0)3(2)22(1)2||9PMt=+，1AM=，

∴22228=−=+PAPMAMt故以P为圆心，以||PA为半径的圆P的方程为222(1)()8xytt++−=+，显然线段AB为圆P和圆M的公共弦，直线AB的方程为22222(1)(2)()81xxytyt+−−+−−=+−，即

350xty−−=，所以(35)0xty−−=，所以直线AB过定点5(,0)3.(2)设切线方程为(1)ytkx−=+，即0kxykt−++=，故(2,0)M到直线0kxykt−++=的距离2311ktdk+==+，即228

610kktt++−=，设PA，PB的斜率分别为1k，2k，则1234tkk+=−，21218tkk−=，把0x=代入0kxykt−++=，得ykt=+，222212121212918|()||()41624∣−+=+−+=−=+−=−=tttSTktktkkkkkk，当0=t时，

ST取得最小值22.B能力提升1．设点()Pab，为直线3yx=−上一点，则由该点向圆222430xyxy++−+=所作的切线长的最小值是（）A．2B．3C．4D．6【答案】C解：由题知3ab=+，圆化简为：22(1)(2)2xy++−=，则圆心()12−，，半径为2，所

以由点()ab，向圆所作的切线长为：()()()()22221223122abbb++−−=+++−−()2224182116bbb=++=++，当1b=−时，切线长取得最小值4.故选：C.2．若圆2221:(1)(

2)(0)Cxyrr++−=上恰有2个点到直线:43100lxy−−=的距离为1，则实数r的取值范围为（）A．(3,5)B．(4,6)C．2232,55D．22,65【答案】A因为圆心()11,2C−到直线

l的距离224610443d−−−==+，故要满足题意，只需11rdr−+，解得35r.故选：A.3．古希腊著名数学家阿波罗尼斯发现：平面内到两个定点A，B的距离之比为定值(1)的点的轨迹是圆，此圆被称为“阿波罗尼斯圆”.在平面直角坐

标系xoy中，已知()4,2A−，()2,2B，点P满足2PAPB=，设点P的轨迹为圆C，下列结论中正确的个数是()①圆C的方程是()()224216xy−+−=②过点A向圆C引切线，两条切线的夹角为60°③过点A作直线l，若圆C上恰有三个点

到直线l距离为2，该直线斜率为155④在直线2y=上存在异于A，B的两点D，E，使得2PDPE=A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】C①．在平面直角坐标系xOy中，(4,2)A−，(2,2)B，点P满足||2||PAPB=，设(,)Pxy，则2

222(4)(2)2(2)(2)xyxy++−=−+−，化简可得圆C的方程为22(4)(2)16xy−+−=，故①正确；②．圆心(4,2)C，半径为4，∴||8AC=，过点A向圆C引切线，设切点为M，N，则41sin82CAM==，∴30CAM=，∴260MANCAM==，故

②正确；③．过点A作直线l，若圆C上恰有三个点到直线l距离为2，可设直线l的方程为2(4)ykx−=+，即240kxyk−++=，则圆心(4,2)C到直线l的距离为2，即2|4224|21kkk−++=+，解得1515k=，故③错误；④．当(12,2)D，(6

,2)E时，||2||PDPE=，故④正确．故选：C．4．若直线()1ykx=+与曲线212yxx=+−．仅有一个公共点，则k的取值范围是（）A．1,103B．1(,1)30C．14,133D．

14,133【答案】D解：曲线212yxx=+−即22(1)20(1)xyxy+−−=…，即22(1)(1)1(1)xyy−+−=…，表示(1,1)M为圆心，1r=为半径的圆的上半部分，直线(1)ykx=+恒过

定点(1,0)−，考查临界情况：当直线过点(0,1)时，直线的斜率1k=，此时直线与半圆有两个交点，当直线过点(2,1)时，直线的斜率13k=，此时直线与半圆有1个交点，当直线与半圆相切时，圆心(1,1)M到直线0kxyk−+=的距离为1，且0k，即2|1|11kkk−+=+，解得：43k

=，(0k=舍去）．据此可得，实数k的取值范围是14[,1)33．故选：D．C综合素养1．已知圆C与圆222168(0)55−+−=xyrr关于直线240xy+−=对称，且被直线10xy−−=

截得的弦长为6．(1)求圆C的方程；(2)若A，B为圆C上两个不同的点，O为坐标原点．设直线OA，OB，AB的斜率分别为1k，2k，当123kk=时，求k的取值范围．【答案】(1)222xy+=(2)3[3,1)1

,3−−−−U3,1(1,3]3UU(1)设圆C的标准方程为222()()xaybr−+−=，(0)r，由题意得()16855240228521165abba+++−=−

−=−−，即202abba+==，解得00ab==，所以圆C的圆心为(0,0)，又圆心(0,0)到10xy−−=的距离12d=，所以圆C的半径22622=+=rd，所以圆C的方程为222x

y+=．(2)设点()11,Axy，()22,Bxy，直线AB的方程为ykxm=+，由121212==yykkxx12123++=kxmkxmxx，得()()12123++=kxmkxmxx，即()()22121230−+++=kxxmkxxm①，由2

22xyykxm+==+，消去y，整理得()2221220+++−=kxmkxm（*），由韦达定理12221+=−+mkxxk，212221−=+mxxk，将其代入①整理得2230=−mk，解得33k−②，由直线AB与圆C相交，故2||21+mk，得2222+mk，即231k

，解得33k或33k−③，又要使1k，2k，k有意义，则10x，20x，且12xx，所以0不是方程（*）的根，所以220m−，即1k且1k−④，由②③④得，k的取值范围为3[3,1)1,3−−−−U3,1(1,3]3UU．2．如图，在平面直角坐标系

xOy中，已知圆C：x2+y2-4x=0及点A（-1，0），B（1，2）．(1)若直线l平行于AB，与圆C相交于M，N两点，且MN=AB，求直线l的方程；(2)圆C上是否存在点P，使得PA2+PB2=12?若存在，求点P的个数；若不存在，请说明理由．【答案】(1)x-y=0或x-y-4

=0(2)存在，点P的个数为2(1)圆C的标准方程为22(2)4xy−+=，所以圆心C（2，0），半径为2．因为l∥AB，且A（-1，0），B（1，2），所以直线l的斜率为2011(1)−=−−．设直线l的方程为x-

y+m=0，则圆心C到直线l的距离为|20|2|22mmd−++==∣．因为222222MNAB==+=，而2222MNCMd=+，所以2(2)422m+=+，解得m=0或m=-4，所以直线l的方

程为x-y=0或x-y-4=0．(2)假设圆C上存在点P，设P（x，y），则22(2)4xy−+=，所以PA2+PB2=2222(1)(0)(1)(2)12xyxy++−+−+−=，整理得x2+y2-2y-3=0，即x2+（y

-1）2=4．因为22|22|(20)(01)22−−+−+，所以圆（x-2）2+y2=4与圆x2+（y-1）2=4相交，所以点P的个数为2．3．已知圆222:()0Oxyrr+=过点(4,3)．(1)求圆O的方程；(2)过点(4,0)M−的直线l与圆O交于A

，B两点，设点(7,0)P，求PAB△面积的最大值，并求出此时直线l的方程．【答案】(1)2225xy+=(2)PAB△面积的最大值34.375，此时直线方程为()5747yx=+.(1)解：因为圆2

22:()0Oxyrr+=过点(4,3)，所以2223425r=+=，所以圆O的方程为2225xy+=；(2)当直线的斜率不存在时：直线方程为4x=−，此时6AB=，点P到直线的距离为11d=，所以1611332PABS==，当直线的斜率存在时，设直线方程为()4ykx=+，圆心到直线

的距离为241kdk=+，则2222259221kABrdk+=−=+，点P到直线的距离为2111kdk=+，所以()2242222111259259112111PABkkkkSABdkkk++===+++，()()()2222291711

6111kkk+++−=+，2217625111613264k=−−++，当217132k=+，即577k=，PAB△面积的最大值34.375，此时直线方程为()5747yx=+.