【文档说明】山东省潍坊市2022-2023学年高一上学期期末考试数学试题 含解析.docx，共(18)页，1.217 MB，由小赞的店铺上传

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高一数学一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合4,NAxyxx==−，4,3,2,1B=，则集合A，B的关系是（）A.BAB.AB=C.BAD.AB【答案】A【解析】【

分析】计算得到0,1,2,3,4A=，据此得到集合的关系.【详解】{4,N}0,1,2,3,4Axyxx==−=∣，4,3,2,1B=，故AB=错误；集合B中元素都是集合A元素，故BA正确；AB，是两个集合，不能用“”表示它们之间的

关系，故BA错误；集合A中元素存在不属于集合B的元素，故AB错误.故选：A2.函数()()2ln2fxxx=−的定义域为（）A.(,0)(2,)−+B.(,0][2,)−+C.()0,2D.0,2【答案】C【解析】【分析】根据

对数型函数的定义域运算求解.【详解】令220xx−，解得02x，故函数()()2ln2fxxx=−的定义域为()0,2.故选：C.3.命题“2x，240x−”的否定形式是（）A.2x，240x−B.2x，240x−=C.2x，240

x−=D.2x，240x−=【答案】C【解析】【分析】根据全称命题的否定形式可直接得到结果.【详解】由全称命题的否定可知：原命题的否定为2x，240x−=.故选：C.4.已知0.13a=，30.3b=，0.2log3c=，则

（）A.abcB.cbaC.bacD.c<a<b【答案】B【解析】【分析】根据指数函数和对数函数单调性，结合临界值0,1即可判断出结果.【详解】3000.10.20.2log3log100.30.3133

===，cba.故选：B.5.某市四区夜市地摊的摊位数和食品摊位比例分别如图1、图2所示，为提升夜市消费品质，现用分层抽样的方法抽取6%的摊位进行调查分析，则抽取的样本容量与A区被抽取的食品摊位数分别为（）A.210，24B.210，27C.252，24D

.252，27【答案】D【解析】【分析】根据分层抽样原则，结合统计图表直接计算即可.【详解】根据分层抽样原则知：抽取的样本容量为()1000800100014006%252+++=；A区抽取的食品摊位数为10006%0.4527=.故选：D.6.小刚参与一种答题游戏

，需要解答A，B，C三道题．已知他答对这三道题的概率分别为a，a，12，且各题答对与否互不影响，若他恰好能答对两道题的概率为14，则他三道题都答错的概率为（）A.12B.13C.14D.15【答案】C【解

析】【分析】记小刚解答A，B，C三道题正确分别为事件D，E，F，并利用D，E，F构造相应的事件，根据概率加法公式与乘法公式求解相应事件的概率.【详解】记小刚解答A，B，C三道题正确分别为事件D，E，F，且D，E，F相互独立，且()()()1,2PDPEaPF=

==.恰好能答对两道题为事件DEFDEFDEF++，且DEFDEFDEF，，两两互斥，所以()()()()PDEFDEFDEFPDEFPDEFPDEF++=++()()()()()()()()()PDPEPFPDPEPFPDPEPF=++()()111111

12224aaaaaa=−+−+−=，整理得()2112a−=，他三道题都答错为事件DEF，故()()()()()()22111111224PDEFPDPEPFaa==−−=−=.故选：C.7.定义

在R上的奇函数()fx满足：对任意的()12,0,xx+，12xx，有()()21fxfx，且()10f=，则不等式()0fx的解集是（）A.()1,1−B.()()1,01,−+C.()(),10,1−−D.()(),11,−−

+【答案】B【解析】【分析】根据单调性定义和奇函数性质可确定()fx的单调性，结合()()110ff−=−=可得不等式的解集.【详解】对任意的()12,0,xx+，12xx，有()()21fxfx，()fx\在()0,+上单调递增，又()fx

定义域为R，()10f=，()fx\在(),0−上单调递增，且()()110ff−=−=，()00f=；则当10x−或1x时，()0fx，即不等式()0fx的解集为()()1,01,−+.故选：B.8.已知函数()11,02ln,0xxf

xxx+=，若函数()()()()24433gxfxtfxt=−++有七个不同的零点，则实数t的取值范围是（）A.1,12B.10,2C.1,2+D.

10,12【答案】D【解析】【分析】先以()fx为整体分析可得：()34fx=和()fxt=共有7个不同的根，再结合()fx的图象分析求解.【详解】令()()()()244330gxfxtfxt=−++=，解得()34fx=或()fxt=

，作出函数()yfx=的图象，如图所示，()yfx=与34y=有4个交点，即方程()34fx=有4个不相等的实根，由题意可得：方程()fxt=有3个不相等的实根，即()yfx=与yt=有3个交点，故实数t的取值范围是10,12

.故选：D.【点睛】方法点睛：应用函数思想确定方程解的个数的两种方法（1）转化为两熟悉的函数图象的交点个数问题、数形结合、构建不等式(方程)求解．（2）分离参数、转化为求函数的值域问题求解．二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，在每个小题给出的选项中，有多项符

合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9.下列说法正确的是（）A.()4fxxx=+的最小值为4B.()4fxxx=+无最小值C.()()3fxxx=−的最大值为94D.()()3fxxx=−无最大值【答案】BC【解析】【分析】结合基本不等式和二次函

数性质依次判断各个选项即可.【详解】对于AB，当0x时，4424xxxx+=（当且仅当2x=时取等号）；当0x时，()()44424xxxxxx+=−−+−−−−=−

（当且仅当2x=−时取等号），()4fxxx=+的值域为(),44,−−+，无最小值，A错误，B正确；对于CD，()()22393324fxxxxxx=−=−+=−−+，当32x=时，()fx取得最大值，最大值为94，C正确，D错误.故选：BC.10

.下列函数中，既是偶函数，又在(0,)+上单调递减的是（）A.yx=B.||exy=−C.12logyx=D.13yx−=【答案】BC【解析】【分析】A选项不满足单调性；D不满足奇偶性，B、C选项均为偶函数且在(0,)

+上单调递减正确.【详解】yx=在()0,+上单调递增，A选项错误；()e,)()e(xxfxfxfx=−−==−，故||exy=−为偶函数，当()0,x+时exy=−为单调递减函数，B选项正确；1122()()log,log(

)gggxxxxx=−==，故12logyx=为偶函数，当()0,x+时12logyx=为单调递减函数，C选项正确；13yx−=奇函数，D选项错误.故选：BC是11.如图，已知正方体1111ABCDABCD−顶点处有一质点Q，点Q每次会随机地沿

一条棱向相邻的某个顶点移动，且向每个顶点移动的概率相同，从一个顶点沿一条棱移动到相邻顶点称为移动一次，若质点Q的初始位置位于点A处，记点Q移动n次后仍在底面ABCD上的概率为nP，则下列说法正确的是（）A.123P=B.259P=C.12133nnPP+=+D.点Q移动4次后恰好位于

1C点的概率为0【答案】ABD【解析】【分析】根据题意找出Q在下或上底面时，随机移动一次仍在原底面及另一底面的概率即可逐步分析计算确定各选项的正误.【详解】依题意，每一个顶点由3个相邻的点，其中两个在同一底面.所以当点Q在下底面时，随机移

动一次仍在下底面的概率为：23，在上底面时，随机移动一次回到下底面的概率为：13，所以123P=，故A选项正确；对于B：22211533339P=+=，故B选项正确；对于C：()1211113333nnnnPPPP+=+−=+，故C选项错误；对于D：点Q由点A移动到点1C处至少需要3次

，任意折返都需要2次移动，所以移动4次后不可能到达点1C，所以点Q移动4次后恰好位于1C点的概率为0.故D选项正确；故选：ABD.12.已知实数a，b满足22aa+=，22log1bb+=，则（）A.22ab+=B.102aC.122ab−D.5384b

【答案】ACD【解析】【分析】构建()22xfxx=+−，根据单调性结合零点存在性定理可得13,24a，再利用指对数互化结合不等式性质、函数单调性分析判断.【详解】对B：∵22aa+=，则220aa+−=，构建()22xfxx=+−，则()fx在R上单调递增，

且34133520,202244ff=−=−，故()fx在R上有且仅有一个零点13,24a，B错误；对A：∵22log1bb+=，则222log20bb+−=，令22logtb=，

则22tb=，即220tt+−=，∴2lo2gatb==，即22ab=，故22ab+=，A正确；对D：∵22ab+=，则253,284ab−=，D正确；对C：∵23211224aaaba−−−=−=−−，且2xy=在R上单调递增，∴11222ab

−−=，C正确.故选：ACD.【点睛】方法点睛：判断函数零点个数的方法：（1）直接求零点：令f(x)＝0，则方程解的个数即为零点的个数．（2）零点存在性定理：利用该定理不仅要求函数在[a，b]上是连续的曲线，且f(a)·f(

b)<0，还必须结合函数的图象和性质(如单调性)才能确定函数有多少个零点．（3）数形结合：对于给定的函数不能直接求解或画出图形，常会通过分解转化为两个函数图象，然后数形结合，看其交点的个数有几个，其中交点的

横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点．三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知一元二次方程22340xx+−=的两根分别为1x和2x，则1211xx+=______．【答案】34##0.75【解析】【分析】利用韦达定理可直接求得结果.【详解】由韦达定理知：1232xx+=

−，122xx=−，1212121134xxxxxx++==.故答案为：34.14.已知函数1log(2)3ayx=−+（0a且1a）的图象恒过定点M，则点M的坐标为______．【答案】13,3【解析】【分析】函数存在参数，当log(2)0ax−=时所求出的横纵坐标即是定点坐标

．【详解】令log(2)0ax−=，解得3x=，此时13y=，故定点坐标为13,3M．故答案为：13,315.将一组正数1x，2x，3x，…，10x的平均数和方差分别记为x与2s，若10214500i

ix==，250s=，则x=______．【答案】20【解析】【分析】列出方差公式，代入数据，即可求解.【详解】由题意得，()10221110iisxx==−102211105010iixx==−=，代入数据

得，()214500105010x−=，解得20x=故答案为：2016.已知两条直线1l：1ym=+和2l：()221ymm=+−，直线1l，2l分别与函数2xy=的图象相交于点A，B，点A，B在x轴上的投影分别为C，D，当m变化时，CD的最小值为_

_____．【答案】()2log232−【解析】【分析】分别求出直线1l，2l与函数2xy=的图象交点的横坐标，再根据对数运算与基本不等式求最值.【详解】由1ym=+与函数2xy=相交得21xm=+，解得()2log1xm=+，所以()()2l

og1,0Cm+，同理可得()()22log2,0Dm+，所以()()222222log2log1log1mCDmmm+=+−+=+，令()2231211mgmmmm+==++−++，因为1m−，所以()3122321gmmm=++−−+,当且仅当3

1m=−时取最小值.所以()()22minlog232log232CD=−=−所以CD的最小值为()2log232−.故答案为:()2log232−【点睛】利用基本不等式求最值时要注意成立的条件，一正二定三相等，遇到非正可通过提取负号转化为正

的；没有定值时可对式子变形得到积定或和定再用基本不等式；取不到等号时可借助于函数的单调性求最值.四、解答题：本大题共6道小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.设全集U=R，已知集合11Axaxa=−++，401xB

xx−=−．（1）若3a=，求AB；（2）若AB=，求实数a的取值范围．【答案】（1）1xx或2x；.（2）23a.【解析】【分析】（1）由已知解出集合A，B，根据并集的运算即可得出答案；（2）若AB=，根据

集合间关系列出不等式，即可求出实数a的取值范围.【小问1详解】当3a=，24Axx=，由401xx−−得(4)(1)0xx−−，所以1Bxx=或4x，1ABxx=或2x；【小问2详解】已知11Axaxa=

−++，由（1）知1Bxx=或4x，因为AB=，且B，∴11a−+且14a+，解得23a，所以实数a的取值范围为23a.18.已知函数()22fxxaxa=−+．（1）若()0fx的解集为R，求实数a的取值范围；（2）当3a−时，解关于x的不等式()()43

fxaax−+．【答案】（1）0,1（2）答案见解析【解析】【分析】（1）由一元二次不等式在R上恒成立可得0，由此可解得结果；（2）将所求不等式化为()()30xxa+−，分别在3a−和3a−的情况下解不等式即可

.【小问1详解】由题意知：220xaxa−+在R上恒成立，2440aa=−，解得：01a，即实数a的取值范围为0,1.【小问2详解】由()()43fxaax−+得：()()()23330xaxaxxa+−−=+−；

当3a−时，()()30xxa+−的解为3x−或xa；当3a−时，()()30xxa+−的解为xa或3x−；综上所述：当3a−时，不等式的解集为()(),3,a−−+；当3a−时，不等式的解集为()(),3,a−−+.19.受疫情影响2

022年下半年多地又陆续开启“线上教学模式”．某机构经过调查发现学生上课注意力指数()ft与听课时间t（单位：min）之间满足如下关系：()()224,016log889,1645amtmtntfttt−++=−+，其中0m，0a且1a．已知()

yft=在区间)0,16上的最大值为88，最小值为70，且()yft=的图象过点()16,86．（1）试求()yft=的函数关系式；（2）若注意力指数大于等于85时听课效果最佳，则教师在什么时间段内安排核心内容，

能使学生听课效果最佳？请说明理由．【答案】（1）()()2121370,0168log889,1645tttfttt−++=−+（2）教师在1226,24t−内安排核心内容，能使学生听课效果最佳【解析】【分析】

（1）根据二次函数最值和函数所过点可构造不等式求得,,mna的值，由此可得()fx；（2）分别在016t和1645t的情况下，由()85ft可解不等式求得结果.【小问1详解】当)0,16t时，()()()222412144ftmttnmtmn=−−+=

−−++，()()()()maxmin1214488070ftfmnftfn==+====，解得：1870mn==；又()16log88986af=+=，log83a=−，解得：12a=，的()()2121370,0168log889,1645tttf

ttt−++=−+.【小问2详解】当016t时，令21370858tt−++，解得：122616t−；当1645t时，令()12log88985t−+，解得：1624t；教师在1

226,24t−内安排核心内容，能使学生听课效果最佳.20.已知函数()()33loglog39xfxx=，函数()1425xxgx+=−+．（1）求函数()fx的最小值；（2）若存在实数[]1,2mÎ-，使不等式()()0fxgm−成立，求实数x的取值范围．【答案】（1

）94−（2）109x或27x【解析】【分析】（1）将()fx化为关于3logx的二次函数后求最小值；（2）由题意知min()()fxgm，求得min()gm后再解关于3logx的二次不等式即可.【小问1详解】()()3333()loglog(3)log2log19xfxxx

x==−+()233loglog2xx=−−2319log24x=−−，∴显然当31log2x=即3x=时,min9()4fx=−，∴()fx的最小值为94−.【小问2详解】因为存在实数[]1

,2mÎ-，使不等式()()0fxgm−成立，所以min()()fxgm，又()()21421524xxxgx+=−+−=+，所以()()2124mgm−=+，又[]1,2mÎ-，显然当0m=时，()()02min241

4gm−=+=，所以有()4fx，即()233loglog24xx−−，可得()()33log2log30xx+−，所以3log2x−或3log3x，解得109x或27x.故实数x的取值范围为109x或27x.21.某中学为了解高一年级数学文化知识竞赛的

得分情况，从参赛的1000名学生中随机抽取了50名学生的成绩进行分析．经统计，这50名学生的成绩全部介于55分和95分之间，将数据按照如下方式分成八组：第一组)55,60，第二组)60,65，…，第八组90,95，下图是按上述分组方法得到的频率分布

直方图的一部分．已知第一组和第八组人数相同，第七组的人数为3人．（1）求第六组的频率；若比赛成绩由高到低的前15%为优秀等级，试估计该校参赛的高一年级1000名学生的成绩中优秀等级的最低分数（精确到0.1）；（2）若从样本中成绩属于第六组和第八组的所有学生中随机抽取两名学生，记他们的成绩分别为x，

y，从下面两个条件中选一个，求事件E的概率()PE．①事件E：0,5xy−；②事件E：(5,15xy−．注：如果①②都做，只按第①个计分．【答案】（1）0.08；81.9（2）选①：715；选

②：815【解析】【分析】（1）根据频率之和为1计算第六组的频率；先判断优秀等级的最低分数所在区间，再根据不低于此分数所占的频率为0.12求得此分数.（2）分别求出第六组和第八组的人数，列举出随机抽取两名学生的所有情况，再求出事件E所包含事件的个数的概率，根据古典概型求解.

【小问1详解】第七组的频率为30.0650＝，所以第六组的频率为()10.0650.00820.0160.0420.060.08−−+++=，第八组的频率为0.04，第七、八两组频率之和为0.10，第六、七、

八组的频率之和为0.18，设优秀等级的最低分数为m，则8085m，由850.040.060.080.155m−++=，解得81.9m，故估计该校参赛的高一年级1000名学生的成绩中优秀等级的最低分数81.9.【小问2详解】第六组[80,85)的

人数为4人，设为,ab,,cd，第八组[90,95]的人数为2人，设为,AB，随机抽取两名学生，则有,,,,,,,,,,,,,,abacadbcbdcdaAbAcAdAaBbBcBdBAB共15种情况，选①：因事件:0,5Exy−发生当且仅当随机抽取的两名学生在同一组

，所以事件E包含的基本事件为,,,,,,abacadbcbdcdAB共7种情况，故7()15PE=.选②：因事件(:5,15Exy−发生当且仅当随机抽取的两名学生不在同一组，所以事件E包含的基本事件为,,,,,,,aAbAcAdAaBbBcBdB

共8种情况，故8()15PE=.22.已知函数()fx的定义域为D，对于给定的正整数k，若存在,abD，使得函数()fx满足：函数()fx在,ab上是单调函数且()fx的最小值为ka，最大值为kb，则

称函数()fx是“倍缩函数”，区间,ab是函数()fx的“k倍值区间”．（1）判断函数()3fxx=是否是“倍缩函数”？（只需直接写出结果）的（2）证明：函数()ln3gxx=+存在“2倍值区间”；（3）设函

数()2841xhxx=+，10,2x，若函数()hx存在“k倍值区间”，求k的值．【答案】（1）是，理由见详解（2）证明见详解（3）4,5,6,7k【解析】【分析】（1）取1,1,1kab==−=，结合题意分析说明；（2）根据题意分析可得ln32x

x+=至少有两个不相等的实根，构建函数结合零点存在性定理分析证明；（3）先根据单调性的定义证明()hx在10,2上单调递增，根据题意分析可得2841xkxx=+在10,2内至少有两个不相等的实根，根据函数零点分析运算即可得结果.【小问1详解】取1,1,1kab==−=，∵

()3fxx=在1,1−上单调递增，∴()3fxx=在1,1−上的最小值为()1f−，最大值为()1f，且()()()1111,1111ff−=−=−==，故函数()3fxx=是“倍缩函数”.【小问2详解】取2k=，∵

函数()ln3gxx=+在,ab上单调递增，若函数()ln3gxx=+存在“2倍值区间”，等价于存在0ab，使得ln32ln32aabb+=+=成立，等价于ln32xx+=至少有两个不相等的实根，等价于()ln23Gxx

x=−+至少有两个零点，∵()()()332e0,110,2ln210eGGG−=−==−，且()Gx在定义内连续不断，∴()Gx在区间()()3e,1,1,2−内均存在零点，故函数()ln3gxx=+存在“2倍值区间”.【小问3详解】对121,

0,2xx，且12xx，则()()()()()()12121212222212128148841414141xxxxxxhxhxxxxx−−−=−=++++，∵12102xx，则221212120,140,410,410xxxxxx−

−++，∴()()120hxhx−，即()()12hxhx，故函数()hx在10,2上单调递增，若函数()hx存“k倍值区间”，即存在*10,2abkN，使得22841841akaabkbb=+=+

成立，即2841xkxx=+在10,2内至少有两个不相等的实根，∵0x=是方程2841xkxx=+的根，则2841kx=+在10,2内有实根，若10,2x，则)284,841x+，即)4,8k，且*kN，∴4,5,6,7k=，即4

,5,6,7k.【点睛】方法点睛：利用函数零点求参数值或取值范围的方法（1）利用零点存在的判定定理构建不等式求解．（2）分离参数后转化为求函数的值域(最值)问题求解．（3）转化为两熟悉的函数图象的上、下关系问题，从而构建不等式求解．在获得更多资源请扫码加入享学资源网

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