【文档说明】江苏省南京师大附中、淮阴中学、姜堰中学、海门中学四校2020届高三下学期4月联考数学试题【精准解析】.doc，共(26)页，3.115 MB，由小赞的店铺上传

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江苏省南师附中、淮阴中学、姜堰中学、海门中学2020届高三下学期四校4月联考数学试题一、填空题1.已知集合11Axx=−，1,0,1B=−，则AB=______．【答案】0,1【解析】【分析】由交集定义直接得到结果.【详

解】由交集定义知：0,1AB=.故答案为：0,1.【点睛】本题考查集合运算中的交集运算，属于基础题.2.已知复数z满足()11izi−=+（i为虚数单位），则z的实部为______．【答案】22【解析】【分析】根据复数的模长和除法运算可求得z，根据实部定义得到结

果.【详解】()11izi−=+，()()()121222111122iiziiiii++====+−−−+，z的实部为22.故答案为：22.【点睛】本题考查复数实部的求解，涉及到复数的模长运算和除法运算，属于基础题.3.若一组样本数据8,9,,9,1

0x的平均数为9，则该组数据的方差为______．【答案】0.4【解析】【分析】利用平均数构造方程求得x，根据方差的运算公式可计算得到结果.【详解】8991095x++++=，9x=，方差()()()2222

1893991090.45s=−+−+−=.故答案为：0.4.【点睛】本题考查数据的平均数和方差的运算，属于基础题.4.根据如图所示伪代码，最后输出的i的值为______．【答案】7【解析】【

分析】按照伪代码运行程序，直到满足10S时输出i即可.【详解】按照伪代码运行程序，输入1S=，1i=，则112S=+=，123i=+=，不满足10S，循环；235S=+=，325i=+=，不满足10S，循环；5510S=+=，527i=+=，满足10S，输出7i=.故答案为：7.【点睛】

本题考查根据循环结构计算输出结果的问题，属于基础题.5.从2名男同学和3名女同学中选2人参加某项活动，则至少有1名女同学被选中的概率为______．【答案】910【解析】【分析】利用组合数可求得所有基本事件和2人中没有女同学的基

本事件个数，根据对立事件概率公式可求得结果.【详解】从5名同学中选2人共有：2510C=种选法；选择的2人中没有女同学的情况有221C=种，至少有1名女同学的概率1911010p=−=.故答案为：910.【点睛】本题考查古典概型概率问题的求解，涉及到对立事件概率公式的应用

，属于基础题.6.双曲线2213yx−=的准线方程为______．【答案】12x=【解析】【分析】由双曲线方程可确定,ac和焦点所在轴，由准线方程的形式可得结果.【详解】由双曲线方程知：1a=，132c=+=，焦点位于x轴上，准线方程为212axc==.故答案为：12x=.【

点睛】本题考查双曲线准线方程的求解问题，关键是能够根据双曲线方程确定,ac的值及焦点所在轴，属于基础题.7.已知()*nanN为等差数列，其公差为2−，且6a是2a与8a的等比中项，nS为na的前n项和，则10S的值为______．【答案】90【解

析】【分析】根据等比中项定义和等差数列通项公式可构造方程求得1a，代入等差数列求和公式可求得结果.【详解】6a是2a与8a的等比中项，2628aaa=，即()()()211110214aaa−=−−，解得：118a=，()1010910182902S=+−=.故答

案为：90.【点睛】本题考查等差数列前n项和的求解问题，涉及到等差数列通项公式和等比中项的应用，属于基础题.8.已知函数()21ln2fxxxax=−+，若函数()fx在区间()1,2上存在极值，则实数a的取值范围为______．【答案】30,2【解析】【分析】根据函数在区间(

)1,2内有极值可知()21gxxax=−++在()1,2上有变号零点，利用二次函数的图象和性质可构造不等式组，解不等式组求得结果.【详解】由题意得：()211xaxfxxaxx−++=−+=，若函数()fx在区间()1,2上存在极值，则()21gxxax

=−++在()1,2上有变号零点，()()()24012230aggaa=+=−或()()240122102230aagaga=+−−==−，解得：302a，即实

数a的取值范围为30,2.故答案为：30,2.【点睛】本题考查根据函数在区间内有极值求解参数范围的问题，关键是能够将问题转化为二次函数在区间内有变号零点的问题，从而利用二次函数的图象和性质

确定不等关系.9.给出下列命题：①若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直；②若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行；③若两条平行直线中的一条垂直于直线m，那么另一条直线也与直线m垂直；④若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的

交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直．其中，真命题是________．(填序号)【答案】①③④【解析】【详解】由面面垂直的判定定理可得若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直，故①正确；如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行，但两条直

线平行时，得不到平面平行，故②错误；根据空间直线夹角的定义，可得两条平行直线与第三条直线的夹角相等，故若两条平行直线中的一条垂直于直线m，那么另一条直线也与直线m垂直，即③正确；根据面面垂直的性质定理，

若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线垂直的直线与另一个平面也垂直，则一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直，故④正确，故真命题有①、③、④三个.10.已知函数()()2cos0,02fxx=

+的图象过点()0,2，且在区间0,2上单调递减，则的最大值为______．【答案】32【解析】【分析】根据()02f=可求得；利用整体代入的方式可确定4x+的范围，根据余弦函数的单调区间可确定4x+最大值的位置，进而构造不等式求得结果.【详解】

由题意得：()02cos2f==，2cos2=，又02，4=；当0,2x时，,4424x++，()fx在0,2上单调递减，24+，解得：32，的

最大值为32.故答案为：32.【点睛】本题考查根据余弦型函数的单调性求解参数最值的问题，关键是能够采用整体对应的方式，结合余弦函数的单调区间确定角整体的最大取值.11.在平面直角坐标系xOy中，已知圆()22:24Cxy−+=，点A是直线20xy−+=上的一个动点，直线,APAQ分别切圆C于,P

Q两点，则线段PQ长的取值范围为______．【答案】)22,4【解析】【分析】设ACx=，利用点到直线距离公式可知22x，将PQ长表示为关于x的函数，求得函数值域即为所求范围.【详解】由圆的方程知：圆心()2,0C，半径2r=

，设ACx=，则202222x−+=，,APAQ为圆C的切线，CPAP⊥，CQAQ⊥，2224APAQACrx==−=−，AC是PQ的垂直平分线，22444241APPCxPQACxx−===−，22x，

214112x−，224PC，即线段PC长的取值范围为)22,4.故答案为：)22,4.【点睛】本题考查直线与圆的综合应用问题，涉及到圆的切线的性质；解题关键是能够把所求线段长表示为关于圆心与直线上的点的距离

的函数的形式，利用函数求值域的方法求得结果.12.已知正实数,xy满足()21xyxy−=，则xy+的最小值为______．【答案】2【解析】【分析】将已知等式变形为()214xyxyxy+=+，利用基本不等式可求得最小值.【详解】()()()2222241xyxyxyxyxyxyxyxy−=

+−=+−=，()2114244xyxyxyxyxy+=+=（当且仅当14xyxy=，即12xy=时取等号），2xy+，即xy+的最小值为2.故答案为：2【点睛】本题考查利用基本不等式求解和的

最小值的问题，关键是能够将已知等式变形、配凑成符合基本不等式的形式.13.如图，在梯形ABCD中，//ABCD且22DCABBC==，E为BC的中点，AC与DE交于点O．若125CBCDOAOD→→→→=，则BCD的余弦值为______．【答案】317【解

析】【分析】取CD中点G，连接,AGBG，且BGACF=，连接,EF，根据平行四边形性质和平行线分线段成比例的关系可求得35OACA→→=，45ODED→→=，设1CB→=，2CD→=，利用平面向量的线性运算和数量积的运算律化简已知等式可求得5118

55CBCD→→=，由平面向量数量积的定义可求得结果.【详解】取CD中点G，连接,AGBG，且BGACF=，连接,EF，2CDAB=，G为CD中点，ABCG=，又//ABCG，四边形ABCG为平行四边形，F为AC中点，即12FACA→→=，又E为BC中点，//EFCG且12E

FCG=，14EFCD=，14OFEFOCCD==，1114510OFOCCFCA===，即110OFCA→→=，35OAOFFACA→→→→=+=，又14OEEFODCD==，445ODOEDE==，即45ODED→→=，3412121155252522OA

ODCAEDCBBACDCECBCDCDCB→→→→→→→→→→→→==+−=+−22221213169625242252525CDCBCDCBCDCBCDCB→→→→→→→→=+−=+

−，不妨设1CB→=，2CD→=，由125CBCDOAOD→→→→=得：249612555CBCDCBCD→→→→=+−，即511855CBCD→→=，1862cos5117CBCDBCD→→===

，3cos17BCD=.故答案为：317.【点睛】本题考查平面向量中的向量夹角的求解问题，关键是能够通过平面向量的线性运算化简已知等式，得到平面向量数量积的结果；本题中的难点是确定OA与AC长度的比例关系，需借助于平行线分线段成比例进行推导.14.已知周期为6的函数()fx满足()()44fx

fx+=−，当1,4x时，()lnxfxx=，则当323ae时（e为自然对数的底数），关于x的不等式()()20fxafx−在区间1,15上的整数解的个数为______．【答案】7【解析】【分析】根

据抽象函数满足的关系式和周期可知()fx关于4x=、1x=对称，结合导数可求得()fx在1,4上的单调性，并得到()()()()1,2,3,4ffff的值及函数的图象；由a的范围可将不等式化为()0fxa，可确定在1,4的整数解个数，结合周期性和对称性可得1,15上的其他整

数解，进而得到结果.【详解】由()()44fxfx+=−得：()fx关于4x=对称，又()fx是周期为6的周期函数，()fx\关于1x=对称，当1,4x时，()21lnxfxx−=，当)1,xe时，()0fx

¢>；当(,4xe时，()0fx¢<；()fx\在)1,e上单调递增，在(,4e上单调递减，()()max1fxfee==，且()10f=，()114ln4ln242f==，()12ln22f=，()13ln33f=，由此可得()fx图象如下图所示：当323ae时，11ln2ln3

23a，()()20fxafx−等价于()0fxa，当1,4x时，整数解为：2x=和4x=；当(4,15x时，整数解为：6x=、8x=、10x=、12x=和14x=；综上所述：不等式()()20fxafx−在区间

1,15上的整数解的个数为7个.故答案为：7.【点睛】本题考查利用函数的周期性、对称性和单调性求解不等式的问题，关键能够利用函数周期性、对称性和单调性确定函数的图象，从而利用数形结合的方式确定函数整数解的个数.二、解答题15.如图，在四棱锥PABCD−中，底面ABCD是菱形，M为PC的中点．

（1）求证：//PA平面BDM；（2）若PAPC=，求证：平面PBD⊥平面ABCD．【答案】（1）详见解析；（2）详见解析．【解析】【分析】（1）连接AC交BD于O，连接OM，由菱形和三角形中位线性质可证得//OMPA，由线

面平行判定定理可证得结论；（2）连接PO，由菱形对角线互相垂直、等腰三角形三线合一和线面垂直判定可证得AC⊥平面PBD，由面面垂直判定定理可证得结论.【详解】（1）连接AC交BD于O，连接OM，四边形ABCD为菱形，O为AC中点，又M为PC中点，//OMPA，OM平

面BDM，PA平面BDM，//PA平面BDM；（2）连接PO，PAPC=，O为AC中点，POAC⊥，四边形ABCD为菱形，BDAC⊥，,POBD平面PBD，POBDO=，AC⊥平面PBD，又AC平面ABCD，平面PBD⊥平面

ABCD.【点睛】本题考查立体几何中的线面平行、面面垂直位置关系的证明，涉及到线面平行和垂直的判定定理、面面垂直判定定理的应用，属于常考题型.16.在平面直角坐标系xOy中，已知角a的顶点在坐标原点，始

边与x轴的非负半轴重合，终边经过一点()3,Pt−．（1）若4t=，求sin4+的值；（2）若3t=且()0,2，求()()sincosfxxx=++的单调增区间．【答案】（1）210；（2）()5112,266kkkZ++．【解析】【分析】

（1）由任意角三角函数定义可求得sin,cos，由两角和差正弦公式可求得结果；（2）由任意角三角函数定义可求得sin,cos，由两角和差正弦公式和辅助角公式化简函数为()3cos6fxx=+，利用整体对应的方式，结合余弦函数单调区间可求得结果.【

详解】（1）当4t=时，4sin5=，3cos5=−，42322sinsincoscossin444525210+=+=−=；（2）当3t=时，1sin2=，3cos2=−，()()33sincossincoscoss

incossincos22fxxxxxxxx=++=++=−+3cos6x=+，令()226kxkkZ−++，解得：()72266kxkkZ−+−+，()fx的单调增区间为72,266kk−+−+，kZ.【点睛】

本题考查任意角三角函数值的求解、两角和差正弦公式和辅助角的应用、余弦型函数单调区间的求解问题，是对三角函数和三角恒等变换部分知识的综合考查.17.如图，某大型厂区有三个值班室,,ABC，值班室A在值班室B的正北方向3千米处，值班室C在值班室B的正东方向4千米处．（1）保安甲

沿CA从值班室C出发行至点P处，此时2PC=，求PB的距离；（2）保安甲沿CA从值班室C出发前往值班室A，保安乙沿AB从值班室A出发前往值班室B，甲乙同时出发，甲的速度为5千米/小时，乙的速度为3千米/小时，若甲乙两人通过对讲机联系，对讲机在厂区内的最大通话距离为3千米（含3千米

），试问有多长时间两人不能通话？【答案】（1）655BP=；（2）413小时．【解析】【分析】（1）在RtABC中求得cosC后，在PBC中利用余弦定理可求得结果；（2）设甲乙出发后的时间为t小时，在AMN中，利用余弦定理可用t表示出2MN，解29MN可求得结果.【详解】（1

）在RtABC中，3AB=，4BC=，则5AC=，4cos5C=，在PBC中，由余弦定理得：2224362cos1641655BPBCCPBCCPC=+−=+−=，655BP=；（2）设甲乙出发后的时间为t小时，甲在线段CA上的位置为M，乙在线段AB上的位置为N，则55AMt=

−，3ANt=，且0,1t，由（1）知：3cos5A=，在AMN中，由余弦定理得：2222cosMNAMANAMANA=+−，即()()222218559555268255MNtttttt=−+−−=−+，若甲乙不能通话，则3MN，即25268259tt−+，解得：413

t或1t，又0,1t，40,13t，两人不能通话的时间为413小时.【点睛】本题考查解三角形的实际应用问题，主要考查了余弦定理的应用，属于基础题.18.在平面直角坐标系xOy中，椭圆C的方程为()2221

024xybb+=，且直线2yx=+与以原点为圆心，椭圆C短轴长为直径的圆相切．（1）求b的值；（2）若椭圆C左右顶点分别为,MN，过点()2,2P−作直线l与椭圆交于,AB两点，且,AB位于第一象限，A在线段BP上

．①若AOM和BON△的面积分别为12,SS，问是否存在这样的直线l使得121SS+=？请说明理由；②直线OP与直线NA交于点C，连结,MBMC，记直线,MBMC的斜率分别为12,kk，求证：12kk为定值．【

答案】（1）1；（2）①不存在满足条件的直线l，理由详见解析；②详见解析．【解析】【分析】（1）利用直线与圆相切可构造方程求得b；（2）由（1）得到椭圆方程和,MN坐标；①将直线PA方程与椭圆方程联立可得到韦达定理的形式，同时根据

,AB位于第一象限可构造不等式组求得t的范围；利用1212SSyy+=+可构造方程求得t，可知所求t不满足所求范围，知直线不存在；②利用,,OPC三点共线和,,NAC三点共线可利用11,xy表示出33,xy，同韦达定理一起代入12kk，整理可得定值

.【详解】（1）由题意知：直线2yx=+与圆222xyb+=相切，圆心到直线的距离()22211db==+−，1b=；（2）由（1）知：椭圆方程为2214xy+=，则()2,0M−，()2,0N，①易知直线PA的斜率不为零，设直线():22PAxty

=−−，()11,Axy，()22,Bxy，则将直线PA与椭圆联立整理得：()()222441480tyttytt+−+++=，()()()()22212221221611624041044804tttttttyytttyyt=+−+++=++=+，解得：82

3t−−；2121224414ttSSyyt++=+==+，即23440tt+−=，解得：2t=−或23t=，这与823t−−不符，所以不存在满足条件的直线l；②设()33,Cxy，由,,OPC三点共线知：33yx=−，由,,NAC三点共线知：

331313222yxyxxx==−−−，131122yxxy=+−，131122yyxy−=+−，()()()()()2121121221121122222224222yyyyyykkxxytytytttyy−−−===++−−+−−+−

−()()1212121224yyttyyyy−=+−++，由①知：()122414ttyyt++=+，2122484ttyyt+=+()()()()()122421412164428144ttkkttttttt+−−===−+

+−+++，则12kk为定值.【点睛】本题考查直线与椭圆综合应用问题，涉及到椭圆方程的求解、椭圆中三角形面积问题、椭圆中的定值问题；求解定值问题的关键是能够结合韦达定理，利用某一变量表示出12kk，通过化简消元整理得到定值.19.已知数列()*nanN

的前n项和为nS，()2nnnSa=+（为常数）对于任意的*nN恒成立．（1）若11a=，求的值；（2）证明：数列na是等差数列；（3）若22a=，关于m的不等式21mSmm−+有且仅有两个不同的整数解，求的取值范围．【答案】（1）1；（2）详见解析；（3）191,,522

−−．【解析】【分析】（1）将1n=代入已知等式即可求得结果；（2）利用11nnnSSa++−=可得到递推关系()1121nnnanana++=+−+，将1n+换成n后两式作差可得到112nnnaaa+−+=，从而证得结论；（3

）将不等式化为()2312mmm−−+，令22t−=，则不等式()31tmmm−+的正整数解只有两个，通过分析可知除3m=以外只能有1个m符合要求；当4m≥时，通过导数可求得()max1534mmm+=−，

分别讨论54t、5342t和32t时m的取值，得到符合题意的范围后，解不等式求得结果.【详解】（1）当1n=时，()11112Saa=+=，112aa=+，解得：11a==；（2）由（1）知：()()()112

21nnnnSnaSna++=+=++，()1121nnnanana++=+−+，*nN，()()1112121nnnnnnananaanana++−=+−+=−−+，则()()

11122121nnnnnaananana++−−=+−+−，()()()111121nnnnanana+−−+−=−，又2n，*nN，10n−，∴112nnnaaa+−+=对任意2n，*nN成立，数列na是等差数列；（3）由（2）可知：21mSmm−+

，即()11212mmmadmm−+−+，即()()12212mmmmm−+−−+，()2312mmm−−+，令22t−=，题目条件转化为满足不等式()31tmmm−+的正整数解只有两个，若1m

=符合，则22t，即1t；若2m=符合，则23t，1.5t；若3m=符合，则t为任意实数，即除3m=以外只能有1个m符合要求.当4m≥，*mN时，()31tmmm−+，解得：()13mtm

m+−，令15xm=+，则()()()1143145mxmmxxxx+==−−−−+，令()45fxxx=−+，则()222441xfxxx−=−=，当5x≥时，()0fx恒成立，()fx在)5,+上单调递增，()()min455fxf==，()

max1534mmm+=−，当54t时，至少存在2m=、3、4满足不等式，不符合要求；当5342t时，对于任意4m≥，*mN都不满足不等式，1m=也不满足，此时只有2m=、3满足；当32t时，

只有3m=符合；故5342t，即523422−，解得：112−−或952；的取值范围是191,,522−−.【点睛】本题考查数列知识的综合应用，涉及到数列中的项的求解、根据递推关系式证明数列为等差数列、根据不等式整数解的个

数求解参数范围的问题；本题中求解参数范围的关键是能够将不等式进行化简，结合最值采用分类讨论的方式确定整数解的个数，从而构造不等式求得结果，属于难题.20.已知函数()ln1xfxax=+（aR，且a为常数）．（1）

若函数()yfx=的图象在xe=处的切线的斜率为()211ee−（e为自然对数的底数），求a的值；（2）若函数()yfx=在区间()1,2上单调递增，求a的取值范围；（3）已知(),1,2xy，且3xy+=．求证：()()23ln23ln011xxyyxy−−+−−．【答案】（1

）1−或2ee−；（2）11,2−−+；（3）详见解析．【解析】【分析】（1）根据导数几何意义知()()211feee=−，由此构造方程求得结果；（2）将问题转化为1ln0axaxx+−且10ax+恒成立的

问题，令()1lnxaxaxx=+−，分别在0a=、0a和102a−或1a−时，结合函数单调性确定最小值，令()min0x，从而求得a的取值范围；（3）根据（2）的结论可知()fx在()1,2上单调递增，分类讨论可确定()(

)()23ln32ln2312xxxx−−−，将不等关系代入所求不等式左侧，结合对数运算可整理得到结果.【详解】（1）由题意得：()()()()2211ln1ln11axaxaxaxxxfxaxxax+−+−==++()yfx=的图象在xe=处的切线的斜率为()

211ee−，()()211feee=−，()()221ln111aeaeeeaeee+−=+−，解得：()()2211aee+=−，()11aee+=−，1a=−或2ee−；（2）函数()fx在()1,2上单调递增，对于任

意的()1,2x，都有()0fx恒成立即1ln0axaxx+−且10ax+，当0a=，10恒成立，满足题意；当0a时，由1xa−得：()11,2a−，即0a或102a−或1a−，令()1lnxaxaxx=+−，则()lnxax=−，①当0a且()1,2x

时，()0x，()x在()1,2上单调递减，要使得1ln0axaxx+−恒成立，即要求()20，即212ln20aa+−，解得：122ln2a−−，0a满足题意；②当102a−或1a−，且()1,2x时，()0x，()x

在()1,2上单调递增，要使得1ln0axaxx+−恒成立，即要求()10，即1ln10aa+−，解得：1a−；102a−或1a=−综上所述：a的取值范围是11,2−−+；（3）由（2）可知：当1a=−时，函数(

)fx在()1,2上单调递增，此时()lnln11xxfxxx==−+−，当312x时，()332ln22fxf=−，而230x−，()()()3232ln232xfxx−−−，即()()()ln3232ln2312xxxx−−−

−，()()()23ln32ln2312xxxx−−−，当322x时，()332ln22fxf=−，而230x−，()()()3232ln232xfxx−−−，即()()()2ln3232ln2312xxxx−−−−，()()()23ln32ln2312

xxxx−−−综上，对于任意()1,2x，都有()()()23ln32ln2312xxxx−−−，()()()()()()()23ln23ln3332ln232ln232ln22611222xxyyxyxyxy−−+−+−=+−−−0=，结论得证.【点睛】本题

考查导数在研究函数中的应用，涉及到导数几何意义的应用、根据函数在区间内的单调性求解参数范围、利用导数证明不等式；本体证明不等式的关键是能够通过分类讨论的方式将()()23ln1xxx−−进行放缩，属于难题.21.曲线221xy+=在矩阵00aAb

=()0,0ab对应的变换下得到曲线2219xy+=．（1）求矩阵A；（2）求矩阵A的特征向量．【答案】（1）3001A=；（2）10和01．【解析】【分析】（1）根据对应关系可得到xaxyby==，代入椭圆方程整

理，结合圆的方程可构造方程组求得,ab，从而求得结果；（2）由()30001f−==−可求得1=或3，分别在1=或3两种情况下求得特征向量.【详解】（1）设曲线221xy+=上的任意一点(),xy在矩阵A的对应变换作用下得到的点为(),xy，则00axxbyy

=，xaxyby==，222219axby+=，22191ab==，又0,0ab，3a=，1b=，3001A=；（2）由()()()3031001f−==−−=−得：1=或3；当1=时，由200000

xyxy−+=+=得对应的特征向量为01；当3=时，由000020xyxy+=+=得对应的特征向量为10；综上所述：矩阵A的特征向量为01和10.【点睛】本题考查矩阵问题中的曲线的变换、特征向量的求解问题，属于常考题型

.22.在平面直角坐标系xOy中，已知直线l的参数方程：122312xtyt=−=+（t为参数），以原点为极点，x轴非负半轴为极轴（取相同单位长度）建立极坐标系，圆C的极坐标方程为：2cos0+=．（1）将直线l的参

数方程化为普通方程，圆C的极坐标方程化为直角坐标方程；（2）求圆C上的点到直线l的距离的最小值．【答案】（1）直线l的普通方程为3123yx=−++．圆C的普通方程为()2211xy++=；（2）3312−．【解析】【分析】（1）根据参数方程化普通方程方法、极坐标与

直角坐标的互化原则可直接化简得到结果；（2）设曲线C上任一点())()1cos,sin0,2P−+，利用点到直线距离公式可将问题转化为三角函数值域的求解问题，由正弦型函数性质可确定6=时，d最小，进而得到结果.【详解】（1）直线l的参数方程消

去参数t得普通方程为：3123yx=−++；由2cos0+=得：22cos=−，222xyx+=−，圆C的普通方程为()2211xy++=；（2）在圆C上任取一点())()1cos,sin0,2P−+，则P到直线l的距离为()23312

sin33cossin1233213d+−+−−++==+−当6=时，min3312d−=，此时311,22P−+．【点睛】本题考查参数方程化普通方程、极坐标与直角坐标的互化、利用参数方程求解曲线上的点到直线距离的最值问题；求解最值问题的关键是

能够利用圆的参数方程将问题转化为三角函数值域的求解问题.23.已知,,abc为正实数，满足3abc++=，求149abc++的最小值．【答案】12【解析】【分析】利用柯西不等式可知()14936abcabc++++

，由此求得结果.【详解】,,abc均为正实数，()()()()222222149149abcabcabcabc++++=++++()221

4912336abcbbc++=++=（当且仅当22249bca==时取等号），又3abc++=，14912abc++，即149abc++的最小值为12.【点睛】本题考查利用柯西不等式求解最值的问题，关键是能够将

所求式子配凑成符合柯西不等式的形式.24.五个自然数1、2、3、4、5按照一定的顺序排成一列．（1）求2和4不相邻的概率；（2）定义：若两个数的和为6且相邻，称这两个数为一组“友好数”．随机变量表示上述五个自然数组成的一个排列中“友好数”的组

数，求的概率分布和数学期望()E．【答案】（1）35；（2）分布列详见解析，()45E=．【解析】【分析】（1）利用插空法可求得2和4不相邻的事件总数，根据古典概型概率公式可求得结果；（2）确定所有可能的取值，结合排列组合知识可求得每个取值对应的概率，进而得到分布

列；利用数学期望计算公式计算可得期望.【详解】（1）记“2和4不相邻”为事件A，则()32345535AAPAA==；（2）的所有可能取值为0,1,2，()22322355125AAAPA===，()222223552215AAAPA===，()12121224242422552220

5CACACAAPA++===，的分布列如下：012P252515()22140125555E=++=．【点睛】本题考查古典概型概率问题的求解、离散型随机变量的分布列与数学期望的求解，涉及到排列组合的相关知识；解题关键是能够准确确定随机变量可能的取值，并利用排列组合的知识求

得每个取值对应的概率.25.已知*nN，数列12:,,...,nTaaa中的每一项均在集合1,2,...,Mn=中，且任意两项不相等，又对于任意的整数(),1ijijn，均有ijiaja++．例如2n=时，数列T为1,2或2,1．（1）当3n=时，试求满足条件的数列T的个数

；（2）当*nN，求所有满足条件的数列T的个数．【答案】（1）4；（2）12n−．【解析】【分析】（1）分别假设13a=，23a=和33a=，根据已知关系式可求得21,aa，从而得到结果；（2）①当1a

n=时，可确定满足条件的数列只有1个；②当()2ianin=时，可知ian=以后的各项是唯一确定的，根据ian=之前的满足条件的数列的个数为1ib−可整理得到1112nnnnbbbb−−−=+=，由等比数列通项公式可求得12nnb−=，由此可确定结果.【详解】（1

）若13a=，则2132a++，故22a=，则31a=；若23a=，则2323aa++，32a，故32a=，则11a=；若33a=，则11a=，22a=或12a=，23a=；当3n=时，满足条件的数列T为3,2,1；1,3,2；1,2,3；

2,1,3；故满足条件的T的个数为4；（2）设满足条件的数列T的个数为nb，显然11b=，22b=，34b=，不等式ijiaja++中取1ji=+，则有11iiiaia++++，即11iiaa++，①当1an=时，则21an=−，同理32an=−

，，1na=，满足条件的数列只有1个；②当()2ianin=，则11ian+=−，同理22ian+=−，，nai=，即ian=以后的各项是唯一确定的，又ian=之前的满足条件的数列的个数为1ib−，当2n时，1211nnnbbbb−−=++++（*），当3n时，1211

nnbbb−−=+++，代入（*）式得到1112nnnnbbbb−−−=+=，且满足212bb=，对任意2n，都有12nnbb−=成立，又11b=，12nnb−=；综上，满足条件的数列T的个数为12n−．【点睛】本题考查了数列中的新定义运算的问题，

关键是能够通过分类讨论的方式确定所求数列个数所构成的数列为等比数列，进而利用等比数列通项公式求得结果.