【文档说明】【精准解析】北师大版必修5练案：第3章3第1课时基本不等式【高考】.docx，共(9)页，48.209 KB，由小赞的店铺上传

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[练案20]A级基础巩固一、选择题1．下列结论正确的是(B)A．当x>0且x≠1时，lgx＋1lgx≥2B．当x>0时，x＋1x≥2C．当x≥2时，x＋1x的最小值为2D．当0<x≤2时，x－1x无最大值[解析]A中lgx不一定为正；C中x＋1x的最

小值为52；D中函数为增函数，区间(0,2]上有最大值．故选B．2．设a＞0，b＞0，若3是3a与3b的等比中项，则1a＋1b的最小值为(B)A．8B．4C．1D．14[解析]由已知，得3a·3b＝3，∴3a＋b＝3，∴a＋

b＝1.∵a>0，b>0，∴1a＋1b＝(1a＋1b)(a＋b)＝2＋ba＋ab≥2＋2ba·ab＝4，当且仅当a＝b＝12时，等号成立．3．若x>4，则函数y＝x＋1x－4(B)A．有最大值－6B．有最小值6C．有最大值－2D．有最小值2[解析]∵

x>4，∴x－4>0，∴y＝x－4＋1x－4＋4≥2(x－4)·1x－4＋4＝6.当且仅当x－4＝1x－4，即x－4＝1，x＝5时，取等号．4．若a>b>1，P＝lga·lgb，Q＝12(lga＋lgb)，R＝l

ga＋b2，则(B)A．R<P<QB．P<Q<RC．Q<P<RD．P<R<Q[解析]由a＞b＞1，得lga＞lgb＞0，Q＝12(lga＋lgb)＞lga·lgb＝P，R＝lg(a＋b2)＞lgab＝12(lga＋l

gb)＝Q，∴R＞Q＞P.5．在下列函数中，最小值为2的是(B)A．y＝x＋1xB．y＝3x＋3－xC．y＝lgx＋1lgx(1<x<10)D．y＝sinx＋1sinx(0<x<π2)[解析]对于A，当x>0时，y＝x＋1x≥2，当x<0时，y＝－[(－1x)＋(－x)]≤－2

；对于B，∵3x>0,3－x>0，∴y＝3x＋3－x≥2.对于C、D两项中，等号均不能成立．6．某工厂第一年产量为A，第二年的增长率为a,第三年的增长率为b，这两年的平均增长率为x，则(B)A．x＝a＋b2B．x≤a＋b2C．x＞a＋b2D．x≥a＋b2[解析]∵这两年

的平均增长率为x，∴A(1＋x)2＝A(1＋a)(1＋b)，∴(1＋x)2＝(1＋a)(1＋b)，由题设a＞0，b＞0.∴1＋x＝(1＋a)(1＋b)≤(1＋a)＋(1＋b)2＝1＋a＋b2，∴x≤a＋b2.等号在1＋a＝1

＋b即a＝b时成立．二、填空题7．若x<0，则y＝2＋2x＋4x的最大值是－32.[解析]y＝2－(－2x－4x)≤2－2(－2x)·(－4x)＝2－28＝2－42＝－32.当且仅当－2x＝－4x，即x＝－2时取等号．8．(2018·天津理，13)已知a，b∈R，

且a－3b＋6＝0，则2a＋18b的最小值为14.[解析]∵a－3b＋6＝0，∴a－3b＝－6，∴2a＋18b＝2a＋2－3b≥22a·2－3b＝22a－3b＝22－6＝2×2－3＝14，当且仅当a＝－3b，a－3b＋6

＝0时等号成立，即a＝－3，b＝1时取到等号．三、解答题9．(1)若x>0，y>0，且lgx＋lgy＝2，求5x＋2y的最小值；(2)已知x>1，y>1，且lgx＋lgy＝2，求lgx·lgy的最大值；(3)已知x>1，求y＝x2x－1的最小值．[解析](1)∵lgx＋lgy

＝2，∴lg(xy)＝2，∴xy＝100，又∵5x＋2y≥210xy＝21000＝2010，当且仅当5x＝2y，即x＝210，y＝510时，5x＋2y取得最小值2010.(2)∵x>1，y>1，∴lgx>0，lgy>0，

∴lgx·lgy≤(lgx＋lgy2)2，∴lgx·lgy≤1，即lgx·lgy的最大值为1.当且仅当lgx＝lgy，即x＝y＝10时，等号成立．(3)y＝x2x－1＝x2－1＋1x－1＝x＋1＋1x－1＝x－1＋1x－1＋2≥2＋2＝4，当且仅当1x

－1＝x－1，即(x－1)2＝1时，等式成立，∵x>1，∴当x＝2时，ymin＝4.10．(1)求函数y＝1x－3＋x(x>3)的最小值；(2)设x>0，求y＝2－x－4x的最大值．[解析]y＝1x－3＋x＝1x－3＋(x－3)＋3，∵x>3，

∴x－3>0，∴1x－3＋(x－3)≥21x－3(x－3)＝2，当且仅当1x－3＝x－3，即x－3＝1，x＝4时，等号成立．∴当x＝4时，函数y＝1x－3＋x(x>3)取最小值2＋3＝5.(2)∵x>0，∴x＋4x≥2x·4x＝4，∴y＝2－x＋4x≤2－4＝－2.

当且仅当x＝4x，即x＝2时等号成立，y取最大值－2.B级素养提升一、选择题1．如果a，b满足0<a<b，a＋b＝1，则12，a,2ab，a2＋b2中值最大的是(D)A．12B．aC．2abD．a2＋b2[解

析]解法一：∵0<a<b，∴1＝a＋b>2a，∴a<12，又a2＋b2≥2ab，∴最大数一定不是a和2ab，又a2＋b2＝(a＋b)2－2ab＝1－2ab，∵1＝a＋b>2ab，∴ab<14，∴1－2ab>1－12＝12，即a2＋b2>12.解法二：特

值检验法：取a＝13，b＝23，则2ab＝49，a2＋b2＝59，∵59>12>49>13，∴a2＋b2最大．2．设x＋3y＝2，则函数z＝3x＋27y的最小值是(D)A．23B．22C．3D．6[解析]z＝3x＋27y≥

23x·33y＝23x＋3y＝6，当且仅当x＝2y＝1，即x＝1，y＝13时，z＝3x＋27y取最小值6.3．设正数x，y满足x＋4y＝40，则lgx＋lgy的最大值是(D)A．40B．10C．4D．2[解析]∵x＋4y≥2x·4y＝4xy，∴xy≤x＋4y4＝404＝10，当且

仅当x＝4y即x＝20，y＝5时取“＝”，∴xy≤100，即(xy)max＝100，∴lgx＋lgy＝lg(xy)的最大值为lg100＝2.故选D．4．已知x>0，y>0，x、a、b、y成等差数列，x、c、d、y成等比数列，则(a＋b)

2cd的最小值是(D)A．0B．1C．2D．4[解析]由等差、等比数列的性质得(a＋b)2cd＝(x＋y)2xy＝xy＋yx＋2≥2yx·xy＋2＝4.当且仅当x＝y时取等号，∴所求最小值为4.二、填空题5．周长为l

的矩形对角线长的最小值为24l.[解析]设矩形长为a，宽为b，则a＋b＝l2，∵(a＋b)2＝a2＋b2＋2ab≤2a2＋2b2，∴a2＋b2≥(a＋b)22，∴对角线长a2＋b2≥(a＋b)22＝24l.当且仅当a＝b时，取“＝

”．6．若a>0，b>0，a＋b＝2，则下列不等式对一切满足条件的a，b恒成立的是①③⑤__(写出所有正确命题的编号)．①ab≤1；②a＋b≤2；③a2＋b2≥2；④a3＋b3≥3；⑤1a＋1b≥2.[解析]

①ab≤(a＋b2)2＝(22)2＝1，成立．②欲证a＋b≤2，即证a＋b＋2ab≤2，即2ab≤0，显然不成立．③欲证a2＋b2＝(a＋b)2－2ab≥2，即证4－2ab≥2，即ab≤1，由①知成立．④a3＋b3＝(a＋

b)(a2－ab＋b2)≥3⇔a2－ab＋b2≥32⇔(a＋b)2－3ab≥32⇔4－32≥3ab⇔ab≤56，由①知，ab≤56不恒成立．⑤欲证1a＋1b≥2，即证a＋bab≥2，即证ab≤1，由①知成

立．三、解答题7．某商场预计全年分批购入每台2000元的电视机共3600台，每批都购入x台(x是正整数)，且每批均需运费400元，储存购入的电视机全年所付保管费与每批购入电视机的总价值(不含运费)成正比

．若每批购入400台，则全年需用去运输和保管总费用43600元．现在全年只有24000元资金可以支付这笔费用，请问：能否恰当安排每批进货的数量，使资金够用？写出你的结论，并说明理由．[解析]设全年需用去的运费

和保管费的总费用为y元，题中比例系数为k，每批购入x台，则共需分3600x批，每批费用为2000x元．由题意得y＝3600x×400＋k·2000x.由x＝400时，有y＝43600得k＝5100＝120，所以y＝3600x×400＋10

0x≥23600x×400×100x＝24000(元)．当且仅当3600x×400＝100x，即x＝120时，等号成立．故只需每批购入120台，可以使资金够用．8．设函数f(x)＝x＋ax＋1，x∈[0，＋∞)．(1)当a＝2时，求函

数f(x)的最小值；(2)当0<a<1时，求函数f(x)的最小值．[解析](1)把a＝2代入f(x)＝x＋ax＋1，得f(x)＝x＋2x＋1＝(x＋1)＋2x＋1－1，∵x∈[0，＋∞)，∴x＋1>0，2x＋1>0，∴x＋1＋2x＋1≥22.当

且仅当x＋1＝2x＋1，即x＝2－1时，f(x)取最小值．此时，f(x)min＝22－1.(2)当0<a<1时，f(x)＝x＋1＋ax＋1－1，若x＋1＋ax＋1≥2a，则当且仅当x＋1＝ax＋1时取

等号，此时x＝a－1<0(不合题意)，因此，上式等号取不到．设x1>x2≥0，则f(x1)－f(x2)＝x1＋ax1＋1－x2－ax2＋1＝(x1－x2)[1－a(x1＋1)(x2＋1)]，∵x1>x2≥0，∴x1－x2>0，x1＋1>1，x2＋1≥1，∴(x1＋1)(x2

＋1)>1，而0<a<1，∴a(x1＋1)(x2＋1)<1，∴f(x1)－f(x2)>0，∴f(x)在[0，＋∞)上单调递增，∴f(x)min＝f(0)＝a.获得更多资源请扫码加入享学资源网微信公众号www.xiangxue100.com