【文档说明】江苏省南通市通州区2019-2020学年高二下学期期中考试数学试题 【精准解析】.doc，共(23)页，1.694 MB，由小赞的店铺上传

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江苏省南通市通州区2019—2020学年下学期高二期中学业质量监测数学试卷一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共计40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上）1.在复平面内，复数12zi=−+（i为虚数单位）对应的点所在象限是（）A.一B.

二C.三D.四【答案】B【解析】【分析】根据复数几何意义，即可求得答案.【详解】12zi=−+复数z对应的点()1,2−故：复数12zi=−+对应的点在二象限故选：B.【点睛】本题主要考查了求复数点所在象限，解题关键是掌握复数的几何意

义，考查了分析能力，属于基础题.2.已知回归直线方程中斜率的估计值为1.23，样本点的中心()4,5，则回归直线方程为（）A.1.2308ˆ.0yx=+B.0.0813ˆ.2yx=+C.1.234ˆyx=+D.1.235ˆyx

=+【答案】A【解析】【分析】由题意得在线性回归方程ˆybxa=+中1.23b=，然后根据回归方程过样本点的中心得到a的值，进而可得所求方程．【详解】设线性回归方程ˆybxa=+中，由题意得1.23b=，∴1.23ˆ

yxa=+．又回归直线过样本点的中心()4,5，∴51.234a=+，∴0.08a=，∴回归直线方程为1.2308ˆ.0yx=+．故选A．【点睛】本题考查线性回归方程的求法，其中回归直线经过样本点的中心时解题

的关键，利用这一性质可求回归方程中的参数，也可求样本数据中的未知参数，属于基础题．3.已知随机变量X的分布列为()()1,2,3,410kPXkk===，则()13PX=（）A.310B.35C.12D.15【

答案】C【解析】【分析】根据所给的离散型随机变量的分布列，可以写出等3和2时的概率，本题所求的概率包括两个数字的概率，利用互斥事件的概率公式把结果相加即可.【详解】随机变量X的分布列为()()1,2,3,410kPXkk===2(2)10PX==，3(3)10PX==231(1

3)10102PX=+=„故选：C.【点睛】本题解题关键是掌握互斥事件的概率公式，考查了分析能力和计算能力，属于基础题.4.由1，2，3，4，5，6组成没有重复数字且1，3不相邻的六位数的个数是（）A.36B.72C

.600D.480【答案】D【解析】【分析】直接利用插空法计算得到答案.【详解】根据题意将2,4,5,6进行全排列，再将1,3插空得到4245480AA=个.故选：D.【点睛】本题考查了排列组合中的插空法，意在考查学生的计算能力和应用能力.5.甲、乙两人投篮，投中

的概率分别为0.6，0.7，若两人各投篮2次，则两人各投中一次的概率为（）A.0.42B.0.2016C.0.1008D.0.0504【答案】B【解析】【分析】本题是一个相互独立事件同时发生的概率，两人各投两次，两人都投中1次的概率为11220.60.40.70.3CC，从而得到答案．【

详解】甲、乙两人投篮，投中的概率分别为0.6，0.7两人都投中1次的概率为11220.60.40.70.30.2016CC=故选：B.【点睛】本题主要考查了n次独立重复试验中恰好发生k次的概率，解题关键是掌握相互独立事件概率的求法，考查了分析能力和计算

能力，属于基础题.6.设aZ，且016a，若20204a+能被17整除，则a的值为（）A.1B.4C.13D.16【答案】D【解析】【分析】由()101020201010416171aaa+=+=−+，按照二

项式定理展开，根据它能被17整除，结合所给的选项可得a的值．【详解】∵aZ，且016a，由()101020201010416171aaa+=+=−+()()()()01100910100101011009100911010

01010101010101010171171171171CCCCa=−+−++−+−+L()()()0100910090101011100911010101010101711711711CCCa=−+−++−++

L又20204a+能被17整除1a+能被17整除，结合016a16a=故选：D．【点睛】本题考查了根据表达式整除来求参数问题，解题关键是掌握二项式定理，考查了分析能力和计算能力，属于基础题.7.在某区2020年5月份的高二期中质量检测考试中，学生的数学成绩服从正态分布()98,1

00XN.已知参加本次考试的学生约有9450人，如果某学生在这次考试中数学成绩为108分，那么他的数学成绩大约排在该区的名次是（）附：若()2,XN，则()0.6826PX−+=，()220.9544PX−+=.

A.1500B.1700C.4500D.8000【答案】A【解析】【分析】利用正态总体密度曲线的性质求出概率,即可得到结论.【详解】考试的成绩X服从正态分布(98,100)N98,10==Q，1089810=+=+Q，10.6826(108)2P−

=0.1587=即数学成绩优秀高于108分的学生占总人数的15.87%.945015.87%1500故选：A.【点睛】本题考查正态分布曲线的性质的应用,解题的关键是求出108的概率.8.函数()23xefxxx

=−，()()3,00,3x−的图象大致为（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】判断函数的奇偶性和对称性，3x→−时，函数值结()fx值不趋近正无穷，利用排除法，即可求得答案.【详解】()()3,00,3x−由()23xefxxx=−，可得()23xefxxx−−

=+()()fxfx−−，故函数()23xefxxx=−，不是奇函数，排除B，D；()23xefxxx=−，3x→−时，函数值结()fx值不趋近正无穷排除B综上所述，只有A符合题意故选：A．【点睛】本题考查了根据

函数表达式求解函数图象问题，解题是掌握奇函数图象特征和灵活使用排除法，考查了分析能力和计算能力，属于中档题.二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共计20分.在每小题给出的四个选项中，至少有两个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上）9.若382828xx

CC−=，则x的值为（）A.4B.6C.9D.18【答案】AC【解析】【分析】由382828xxCC−=，可得38xx−=或3828xx−+=，即可求得答案.【详解】382828xxCC−=38xx−=或3828xx−+=解得：4x=或9x=故选：AC【点睛】本题主要

考查了求解组合数方程，解题关键是掌握组合数基本性质，考查了分析能力和计算能力，属于基础题.10.直线12yxb=+能作为下列（）函数的图像的切线.A.1()fxx=B.4()fxx=C.()sinfxx=D.()xfxe=【答案】BCD【解析】【分析】依次计算

每个选项中的导数，计算()1'2fx=是否有解得到答案.【详解】1()fxx=，故211'()2fxx=−=，无解，故A排除；4()fxx=，故31()42fxx==，故12x=，即曲线在点11,216的切线为13216yx=−，B正确；()si

nfxx=，故1'()cos2fxx==，取3x=，故曲线在点3,32的切线为13262yx=−+，C正确；()xfxe=，故'()12xfxe==，故ln2x=−，曲线在点1ln2

,2−的切线为111ln2222yx=++，D正确；故选：BCD.【点睛】本题考查了曲线的切线问题，意在考查学生的计算能力.11.下列说法正确的有（）A.任意两个复数都不能比大小B.若(),zabiaRbR=+，则当且仅当0ab==时，0z=C.若12,zzC，且22120z

z+=，则120zz==D.若复数z满足1z=，则2zi+的最大值为3【答案】BD【解析】【分析】根据复数定义，复数的几何意义，逐项判断，即可求得答案.【详解】A，复数(),zabiaRbR=+,当0b=时,z为实数,可以比较大小,A为假命题.B，复数(),z

abiaRbR=+,当0z=时,0a=且0b=,B为真命题.C，当121,zzi==时,22120zz+=,但12zzC为假命题.D，设(),zxyixyR=+复数z满足1z=，可得：221xy+=即：221xy=−，11y−由2zi+，可得()()22222

2zixyiixyixy+=++=++=++将221xy=−代入可得：()22212453ziyyy+=−++=+D为真命题.故选：BD【点睛】本题解题关键是掌握复数的基础知识，掌握复数几何意义，考查了分析能力

和推理能力，属于基础题.12.已知6112axxx+−的展开式中各项系数的和为2，则下列结论正确的有（）A.1a=B.展开式中常数项为160C.展开式系数的绝对值的和1458D.若r为偶数，则展开式中rx和1rx−

的系数相等【答案】ACD【解析】【分析】61(1)(2)axxx+−中，给x赋值1求出各项系数和,列出方程求出a，利用二项展开式的通项公式求出通项，进而可得结果.【详解】对于A，6112axxx+−

令二项式中的x为1得到展开式的各项系数和为1a+，12a+=1a\=，故A正确；对于B，661111212axxxxxx+−=+−Q6611122xxxxx=−+−，612xx−展开

式的通项为66621(1)2rrrrrTCx−−+=−，当612xx−展开式是中常数项为：令620r−=,得3r=可得展开式中常数项为：33346(1)2160TC=−=−，当6112xxx−展开式是中

常数项为：662665261(1)2(1)2rrrrrrrrCxCxx−−−−=−−令520r−=,得52r=(舍去)故6112axxx+−的展开式中常数项为160−.故B错误；661111212axxxxxx+−=+−

对于C，求其展开式系数的绝对值的和与61112xxx+−展开式系数的绝对值的和相等61112xxx++，令1x=，可得：66111112231458++==

61112xxx+−展开式系数的绝对值的和为：1458.故C正确；对于D，66611111222axxxxxxxx+−=−+−612xx−展

开式的通项为66621(1)2rrrrrTCx−−+=−，当r为偶数，保证展开式中rx和1rx−的系数相等①2x和1x的系数相等，61112xxx+−展开式系数中2x系数为：622226(1)2Cx

−−展开式系数中1x系数为：622226(1)2Cx−−此时2x和1x的系数相等，②4x和3x的系数相等，61112xxx+−展开式系数中4x系数为：15146(1)2Cx−展开式系数中3x系数为：

15146(1)2Cx−此时4x和3x的系数相等，③6x和5x的系数相等，61112xxx+−展开式系数中6x系数为：66600(1)2Cx−展开式系数中5x系数为：66600(1)2Cx−此时6x和5x的

系数相等，故D正确；综上所在，正确的是：ACD故选：ACD.【点睛】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于中档题.三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共计20分.其中第14题共有2空，第一个空2分，第

二个空3分；其余题均为一空，每空5分.请把答案填写在答题卡相应位置上）13.计算2222223456CCCCC++++=______.【答案】35【解析】【分析】根据组合数的性质11mmmnnnCCC−++=计算可得；【详解】解：2222223456CCCCC++++3222233456CCCCC

=++++32224456CCCC=+++322556CCC=++3266CC=+3776535321C===故答案为：35【点睛】本题考查组合数的性质，属于中档题.14.规定(1)(1)mxAxxxm=−−+，其

中xR，*mN，且01xA=，这是排列数mnA（*,nmN，且mn）的一种推广.则331A+=_______，则函数()3xfxA=的单调减区间为_______.【答案】(1).23(2).331,133−+【解析】【分

析】利用定义即可得出331A+，函数332()(1)(2)3xfxAxxxxx==−−=−，利用导数研究其单调性，即可求得答案.【详解】(1)(1)mxAxxxm=−−+()()()()()()3313131313133231

21A+=++++−−=−=332()(1)(2)23xfxAxxxxxx==−−=+−则2()362fxxx=−+令()0fx，即：23620xx−+解得：333333x−+函数()fx的单调减区间为：331

,133−+故答案为：23，331,133−+【点睛】本题解题关键是掌握新定义和排列数的计算方法，及其根据导数求函数单调性的步骤，考查了分析能力和计算能力，属于中档题.15.设口袋中有黑球、白球共

7个，从中任取2个球，已知取到白球个数的数学期望值为67，则口袋中白球的个数为_______.【答案】3【解析】【分析】设口袋中有白球x个，由已知可得取得白球的可能取值为0，1，2，则服从超几何分布，利用公式2727()kkxxCCPkC−−==(0,1,2k=)，即可求

得答案.【详解】口袋中有白球x个，由已知可得取得白球个数的可能取值为0，1，2则服从超几何分布，2727()(0,1,2)kkxxCCPkkC−−===，2727(0)xCPC−==，11727(1)xxCCPC−==，22

7(2)xCPC==1127227726()7xxCCCECC=+=6(7)(1)21187xxxx−+−==，618x=3x=故答案为：3．【点睛】本题解题关键是掌握超几何分布期望的求法，考查了分析能力和计算能力，属于基

础题.16.已知()723801238()(21)xmxaaxaxaRxaxm+−=+++++，若127a=，则()81iiia=的值为_______.【答案】43【解析】【分析】因为7(21)x−的展开通项为：777177(

2)(1)(1)2rrrrrrrrTCxCx−−−+=−−=，根据127a=，求的m，将所给等式两边求导，即可求得()81iiia=的值.【详解】7(21)x−的展开通项为：777177(2)(1)(1)2rrrrrrrrTCxCx−−−+=−−=又777(

)(21)(21)(21)xmxxxmx+−−+−=7661777011(1)2(1)211427aCmCm=−+−−+==2m=80187(2)(21)xxaaxax+−=+++等式两边求导可得：762712381(21)(2)7(21)2238x

xxaaxaxax−++−=++++6(21)(211428)xxx=−−++67128(1627)(21)28xxaaxax=+−=+++令1x=，得：1282843aaa++=+()8143iiia==故答案为：43【点睛】本题解题关键是

掌握多项式系数的求法和导数基础知识，考查了分析能力和计算能力，属于中档题.四、解答题（本大题共6小题，共计70分.请在答题卡指定区域内作答.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.已知12zai=+，234zi=

−（其中i为虚数单位）.（1）若12zz为纯虚数，求实数a的值；（2）若121zzz−（其中2z是复数2z的共轭复数），求实数a的取值范围.【答案】（1）83a=（2）32a【解析】【分析】（1）由12zai=+，234

zi=−，可得12234zaizi+=−，由12zz为纯虚数，即可求得a；（2）因为12(2)(34)(3)2zzaiiai−=+−+=−−，121zzz−，故22121zzz−，即可求得a的取值范围.【详

解】（1）由12zai=+，234zi=−，得122(2)(34)384634252525zaiaiiaaizi+++−+===+−，12zz为纯虚数，38025a−=，且46025a+，83a=.（2）12(2)(34)(3)2zzaiiai−=+−+

=−−，121zzz−，22121zzz−，即()22344aa−++，解得32a.【点睛】本题解题关键是掌握根据复数类型求参数的方法，复数除法和复数模求法，考查了分析能力和计算能力，属于基础题.18.在()

*413,2nxnnNx−的展开式中，第2，3，4项的二项式系数依次成等差数列.（1）求n的值；（2）求展开式中含2x的项.【答案】（1）7（2）2214x【解析】【分析】（1）因为展开式中

第2，3，4项的二项式系数依次成等差数列，可得：1322nnnCCC+=，整理得，29140nn−+=，即可求得n的值；（2）当7n=时，7412xx−展开式的第1r+项为1441371(1)2rrrrrTCx+−=−，令14324

r−=，即可求得含2x的项.【详解】（1）因为展开式中第2，3，4项的二项式系数依次成等差数列，1322nnnCCC+=，整理得，29140nn−+=，即()()270nn−−=，又3n，*nN，n的值为7.（2）当7n

=时，7412xx−展开式的第1r+项为17174374411()(1)22rrrrrrrrTCxCxx−+−=−=−，其中07r且rN.令14324r−=，得2r=，222

2372121(1)24TCxx=−=，展开式中含2x的项为2214x.【点睛】本题解题关键是掌握二项式通项公式，掌握二项式的基础知识，考查了分析能力和计算能力，属于中档题.19.近期，某学校举行了一次体育知识竞赛，并对竞赛成绩进行分组：成绩

不低于80分的学生为甲组，成绩低于80分的学生为乙组.为了分析竞赛成绩与性别是否有关，现随机抽取了60名学生的成绩进行分析，数据如下图所示的22列联表.甲组乙组合计男生3女生13合计4060（1）将22列联表补充完整，判断是

否有90%的把握认为学生按成绩分组与性别有关？（2）如果用分层抽样的方法从甲组和乙组中抽取6人，再从这6人中随机抽取2人，求至少有1人在甲组的概率.附：()()()()()22nadbcKabcdacbd−=++++，nabcd

=+++.参考数据及公式：()2PKk0.1000.0500.0100.0050.001k2.7063.8416.6357.87910.828【答案】（1）见解析，有90%的把握认为学生按成绩分组与性别有关.（2）2021

【解析】【分析】（1）根据所给数据填写22列联表，计算出2K，即可求得答案；（2）甲组有40人，乙组有20人，若用分层抽样的方法从甲组和乙组中抽取6人，从这6人中随机抽取2人，至少有1人在甲组的概率为22261CPC=−，即可求得

答案.【详解】（1）22列联表补充如下：甲组乙组合计男生27330女生131730合计402060根据列联表中的数据，可以求得2260(2717313)14.730302040K−==，14.72.706，有90%的把握认为学生按成

绩分组与性别有关.（2）甲组有40人，乙组有20人，若用分层抽样的方法从甲组和乙组中抽取6人，则抽取的6人中甲组有4人，乙组有2人.从这6人中随机抽取2人，至少有1人在甲组的概率为222620121CPC=−=.故：至少有1人在甲组的概率为2021.【点睛】本题解题关键是掌握卡方

的求法和概率计算公式，考查了分析能力和计算能力，属于中档题.20.已知函数()3221fxxaxax=+−+，aR.（1）当1a=时，求函数()fx在区间2,1−上的最大值；（2）当0a时，求函数()fx的极值.【答案】（1）2（2）当0a=时，没有极值；当0a时，极大值

为31a+，极小值为35127a−.【解析】【分析】（1）当1a=时，()321fxxxx=+−+，可得：()()23211)31(xxxxfx=+−=+−.，()0fx=，得1x=−或13x=，列出函数单调性表格，即可最大值；（2）()()22(

)323xaxaxaxfxa=+−=+−，令()0fx=，得xa=−或3ax=，分别讨论0a=和0a，即可求得()fx的极值.【详解】（1）当1a=时，()321fxxxx=+−+，所以()()()2321131fxxxxx=+−=+−.令()0fx=，得1x=−或13x=，

列表如下：x-2()2,1−−-111,3−131,131()fx+0-0+()fx()2f−极大值极小值()1f由于()12f−=，()12f=，所以函数()fx在区间

2,1−上的最大值为2.（2）()()()22323fxxaxaxaxa=+−=+−，令()0fx=，得xa=−或3ax=.当0a=时，()230fxx=≥，所以函数()fx在R上单调递增，无极值.当0a时，列表如下：x(),

a−−a−,3aa−3a,3a+()'fx+0-0+()fx极大值极小值函数()fx的极大值为()31faa−=+，极小值为351327afa=−.【点睛】本题主要考查根据

导数求函数单调性和极值，解题关键是掌握导数求单调性的方法和极值定义，考查分析能力和计算能力，属于中档题.21.为抗击疫情，中国人民心连心，向世界展示了中华名族的团结和伟大，特别是医护工作者被人们尊敬的称为“最美逆行者”，各地医务工作者主动支援湖北武汉.现有7名医学专家被随机

分配到“雷神山”、“火神山”两家医院.（1）求7名医学专家中恰有两人被分配到“雷神山”医院的概率；（2）若要求每家医院至少一人，设X，Y分别表示分配到“雷神山”、“火神山”两家医院的人数，记XY=−，求随机变量的分布列和数学期望()E.【

答案】（1）742（2）分布列见解析，199【解析】【分析】（1）设“7名医学专家中恰有两人被分配到‘雷神山’医院”为事件A，7名医学专家被随机分配到“雷神山”“火神山”两家医院，求出基本事件总数和事件A情况数，根据概率计算公式，即可求得答案；（2）若要求每家医院至少1人共有7

22126−=种等可能的基本事件，随机变量的所有取值为1，3，5，求得(1)P=，(3)P=，(5)P=即可求得分别列，根据期望计算公式，即可求得答案.【详解】（1）设“7名医学专家中恰有两人被分配到‘雷神山’医院”为事件A，7名医学专家被随机分配到“雷神山”“火神山”两家医院，共

有72128=种等可能的基本事件，其中事件A包含2721C=种情况，所以()21128PA=.故：7名医学专家中恰有两人被分配到“雷神山”医院的概率为742.（2）若要求每家医院至少1人共有722126−

=种等可能的基本事件，随机变量的所有取值为1，3，5，3477705(1)1261269CCP+====；2577421(3)1261263CCP+====；1677141(5)1261269CCP+====.随机

变量的分布列为X135P591319数学期望51119()1359399E=++=.故：数学期望()E的值为199.【点睛】本题主要考查了求事件的概率和数据的期望，解题关键是掌握概率计算公式和期望的求法，考查了计算能力和分析能力，属于基础题

.22.已知函数()()1xfxxe=−，其中e是自然对数的底数.（1）求曲线()yfx=在1x=处的切线方程；（2）设()()2gxxfx=+，求函数()gx的单调区间；（3）设()()lnhxmfxx=−，求证：当10me时，函数()hx恰有2

个不同零点.【答案】（1）()1yex=−（2）单调增区间为()0,ln2和)1,+；单调减区间为(),0−和()ln2,1.（3）证明见解析【解析】【分析】（1）由()()1xfxxe=−，得()()1xxxfxexexe=+−=，所以()1f

e=，即可求得答案；（2）()()()()2221,11,1xxxxexgxxfxxxex+−=+=−−，根据导数，分别讨论1x和1x函数的单调性，即可求得函数()gx的单调区间；（3）因为()()lnhxmfxx=−，设

()()1lnxFxmxex=−−，得()()2110xxmxeFxmxexxx−=−=，令()()210xhxmxex=−，当10me，()()220xhxmxmxe=+，结合已知和零

点定义，即可求得答案.【详解】（1）由()()1xfxxe=−，得()()1xxxfxexexe=+−=，()1fe=，曲线()yfx=在1x=处的切线方程为()1yex=−.（2）()()()(

)2221,11,1xxxxexgxxfxxxex+−=+=−−，当1x时，()()220xxgxxxexe=+=+，函数()gx的单调增区间为)1,+.当1x时，()()21xgxxxe=−−，()()22xxgxxxex

e=−=−，令()0gx，得0ln2x；令()0gx，得0x或ln21x，函数()gx的单调增区间为()0,ln2；单调减区间为(),0−和()ln2,1.综上所述，函数()gx的单调增区

间为()0,ln2和)1,+；函数()gx的单调减区间为(),0−和()ln2,1.（3）由题意知，()()1lnxFxmxex=−−，得()()2110xxmxeFxmxexxx−=−=，令()()210xhxmxex=−，当

10me时，()()220xhxmxmxe=+，()hx在()0,+上单调递增，又()110hme=−，211lnln10hmm=−，存在唯一的011,lnx

m，使得()020010xhxmxe=−=，当()00,xx时，()0hx，在()00,x上单调递减，当()0,xx+时，()0hx，在()0,x+上单调递增，故0x是()()210xhxmxex=−的唯一极值点，令(

)ln1txxx=−+，当()1,x+时，()110txx=−，在()1,+上单调递减，即当()1,x+时，()()10txt=，即ln1xx−，1ln111lnln1lnlnmFmemmm=−−11ln11ln0mm−+−=，

又()0(1)0FxF=，函数()Fx在()0,x+上有唯一的零点，又()Fx在()00,x上有唯一的零点，函数()Fx恰有2个不同零点.【点睛】本题主要考查了根据导数求函数的单调性和根据单调性求

证零点个数，解题关键是掌握导数求单调性的方法和根据单调求判断零点个数步骤，考查了分析能力和计算能力，属于难题.