【文档说明】上海市黄浦区2021届高三高考数学二模试卷 含解析.doc，共(18)页，1.002 MB，由小赞的店铺上传

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2021年上海市黄浦区高三高考数学二模试卷一、填空题（共有12题，满分54分，每个空格填对前6题得4分、后6题得5分）.1．已知集合A＝{x|x2+2x﹣3＞0}，B＝{x||x﹣1|＜1}，则A∩B＝．2．方程

2log4x+1＝3的解x＝．3．已知某球体的表面积为36π，则该球体的体积是．4．已知函数f（x）的定义域为R，函数g（x）是奇函数，且g（x）＝f（x）+2x，若f（1）＝﹣1，则f（﹣1）＝．5．已知复数z的共轭复

数为，若（其中i为虚数单位），则|z|＝．6．已知长方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱AB＝BC＝3，CC1＝4，则异面直线AB1与CD1所成角的大小是.（结果用反三角函数值表示）7．已知随机事件A和B相互独立，若P（AB）＝0.36，（表示事件A的对立事件），

则P（B）＝．8．无穷等比数列{an}（n∈N*，an∈R）的前n项和为Sn，且＝2，则首项a1的取值范围是．9．已知（1+2x）n的二项展开式中第三项的系数是112，则行列式中元素﹣1的代数余子式的值是．10．已知实数x、y满足线性约束条件，则目标函数z＝2x+5y的最大值是．11．某企业开展科

技知识抢答抽奖活动，获奖号码从用0、1、2、3、⋯、9这十个数字组成没有重复数字的三位数中产生，并确定一等奖号码为：由三个奇数字组成的三位数，且该三位数是3的倍数．若某位职工在知识抢答过程中抢答成功，则该职工随机抽取一个号码能抽到一等奖号码的概率是

.（结果用数值作答）12．已知a∈R，函数f（x）＝的最小值为2a，则由满足条件的a的值组成的集合是．二、选择题（满分20分）13．已知空间直线l和平面α，则“直线l在平面α外”是“直线l∥平面α”的（）A．充分非必要条件B．必要

非充分条件C．充要条件D．非充分非必要条件14．某赛季甲乙两名篮球运动员在若干场比赛中的得分情况如下：甲：21、22、23、25、28、29、30、30；乙：14、16、23、26、28、30、33、38．则下列

描述合理的是（）A．甲队员每场比赛得分的平均值大B．乙队员每场比赛得分的平均值大C．甲队员比赛成绩比较稳定D．乙队员比赛成绩比较稳定15．已知点P（4，m）是直线l：（t∈R，t是参数）和圆C：（θ∈R，θ是参数）的公共点，过点P作圆C的切

线l1，则切线l1的方程是（）A．3x﹣4y﹣28＝0B．3x+4y﹣28＝0C．3x﹣y﹣13＝0D．x﹣3y﹣16＝016．已知x、y是正实数，△ABC的三边长为CA＝3，CB＝4，AB＝5，点P是边AB（P与点A、B不重合）上任一点，且．若不等式2x+3y≥m•x•y恒成立，则实数m

的取值范围是（）A．B．C．D．m≤3三、解答题（本大题满分76分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题卷的相应编号规定区域内写出必要的步骤．17．已知长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，棱AB＝BC＝2，AA1＝3，点E是棱AD的中点．（1）联结CE，求三棱锥D1﹣EBC的体积V；（2）

求直线CD1和平面D1EB所成角的大小．（结果用反三角函数值表示）18．已知△ABC中，内角A、B、C所对边长分别为a、b、c，且b＝1，asinA＝3sinB．（1）求正实数a的值；（2）若函数f（x）＝asin2x+cos2x（x∈R），求函数

f（x）的最小正周期、单调递增区间．19．某民营企业开发出了一种新产品，预计能获得50万元到1500万元的经济收益．企业财务部门研究对开发该新产品的团队进行奖励，并讨论了一个奖励方案：奖金y（单位：万元）随经济

收益x（单位：万元）的增加而增加，且y＞0，奖金金额不超过20万元．（1）请你为该企业构建一个y关于x的函数模型，并说明你的函数模型符合企业奖励要求的理由；（答案不唯一）（2）若该企业采用函数y＝作为奖励函数模型，试确

定实数a的取值范围．20．（16分）椭圆的右顶点为A（a，0），焦距为2c（c＞0），左、右焦点分别为F1、F2，P（x0，y0）为椭圆C上的任一点．（1）试写出向量、的坐标（用含x0、y0、c的字母表示）；（2）若的最大值为3，最小值为2，求实数a、b的值；（3）在满足（2）的条件下，若

直线l：y＝kx+m与椭圆C交于M、N两点（M、N与椭圆的左、右顶点不重合），且以线段MN为直径的圆经过点A，求证：直线l必经过定点，并求出定点的坐标．21．（18分）定义：符号max{x1，x2，x3}表示实数x1、x2、x

3中最大的一个数；min{x1，x2，x3}表示x1、x2、x3中最小的一个数．如，max{﹣2，2，1.2}＝2，min{﹣2，2}＝﹣2．设K是一个给定的正整数（K≥3），数列{an}共有K项，记Ai＝min{a1，a2，⋯，ai﹣1，ai}，Bi＝max{ai+1，

ai+2，⋯，aK﹣1，aK}，di＝Ai﹣Bi（i＝1，2，3，4，⋯，K﹣1）．由di的取值情况，我们可以得出一些有趣的结论．比如，若d2＞0，则a2＞a3.理由：d2＞0，则A2＞B2.又a2≥A2，B2≥a3，于是，有a

2＞a3.试解答下列问题：（1）若数列{an}的通项公式为，求数列{di}（i＝1，2，3，⋯，K﹣1）的通项公式；（2）若数列{an}（n＝1，2，⋯，K）满足a1＝3，di＝1（i＝1，2，⋯，K﹣1），求通项公式an；（3）试构造项数为K的数列{an}，

满足an＝bn+cn，其中{bn}是等比数列，{cn}是公差不为零的等差数列，且数列{di}（i＝1，2，⋯，K﹣1）是单调递减数列，并说明理由．（答案不唯一）参考答案一、填空题（共12小题）.1．已知集合A＝{x|x2+2x﹣3＞0}，B＝{x

||x﹣1|＜1}，则A∩B＝（1，2）．【解答】A＝{x|x2+2x﹣3}＝{x|（x+3）（x﹣1）＞0}＝{x|x＜﹣3或x＞1}，B＝{x|﹣1＜x﹣1＜1}＝{x|0＜x＜2}，A∩B＝{x|1＜x＜2}，故答案为：（1，2）．2．方程2log4x+1＝3的解

x＝4．解：方程2log4x+1＝3，即方程log4x＝1，∴x＝4，故答案为：4．3．已知某球体的表面积为36π，则该球体的体积是36π．解：设球的半径为R，则4πR2＝36π，即R＝3．∴该球的体积为V＝．故答案为：36π．4．已知函数f（x）的定义域为R，函数g（x）是奇函数，且g

（x）＝f（x）+2x，若f（1）＝﹣1，则f（﹣1）＝．解：根据题意，g（x）＝f（x）+2x，则g（1）＝f（1）+2，g（﹣1）＝f（﹣1）+，又由g（x）是奇函数，则g（1）+g（﹣1）＝f（1）+f（﹣1）+＝f（1）+＝0，解可得：f（﹣1）＝，

故答案为：．5．已知复数z的共轭复数为，若（其中i为虚数单位），则|z|＝5．解：因为，所以＝＝﹣4﹣3i，故|z|＝5．故答案为：5．6．已知长方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱AB＝BC＝3，CC1＝4，则异面直线AB1与CD1所成角

的大小是.（结果用反三角函数值表示）解：建立空间直角坐标系，如图所示：由长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝BC＝3，CC1＝4，所以A（3，0，0），B1（3，3，4），C（0，3，0），D1（0，0，4），所以＝（0，3，4），＝（0，﹣3，4），计算cos＜，＞＝＝＝，

所以异面直线AB1与CD1所成角的大小是arccos．故答案为：arccos．7．已知随机事件A和B相互独立，若P（AB）＝0.36，（表示事件A的对立事件），则P（B）＝0.9．解：随机事件A和B相互独立，P（AB）＝0.36，（表示事件A的对立事件），∴P（A

）＝1﹣0.6＝0.4，∴P（B）＝＝＝0.9．故答案为：0.9．8．无穷等比数列{an}（n∈N*，an∈R）的前n项和为Sn，且＝2，则首项a1的取值范围是（0，2）∪（2，4）．解：∵无穷等比数列{an}（n∈N*）的前n

项的和是Sn，且＝2，∴，即a1＝2（1﹣q），由题意可得﹣1＜q＜1，且q≠0，∴0＜1﹣q＜2，且1﹣q≠1，∴0＜a1＜4，且a1≠2，∴首项a1的取值范围是（0，2）∪（2，4）．故答案为：（0，2）∪（2，4）．9．已知（1+2x）n的二项展开式中第三项的系数是11

2，则行列式中元素﹣1的代数余子式的值是5．解：因为（1+2x）n的二项展开式中第三项的系数是112，所以•22＝112，解得n＝8，所以行列式中元素﹣1的代数余子式为﹣＝﹣（3×1﹣1×8）＝5．故答案为：5．10．已知实数x、y满足线性约束条件，则目标函数z＝2x+5

y的最大值是．解：画出可行域，如图所示：当直线z＝2x+5y过点B时，z取得最大值，联立方程，解得，∴点B（，），∴zmax＝2×+5×＝．故答案为：．11．某企业开展科技知识抢答抽奖活动，获奖号码从用0、1、2、3、⋯、9这十个数字组成没有重复数字的三位数中产生，并确定一

等奖号码为：由三个奇数字组成的三位数，且该三位数是3的倍数．若某位职工在知识抢答过程中抢答成功，则该职工随机抽取一个号码能抽到一等奖号码的概率是.（结果用数值作答）解：获奖号码从用0、1、2、3、…、9这十个数字组成没有重复数字

的三位数中产生，基本事件总数n＝9×9×8＝648，一等奖号码为：由三个奇数字组成的三位数，且该三位数是3的倍数，满足条件的三个奇数可能为（1，3，5），（1，5，9），（3，5，7），（5，7，9），∴一等奖号码包含的基本事件个数m＝＝24

，∴某位职工在知识抢答过程中抢答成功，则该职工随机抽取一个号码能抽到一等奖号码的概率是P＝＝＝．故答案为：．12．已知a∈R，函数f（x）＝的最小值为2a，则由满足条件的a的值组成的集合是．解：①若a＜0时，则f（x）＝x2﹣ax+a+1的对称

轴为x＝，∴当x＜0时，f（x）min＝f（）＝﹣++1，又∵当x≥0时，f（x）≥0＞2a，∴﹣++1＝2a，∴a2+6a﹣4＝0，∴a＝﹣﹣3或a＝﹣3（舍去），②若a＝0时，则f（x）＝，∴f（x）＞1＞2a，∴a≠0，③若a＞0

时，则f（x）＝x2﹣ax+a+1的对称轴为x＝＞0，∴当x＜0时，f（x）＝x2﹣ax+a+1单调递减，∴f（x）＞f（0）＝+1，当x≥0时，f（x）＝，∴f（x）≥a+2，∴a+2＝2a，∴a＝2，又∵+1＞2a，∴0＜a＜，∴a≠

2，综上所述：a∈{﹣﹣3}．故答案为：{﹣﹣3}．二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题卷的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分．1

3．已知空间直线l和平面α，则“直线l在平面α外”是“直线l∥平面α”的（）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件D．非充分非必要条件解：若直线l在平面α外，则l∥α或l与α相交，故“直线l在平面α外”推不出“直线l∥平面α”，由“直线l∥平面α”则推出“直线l在平面α外”，故“直线l在

平面α外”是“直线l∥平面α”的必要不充分条件，故选：B．14．某赛季甲乙两名篮球运动员在若干场比赛中的得分情况如下：甲：21、22、23、25、28、29、30、30；乙：14、16、23、26、28、30、33、38．则下列描述合理的是（）A．甲队

员每场比赛得分的平均值大B．乙队员每场比赛得分的平均值大C．甲队员比赛成绩比较稳定D．乙队员比赛成绩比较稳定解：甲队员得分的平均值为（21+22+23+25+28+29+30+30）＝26，乙队员得分的平均值为（14+16+23+26+28+30+33+38）＝26，故甲队员和

乙队员每场比赛得分的平均值相等，故选项A，B错误；甲队员得分的方差为[（21﹣26）2+（22﹣26）2+（23﹣26）2+（25﹣26）2+（28﹣26）2+（29﹣26）2+（30﹣26）2+（30﹣26）2]＝12，甲队员得分的方差为[（14﹣26）2+（16﹣26）2+（23﹣

26）2+（26﹣26）2+（28﹣26）2+（30﹣26）2+（33﹣26）2+（38﹣26）2]＝48.25，所以甲队员的成绩比较稳定，故选项C正确，选项D错误．故选：C．15．已知点P（4，m）是直线l：（t∈R

，t是参数）和圆C：（θ∈R，θ是参数）的公共点，过点P作圆C的切线l1，则切线l1的方程是（）A．3x﹣4y﹣28＝0B．3x+4y﹣28＝0C．3x﹣y﹣13＝0D．x﹣3y﹣16＝0解：直线l：（t∈R，t是参数）转换为直角坐标方程为x﹣3y

﹣16＝0．由于点P（4，m）在直线上，故m＝﹣3，所以P（4，﹣4），设圆C的切线l1的方程为y+4＝k（x﹣4），整理得kx﹣y﹣4k﹣3＝0．由于直线与圆相切，故圆心（1，0）到直线kx﹣y﹣4k﹣3＝0的距离d＝，解得k＝．所以切线的方程为3

x﹣4y﹣28＝0．故选：A．16．已知x、y是正实数，△ABC的三边长为CA＝3，CB＝4，AB＝5，点P是边AB（P与点A、B不重合）上任一点，且．若不等式2x+3y≥m•x•y恒成立，则实数m的取值范围是（）A．B．C．D．m≤3解：建立如图所示的直角坐标系，因为，分别为，

方向上的单位向量，则为＝（0，1），＝（1，0），则＝（0，x）+（y，0）＝（y，x），故P（y，x），因为AB所在的直线方程为，即x＝﹣+3，（0＜x＜3，0＜y＜4），因为2x+3y≥m•x•y恒成立，所以m＝，令f（y）＝，则

，易得，当0＜y﹣4时，函数单调递减，当4时，函数单调递增，故当y＝4时f（y）取得最小值，故m．故选：A．三、解答题（本大题满分76分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题卷的相应编号规定区域内写出必要的步骤．17．已知长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，棱AB

＝BC＝2，AA1＝3，点E是棱AD的中点．（1）联结CE，求三棱锥D1﹣EBC的体积V；（2）求直线CD1和平面D1EB所成角的大小．（结果用反三角函数值表示）解：（1）因为ABCD﹣A1B1C1D1是长方体，且棱AB＝BC＝2，AA1＝3，所以AA1⊥平面ABCD，

即三棱锥D1﹣EBC的高等于AA1，所以，故；（2）以点D为坐标原点，建立空间直角坐标系如图所示，则E（1，0，0），C（0，2，0），B（2，2，0），D1（0，0，3），所以，，，设平面EBD1的法向量，则，即，令x＝6，得，故平面EBD1的一

个法向量为，设直线CD1和平面EBD1所成的角为θ，则，所以直线CD1和平面EBD1所成角的大小为．18．已知△ABC中，内角A、B、C所对边长分别为a、b、c，且b＝1，asinA＝3sinB．（1）求正实数a的值；（2）若函数

f（x）＝asin2x+cos2x（x∈R），求函数f（x）的最小正周期、单调递增区间．【解答】解（1）∵在△ABC中，b＝1，asinA＝3sinB，根据正弦定理，得（a＞0），∴．（2）由（1）知，，∴f（x）＝asin2x+cos2x＝＝2sin（2x+），∴函数f（x

）的最小正周期为．由（k∈Z），得．∴函数f（x）的递增区间是（k∈Z）．19．某民营企业开发出了一种新产品，预计能获得50万元到1500万元的经济收益．企业财务部门研究对开发该新产品的团队进行奖励，并讨论了一个奖励

方案：奖金y（单位：万元）随经济收益x（单位：万元）的增加而增加，且y＞0，奖金金额不超过20万元．（1）请你为该企业构建一个y关于x的函数模型，并说明你的函数模型符合企业奖励要求的理由；（答案不唯一）（2）若该企业采用函数y＝作为奖励函数模型，试确定实数a

的取值范围．【解答】解（1）答案不唯一．构造出一个函数，说明是单调增函数且函数的取值满足要求，如，，就是符合企业奖励的一个函数模型，理由：根据一次函数的性质，易知，y随x增大而增大，即为增函数，当x＝50时，，当

x＝1500时，，即奖金金额y＞0且不超过20万元，故该函数是符合企业奖励要求的一个函数模型．（2）当50≤x≤500时，易知是增函数，且当x＝50时，；当x＝500时，，即满足奖金y＞0且不超过20万的要求，故当50≤x≤500时

，符合企业奖励要求，当500＜x≤1500时，函数是增函数，即对任意x1、x2∈（500，1500]，且x1＜x2时，成立，故当且仅当1﹣a＜0，即a＞1时，此时函数在（500，1500]上是增函数，由，得a≤9501，进一步可知，，故成立，即当1＜a≤9501时，函数符合奖金y＞0且金额不超过2

0万的要求，依据函数模型是符合企业的奖励要求，即此函数为增函数，于是，有，解得a≤4001．综上，所求实数a的取值范围是1＜a≤4001．20．（16分）椭圆的右顶点为A（a，0），焦距为2c（c＞0），左、右焦点分别为F

1、F2，P（x0，y0）为椭圆C上的任一点．（1）试写出向量、的坐标（用含x0、y0、c的字母表示）；（2）若的最大值为3，最小值为2，求实数a、b的值；（3）在满足（2）的条件下，若直线l：y＝kx+

m与椭圆C交于M、N两点（M、N与椭圆的左、右顶点不重合），且以线段MN为直径的圆经过点A，求证：直线l必经过定点，并求出定点的坐标．解：（1）根据题意，可知F1（﹣c，0）、F2（c，0），于是，，（2）由（1）可知，．∵P（x0，y0）在椭圆上，∴，则．∴．依据椭圆的性

质，可知﹣a≤x0≤a．∴当且仅当x0＝±a时，，当且仅当x0＝0时，．又∵a2﹣b2＝c2，的最大值为3，最小值为2，∴解得即为所求．（3）证明：由（2）知，椭圆．又l：y＝kx+m，联立方程组得（3+4k2）x2+8kmx+4m2﹣12＝0．设M（x1，y1）、N（x2，y2）是直线l：y＝

kx+m与椭圆C的两个交点，于是，有，∵以线段MN为直径的圆经过点A（2，0），∴，即（x1﹣2，y1）⋅（x2﹣2，y2）＝0，进一步得（y1y2＝（kx1+m）（kx2+m）），化简得7m2+16km+4k2＝0．解得．（经检

验，都满足△＞0），当m＝﹣2k时，直线l过点A（2，0）不满足M、N与椭圆的左右顶点不重合要求，故m＝﹣2k舍去．∴，即．∴直线l必经过定点，且定点的坐标为．21．（18分）定义：符号max{x1，x2，x3}表示实数x1、x2、x3中最

大的一个数；min{x1，x2，x3}表示x1、x2、x3中最小的一个数．如，max{﹣2，2，1.2}＝2，min{﹣2，2}＝﹣2．设K是一个给定的正整数（K≥3），数列{an}共有K项，记Ai＝min{a1，a2，⋯，ai﹣1，ai}，Bi＝max{ai+1，ai+2，⋯，aK﹣

1，aK}，di＝Ai﹣Bi（i＝1，2，3，4，⋯，K﹣1）．由di的取值情况，我们可以得出一些有趣的结论．比如，若d2＞0，则a2＞a3.理由：d2＞0，则A2＞B2.又a2≥A2，B2≥a3，于是，有a2＞a3.试解答下列问题：（1）若数列{an}的

通项公式为，求数列{di}（i＝1，2，3，⋯，K﹣1）的通项公式；（2）若数列{an}（n＝1，2，⋯，K）满足a1＝3，di＝1（i＝1，2，⋯，K﹣1），求通项公式an；（3）试构造项数为K的数列{

an}，满足an＝bn+cn，其中{bn}是等比数列，{cn}是公差不为零的等差数列，且数列{di}（i＝1，2，⋯，K﹣1）是单调递减数列，并说明理由．（答案不唯一）【解答】解（1）∵数列{an}的通项公式为，根据指数函数的图像与性质，可知数列{an}是单调递减数列，即an＞

an+1（n＝1，2，⋯，K﹣1）．∴，．∴（i＝1，2，⋯，K﹣1）为所求的通项公式．（2）∵数列{an}（n＝1，2，⋯，K）满足a1＝3，di＝1（i＝1，2，⋯，K﹣1），依据题意，由d1＝1＞0，知a1＞a2；由d2＝1＞0，知a2＞a3；依此类推，有aK﹣1＞aK，即a1＞a2＞

⋯＞aK﹣1＞aK，于是，数列{an}（n＝1，2，⋯，K）是单调递减数列．∴Ai＝min{a1，a2，⋯，ai﹣1，ai}＝ai，Bi＝max{ai+1，ai+2，⋯，aK﹣1，aK}＝ai+1（i＝1，2，⋯，K﹣1）．

∵di＝1，∴ai﹣ai+1＝1，即ai+1﹣ai＝﹣1．∴数列{an}是首项a1＝3，公差为﹣1的等差数列．∴an＝a1+（n﹣1）d＝4﹣n（n＝1，2，⋯，K）．（3）构造数列{bn}：，数列{cn}：cn＝b⋅

n（b＜0），n＝1，2，⋯，K，设an＝bn+cn，则数列{an}满足题设要求．理由如下：构造数列{bn}：，数列{cn}：cn＝b⋅n（b＜0），n＝1，2，⋯，K，易知，数列{bn}是等比数列，数列{cn}是等差数列．由指数函数y＝ax（x∈R，0＜a＜1）的性质，知an＞an+1

，即数列{bn}是单调递减数列；由函数y＝kx（x∈R，k＜0）的性质，知数列{cn}是单调递减数列．∴an+bn＞an+1+b（n+1），即an＞an+1（n＝1，2，3，⋯，K﹣1）．∴数列{an}是单调递

减数列．∴．∴，即数列{di}（i＝1，2，⋯，K﹣1）是单调递减数列．∴数列{an}是满足条件的数列．