【文档说明】安徽省安庆市第一中学2023-2024学年高二上学期第二次阶段性学业质量检测数学试题 含解析.docx，共(21)页，1.195 MB，由管理员店铺上传

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安庆一中2023-2024学年度高二第一学期第二次阶段性学业质量检测数学试题一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知直线1:310lxy+−=，若直线2l与1l垂直，则2l的倾

斜角为（）A.30B.60C.120D.150【答案】A【解析】【分析】由直线2l与1l垂直得到2l的斜率2lk，再利用斜率与倾斜角的关系即可得到答案.【详解】因为直线2l与1l垂直，且13lk=−，所以121llkk

=−，解得233lk=，设2l的倾斜角为，3tan3=，所以30=.故选：A.2.已知等差数列na的前n项和为nS，若1472,22aaa=+=，则19S=（）A.380B.200C.190D.100【答案】A【解析】

【分析】求得等差数列na的公差，进而求得19S【详解】设等差数列na的公差为d，则1294922,2addd+=+==，所以19191819223802S=+=.故选：A3.已知双曲线()222210,0xyabab−=的离心率5e=，则其渐近线的方程为（）

A.2yx=B.3yx=C.33yx=D.12yx=【答案】A【解析】【分析】利用双曲线的离心率和性质求解即可.【详解】因为双曲线()222210,0xyabab−=的离心率5e=，所以由2225cacab==+得2225aab=+，所以2ba=，即渐近线方程为2

yx=，故选：A4.⊙C1：(x－1)2＋y2＝4与⊙C2：(x＋1)2＋(y－3)2＝9相交弦所在直线为l，则l被⊙O：x2＋y2＝4截得弦长为（）A.13B.4C.43913D.83913【答案】D【解析】

【分析】由⊙C1与⊙C2的方程相减求出相交弦所在的直线l的方程，然后利用点到直线的距离公式求出圆心O(0，0)到l的距离，再利用勾股定理可求得结果【详解】解：由⊙C1与⊙C2的方程相减得l：2x－3y＋2＝0.圆心O(0，0)到l的距离21313d=，⊙O的半径R＝2，∴截得弦长2248

392241313Rd−=−=.故选：D【点睛】此题考查两圆的位置关系，直线与圆的位置关系，考查了点到直线的距离公式，属于基础题.5.点P是抛物线24yx=上一动点，则点P到点(0,1)A−的距离与点P到直线2x=−的距离和的最小值是（）为

A.5B.2C.21−D.21+【答案】D【解析】【分析】过点P作PN^准线于点N，由抛物线的定义，推得FAPAPF+，求得点P到A的距离与点P到准线=1x−的距离之和的最小值为2FA=，进而求得点P到A的距离与P到直线2x=−的距离和的最小值.【详解】由题意，

抛物线24yx=的焦点坐标为(1,0)F，准线方程为=1x−，过点P作PN^准线于点N，连接,PFAF，如图所示，由抛物线的定义，可得PNPF=，则FAPAPF+，所以当P为AF与抛物线的交点时，点P到A的距离与点P到

准线=1x−的距离之和的最小值为2FA=，所以点P到A的距离与P到直线2x=−的距离和的最小值是21+.故选：D.6.如图，已知1F，2F分别为双曲线C：()222210,0xyabab−=的左、右焦点，P为第一象限内一点，且满足24FPa=，()11220FPFFFP+=，线段2

FP与C交于点Q，若222FPFQ=，则C的离心率为（）A.6B.5C.2D.3【答案】B【解析】【分析】由题意可得Q为线段2FP的中点；由1122()0FPFFFP+=得12FQFP⊥，结合双曲线定义求得1||QF，利用勾股定理可得2221212||||||QF

QFFF+=，即得a,c的关系式，求得答案.【详解】如图，因为222FPFQ=，所以Q为线段2FP的中点；由于1122()0FPFFFP+=，即1220FFQP=,所以12FQFP⊥，所以12PFF△为等腰三角形，且有112|||

|2.FPFFc==连接1FQ，又2||2FQa=，点Q在双曲线C上，由双曲线定义，可得12||||2QFQFa−=，故1||224QFaaa=+=;所以在12RtFQF△中，有2221212||||||QFQFFF+=，即222(4)(2)(2)aac+=，

整理得225ac=，所以离心率5cea==，故选:B．的7.已知数列na的前n项和为nS，11a=，12nnnaS+=，()1nnnba=−，数列nb的前n项和为nT，则100T=（）A.0B.50C.100D.2525【答案】B【解析】【分析】法一：先利用11,1,2nnnSnaSS

n−==−求出()112nnannan++=，利用累乘法得到()*Nnann=，再分组求和；法二：先利用11,1,2nnnSnaSSn−==−求出11nnaann+=+，又易知2121

aa=，从而得到nan为常数列，求出nan=，再分组求和.【详解】法一：由于12nnnaS+=①，则当2n时，()112nnnaS−−=②，①-②，得()112nnnnanaa+−−=，即11nnanan++=，易知2

121aa=，所以()3211212312121nnnaaanaannaaan−===−．又11a=满足nan=，故()*Nnann=，则()1nnbn=−，易知1234991001bb

bbbb+=+==+=，所以10050T=.法二：由于12nnnaS+=①，则当2n时，()112nnnaS−−=②，①-②，得()112nnnnanaa+−−=，即11nnaann+=+，又易知2121aa=，所以数列nan

为常数列，所以111naan==，所以nan=，则()1nnbn=−，易知1234991001bbbbbb+=+==+=，所以10050T=.故选：B．8.已知椭圆()2222:10xyCabab+=的左、右焦点分别为1F，2F，过2F的直线交椭圆

于A，B两点，22AFFB=，且120AFAF=，椭圆C的离心率为22，则实数=（）A.23B.2C.13D.3【答案】D【解析】【分析】设22(0)AFBttF==，根据椭圆定义求出1=2AFat

−，1=2aBFa−，利用12AFAF⊥即可求解.【详解】因为22AFFB=，设22(0)AFBttF==，由椭圆的定义可得：12=2AFAFa+，则1=2AFat−，因为120AFAF=，所以12AFAF⊥，所以2221212=AFAFFF+，即222

(2)4attc−+=，又因为椭圆C的离心率为22，所以2ac=，则有2222(2)42attca−+==，所以ta=，则2aFB=，则2FBa=，由12=2BFBFa+，所以1=2aBFa−，因为120AFAF=，所以12AF

AF⊥，所以22211=AFABBF+，即22221(1)(2)aaaa++=−，解得：3=，故选：D.二、多选题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）9.已知椭圆1C：221

169xy+=与双曲线2C：221169xykk+=−−（916k），下列关于两曲线的说法错误的是（）A.1C的长轴长与2C的实轴长相等B.1C的短轴长与2C的虚轴长相等C.焦距相等D.离心率不相等【答案】AB【解析】【分析】根据椭圆的标准方程确定

长轴、短轴、焦距与离心率，以及双曲线的实轴、虚轴、焦距、离心率，再逐项判断即可.的【详解】由题意可知，椭圆1C的长轴长为128a=，短轴长为126b=，焦距为12216927c=−=，离心率为11174c

ea==，当916k时，160k−，90k−，双曲线2C的焦点在x轴上，其实轴长为22216ak=−，虚轴长为2229bk=−，焦距为22216927ckk=−+−=，离心率为222716ceak==−．故1C的长轴长与2C的实轴长不相

等，1C的短轴长与2C的虚轴长不相等，1C与2C的焦距相等，离心率不相等．故A，B错误；C，D正确.故选：AB.10.等差数列na的前n项和为nS，若10a，公差0d，且59SS=，则下列命题正确的有（）A.7S是数列nS中

的最大项B.7a是数列na中的最大项C.140S=D.满足0nS的n的最大值为13【答案】ACD【解析】【分析】由59SS=得出1132ad=−，代入na与nS，对选项依次判断即可.【详解】∵59SS=，∴1154985922adad+=+，∴11302ad=−，∴0d，∴()(

)113151122naanddndnd=+−=−+−=−，()()()211113142222nnnnndSnaddndnn−−=+=−+=−，对于A，()()221474922nddSnnn=−=−−，∵0d，∴当7n=时，nS取最大值，∴7S是数列nS中的最

大项，故选项A正确；对于B，∵10a，0d，所以等差数列na是递减数列，数列na中的最大项为1a，故选项B错误；对于C，()21414141402dS=−=，故选项C正确；对于D，∵0d，∴()()21414022nddSnnnn=−=−，解得014n，∵*nN，∴满足0

nS的n的最大值为13，故选项D正确.故选：ACD.11.已知()22:11Mxy++=，点P是直线:10lxy+−=上动点，过点P作M的两条切线PA，PB，A，B为切点，则（）A.M关于直线l的对称圆方程()()22121xy−+−=B.若Q是M上动点，则线段PQ的最大值为21+C.

线段AB的最小值是2D.若3APB，则点P的轨迹长度为22【答案】ACD【解析】【分析】根据圆与切线的相关计算对选项一一验证【详解】对于选项A：设M的圆心()1,0M−关于直线l的对称的点为()11,xy，则1111011101022yxxy−=+−++−=，解得：()1

,2，则M关于直线l的对称圆方程()()22121xy−+−=，故A错误；对于选项B：Q是M上动点，P是直线:10lxy+−=上动点，则线段PQ的最小值为圆心M到直线l的距离减去圆的半径，即221011

2111−+−−=−+，无最大值，故B错误；对于选项C：根据题意分析，若线段AB最小，则点P到圆心M的距离最小，则此时的切线长为()22211−=，此时线段AB的长度的为：11222=，故C正确；对于选项D：若3APB，则6APM，

则2sin6MAMP=，则点P的轨迹长度为()2222222−=，故D正确；故选：ACD.12.已知抛物线2:2(0)Cypxp=的准线=1x−与x轴相交于点K，过抛物线C的焦点F的直线l与抛物线C相交于PQ､两点，且PQ､两点在准线上的投

影点分别为MN､，则下列结论正确的是（）A.2p=B.PQ的最小值为4C.2||MNPFQF为定值12D.PKFQKF=【答案】ABD【解析】【分析】由焦点到准线的距离可得p的值，进而求出抛物线的方程，可判断A正确；设直线MN的方

程与抛物线的方程联立，求出两根之和及两根之积，由抛物线的性质可得弦长PQ的表达式，再由参数的范围可得其最小值，判断B正确；分别表示出,,MNPFQF可判断C不正确；表示出111PKykx=+，221PQykx=+，由+0PKKQkk=可判断D正确．【详解】对于A，因

为抛物线2:2(0)Cypxp=的准线=1x−，所以12p=，则2p=，故A正确；对于B，抛物线2:4Cyx=，过焦点的直线为1xmy=+，则214xmyyx=+=，整理可得2440ymy−−=，设()()1122,,,PxyQxy，可得12

4yym+=，124yy=−，21212()242xxmyym+=++=+，221212116yyxx==所以212244PQxxm=++=+，当0m=时取等号，||PQ最小值为4，所以B正确；对于C，()222121212416

1641MNyyyyyymm=−=+−=+=+，121,1,PFxQFx=+=+所以()()212121211144,PFQFxxxxxxm=++=+++=+所以()()222161||441mMNPFQFm+==+，所以C不正确；对于D，()()()1

122,,,,1,0PxyQxyK−，111PKykx=+，221PQykx=+，()()()()()()222112122112121212+1+1+1+144++==1+11+11+1PKKQyyyyyxyxyykkxxxxxx

++=+++()()()()()2221121212121212121+++4441+11+1yyyyyyyyyyyyxxxx+++==++()214444044mmm−+==+所以PKFQKF=，故D

正确.故选：ABD.三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上）13.数列na满足11a=−，111nnaa+=−（Nn+），则100a=_____________．【答案】1−【解析】【分析】通过计算出1234aaaa、、、等

的值可以发现数列na是一个三个一循环的循环数列，然后通过计算，得出100a的值．【详解】123412311111211211aaaaaaa=−======−−−−，，，，由以上可知，数列na是一个循环数列，每三个一循环，所以10011aa==−．【点睛】在计算数列中的某一

项的时候，可以先通过观察发现数列的规律，在进行计算．14.已知ABC的顶点(5,1)A，边AB上的中线CM所在直线方程为250xy−−=，边AC上的高BH所在直线方程为250xy−−=，则点C坐标为___________.【答案】()4,

3【解析】【分析】先根据直线AC与直线BH垂直，斜率乘积为-1，得到2ACk=−，从而利用点斜式求出直线AC方程，与CM所在直线250xy−−=联立求出点C坐标即可.【详解】因为边AC上的高BH所在直线方程为250xy−−=，∴1ACBHkk=−，且12B

Hk=，∴2ACk=−∵ABC的顶点()5,1A，∴直线AC方程：()125yx−=−−，即2110xy+−=，与250xy−−=联立，2110250xyxy+−=−−=，解得：43xy==，所以顶点C的坐标为()4,3，故答案为

：()4,3.15.已知1F，2F分别为椭圆()222210xyabab+=的左、右焦点，焦距为8，过1F的直线与该椭圆交于M，N两点，若MN的最小值为185，则2FMN周长为______.【答案】20【解析】【分析】根据焦距为8，

MN的最小值为185可得：4c=，5a=，结合椭圆的定义进而求解.【详解】由题意可知：2222282185cbaabc===+，解得：4c=，5a=，由椭圆的定义可得：2FMN周长为420a=，故答案为：20.16.已知数列{}na是正项

数列，nS是数列{}na的前n项和，且满足112nnnSaa=+.若11nnnnabSS++=，nT是数列{}nb的前n项和，则99T=_______.【答案】910【解析】【分析】利用1nnnaSS−=−将112nnnSaa=+变

为11112)2nnnnnSSSnSS−−−−=+（，整理发现数列{2nS}为等差数列，求出2nS，进一步可以求出na，再将na，nS代入nb，发现可以裂项求nb的前99项和．【详解】112nnnSaa=+

11112)2nnnnnSSSnSS−−=+−−（1112nnnnnSSSSS−−+−−=222211111(1)1)21(1(nnnnnnnnSSSSSSSSSnnnnn−−−+=−−==+−=+−==）当1n=时，

11S=符合=nSn，nnS=11−=−=−−nnnaSSnn(2)n当1n=时，11a=符合1=−−nann，1nann=−−1111111nnnnannbSSnnnn+++−===−++99123991111111

1191110102233499100Tbbbb=+++=−+−+−++−=−=【点睛】一般公式1nnnaSS−=−的使用是将1nnSS−−变为na，而本题是将na变为1nnSS−−，给后面的整理带来方便．先求nS，再求na，再求nb，一切都顺其自然．四、解答题（本大题共6小题，

共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.已知直线:3120lxy−−=，以点()0,2−为圆心的圆C与直线l相切．（1）求圆C的标准方程；（2）过点()3,1−的直线l交圆C于A，B两点，且8AB=，求l的方程．【答案】（1）22(2)25xy++=（2）3x=或4390x

y+−=【解析】【分析】（1）根据点到直线的距离公式求出半径r，即可得到圆C的标方程；（2）根据弦长公式可求出圆心C到直线l的距离，再根据点到直线的距离公式结合分类讨论思想即可求出．【小问1详解】设圆C的半径为r，∵C与l相切，∴22|10|5(3)(1)

r−==+−，∴圆C的标准方程为22(2)25xy++=．【小问2详解】由||8AB=可得圆心C到直线l的距离22543d=−=．∴当l的斜率不存在时，其方程为3x=，此时圆心(0,2)C−到3x=的距离为3，符合条件；当l的斜率

存在时，设:1(3)lykx+=−，圆心C到直线l的距离2|31|31kdk−+==+，解得43k=−，此时l的方程为41(3)3yx+=−−，即4390xy+−=．综上，l的方程为3x=或4390x

y+−=．18.已知数列na满足11a＝，且2112)2(nnnanann＋-+=+.（1）求23,aa；（2）证明数列nan是等差数列，并求na的通项公式．【答案】（1）23615a

a=，=（2）证明见解析，22nann=-【解析】【分析】（1）由递推公式直接求出23,aa；（2）利用构造法得到121nnaann+−=+，即可证明nan是等差数列，并写出na的通项公式.【小问1详解】由题意可得2124aa−=，

则2124aa=+，又11a=，所以26a=.由322312aa−=，得322123aa=+，所以315a=.【小问2详解】由已知得1(1)2(1)nnnanann+−+=+，即121nnaann+−=+，所以数列nan

是首项为111a=，公差为2d=的等差数列，则12(1)21nannn=+−=−，所以22nann=−.19.已知过抛物线22(0)ypxp=的焦点，斜率为22的直线交抛物线于()11,Axy和()()2212,Bxyxx两点，且||9AB=．（1）求该抛物线

方程；（2）O为坐标原点，C为抛物线上一点，若OCOAOB=+，求的值．【答案】（1）28yx=；（2）0=或2=．【解析】【分析】（1）由题意求得焦点坐标，得到直线方程，和抛物线方程联立，利用弦长公式求得p，则抛物线方程可求；（2）由（1）求出A，B的坐标结合OCOAO

B=+，求出C的坐标，代入抛物线方程求得值．【详解】解：（1）依题意可知抛物线的焦点坐标为(2p，0)，故直线AB的方程为222yxp=−，联立22222yxpypx=−=，可得22450xpxp−+=．12xx，0p，△22225169

0ppp=−=，解得14px=，2xp=．经过抛物线焦点的弦129||94ABxxpp=++==，解得4p=．抛物线方程为28yx=；（2）由（1）知，11x=，24x=，代入直线2242yx=−，可求得122y=−，242y=，即(1,22)A−，(4B，42)，的(1OCO

AOB=+=，22)(4−+，42)(41=+，4222)−，(41C+，4222)−，C点在抛物线上，故2(4222)8(41)−=+，解得：0=或2=．【点睛】本题考查抛物线的简单性质，考查了数形结合的解题思想方

法，训练了向量在求解圆锥曲线问题中的应用，属于中档题．20.已知双曲线C：()222210,0xyabab−=的左右焦点分别为1F，2F，右顶点为P，点()0,Qb，21PF=，160FPQ=．（1）求双曲线C的方程；（2）直线l经过点2F，且与双曲线C相交于A，B两点

，若1FAB的面积为62，求直线l的方程．【答案】（1）2213yx−=（2）20xy+−=或20xy−−=.【解析】【分析】（1）由题意可得：21PFca=−=，1tantan603bFPQa===，222cab=+，解得c，a，b，即可得出双曲线C的

方程．（2）2(2,0)F，设直线l的方程为2xmy=+，()11,Axy，()22,Bxy，联立直线l的方程与双曲线的方程化为关于y的一元二次方程，利用根与系数的关系可得2121212||()4yyyyyy−=+−，利用1FAB的面积1212622cyy=−=，解得m，即可得出直线l

的方程．【小问1详解】解：由题意可得：21PFca=−=，1tantan603bFPQa===，222cab=+，解得1a=，3b=，2c=，所以双曲线C的方程为2213yx−=.【小问2详解】解：由题意可知，直线l的斜率不为0，设AB：2xmy=+，设()11,Axy

，()22,Bxy，联立22233xmyxy=+−=，消x，得()22311290mymy−++=，由()222310Δ1443610mmm−=−−，解得213m，则1221221231931myymyym+=−−=−.所以(

)()()()2222121212222236112364313131mmyyyyyymmm+−=+−=−−=−−−，所以1FAB的面积2212122211611214223131mmSFFyymm++=−==−−，由2

21216231mm+=−，整理得429810mm−−=，解得21m=，1m=，所以直线l的方程为20xy+−=或20xy−−=.21.已知数列na满足()12335213nnaaana++++−=（1）求an

.（2）若对任意的Nn，()1nna−恒成立，求的取值范围；【答案】（1）13,123,221nnnann−==−；（2）32−.【解析】【分析】（1）将当2n时，()1123135233nnaaana−−+++

+−=和()()12313523213nnnaaanana−++++−+−=两式作差即可求出结果，注意检验1n=时是否成立；（2）证得数列的单调性，从而结合不等式恒成立即可求出结果.【小问1详解】当1n

=时，13a=；当2n时，()1123135233nnaaana−−++++−=又()()12313523213nnnaaanana−++++−+−=，上述两式作差可得()11213323nnnnna−−−=−=，即12321nna

n−=−，13a=不满足12321nnan−=−，所以13,123,221nnnann−==−；【小问2详解】当2n时，()()()118312323021212121nnnnnnaa

nnnn−+−−=−=+−−+，即1nnaa+，所以，数列na从第二项开始为递增数列，对任意的Nn，()1nna−恒成立.①若n为正奇数，则na−，1351835aaa==，则3−，可得3−；②若n为正偶

数，则na，可得22a=.综上所述，32−.22.已知椭圆()2222:10xyCabab+=的左、右顶点分别为1A，2A，且124AA=，椭圆C的一条以11,2为中点的弦所在直线

的方程为3240xy+−=.（1）求椭圆C的方程；（2）点P为直线4x=上一点，且P不在x轴上，直线1PA，2PA与椭圆C的另外一个交点分别为M，N，设12PAA△，PMN的面积分别为1S，2S，求12SS的最大值，并求出此时点P的坐标.【答案】（1）22143xy

+=（2）43，()4,3P【解析】【分析】（1）由点差法得出2234ba=，进而由1224AAa==得出椭圆C的方程；（2）设()()4,0Ptt，()11,Mxy，()22,Nxy，联立直线1PA（2PA）与椭圆方程，求出1y，2y，再由面积公式结合相似三角形的性质得出

()()()2212222739ttSSt++=+，令29mt=+，由二次函数的性质得出12SS的最大值以及点P的坐标.【小问1详解】设()11,Axy，()22,Bxy，则22112222222211xyab

xyab+=+=，两式相减得，()()()()12121212220xxxxyyyyab+−+−−=，所以2121221212yyyybxxxxa−+=−−+，即2222ABybkxa=−中中即223122ba−=−，∴2234ba=又1224AAa==，所以2a

=，3b=所以椭圆C的方程为22143xy+=.【小问2详解】设()()4,0Ptt，()11,Mxy，()22,Nxy则1PA：()26tyx=+，2PA：()22tyx=−联立22623412xytxy=−+=，消去x得()2212182

718027ttytyyt+−==+同理，联立22223412xytxy=++=，消去x得()222263603ttytyyt−++==+所以121212121sin0021sin2PAPAPPAPASttSPMPNtytyPMPNP−−===−−()()()

22222222731869273tttttttttt++==−+−−++.令299mt=+，则()()2212221861210811110812109mmSmmSmmmmm+−+−===−++当且仅当()

112110,2108189m=−=−，即18m=，即3t=时，12SS取得最大值43.综上所述，当()4,3P时，12SS取得最大值43.获得更多资源请扫码加入享学资源网微信公众号www.xiangx

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