【文档说明】第08讲二面角（核心考点讲与练）-2022-2023学年高二数学考试满分全攻略（沪教版2020必修三）（原卷版）.docx，共(15)页，1.097 MB，由管理员店铺上传

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第08讲二面角（核心考点讲与练）二面角(1)定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角；(2)二面角的平面角：在二面角的棱上任取一点，以该点为垂足，在两个半平面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所构成的角叫做二面角的平面角.(3)二

面角的范围：[0，π].找二面角的平面角的常用方法（1）由定义做出二面角的平面角（2）用三垂线定理找二面角的平面角（3）找公垂面（4）划归为分别垂直于二面角的两个面的两条直线所成的角题型一：二面角的概念及辨析一、单

选题1．（2021·上海交大附中闵行分校高二阶段练习）设α﹣l﹣β是直二面角，直线a在平面α内，直线b在平面β内，且a､b与l均不垂直，则（）A．a与b可能垂直，但不可能平行B．a与b可能垂直也可能平行C．a与b不可能垂直，但可能平行D．a与b不可能垂直，也不可能平行2．（2021·上海·复旦附中

高二期中）在矩形ABCD中，23AB=，3AD=，E、F分别为边AD、BC上的点，且2AEBF==，现将ABE△沿直线BE折成1ABE，使得点1A在平面BCDE上的射影在四边形CDEF内（不含边界），设二面角1

ABEC−−的大小为，直线1AB与平面BCDE所成的角为，直线1AE与直线BC所成角为，则（）能力拓展方法技巧考点考向A．B．C．D．3．（2021·上海市行知中学高二阶段

练习）已知两个平面,和三条直线,,mab,若m=,a且,amb⊥,设和所成的一个二面角的大小为1,直线a和平面所成的角的大小为2,直线,ab所成的角的大小为3,则（）A．123=B．312=C．1323,

D．1232,二、填空题4．（2021·上海市七宝中学高二阶段练习）若两个相交平面，所成的锐二面角的大小为.则称平面，成角，已知平面，成70°角.则过空间一点V且与，都成55°角的平面的个数为___

___个5．（2021·上海市南洋模范中学高二期中）若两个半平面所成二面角的大小为.则的取值范围是______6．（2021·上海·高二专题练习）已知P为锐二面角内一点，且P到两个半平面及棱的距离之比为1

:2:2，则此二面角的度数为________．题型二：求二面角一、填空题1．（2021·上海大学附属南翔高级中学高二期中）如果二面角l−−的平面角是锐角，空间一点Р到平面、和棱l的距离分别为2

2、4和42，则二面角l−−的大小为_______________.2．（2021·上海浦东新·高二期中）在正方体1111ABCDABCD−中，平面11ABCD与平面ABCD所成的锐二面角的大小是___________.二、解答

题3．（2021·上海南汇中学高二阶段练习）如图所示，正四棱锥PABCD−中，O为底面正方形的中心，侧棱PA与底面ABCD所成的角的正切值为62.(1)求侧面PAD与底面ABCD所成的二面角的大小；(2)若E

是PB的中点，求异面直线PD与AE所成角的正切值；(3)在（2）的条件下，问在棱AD上是否存在一点F，使EF⊥侧面PBC，若存在，试确定点F的位置；若不存在，说明理由.题型三：由二面角大小求线段长度或距离一、

单选题1．（2021·上海市奉贤中学高二阶段练习）二面角l−−的大小是60°，在该二面角内有一点P到的距离是3，到的距离是5，又动点A和B，A，B，则△PAB的周长的最小值是（）A．33B．

63C．12D．142．（2020·上海奉贤区致远高级中学高二阶段练习）在直角坐标系中，设()3,2A，()2,3B−沿着y轴将直角坐标平面折成120的二面角后，AB长为（）A．211B．42C．25D．6二、填空题3

．（2021·上海·复旦附中高二期中）二面角l−−是60，其内一点P到,的距离分别为1cm和2cm，则点P到棱l的距离为_________．4．（2021·上海外国语大学闵行外国语中学高二期中）如图，二面角l−−等于120，A､B是棱l上两点，ACB

D、分别在半平面、内，ACl⊥，BDl⊥，且3ABACBD===，则CD的长等于___________.5．（2021·上海市市西中学高二期中）正方形ABCD的边长是2，,EF分别是AB和CD的中点，将正方形沿EF折成直

面角（如图所示），M为矩形AEFD内的一点，如果MBEMBC=，MB和平面BCF所成角的正切值为12，那么点M到直线EF的距离为_________．6．（2021·上海市进才中学高二期中）如图，一斜坡的倾斜度（坡面与水平面所成二面角的度数）是30°，斜坡上有一直道，它和坡脚水平

线成60角，沿这条直道向上行走100米后升高______米．三、解答题7．（2021··高二期中）如图1，平面四边形ABCD关于直线AC对称，60A=，90C=，2CD=．把ABD△沿BD折起（如图2），使二面角ABDC−−的余弦值等于33．对于图2，完成以

下各小题：（1）求A、C两点间的距离；（2）证明：AC⊥平面BCD；（3）求直线AC与平面ABD所成角的正弦值．8．（2021·上海·华师大二附中高二开学考试）如图，在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D

1中，E、F分别是A1D1和CC1的中点.（1）求异面直线EF与AB所成角的余弦值；（2）求异面直线EF与AB之间的距离（3）在棱BB1上是否存在一点P，使得二面角P-AC-B的大小为30°?若存在，求出

BP的长，若不存在，请说明理由.题型四：由二面角大小求异面直线所成的角一、填空题1．（2021·上海·闵行中学高二阶段练习）已知二面角l−−的大小为140，直线,ab分别在平面,内且都垂直于棱l，则a与b所成角的大小为__________.二、解答题2．（2021

·上海·华东师范大学第三附属中学高二期中）如图所示，圆锥SO的底面圆半径1OA=，母线3SA=.(1)求此圆锥的体积和侧面展开图扇形的面积；(2)如图，半平面SOA与半平面SOP所成二面角PSOA−−大小为120，设线段SO中点为M，求异面直线AM与PS所成角的余弦值.巩固提升一、单选题1

．（2021·上海市进才中学高二期中）正三棱台侧面与底面所成角为4，侧棱与底面所成角的余弦值为（）A．55B．255C．33D．632．（2021·上海奉贤区致远高级中学高二期中）已知四棱锥S−ABCD的底面是正

方形，侧棱长均相等，E是线段AB上的点（不含端点），设SE与BC所成的角为θ1，SE与平面ABCD所成的角为θ2，二面角S−AB−C的平面角为θ3，则（）A．θ1≤θ2≤θ3B．θ3≤θ2≤θ1C．θ1≤θ3≤θ2D．θ2≤θ3≤θ13．

（2021·上海市宝山中学高二期中）如图，水平桌面上放置一个棱长为4的正方体水槽，水面高度恰为正方体棱长的一半，在该正方体侧面11CDDC上有一个小孔E，E点到CD的距离为3，若该正方体水槽绕CD倾斜（CD始终在桌面上），则当水恰好流出时，侧面11CDDC

与桌面所成角的正切值为（）A．55B．12C．255D．24．（2021·上海·高二专题练习）等腰直角ABC斜边CB上一点P满足14CPCB，将CAP沿AP翻折至CAP，使二面角CAPB−−为60，

记直线CA、CB、CPCP与平面APB所成角分别为、、，则（）A．B．C．D．二、填空题5．（2020·上海市金山中学高二期末）在北纬45°的线圈上有,AB两地，它们的经度差为90°，若地球半径为R，则,AB两地的球面距离为______.6．（2

021·上海师范大学第二附属中学高二期末）已知一个正四棱锥的底面边长为2，侧面与底面所成角的大小为3，则该四棱锥的侧面积为______．7．（2021·上海市洋泾中学高二阶段练习）已知二面角CD−−的大小为，A为平

面上的一点，且ACD△的面积为2，过A点的直线AB交平面于B点，ABCD⊥，且AB与成60角，当变化时，BCD△的面积最大为___________.8．（2021·上海市控江中学高二期中）已知，矩形ABCD中，2AB=，5BC=，E，F分别为边BC，AD上的定点

，且45BAE=，30DCF=，分别将ABE，CDF沿着AE，CF向矩形所在平面的同一侧翻折至ABE与CDF处，且满足BDAB⊥，分别将锐二面角BAED−−与锐二面角DFCB−−记为1与2，则21cos+22cos的最小值为______．9．（202

1·上海市西南位育中学高二期中）已知正三棱柱111ABCABC−的各棱长都是4，点E是棱BC的中点，动点F在侧棱1CC上，且不与点C重合，设二面角CAFE−−的大小为，则tan的最小值为_________.三、解答题10．（2021·上海市甘泉外国语中学高二期中）在四面体ABCD中，AB＝B

D＝CD＝1，AB⊥平面BCD，CD⊥BD，点M为AD上动点，连结BM，CM，如图.(1)求证：BM⊥CD；(2)若AM＝2MD，求二面角M﹣BC﹣D的余弦值；(3)是否存在一个球，使得四面体ABCD的顶点都在此

球的球面上？若存在，确定球心的位置并证明；若不存在，请说明理由.11．（2021·上海市大同中学高二阶段练习）如图，已知E、F分别是正方形ABCD边BC、CD的中点，EF与AC交于点O，PA、NC都垂直于平面

ABCD，且4PAAB==，2NC=，M是线段PA上一动点.（1）求证：EF⊥平面PAC；（2）若//PC平面MEF，试求:PMMA的值；（3）当M是PA中点时，求二面角MEFN−−的余弦值.12．（2021·上海师范大学第二附属中学高二期中）如图，已知点P在圆柱1OO的底面圆O上，1

20AOP=o，圆O的直径4AB=，圆柱的高13OO=.（1）求点A到平面1APO的距离；（2）求二面角1APBO−−的余弦值大小.13．（2021·上海市七宝中学高二阶段练习）在120°的二面角l−−的面，内分别有A，B两点，且A，B到棱l

距离AC，BD分别是2，4，10AB=，如图所示，求：（1）直线AB与棱l所成角的余弦值：（2）直线AB与平面所成角的正弦值：（3）二面角ABCD−−的平面角的正切值.14．（2021·上海·华东师大附属枫泾中学高二

期中）如图，在四棱锥PABCD−中，PA⊥底面ABCD，底面ABCD为直角梯形，//,ABCDABAD⊥，且2CDAB=．（1）若ABAD=，直线PB与CD所成的角为45，求二面角PCDB−−的大小；（2）若E为线段PC上一点，试确定点E的

位置，使得平面EBD⊥平面ABCD，并说明理由．15．（2021·上海交大附中高二期中）如图，正四棱柱1111ABCDABCD−的底面是边长为2的正方形，侧棱长为1．（1）求直线1AC与直线1AD所成角的余弦值；（2）求二面角11DACA−−平面角大小的余弦值；（

3）在直线1AC上是否存在一个动点P，使得P在平面1DAC的投影恰好为1DAC的重心，若存在，求线段PC的长度，若不存在，说明理由．16．（2021·上海市第三女子中学高二期末）如图，在多面体111ABCABC−中，111,,AABBCC均垂直于平面ABC，14AA=，113,2CC

BBABACBC=====．（1）求点A到平面111ABC的距离；（2）求平面ABC与平面111ABC所成锐二面角的大小；（3）求这个多面体111ABCABC−的体积．17．（2021·上海市松江二中高二期中）在三棱柱111ABCABC−中，1,,

ABBCABAA⊥⊥12π,3AAC=点M为棱1CC的中点，点T是线段BM上的一动点，122.AAACAB===（1）证明：1CCBM⊥；（2）求平面11BBCC与平面11AACC所成的二面角的正弦值；（3）设直线AT与平面11BBCC､平面11AABB､平面AB

C所成角分别为123,,.求123sinsinsin++的取值范围.18．（2019·上海市民办市北高级中学高二期中）如图，AB是圆柱的直径且2AB=，PA是圆柱的母线且2PA=，点C是圆柱底面圆周上的点.（1）求三棱锥PABC−体积的最

大值；（2）当二面角PBCA−−的大小为3时，求点C到平面PAB的距离；（3）若1AC=，D是PB的中点，点E在线段PA上，求CEED+的最小值.19．（2018·上海市张堰中学高二阶段练习）如图,四棱锥PABCD−的底面为菱形且∠ABC=120°,PA⊥底面ABCD,AB=1,PA=3

,E为PC的中点.(1)求直线DE与平面PAC所成角的大小；(2)求二面角E-AD-C平面角的正切值；(3)在线段PC上是否存在一点M,使PC⊥平面MBD成立.如果存在,求出MC的长；如果不存在,请说明理由