【文档说明】全国普通高等学校2023届招生统一考试模拟（二）数学试卷（含解析）.doc，共(20)页，2.109 MB，由小赞的店铺上传

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以下为本文档部分文字说明：

数学（二）本试卷共4页，22小题，满分150分.考试用时120分钟.注意事项：1.答卷前，考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在答题纸上.将条形码横贴在答题纸“贴条形码区”.2.作答选

择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题纸上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上.3.非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题纸各题目指定区域内相应位置上；

如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效.4.考生必须保持答题纸的整洁.考试结束后，将试卷和答题纸一并交回.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目

要求的.1.已知()1i75iz+=+，则z=A.6i−B.6i+C.32i−D.12i−2.已知集合2780Uxxx=−−≤，0,1,2A=，2,1,0,1,2,3,4B=−−，则()UAB=ðA.

0,1,2B.3,4C.1,3,4−D.2,1,3,4−−3.下列函数不是偶函数的是A.()3sin2fxx=+B.()22xxfx−=+C.()21xxfxx=+−D.()()2ln1fxxxx=+−4.使:0px，4xax+≥的否定为假命题的一个充分不必要条件

是A.4a≥B.4a≤C.2a≥D.2a≤5.某市要建立步行15分钟的核酸采样点，现有9名采样工作人员全部分配到3个采样点，每个采样点至少分配2人，则不同的分配方法种数为A.1918B.11508C.12708D.186.石碾子是我国电气化以前的重要粮食加工工具.它是依靠人

力或畜力把谷子、稻子等谷物脱壳或把米碾碎成碴子或面粉的石制工具.如图，石碾子主要由碾盘、碾滚和碾架等组成，一个直径为60cm的圆柱形碾滚的最外侧与碾柱的距离为100cm，碾滚最外侧正上方为点A，若人推动拉杆绕碾盘转动一周，则点A距碾盘的垂直距离约为A.15cmB.153c

mC.()30153−cmD.45cm7.过圆锥内接正方体（正方体的4个顶点在圆锥的底面，其余顶点在圆锥的侧面）的上底面作一平面，把圆锥截成两部分，下部分为圆台，已知此圆台上底面与下底面的面积比为1:4，母线长为6，设圆台体积为1V，正方体的外接球体积为2V，则12VV=A.739B.269C.7

33D.2198.若200a=，()99lg101b=，101lg99c=，则a，b，c的大小关系为A.acbB.cabC.cbaD.abc二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分

，有选错的得0分.9.设为第一象限角，1cos83−=，则A.51sin83−=−B.71cos83+=−C.1322sin83−=−D.tan228−=−

10.已知函数()()3220fxxbxcxbb=+++在1x=−处有极值，且极值为8，则A.()fx有三个零点B.bc=C.曲线()yfx=在点()()2,2f处的切线方程为340xy++=D.函数()2yfx=−为奇函数11.已知抛物线

2:4Cxy=的焦点为F，直线1l，2l过点F与圆()22:21Exy−+=分别切于A，B两点，交C于点M，N和P，Q，则A.C与E没有公共点B.经过F，A，B三点的圆的方程为2220xyxy+−−=C

.455AB=D.1369MNPQ+=12.设正整数0110119999kkkknaaaa−−=++++，其中()0,1,2,3,4,5,6,7,80,1,2,,iaik=.记()01knaaa=+++，当8n≤时，()()()()129Snn=+

++，则A.()()()19282SnSnnn−−=+≥B.()()9101nn+=+C.数列()Snn为等差数列D.918nn−=三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知向量()3,1a=−，(),1bm=，若ba，223ab−=，则m=_

__________.14.已知随机变量21,2XN，且10.252PX−=，()20.1PX=，则112PX−−=≤≤_____.15.如图①，在平行四边形ABCD中，2222ABBDAD===，将ABD△沿BD折起，使得点A到达点

P处（如图②），22PC=，则三棱锥PBCD−的内切球半径为____________.16.已知椭圆()2222:10xyCabab+=的右焦点为F，上顶点为B，线段BF的垂直平分线交C于M，N两点，交y轴于点P，O为坐标原点，2BPPO=，则C的离心率为___________；若

BMN△的周长为8，则b=______________.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.（10分）记ABC△的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2sin3tan2BCA+=.（1）求A；（2）若ABC△的面积为3，6ABAC+=，求a.

18.（12分）某校有A，B两个餐厅﹐为调查学生对餐厅的满意程度，在某次用餐时学校从A餐厅随机抽取了67人，从B餐厅随机抽取了69人，其中在A，B餐厅对服务不满意的分别有15人、6人，其他人均满意.（1）根据数据列出2×2列联表，并依据小概率值0.005=的独立性检验，能否

认为用餐学生与两家餐厅满意度有关联？（2）学校对大量用餐学生进行了统计﹐得出如下结论：任意一名学生第一次在校用餐时等可能地选择一家餐厅用餐，从第二次用餐起，如果前一次去了A餐厅，那么本次到A，B餐厅的概率分别为14，34；如果前一次去了B餐厅，那么本次到A，B餐厅的概率均为12.求

任意一名学生第3次用餐到B餐厅的概率.附：()()()()()22nadbcabcdacbd−=++++，其中nabcd=+++.0.1000.0500.0250.0100.0050x2.7063.8415.0246.6357.87919.（12分）在数列na中，19a=，1

312nnaa+=+.（1）证明：数列6na−为等比数列；（2）求数列nna的前n项和nS.20.（12分）如图，在直四棱柱1111ABCDABCD−中，底面ABCD为矩形，点M在棱AD上，3AMMD=，12ABBB==，1BDCM⊥

.（1）求AD；（2）求二面角11AMCB−−的正弦值.21.（12分）已知一动圆与圆()22:318Exy++=外切，与圆()22:32Fxy−+=内切，该动圆的圆心的轨迹为曲线C.（1）求C的标准方程；（2）直线l与C交于A，B两点，点P在线段AB上，点Q在线段AB的延长线上，从

下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立：①()8,1P；②APBQBPAQ=；③Q是直线l与直线10xy−−=的交点.注：如果选择不同的组合分别解答，按第一个解答计分.22.（12分）已知函数()exfxx=，()lngxxx

x=+.（1）证明：()()fxgx；（2）若()()fxaagx−恒成立，求实数a的取值范围.数学（二）一、选择题1.B解析：()()()()75i1i75i122i6i1i1i1i2z+−+−====−++−，故6iz=+.故选B项2.C解析：由题意得18Uxx

=−≤≤，所以()U1,3,4AB=−ð.故选C项.3.C解析：对于A项，()cosfxx=−，所以()()()coscosfxxxfx−=−−=−=，所以()fx为偶函数；对于B项，()()22xxfxfx−−=+=，所以()fx为偶函数；对于C项，()fx的定义域为()(),00,

−+，()()21211221xxxxxxfxxxfx−−−=−=−+=−−−，所以()21xxfxx=+−不是偶函数；对于D项，()fx的定义域为R，()()()()2221ln1lnln11fxxxxxxxxfxxx−=−++=

=+−=++，所以()()2ln1fxxxx=+−是偶函数.故选C项.4.D解析：由题得：:0px，4xax+≥为真命题，又44xx+≥，当且仅当2x=时等号成立，反之也成立.所以4a≤是p为真命题的充要条

件，4a≥是p为真命题的既不充分也不必要条件，2a≥是p为真命题的既不充分也不必要条件，2a≤是p为真命题的充分不必要条件.故选D项.5.B解析：分组方法共有()2,2,5，()2,3,4，()3,3,3三种情

况，所以分配方法共有225333323497596339742323CCCCCCACCC11508AA++=.故选B项.6.A解析：由题意碾滚最外侧滚过的距离为2100cm200cm=，碾滚

的周长为230cm60cm=，所以碾滚滚过20010603=圈，即滚过了1036033601203=+，所以点A距碾盘的垂直距离为()3030cos18012015cm−−=.故选A项.7.A解析：由圆台上底面与下底面的面积比为1

:4，得圆台上底面与下底面的半径比为1212rr=，由题知正方体的棱长为12r，如图，在1RtAAP△中，6AP=，11APr=，112AAr=，即()()2221162rr=+，解得12r=，则()11

28228433V=++=，正方体的外接球半径为23232R==，()2243433V==，所以1228733943VV==.故选A项.8.B解析：解法一：设()()()100lg100fxxx=−+，1,1x−，当1,1x−时，()()100lg100l

ge100xfxxx−=−+++，令()()100lg100lge100xgxxx−=−+++，则()()21200lgelge0100100gxxx=−−++，所以函数()gx在区间1,1−上单调递减，所以()101991011lg99lgelgelg9999g−=−+=−，又10

1299ee99，所以()()10gxg−，所以函数()fx在区间1,1−上单调递减，所以()()()()991101lg990100lg100200199lg101lg101fff−=====，故cab.故选B项.解法二：由题意得200

100lg10lg100100lg100a===，99lg101b=.令函数()()200lnfxxx=−，()200200ln1lnxfxxxxx−=−=−−，当()90,x+时，()2001ln90090fx−−，所以()fx在区间()90,

+内单调递减，所以()()()99100101fff，所以101ln99100ln10099ln101，即1011009999100101，所以cab.故选B项.二、选择题9.BD解析：由题意得8−也是第一象限角，所以22

sin83−=，51sinsincoscos828883−=+−=−=−=，A项错误；71coscoscos8883

+=−+=−−=−，B项正确；1331sinsincoscos828883−=+−=−−=−−=−，C项错误；sin8tantan2288cos8−

−=−−==−−，D项正确.故选BD项.10.AC解析：由题意得()232fxxbxc=++，又()1320fbc−=−+=，又()2118fbcb−=−+−+=，解得33bc

==（舍去）或27bc=−=−，故B项错误；()32274fxxxx=−−+，()()()2347137fxxxxx=−−=+−，当(),1x−−时，()0fx，()fx单调递增，当71,3x−时，()0fx，()fx单调递减，当7,3

x+时，()0fx，()fx单调递增，又()30f−，()10f−，()10f，()40f，所以()fx有三个零点，故A项正确；又()23f=−，()210f=−，则曲线()yfx=在点()()2,2f处的切线方程为()1032yx+=−−，即340xy++=，故C

项正确；()()3222722fxxxxfx−−=−−++−+，故D项错误.故选AC项.11.BCD解析：联立()222421xyxy=−+=，得()422116xx−+=，因为2x=是方程的一个根，所以C与E有公共点，A项错误；连接EA，EB，

则EAFA⊥，EBFB⊥，所以F，A，B，E四点在以FE为直径的圆上，圆的方程为()2215124xy−+−=，化简得2220xyxy+−−=，B项正确；由题得222FAEFEA=−=，所以1225ABEAFAEF==，所以455AB=，C项正确；

设过点F且与圆()22:21Exy−+=相切的切线方程为1ykx=+，由22111kk+=+，解得0k=或43k=−.不妨设1:1ly=，24:13lyx=−+，则4MN=，联立24413xyyx==−+得298290yy−+=，所以829PQyy+=，所以10029PQPQyy

=++=，所以100136499MNPQ+=+=，D项正确.故选BCD项.12.ACD解析：当2n≥时，()()()()()()198979695SnSnnnnn−−=−+−+−+−()()()()()949392919nnnnn+−+−+−+−+，又(

)01981919nn−=+−，所以()9811nnn−=+−=，同理()01972919nn−=+−，所以()97211nnn−=+−=+，…，()01918919nn−=+−，所以()9181

7nnn−=+−=+，09099nn=+，所以()9nn=，所以()()1928SnSnn−−=+，A项正确；012101191009999991kkkknaaaa+−+=+++++++，()()01291011

2knaaaan+=++++++=+，B项错误；当1n=时，()()()()1129128137S=+++=++++=，当2n≥时，()()()()()()()()()112211928912892SnSnSnSnSnSSSnn=−−+−−−++−+=+

+−+++()296596528912822nnnn+++++==，当1n=时也符合，所以()29652nnSn+=，所以()9652Snnn+=，所以()()196595691222SnSnnnnn

−++−=−=−，所以数列()Snn为等差数列，C项正确；()012311199199999819nnn−−−==+++++−，911118nn−=+++=，D项正确.故选ACD项.三、填空题13.33解析：由题意得2314a=+=，221bm=+

，31abm=−，所以222224416434112abaabbmm−=−+=−+++=，所以24390mm−+=，解得33m=或3m=.当3m=时，ba=，不符合题意；当33m=时，ba.所以33m=.14.0

.15解析：由题意知12=，所以()()120.1PXPX−==，所以()11110.1522PXPXPX−−=−−−=≤≤.15.21233−解析：如图，过点D作DEBC∥，且DEBC=，连接PE，CE，由题意可知PDBD⊥，BCBD⊥，所以BD⊥平面PDE，所

以BDPE⊥，所以CEPE⊥，所以222PEPCCE=−=.又BD平面BCED，所以平面BCED⊥平面PDE.取DE的中点O，连接OP，则OP⊥平面BCED，且3OP=，所以三棱锥PBCD−的体积111232233323PBCDBCDVSO

P−===△.又12222BCDS==△，()221222172PBCPCDSS==−=△△，()221222222PBDS=−=△，所以三棱锥PBCD−的表面积()227BCDPBDPCDPBCSSSSS=+++=+△△△△，设三棱锥

PBCD−的内切球半径为r，则332123327VrS−===+.16.123解析：由2BPPO=，可得23BPb=，13OPb=，连接PF，在RtPOF△中，由勾股定理得222OPOFPF+=，所以2221233bcb+=

，整理得223bc=，所以2223acc−=，即224ac=，所以C的离心率12cea==.在RtBOF△中，1cos2OFcBFOBFa===，所以60BFO=.设直线MN交x轴于点F，交BF于点H，在RtHFF△中，由2cosHFFFacBFO===，所以F为C的左

焦点，又MBMF=，NBNF=，所以BMN△的周长等于FMN△的周长，又FMN△的周长为4a，所以48a=，解得2a=，所以1c=，故223bac=−=.四、解答题17.解：（1）由题得3sin3cos2222sin3tan2sincos222AAAAAA

−−===−，所以3cos24sincos22sin2AAAA=，又0A，所以022A，所以0cos12A，0sin12A，所以23sin24A==，所以3sin22

A=，所以23A=，故23A=.（2）由题得113sin3222bcAbc==，所以4bc=，又2226ABACABACABAC+=++=，所以2222cos63bcbc++=，故22610bcbc+=+=，由余弦定理得22212cos1024142abcbcA

=+−=−−=，所以14a=.18.解：（1）零假设为0H：用餐学生与两家餐厅满意度无关联，依题意列出22列联表如下：不满意满意合计A餐厅155267B餐厅66369合计21115136()220.00513615635264.881

7.879676921115x−==，根据小概率值0.005=的独立性检验，没有充分证据推断0H不成立，因此可以认为0H成立，即认为用餐学生与两家餐厅满意度无关联.（2）设事件iA=“第i

次在A餐厅用餐”，事件iB=“第i次在B餐厅用餐”，其中1,2,3i=，由题意iA与iB互斥，且()()1112PAPB==，()2114PAA=，()2134PBA=；()2112PAB=，()21

12PBB=，由全概率公式得()()()()()21211211111324228PAPAPAAPBPAB=+=+=，()()22518PBPA=−=，又()3234PBA=，()3212PBB=，由全概率公式得()()()()()3232232335119848232PBPAPBAPBPBB

=+=+=.19.（1）证明：由1312nnaa+=+，得1123nnaa++=，即()11261666333nnnnaaaa++−−=−==−，又163a−=，所以60na−，所以数列6na−是以3为首项，13为公比的等比数列.（2）解：由（1

）可知，12116333nnna−−−==，所以2163nna−=+，故263nnnnan−=+，设数列6n的前n项和为nP，数列23nn−的前n项和为nT.所以数列nna的前n项和nnnSTP=+，所以()()216126

332nnnPnnn+=+++==+，10211112333nnTn−−=+++，①0111111123333nnTn−=+++

，②由①-②得10121211111333333nnnTn−−−=++++−，所以123911272312233443nnnnnTn−−+=−−=−

，故数列nna的前n项和22272333443nnnnnSTPnn−+=+=++−.20.解：（1）连接CM，由题意得1CCBD⊥，又1BDCM⊥，111CCCMC=，所以BD⊥平面1CCM，又CM平面1CCM，所以BDCM⊥，在RtBDC△和RtCMD△中，因为BDCCMD

=，所以RtRtBDCCMD△△，所以MDDCDCBC=，又3AMMD=，所以4BCMD=，即22244MDDCAB===，所以1MD=，即44ADBCMD===.（2）直四棱柱1111ABCDABCD−中，底面ABCD为矩形，所以以点D为坐标原点，DA，DC，1DD所在直线分别为x，

y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，由（1）可得()0,0,0D，()1,0,0M，()14,0,2A，()10,2,2C，()4,2,0B，则()11,2,2MC=−，()13,0,2MA=，()3,2,0MB=，设平面11AMC的法向量为()

111,,mxyz=，由1111111220320mMCxyzmMAxz=−++==+=取13z=−，得()2,4,3m=−，设平面1BMC的法向量为()222,,nxyz=，由122222220,320nMCxyznMBxy

=−++==+=取23y=，可得()2,3,4n=−−，2020cos,292929mnmnmn===，所以22021sin,12929mn=−=，故二面角11AMCB−−的正弦值为2129.21.（1）解：设动圆的圆心为(),

Mxy，半径为r，则32MEr=+，2MFr=−，所以42MEMFEF−=，由双曲线定义可知，M的轨迹是以E，F为焦点，实轴长为42的双曲线的右支，所以242a=，26c=，即22a=，3c=，所以2221bca

=−=，所以C的标准方程为2218xy−=，22x≥.（2）证明：若①②③：由题可设直线():81lxmy−=−，()11,Axy，()22,Bxy，()00,Qxy，01y，由直线l与C交于A，B两点，所以2222m−，联立()228118xmyxy−=−−=得()()()22

2828880mymmym−−−+−−=，所以()122288mmyym−+=−，()2122888myym−−=−，由APBQBPAQ=，得APAQBPBQ=，即01120211yyyyyy−−=−−，由题知1AQBQ，所以1AP

BP，即P异于AB的中点，所以122yy+，即1m，得()()()2212121201212228162222681112822128myyyyyymymmyyyymm−−−−+−−==−+=−+=−−+−+−−−−，又()0081xmy−=

−，所以0081xmy−=−，故00061811yxy=−−−−，化简得0010xy−−=，所以点Q在直线10xy−−=上，又Q是l上的点，所以③成立.若①③②：设()11,Axy，()22,Bxy，(

)00,Qxy，01y，则0010xy−−=.由P，A，B，Q四点共线，设APAQ=，BPBQ=，其中0且1，0，则0181xx−=−，0111yy−=−，0281xx−=−，0211yy−=−，又点A在C上，

所以221118xy−=，所以2020811181xx−−−−=−，整理得()()222000088161480xyxy−−−−−+=，又0010xy−−=，所以()22

20088480xy−−+=，同理()2220088480xy−−+=，所以2222004888yx==−+，又0，0，所以=−，故APAQ=−，BPBQ=，所以APBPAQBQ

==，故APBQBPAQ=，即APBQBPAQ=成立，所以②成立.若②③①：由题设()11,Axy，()22,Bxy，(),Pxy，()00,Qxy，由APBQBPAQ=，得APBPAQ

BQ==，又点P为线段AB上一点，点Q为线段AB延长线上一点，所以设APAQ=，BPBQ=−，其中0且1，则011xxx−=−，011yyy−=−，021xxx+=+，021yyy+=+，又点A在C上，所以221118xy−=，所以20201181xxyy

−−−−=−，整理得()()2222200008821616880xyxxyyxy−−−−−+−−=，同理()()2222200008821616880xyxxyyxy−−+−−

+−−=，所以()00002161621616xxyyxxyy−−=−−−，故00880xxyy−−=，将001xy=+代入得()0880xyyx−+−=，所以8080xyx−=−=故81xy==

即①()8,1P成立.22.（1）证明：即证e1lnxx+恒成立，设()e1lnxhxx=−−，()1exhxx=−，显然()hx在区间()0,+内单调递增，又121e202h=−，()1e10h=−，所以

存在唯一01,12x，使得()00hx=，即001exx=，00lnxx=−.当()00,xx时，()0hx，()hx单调递减；当()0,xx+时，()0hx，()hx单调递增，所以()()000001e1ln1xhxhxxxx=−−=+−≥，

又01,12x，所以0012xx+，故()()0001110hxhxxx=+−≥，所以e1lnxx+，即()()fxgx.（2）解：由()()fxaagx−，得()elnxxaaxxx−+，0x，当0a≤时，e0xxa−，所以(

)elnxxaaxxx−+，即()eln1xxaxxx++，设()ln1txxxx=++，则()2lntxx=+，且()2e0t−=，当()20,ex−时，()0tx，()tx单调递减；当()2e,x−+时，()0tx，()tx单调递增，所以()()

22e1e0txt−−=−≥，所以()ln10axxx++≤，所以()eln1xxaxxx++，即()()lnfxaaxxx−+成立；当0a时，令()exuxxa=−，0x，则()()1e0xuxx=+，所以()ux在区

间()0,+内单调递增，又()00ua=−，()()e10auaa=−，所以存在唯一()00,xa，使得()00ux=，即00e0xxa−=，当()00,xx时，()0ux，由()elnxxaaxxx−+，得()elnxxaaxxx−++，即eln0xaaxa

x−+−−，设()elnxapxaxax=−+−−，则()2e0xaapxxx=−−−，所以()px在区间()00,x内单调递减，所以()()00000elnln0xapxpxaxaaxax

=−+−−=−−，解得01ex.当()0,xx+时，()0ux，即e0xxa−，由()elnxxaaxxx−+，得()elnxxaaxxx−+，即eln0xaaxax−−−，设()elnxaqxaxax=−−−，则()2exaaqxxx=+−，由

e0xxa−得e0xax−，所以()2e0xaaqxxx=+−，所以()qx单调递增，所以()()00000elnln0xaqxqxaxaaxax=−−−=−−，解得01ex，由00exax=，得0111ee01eeeexax−==，综上，

实数a的取值范围为11e,e−−.