【文档说明】2025届高考数学一轮复习专练38 等比数列.docx，共(8)页，31.737 KB，由小赞的店铺上传

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温馨提示：此套题为Word版，请按住Ctrl,滑动鼠标滚轴，调节合适的观看比例，答案解析附后。关闭Word文档返回原板块。三十八等比数列(时间:45分钟分值:100分)【基础落实练】1.(5分)在等比数列{an}中,a1a3=a4=4,则a6=()A.6B.-8或8C.-8D.8【解析】选D.因为

a1·a3=𝑎22=4,所以a2=±2.当a2=-2时,𝑎32=a2·a4<0无意义,所以a2=2,所以q2=𝑎4𝑎2=2,所以a6=a4·q2=4×2=8.2.(5分)已知等比数列{an}满足a1=3,a1+a3+a5=21,则a3+a5+a7=()A.21B.

42C.63D.84【解析】选B.设数列{an}的公比为q,则a1(1+q2+q4)=21,又a1=3,所以q4+q2-6=0,所以q2=2(q2=-3舍去),所以a3=6,a5=12,a7=24,所以a3+a5

+a7=42.3.(5分)已知等比数列{an}的前n项和为Sn=a·2n-1+16,则a的值为()A.-13B.13C.-12D.12【解析】选A.当n≥2时,an=Sn-Sn-1=a·2n-1-a·2n-2=a·2n-2,当n=1时,a1=S1=a+16,又因为数列{a

n}是等比数列,所以a+16=𝑎2,所以a=-13.4.(5分)已知各项均为正数的等比数列{an}中,a4与a14的等比中项为2√2,则log2a7+log2a11的值为()A.1B.2C.3D.4【解析】选C.由题意得a4a14=(2√2)2=8,由等比

数列的性质,得a4a14=a7a11=8,所以log2a7+log2a11=log2(a7a11)=log28=3.【加练备选】设等比数列{an}的公比为q>0,且q≠1,Sn为数列{an}的前n项和,记Tn

=𝑎𝑛𝑆𝑛,则()A.T3≤T6B.T3<T6C.T3≥T6D.T3>T6【解析】选D.T6-T3=𝑎6(1-𝑞)𝑎1(1-𝑞6)-𝑎3(1-𝑞)𝑎1(1-𝑞3)=𝑞5(1-𝑞

)1-𝑞6-𝑞2(1-𝑞)1-𝑞3=-𝑞2(1-𝑞)1-𝑞6,由于q>0且q≠1,所以1-q与1-q6同号,所以T6-T3<0,所以T6<T3.5.(5分)已知数列{an}为等比数列,且a2a10=4a6,Sn为等

差数列{bn}的前n项和,且S6=S10,a6=b7,则b9=()A.43B.-43C.-83D.-4【解析】选B.因为数列{an}为等比数列,且a2a10=4a6,所以𝑎62=4a6,解得a6=4.设等差数列{bn}的公差为d

,因为S6=S10,所以b7+b8+b9+b10=0,则b7+b10=0.因为a6=b7=4,所以b10=-4,所以3d=b10-b7=-4-4=-8,所以d=-83,所以b9=b7+2d=4+2×(-83)=-43.6.(5分)(多选题)设等比数列

{an}的公比为q,则下列说法正确的是()A.数列{anan+1}是公比为q2的等比数列B.数列{an+an+1}是公比为q的等比数列C.数列{an-an+1}是公比为q的等比数列D.数列{1𝑎𝑛}是公比为1𝑞

的等比数列【解析】选AD.对于A,由𝑎𝑛𝑎𝑛+1𝑎𝑛-1𝑎𝑛=q2(n≥2)知数列{anan+1}是公比为q2的等比数列;对于B,当q=-1时,数列{an+an+1}的项中有0,不是等比数列;对于C,当q=1时,数列{an-an+1}的项中有0,不是等比数列;对于D,1𝑎𝑛

+11𝑎𝑛=𝑎𝑛𝑎𝑛+1=1𝑞,所以数列{1𝑎𝑛}是公比为1𝑞的等比数列.7.(5分)若等差数列{an}和等比数列{bn}满足a1=b1=-1,a4=b4=8,则𝑎2𝑏2=________.【解析】设等差数列{an}的公差

为d,等比数列{bn}的公比为q.由题意得-1+3d=-q3=8⇒d=3,q=-2⇒𝑎2𝑏2=-1+3-1×(-2)=1.答案:18.(5分)已知数列{an}是等比数列,a2=2,a5=14,则a

1a2a3+a2a3a4+…+anan+1an+2=________.【解析】设数列{an}的公比为q,则q3=𝑎5𝑎2=18,解得q=12,a1=𝑎2𝑞=4,a3=a2q=1.易知数列{anan+1an+2}是首项为a1a2a3=4×

2×1=8,公比为q3=18的等比数列,所以a1a2a3+a2a3a4+…+anan+1an+2=8(1-18𝑛)1-18=647(1-2-3n).答案:647(1-2-3n)9.(10分)在数列{an}中,已知a1=1,an+1=2an+2n-3.(1)若bn=a

n+2n-1,证明:数列{bn}是等比数列.【解析】(1)因为an+1=2an+2n-3,bn=an+2n-1,所以𝑏𝑛+1𝑏𝑛=𝑎𝑛+1+2𝑛+1𝑎𝑛+2𝑛-1=2𝑎𝑛+4𝑛-2𝑎𝑛+2𝑛-1=2.又b1=a1+2-1=2,所以数列

{bn}是以2为首项,2为公比的等比数列.9.(10分)在数列{an}中,已知a1=1,an+1=2an+2n-3.(2)求数列{an}的前n项和Sn.【解析】(2)由(1)可知,bn=2n,则an=2n-2n+1,Sn=21-1+22-3+…+2n-2n+1=21+22

+…+2n-(1+3+…+2n-1)=2-2𝑛+11-2-𝑛(1+2𝑛-1)2=2n+1-n2-2.【能力提升练】10.(5分)已知1,a1,a2,4成等差数列,1,b1,b2,b3,4成等比数列,则𝑎1+𝑎

2𝑏2的值是()A.52或-52B.-52C.52D.12【解析】选C.由题意得a1+a2=5,𝑏22=4,又b2与第一项的符号相同,所以b2=2.所以𝑎1+𝑎2𝑏2=52.11.(5分)(多选题)设等比数列{an}的公比为q,其

前n项和为Sn,前n项积为Tn,并且满足条件a1>1,a9a10>1,𝑎9-1𝑎10-1<0,则下列结论正确的是()A.0<q<1B.a10a11>1C.Sn的最大值为S10D.Tn的最大值为T9【解析】选AD.由题

意得a9>1>a10>a11…,所以0<q<1,a10a11<1,Sn没有最大值,T9最大.12.(5分)已知{an}是各项均为正数的等比数列,Sn为其前n项和.若a1=6,a2+2a3=6,则公比q=________,S4=__

______.【解析】由题意,数列{an}是各项均为正数的等比数列,由a1=6,a2+2a3=6,可得a1q+2a1q2=6q+12q2=6,即2q2+q-1=0,解得q=12或q=-1(舍去).由等比数列的前n项和公式,可得S4=6×[1-(12)4]1-12=454

.答案:1245413.(5分)等比数列{an}的首项a1=-1,前n项和为Sn,若𝑆10𝑆5=242243,则公比q=________.【解析】由𝑆10𝑆5=242243,a1=-1,知公比q≠1,𝑆10-𝑆5𝑆5=-1243.由等比数列前n项和的性质知S5,

S10-S5,S15-S10成等比数列,且公比为q5,故q5=-1243,所以q=-13.答案:-1314.(10分)(2023·佛山模拟)设公差不为0的等差数列{𝑎𝑛}的前n项和为Sn,S5=20,�

�32=a2a5.(1)求数列{𝑎𝑛}的通项公式;【解析】(1)S5=5a3=20⇒a3=4,设公差为d,首项为a1,𝑎32=a2a5=(a3-d)(a3+2d)=𝑎32+a3d-2d2,因为公差不为0,

所以解得d=2,a3=a1+2d=4⇒a1=0,数列{𝑎𝑛}的通项公式为an=2n-2,n∈N*.14.(10分)(2023·佛山模拟)设公差不为0的等差数列{𝑎𝑛}的前n项和为Sn,S5=20,𝑎32=a2a5.(2)若数列{𝑏𝑛}满足b1=1,bn+b

n+1=(√2)𝑎𝑛,求数列{𝑏2𝑛}的前n项和Tn.【解析】(2)bn+bn+1=(√2)𝑎𝑛=(√2)2𝑛-2=2n-1,(b1+b2)+(b3+b4)+(b5+b6)+…+(b2n-1+b2n)=20+22+24+…+22n-2=1×(1-4𝑛)1-4=

4𝑛3-13,①(b1+b2)+(b2+b3)+(b3+b4)+…+(b2n-1+b2n)=20+21+22+…+22n-2=1×(1-22𝑛-1)1-2=22n-1-1,②①×2-②得b1+b2n=2×(4𝑛3-13)-22n-1+

1,解得b2n=23×4n-22n-1-23,Tn=83(1-4𝑛)1-4-2(1-4𝑛)1-4-23n=83×4𝑛-13-2×4𝑛-13-23n=23×(4𝑛-13-n).15.(10分)已知等差数列{𝑎𝑛}的前n项

和为Sn,公差d≠0,S2,S4,S5+4成等差数列,a2,a4,a8成等比数列.(1)求Sn;【解析】(1)由S2,S4,S5+4成等差数列,a2,a4,a8成等比数列可得{𝑆5+4+𝑆2=2𝑆4𝑎42=𝑎2𝑎

8,即{5𝑎1+10𝑑+4+2𝑎1+𝑑=2(4𝑎1+6𝑑)(𝑎1+3𝑑)2=(𝑎1+𝑑)(𝑎1+7𝑑),解得a1=2,d=2,所以Sn=2n+𝑛(𝑛-1)2×2=n2+n.15.(10分)已知等差数列{�

�𝑛}的前n项和为Sn,公差d≠0,S2,S4,S5+4成等差数列,a2,a4,a8成等比数列.(2)记数列{𝑏𝑛}的前n项和为Tn,2bn-Tn=𝑛+2𝑆𝑛,证明数列{𝑏𝑛-1𝑆𝑛}为等比数列,并求{𝑏𝑛}的通项公式.【解析】(2)由2bn-Tn=𝑛+2𝑆𝑛

得2b1-T1=32⇒b1=32,2bn=Tn+𝑛+2𝑛(𝑛+1)=Tn+2𝑛-1𝑛+1,故2bn+1=Tn+1+2𝑛+1-1𝑛+2,两式相减可得2bn+1-2bn=bn+1+2𝑛+1-1𝑛+2-2𝑛+1𝑛+1,所以

bn+1-1𝑛+1+1𝑛+2=2(bn-1𝑛+1𝑛+1),而bn-1𝑆𝑛=bn-1𝑛+1𝑛+1,所以{𝑏𝑛-1𝑆𝑛}为公比为2的等比数列,且首项为32-12=1,故bn-1𝑛+1𝑛+1=2n-1,进而bn=1𝑛-1𝑛+1+2n-1.【素养创新练】16.(

10分)(2023·济南模拟)已知数列{𝑎𝑛}的前n项和Sn=2n+1-2,数列{𝑏𝑛}满足bn=log2an.(1)求数列{𝑎𝑛},{𝑏𝑛}的通项公式;【解析】(1)因为Sn=2n+1-2,当n=1时S1=22-2=2,即a1=2,

当n≥2时Sn-1=2n-2,所以Sn-Sn-1=2n+1-2-(2n-2),即an=2n,经检验当n=1时an=2n也成立,所以an=2n,则bn=log2an=log22n=n.16.(10分)(2023·济南模拟)已知数列{𝑎𝑛}

的前n项和Sn=2n+1-2,数列{𝑏𝑛}满足bn=log2an.(2)由an,bn构成的n×n阶数阵如图所示,求该数阵中所有项的和Tn.(𝑎1𝑏1,𝑎1𝑏2,𝑎1𝑏3,…,𝑎1𝑏𝑛𝑎2𝑏1,𝑎2𝑏2,𝑎2𝑏3

,…,𝑎2𝑏𝑛𝑎3𝑏1,𝑎3𝑏2,𝑎3𝑏3,…,𝑎3𝑏𝑛…𝑎𝑛𝑏1,𝑎𝑛𝑏2,𝑎𝑛𝑏3,…,𝑎𝑛𝑏𝑛)【解析】(2)由数阵可知Tn=a1(b1+b2+…+

bn)+a2(b1+b2+…+bn)+…+an(b1+b2+…+bn)=(a1+a2+…+an)(b1+b2+…+bn),因为Sn=2n+1-2,b1+b2+…+bn=1+2+…+n=𝑛(1+𝑛)2=𝑛2+𝑛2,所以Tn=(2n+1-2)×𝑛2+𝑛2=(2n-1

)·(n2+n).