【文档说明】【精准解析】2020届高三全国普通高等学校统一招生考试试验检测卷1数学（理科）试题【高考】.doc，共(26)页，2.295 MB，由小赞的店铺上传

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-1-2020年全国普通高等学校统一招生考试数学试验检测卷1（理科）第Ⅰ卷（选择题：共60分）一、选择题：本共12小题，每5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题

目要求的一项是符合题目要求的．1.已知实数x，y和虚数单位i满足231xiyxyii+−−=−，则xy+=（）A.2B.3C.4D.5【答案】B【解析】【分析】由题得2311yxxy−=−=−，解方程组即

得解.【详解】∵231xiyxyii+−−=−，整理为()()231yxxyii−+−=−，根据复数相等条件有2311yxxy−=−=−，解得12xy==，则3xy+=，故选：B．【点睛】本题

主要考查复数相等的概念，意在考查学生对该知识的理解掌握水平.2.已知集合1,2,3,4,5A=，()(),,,BxyxAyAxyA=−，则B中所含元素的个数为（）A.4B.6C.8D.10【答案】D【解析】【分析】根据()xyA−，通过列举法即可得到集合B中的元素，从

而得到选项.【详解】∵集合B中元素要求()xyA−，故xy，于是用列举法可得符合集合B的元素-2-有：()5,4，()5,3，()5,2，()5,1，()4,3，()4,2,()4,1，()3,2，()3,1，()2,1，共1

0个元素，故选：D．【点睛】本题考查集合的表示方法的应用，考查集合中元素个数问题，属于简单题.3.《周髀算经》中一个问题：从冬至之日起，小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气的日影子长依次成等差数列，

若冬至、立春、春分的日影子长的和是37.5尺，芒种的日影子长为4.5尺，则冬至的日影子长为：（）A15.5尺B.12.5尺C.10.5尺D.9.5尺【答案】A【解析】【分析】利用等差数列通项公式和前n项和公式列方程组，求出首项和公差，由此能求出结果.【详解】从

冬至起，日影长依次记为12312,,,,aaaa，根据题意，有14737.5aaa++=，根据等差数列的性质，有412.5a=，而124.5a=，设其公差为d，则有11312.5114.5adad+=+=，解得115.51ad==−，所以冬

至的日影子长为15.5尺，故选A.【点睛】该题考查的是有关应用等差数列解决实际生活中的问题，涉及到的知识点有等差数列的通项公式以及前n项和的有关量的计算，属于简单题目.4.某观察站C与两灯塔A，B的距离分别为3km和5km，测得灯塔

A在观察站C北偏西50°，灯塔B在观察站C北偏东70°，则两灯塔A，B间的距离为（）A.7B.8C.34153−D.34153+-3-【答案】A【解析】【分析】画出图形，可知120ACB=，利用余弦定理即可求出AB的长.【

详解】根据题意，画草图ABC，结合题干条件易知3ACkm=，5BCkm=，120ACB=，利用余弦定理可得：22235235cos12049AB=+−=，∴7ABkm=．故选：A．【点睛】本题考查

数形结合思想与余弦定理在解三角形中的应用，同时考查了数学建模能力和基本运算能力，属于基础题.5.设函数()fx，()gx均是定义在241,22mmm−−++上的偶函数和奇函数，且满足()()2221xfx

gxx+=++，则()fm的值为（）A.12B.32C.134D.174【答案】D【解析】【分析】根据奇偶性函数定义域关于原点对称可求出m，再根据奇偶函数的性质列出方程组，即可求出()fx的解析式，即可求出()fm.【详解】∵函数

()fx，()gx均是定义域为241,22mmm−−++的偶函数和奇函数，即有24122mmm+=++，解得1m=，-4-∵()()()()()22221221xxfxgxxfxgxx−+=++−+−=+−+，有()()()

()22221221xxfxgxxfxgxx−+=++−=++，解得()()2122212xxfxx−=+++，()()1714fmf==．故选：D．【点睛】本题考查函数的奇偶性，考查考生运用函数性质解决问题的能力，试题

注重基础，针对性强．6.二十世纪第三次科技革命的重要标志之一是计算机发明与应用，其核心是使用二进制，即用最基本的字符“0”和“1”可以进行无穷尽的各种复杂计算，而且用电子方式实现，即二进制是一个微小的开关用“开”来表示1，“关”

来表示0．某编程员将一个二进制数字串进制数字串1x，2x，3x，，()nxnN，进行编码，其中()1,2,,kxkn=称为第k位码元，但在实际编程中偶尔会发生码元出错（即码元由0变成1，或者由1变为0），如果出现错误后还可以将码元1x，2x，

3x，，7x进行校验修正，其校验修正规则为：456723671357¤¤¤0¤¤¤0¤¤¤0xxxxxxxxxxxx===，其中运算¤定义为：000=¤，011=¤，101=¤，110=¤，即满足运算规则

为正确，否则错．现程序员给出1101101一组码元，然后输入计算机中，结果仅发现第k位码元错误，则k的值为（）A.3B.4C.5D.6【答案】C【解析】【分析】根据新运算的定义，分别判断出码元1x，2x，3x，，7x的正误，从而可得结果.【详解】∵645711010010110xxxx====¤

¤¤¤¤¤¤¤¤，显然这几个码元中，显然这几个码元中必有一个错误，-5-于是确定1x，2x，3x这3位码元都是正确的；又23671001101110xxxx====¤¤¤¤¤¤¤¤¤，进而1x，2x，3x，6x

，7x均正确；再由513710111110110xxxx====¤¤¤¤¤¤¤¤¤，∵1x，3x，7x码元都正确，故只有5x错误，于是5k=，故选：C．【点睛】本题以当今科学技术发展观为背景，引导学生关注科技术，注重创新意识．同时考查了考生对新运算的理性

思维和抽象理解能力．这体现了试题重思维、重过程、降低运算量命题思路，试题注重创新，针对性强．属于中档题．7.二项式()()34121xx+−的展开式中2x的系数是（）A.24−B.12C.6D.6−【

答案】D【解析】【分析】写出()312x+和()41x−展开式的通项，再分三种情况讨论得解.【详解】∵()312x+展开式的通项为()3312rrrCx−，()41x−展开式的通项为()441kkkCx−−．根据多项式乘法规则和计数原理确定2x的系数，应分3种情

况：①()()020302422341216CxCxx−−−=；②()()1113114123412124CxCxx−−−=−；③()()2023204023412112CxCxx−−−=，即含2x项为

()22624126xx−+=−，故选：D．【点睛】本题主要考查二项式定理的应用，考查二项式展开式的系数的求法，意在考查学生对该知识的理解掌握水平.8.已知1F，2F是椭圆C：2212xy+=的两个焦点，A、B是椭圆C上且位于x轴上方的任-6-意两点，且满足12AFBF=

，()0，2AF与1BF交于P，则12PFPF+=（）A.22B.32C.322D.522【答案】C【解析】【分析】由题意知，点A、B及12AFBF=均是动态的，而12PFPF+值是确定，故可采用特殊法取1AFx⊥轴，2BF

x⊥轴求解．【详解】如图所示：因为12AFBF=，特取1AFx⊥轴，2BFx⊥轴，所以()11,0F−，()21,0F，21,2A−，21,2B，()()214214yxyx=−=−+，解得024

xy==，所以20,4P，则()221223201044PFPF=++−==．则12322PFPF+=，故选：C．-7-【点睛】本题主要考查向量基本概念与运算，还考查了数形结合思想和等价转换运算能力，属

于中档题.9.cos80cos20sin80sin20−=+（）A.3−B.2−C.33−D.13【答案】C【解析】【分析】本题主要考三角变换的基本运算，同时考查考生的等价转换和数形结合思想，这体现了数学

和谐美丽和数学运算的核心素养．试题难度：中偏难．【详解】设cos80cos20sin80sin20a−=+，则()sin80sin201sin80sin20cos80cos20cos80cos20ka−−+===−−，即此时三角式表示的是过点()cos8

0,sin80A，()()()cos20,sin20B−−．两点的直线斜率，且A，B两点均在单位圆上，如图所示，结合图象知80AOX=，20BOX=，即100AOB=，∴40AB==，故直线

AB倾斜角为120°，于是tan1203k==−，进而133ak==−，故选C．10.如图所示是一个正方体，现将其六面分别都涂红、蓝、黄、白、绿、紫6种颜色放干后，再切割为125个同样大小的正方体，然后放

在足够大的容器内均匀搅拌，若从中随机取出一个小正方体记它的涂有颜色面数为X，则X的均值为（）-8-A.126125B.75C.168125D.65【答案】D【解析】【分析】计算出被涂三面、两面、一面的小正方体的个数，可得X的可能取值为0，1，2，3．从而求

出数学期望；【详解】解：根据题意正方体内部有33327=个小正方体没有被涂上颜色，仅有一面被涂上颜色的有6954=个，仅有两个面涂上颜色的有31236=个，有三个面涂上共有8个，故随机变量X的可能取值为0，1，2，3．于

是()270125PX==，()541125PX==，()362125PX==，()83125PX==．于是期望为()2754368150601231251251251251255EX=+++==．故选：D．【点睛】本题主要考查对随机变量的期望理解，命题的衍生方向是与空间

几何体知识相结合，同时还考查了空间想象能力、抽象思辨力、化归思想．这体现了数学的和谐与转化、数学的推理等核心思想．属于中档题．11.知函数()()2sinfxx=+（0，0）满足()()fx

fx−=，其图象与直线2y=的某两个交点横坐标为1x，2x，且12xx−的最小值为．现给出了以下结论．①2=且2=②在0,4上()fx单调递减且02f=③在,02−上()fx单调递增且16f=④,04

是()fx的对称中心则以上正确的结论编号为（）-9-A.①②③B.②③④C.①③④D.①②④【答案】C【解析】【分析】根据正弦型函数的周期公式、奇偶性、单调性、对称性逐一判断即可.【详解】根据()()2sinfxx=+及条件12xx−的最小值为，可知

函数()fx的最大值为2，()fx的最小正周期为，∴2T==，因为0，所以2=，因为()()fxfx−=，所以函数()fx是偶函数，而0，所以2=．于是序号①正确，进而知()2sin22cos22fxxx=+=

；对于序号②：∵2202fcos==−，于是序号②错误；对于序号③，当且仅当取222()kxkkZ−+时，解得()2kxkKZ−+，即,()2kkkZ−+为()fx的单调增区间，显然)2,02(,kkkZ

−+−，又2cos163f==，故序号③正确；对于序号④，令cos20x=，解得()24mxmZ=+，即,0()24mmZ+为函数2cos2yx=的对称中心，显然,0

4是()fx的其中一个对称中心，故④序号正确，综上知正确的序号为①③④．故选：C【点睛】本题以三角函数函数为载体，主要考查三角函数图象及性质概念理解，同时考查了逻辑推理、直观想象转化能力，试题体现了理性思维、由具体到抽象转化，追寻知识背后的延伸结论，这是解题的基本

功展现，试题难度：中．-10-12.下面各选项用类比推理，现给出了以下四个结论①已知三条直线a、b、c，若//ab，//bc，则//ac．类推出：已知向量a、b、c，若//ab，//bc，则//ac．②已知实数a、b，若方程20xaxb++=有实数根，

则据判别式0，有24ab．类推出：已知复数a、b，若方程20xaxb++=有实数根，据判别式0，有24ab．③以原点()0,0O为圆心，r为半径的圆方程222xyr+=，类推出：以空间原点()0,0O为球心，以r为半径的球方

程为2222xyzr++=．④若集合1A，2A，，nA，满足123nAAAAA=，则称1A，2A，，nA为集合A的一种离散．即12123,,AAaaa=时，有33种离散；1231234,,,AAAaaaa=时，有47种离散

；123412345,,,,AAAAaaaaa=时，有()41541521+=−种离散；……，类推出：1231,,,,nAaaaa+=时，必有()121nn+−种离散．则正确的结论编号为（）A.①③B.③④C.②③D.

①②【答案】B【解析】【分析】当0b=时，根据向量的性质判断序号①；对于序号②，当ai=，1bi=−时，方程为20xaxb++=有实数根，但24ab不成立；根据空间中两点的距离公式判断序号③；对于序号④，由()2132321+=−，()3143721+=−，()41541

521+=−，可归纳得出当有n个集合时，可类推得()121nn+−种离散．【详解】对于序号①，当向量0b=时，若//ab，//bc，则a，c不一定平行．故序号①不正确；对于序号②，若ai=，1bi=−，则方

程为20xaxb++=有实数根，但24ab不成立，故-11-序号②不成立；对序号③，设(),,Pxyz是球面上的任意点，则222rxzOPy++==，即2222xyzr++=．于是序号③正确；对于序号④，当有两个集合时，12123,,AAaaa=时，

有()2132321+=−种离散；当有三个集合时，1231234,,,AAAaaaa=有()3143721+=−种离散；当有四个集合时，123412345,,,,AAAAaaaaa=时，有()4

1541521+=−种离散；……显然当有n个集合时，1231,,,,nAaaaa+=时，可类推得()121nn+−种离散．于是序号④正确综上知本题正确的序号为③④故选：B．【点睛】本题命制是以类比推理为背景，目的是考查学生的类比转换思想和逻辑推理能力，抽象概括能力，试题新颖，符合以

生考熟的命题思想，体现了对知识的考查侧重于理解和应用的要求，很好地达到了共性好考个性难考的目的，试题难度：偏难．第Ⅱ卷（非选择题）二、填空题（分单空和多空）：本题共4小题，每5分，共20分．13.设数列na的前n项和为nS，若24S=

，121nnaS+=+，nN，则7a=______．【答案】729【解析】【分析】利用1n=时，2121aa=+，再结合24S=，可得1a的值，121nnaS+=+与121nnaS−=+两式相减可得na是等比数列，求

出na通项，即可求出7a.【详解】∵121nnaS+=+121nnaS−=+于是得11222nnnnnaaSSa+−−=−=，即13nnaa+=又2124Saa=+=，-12-再由121nnaS+=+得2121aa=+，联立解得11a=，23a=．na是以11a=为首项，3q=

为公比的等比数列，故66713729aaq===，故答案为：729．【点睛】本题考查的是等比数列即递推数列的相关知识点，同时考查了等价转换和运算求解能力，这体现了数学迁移转化和逻辑推理等核心素养试题难度,属于中档题．14

.若函数()fx满足()()1fxfx=−，()()13fxfx+=−−当且仅当(1,3x时，()3logfxx=，则()57f=______．【答案】2【解析】【分析】根据函数满足的关系可得()fx是以6最小

正周期的周期函数，根据()()573ff=代入解析式即可.【详解】根据已知条件()()()()113fxfxfxfx=−+=−−，进而有()()()()()1133fxfxfxfxfx=−=+−=−−−=−+，于是()()3+=−fxfx，显然()()()()(

)6333fxfxfxfxfx+=++=−+=−−=，则()fx是以6最小正周期的周期函数，∵当(1,3x时()3logfxx=，则()()()3576933log32fff=+===．故答案为：2.【点睛】本题以抽象函数为载体，研究抽象函数

的结构特征，且挖掘暗含条件，巧妙地对复合函数的连续变形，体现了数学抽象，数学化归等关键能力与学科素，属于中档题.15.将一骰子抛掷两次，若先后出现的点数分别是b、c，则函数()2fxxbxc=++仅有一个零点的概率是______；有两个不相同零点概率是______．-13-【答案

】(1).118(2).1736【解析】【分析】（1）由题得样本总容量为36N=，再计算出满足240bc=−=的数组有2个，由古典概型的概率公式即得解；（2）求出满足240bc=−的数组有17个，

由古典概型的概率公式即得解.【详解】（1）根据题意b、1,2,3,4,5,6c，则样本总容量为6636N==．判别式24bc=−构成的数组为(),bc．当且仅当函数()fx仅有一个零点时240bc=−=，即21bc==

；44bc==，即符合题意的数组为()2,1和()4,4，则此时213618p==，于是()fx仅有一个零点时概率为118；（2）()fx有两个不同零点时，240bc=−，即数组有()3,1，()3,2，()4,1，()4,2，()4,3，()5,1，()5,2，()5

,3，()5,4，()5,5，()5,6，()6,1，()6,2，()6,3，()6,4，()6,5，()6,6共计17个数组，由古典概型的概率公式得概率1736p=，故()fx仅有两个不同零点概率为1736．故答

案为：118；1736．【点睛】本题主要考查古典概型的概率公式的计算，意在考查学生对该知识的理解掌握水平.16.已知()()()222sinsinsinf=++++，其中，为参变数，且0．若()f是一个与无关的定值，则=__

____，=______．【答案】(1).3=(2).23=-14-【解析】【分析】利用降幂升角和余弦的两角和公式将()f化简整理得()()()31cos21cos2cos2sin2sin2sin222f=−++−+

，若满足题意只需cos2cos21sin2sin20+=−+=，将两式平方相加然后利用特殊角三角函数值进行计算并检验即可得到答案.【详解】()()()()()2221cos221cos221cos2sinsinsin222f−

+−+−=++++=++()()31cos2cos22cos2222=−++++()31cos2cos2cos2sin2sin2cos2cos2sin2sin222=−+−+−．()()31cos21cos2cos2sin2sin2sin222

=−++−+．()f是一个与无关的定值，故1cos2cos20sin2sin20++=+=，此时()32f=为常数．进而有cos2cos21sin2sin20+=−+=，两式平方相加得：

()1cos222−=−，整合得()1cos222sin2sin20−=−+=即()()1cos222sin2sin2−=−=−，∵0，即0−−，2220−−，由()1cos222−=−得2223−=−或4

223−=−，由()sin2sin2=−得+=或2−=−（舍去），-15-即233−=−−=−+=或，当3−=−且+=时，解得3=，23

=代入验证1cos2cos20++=中，合题意．当23−=−且+=时，解得6=，56=代入验证1cos2cos20++=中不成立．故答案为：3；23．【点睛】本题以三角函

数为载体，主要考查三角恒等变换及三角求值的基本运算推理能力，同时还考查等价转化、分类讨论、理性思维能力，体现了数学抽象思维、数学转化等核心素养，属于中档题.三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答必须写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．17.已知定义在已知定义在R上的函数上

的函数()fx满足①1122f=，②18199ff+=，由此可归纳出一个结论“★”，使得数列na满足()()12101nnafffffnnn−=+++++

，则此结论★为_____．并求na的通项公式．【答案】1knkffnn−+=．()kN或()442nnfn=+；()112nan=+.【解析】【分析】由1122f=

可得111122ff+−=，结合18199ff+=，归纳可得出结论；利用倒序相加法求出na的通项公式．【详解】∵1122f=，111122ff+−=，18111199199ffff+=

−+=，-16-即从中得启发：可归纳得：1knkffnn−+=．或()442nnfn=+．★可验证()()1144421412424242nnnnnnnffnn−

−=+=+=+++++−．由()()122101nnnaffffffnnnn−−=++++++，即()()012211nnnaffffffnnnn−−=++++++，两式相

加得：()()()()111120110nnnaffffffffnnnn−−=++++++++共有1n+个中括号，结合★即有()211nan=+，

即得()112nan=+．【点睛】本题考查数与式的归纳推理，考查数列的求和公式，考查学生逻辑推理能力和计算能力，属于中档题．18.如图,三棱柱111ABCABC−中,底面ABC是等边三角形,侧面11BCCB是矩形,1,ABABN=是1BC的中点,M是棱1AA上的点,且1AACM⊥.（1）证明：

//MN平面ABC；（2）若1ABAB⊥,求二面角ACMN−−的余弦值.【答案】（1）见解析（2）255−【解析】【分析】（1）连结BM，推导出BC⊥BB1，AA1⊥BC，从而AA1⊥MC，进而AA1⊥平面BCM，A

A1⊥MB，推导出四边形AMNP是平行四边形，从而MN∥AP，由此能证明MN∥平面ABC．（2）推导出△ABA1是等腰直角三角形，设AB2a=，则AA1＝2a，BM＝AM＝a，推导出-17-MC⊥BM，MC⊥AA1，B

M⊥AA1，以M为坐标原点，MA1，MB，MC为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角A﹣CM﹣N的余弦值．【详解】（1）如图1，在三棱柱111ABCABC−中，连结BM，因为11BCCB是矩形，所以1BCBB⊥，因为11//AABB，所以

1AABC⊥，又因为1AAMC⊥，BCMCC=，所以1AA⊥平面BCM，所以1AAMB⊥，又因为1ABAB=，所以M是1AA中点，取BC中点P，连结NP，AP，因为N是1BC的中点，则1//NPBB且112NPB

B=，所以//NPMA且NPMA=，所以四边形AMNP是平行四边形，所以//MNAP，又因为MN平面ABC，AP平面ABC，所以//MN平面ABC.（图1）（图2）（2）因为1ABAB⊥，所以1ABA是等腰直角三角形，设2ABa=，则12AAa=，BM

AMa==.在RtACM中，2ACa=，所以MCa=.在BCM中，22222CMBMaBC+==，所以MCBM⊥，由（1）知，则1MCAA⊥，1BMAA⊥，如图2，以M为坐标原点，1MA，MB，MC的方向分别为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系，则()0,

0,0M，()0,0,Ca，()12,,0Baa.所以,,22aaNa，则()0,0,MCa=，,,22aaMNa=，设平面CMN的法向量为()1,,nxyz=，则110,0,nMCnMN==即0,0.22azaaaxyz=++=

-18-取1x=得2y=−.故平面CMN的一个法向量为()11,2,0n=−，因为平面ACM的一个法向量为()20,1,0n=，则12121225cos,5nnnnnn==−.因为二面角ACMN−−为钝角，所以二面角ACMN−−的余弦值为255−.【点睛】本题考查线面平行的

证明，考查了利用空间向量法求解二面角的方法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．19.已知椭圆()2222:10xyCabab+=的离心率为22，且过点()2,1P.（1）求椭圆C的方程

；（2）若,AB是椭圆C上的两个动点，且APB的角平分线总垂直于x轴，求证：直线AB的斜率为定值.【答案】（Ⅰ）22163xy+=；（Ⅱ）见解析.【解析】【分析】（Ⅰ）由由题意可得2222222411caababc

=+==+，解得a2=6，b2=3，则椭圆方程可求；（Ⅱ）设直线PA的方程为y+1=k（x-2），联立直线方程和椭圆方程，求得A的横坐标，同理求得B的横坐标，进一步求得A、B的纵坐标的差，代入斜率公式得答案．-19-【详解】（Ⅰ）由题意得2222222411

caababc=+==+解得226,3ab==，所以，椭圆C的方程是22163xy+=.(Ⅱ)设直线AP的斜率为k，由题意知，直线BP的斜率为k−，设()()1122,,,AxyBxy，直线AP的方程为()

12ykx−=−，即12ykxk=+−联立方程组2212163ykxkxy=+−+=消去y得()()222214128840kxkkxkk++−+−−=，因为,PA为直线AP与椭圆的交点，所以212884221kkxk−−=+，即21244221

kkxk−−=+把k换为k−得，22244221kkxk+−=+，所以212821kxxk−=+，所以()()21211212yykxkkxk−=−++−+−()1228421kkxxk=−+=+，所以直线AB的斜

率21211AByykxx−==−，故直线AB的斜率为定值.【点睛】本题考查椭圆标准方程的求法，考查了直线与椭圆位置关系的应用，考查计算能力，属中档题．20.新型冠状病毒是一种人传人，而且隐藏至深、不易被人们直觉发现危及人们生命的严重病毒．我们把与这种身带新型冠状病毒

（称之为患者）有过密切接触的人群称为密切关联者．已知每位密切关联者通过核酸检测被确诊为阳性后的概率为()01pp．一旦被确诊为阳性-20-后即将其隔离．某位患者在隔离之前，每天有k位密切关联者与之接触（而这k个人不与其他患者接触），其中被感染的人数为()0XXk．（1）求一天内被感

染人数X的概率()pX的表达式和X的数学期望；（2）该病毒在进入人体后有14天的潜伏期，在这14天内患者无任何症状，则为病毒传播的最佳时间．设每位患者在不知自己患病的情况下的第二天又与k位密切关联者接触．从某一从名患者被带新型冠状病毒的第1天开始算起，第n天新

增患者的数学期望记为()2nEn．①当10k=，12p=，求8E的值；②试分析每位密切关联者佩戴口罩后与患者接触能否降低患病的概率，经大量临床数据验证佩戴口罩后被感染患病的概率p满足关系式()2ln13ppp=+−．当p取得最大值时，计算p所对应的6E和p所对应的6E值，然后根据计

算结果说明佩戴口罩的必要性（取10k=）．（参考数据：ln20.7，ln31.1，ln51.6，10.33，20.73，6646650=计算结果保留整数）【答案】（1）()()()10KXXXKpXCppXK−=−，()EXKp=；（2）①233280；②

66480E=（人）；616=E（人）；必要性见解析．【解析】【分析】（1）设事件A：被病毒感染的人群，随机变量X的取值为：0，1，2，…，k．得到事件A服从二项分布(),XBkp，即可求解．（2）①根据题意

，第n天新增加人数的数学期望()()1211nnnEkpkp−−=+−+，即可求解8E的值．②求得()()2ln13pfppp==+−，利用导数求得函数()fp的单调性和最值，进而得到12p=，0.1p=，分别求得6E和6E

的人数，即可得到结论．【详解】（1）根据题意，因为任何一个与患者密切接触的关联者，被感染（患病）的概率均-21-为p，又每天有k位密切关联者与一患者接触，设事件A：被病毒感染的人群，随机变量X的取值为：0，1，2，…，k．显然事

件A服从二项分布(),XBkp，即()()()10KXXXKpXCppXK−=−，显然()EXKp=．（2）①根据题意，最初患者自己被感染，即第1天人数为1，第2天被感染人数增至为：111kpkp+=+；第3天被感染人数增至为：()()()2

111kpkpkpkp+++=+，…，显然第1n−天被感染人数增至为：()21nkp−+，第n天被感染人数增至为：()11nkp−+，于是根据题意中均值定义，第n天新增加人数的数学期望()()1211nnnEkpkp−−=+−+，即()

21nnEkpkp−=+，于是68611101105623328022E===+．②根据题意函数()()2ln13pfppp==+−，求导得：()()12121331pfppp−=−=++，当且仅当10,2p时，()0fp，此时()pfp

=单调递增；当1,12p时，()0fp，即()pfp=单调递减，于是()max11ln3ln20.132pfpp==−−．此时12p=，0.1p=，于是6246111011056648022E−=+==

（人），466211101102161010E−=+==（人）．经过计算得知，戴口罩情况下患者与密切接触的关联者接触被感染的人数为16人，而不戴口罩的情况下患者与密切接触的关联者接触被感染的人数为6480人，即6E远大于6E，

于是戴口罩是非常必要的．【点睛】本题以新冠疫情重大突发事件为背景命题，以病毒人传人大事件的预防建立数学模型来考查概率的相关概念、事件的划分、离散型随机变量的期望等概念的应用，同时考查了-22-理性思维、抽象思维及逻辑推理、运算求解能力、读题理解能力、计算能

力．21.已知函数()()2113ln,ln424fxxagxxxx=+++−=．(1)求证：()21114fxax−+；(2)用max,pq表示,pq中的最大值，记()()()max,hxf

xgx=，讨论函数()hx零点的个数．【答案】（1）见解析，（2）见解析【解析】【分析】(1)设()()21114xfxax=−−+求出函数的最小值即可；(2)对x和a的范围进行讨论，得出f

（x），g（x）在（0，+∞）上的单调性，利用单调性及最值判断f（x），g（x）的零点个数，从而得出h（x）的零点个数．【详解】（1）证明：设()()21111ln14xfxaxxx=−−+=+−

，定义域为()0,+，则()22111xxxxx−=−=.当01x时，()0x；当1x时，()0x，故()x在()0,1内是减函数，在()1,+内是增函数，所以1x=是()x的极小值点，也是()x的最小值点，所以

()()()min10xx==…，所以()21114fxax−+（2）解：函数()fx的定义域为()0,+，()()()23233211111212222xxxxfxxxxxx+−−−=−−==，当01x时，()0fx；当1x时，()0fx，所以()fx在(

)0,1内是减函数，在()1,+内是增函数，-23-所以1x=是()fx的极小值点，也是()fx的最小值点，即()()min1fxfa==若0a=，则()()()()221311134244xxfxgxxxx−+−=+−=−，当01x时

，()()fxgx；当1x=时，()()fxgx=；当1x时，()()fxgx.所以()()(),01,1fxxhxgxx=…，于是()hx只有一个零点1x=.当0a，则当01x„时，()()fxgx，此时()()0hxfxa=…，当

1x时，()0fxa，()0gx，此时()0hx所以()hx没有零点.当0a＜，则当01x时，根据（1）可知，()21114fxax−+而10121a−+，所以()2112110421fa

aa−+−+=−+又因为()()min10fxfa==，所以()fx在()0,1上有一个零点0x，从而一定存在()0,1cx，使得()()fcgc=，即21130424acc+−+=，所以231

1442acc−=+当xc时，()()22211311112042442424cxcxgxfxaxxxxcccxcx−+−=−−+−=−−++=−+，所以()()gxfx，从而()()(),0,fx

xchxgxxc=„，于是()hx有两个零点0x和1.故当0a＜时，()hx有两个零点.-24-综上，当0a=时，()hx有一个零点，当0a＞时，()hx没有零点，当0a＜时，()hx有两个

零点.【点睛】本题考查函数值的求法，考查函数的零点个数问题，注意运用分类讨论思想方法，考查运算能力，属于中档题．请考生在第22，23题中任选一做答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请写清楚题号．[选修4-4：坐标系与参数方

程选讲]22.在直角坐标系xOy中，已知直线l过点()2,0P，其斜率为43，直线l与抛物线C：22yx=相交A、B两点．（1）写出直线l和抛物线C的参数方程；（2）若点M在抛物线弦AB上，记AOM面积为1s，BOM面积为2s，且12ss=，试求点M坐

标．【答案】（1）32545xtyt=+=（t为参数）；222ttyx==（t为参数）；（2）413,164M.【解析】【分析】（1）设直线的倾斜角为，求出3cos5=，4sin5=，即得直线的参数方程；又从抛物线C：22yx=方程知1p=，即得抛物线的参数方

程；（2）由题得M是弦AB的中点，把直线的参数方程代入抛物线的方程得到2815500tt−−=，利用参数的几何意义即得解.【详解】（1）∵直线l过点()2,0P，其斜率为43，设直线的倾斜角为，则4tan3=，于是知3cos5=，4sin5=，∴直线l参数方程为32545x

tyt=+=（t为参数），-25-又从抛物线C：22yx=方程知1p=，∴所求抛物线参数方程为222ttyx==（t为参数）．（2）∵AOM面积为1sBOM=△面积为2s，即得12AMBMAB==，于是M是弦AB的中点，又直

线l与抛物线C：22yx=相交A、B两点，将直线l参数方程代入抛物线22yx=方程中，整理得2815500tt−−=，设此方程的两根为1t，2t，易知12158tt+=．根据t的几何意义知1215216ttPM+==，进而知中点M对应的参数1516Mt=．显然M的坐

标为3154125161641535164xy=+===，故得413,164M．【点睛】本题主要考查直线和抛物线的参数方程的写法，考查直线参数方程参数的几何意义，意在考查学生对这

些知识的理解掌握水平.[选修4-5：不等式选讲]23.设定义在1,3上的函数为()()2fxmxmR=−−．（1）设()20fx+在定义域上恒成立，求m的最小值；（2）设m为（1）的最小值，正实数a，

b，c满足等式11123mabc++=，试证明：239abc++．【答案】（1）1；（2）证明见解析.【解析】-26-【分析】（1）根据函数()fx的定义域，求得()2fx+的定义域，然后将1,1x−，()20fx+恒成立，转化为mx,在1,1−上恒成立求解．（2

）由（1）知1m=，得到111123abc++=，则()111232323abcabcabc++=++++233232323bacacbabacbc=++++++

，利用基本不等式证明.【详解】（1）∵()2fxmx=−−，()mR的定义域为13x，故()2fx+的定义域由123x+，得11x−，所以()2fxmx+=−，的定义域为1,1x−．所以1,1x−，()20fx+恒成立，即mx,在1,1−上恒成立．

因为1x，所以m1，所以m的最小值为1．（2）由（1）知1m=，∴111123abc++=，则()111232323abcabcabc++=++++，23232323++++++=++abc

abcabcabc，233232323bacacbabacbc=++++++，233232223692323+++=+=bacacbabacbc当且仅当233a

bc===取等号．【点睛】本题主要考查绝对值不等式恒成立以及基本不等式证明不等式问题，还考查了转化化归的思想和运算求解能力，属于中档题.