【文档说明】2021-2022学年高中数学人教A版选修1-1教案：3.3.1函数的单调性与导数 1 含解析【高考】.doc，共(6)页，357.500 KB，由小赞的店铺上传

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-1-3.3.1函数的单调性和导数教学目标：1．了解可导函数的单调性与其导数的关系；2．能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间，对多项式函数一般不超过三次；教学重点：利用导数研究函数的单调性，会求不超过三次的多项式函数的单调区间教学难点：利用导数研究函

数的单调性，会求不超过三次的多项式函数的单调区间教学过程：一．创设情景函数是客观描述世界变化规律的重要数学模型，研究函数时，了解函数的赠与减、增减的快与慢以及函数的最大值或最小值等性质是非常重要的．通过研究函数的这些性质，我们可以对数量的变化规律

有一个基本的了解．下面，我们运用导数研究函数的性质，从中体会导数在研究函数中的作用．二．新课讲授1．问题：图3.3-1（1），它表示跳水运动中高度h随时间t变化的函数2()4.96.510httt=−++的图像，图3.3-1（2）表示高台跳

水运动员的速度v随时间t变化的函数'()()9.86.5vthtt==−+的图像．运动员从起跳到最高点，以及从最高点到入水这两段时间的运动状态有什么区别？通过观察图像，我们可以发现：（1）运动员从起点到最高点，离水面的高度h随时间t的增加而增加，即()ht是增函数．相应地，'()()0vth

t=．（2）从最高点到入水，运动员离水面的高度h随时间t的增加而减少，即()ht是减函-2-数．相应地，'()()0vtht=．2．函数的单调性与导数的关系观察下面函数的图像，探讨函数的单调性与其导数正负的关系．如图3.3-3，导数'0()fx表示函数()fx在点00(,

)xy处的切线的斜率．在0xx=处，'0()0fx，切线是“左下右上”式的，这时，函数()fx在0x附近单调递增；在1xx=处，'0()0fx，切线是“左上右下”式的，这时，函数()fx在1x附近单调递减．结论：函数的单调性与导数的关系在某个区间(,)ab内，如果'()0

fx，那么函数()yfx=在这个区间内单调递增；如果'()0fx，那么函数()yfx=在这个区间内单调递减．说明：（1）特别的，如果'()0fx=，那么函数()yfx=在这个区间内是常函数．3．求解函数()yfx=单调区间的步骤：（1）确定函数()yfx=的定义域；（2）

求导数''()yfx=；（3）解不等式'()0fx，解集在定义域内的部分为增区间；（4）解不等式'()0fx，解集在定义域内的部分为减区间．-3-三．典例分析例1．已知导函数'()fx的下列信息：当14x时，'(

)0fx；当4x，或1x时，'()0fx；当4x=，或1x=时，'()0fx=试画出函数()yfx=图像的大致形状．解：当14x时，'()0fx，可知()yfx=在此区间内单调递增；当4x，或

1x时，'()0fx；可知()yfx=在此区间内单调递减；当4x=，或1x=时，'()0fx=，这两点比较特殊，我们把它称为“临界点”．综上，函数()yfx=图像的大致形状如图3.3-4所示．例2．判断下列函数的单调性，并求出单调区间．（1）3()3fxxx=+；（2）2()23fx

xx=−−（3）()sin(0,)fxxxx=−；（4）32()23241fxxxx=+−+解：（1）因为3()3fxxx=+，所以，'22()333(1)0fxxx=+=+因此，3()3fxxx=+在R上单调递增，如图3.3-5

（1）所示．（2）因为2()23fxxx=−−，所以，()'()2221fxxx=−=−当'()0fx，即1x时，函数2()23fxxx=−−单调递增；当'()0fx，即1x时，函数2()23fxxx=−−单调递减；函数2()23fxxx=−

−的图像如图3.3-5（2）所示．（3）因为()sin(0,)fxxxx=−，所以，'()cos10fxx=−因此，函数()sinfxxx=−在(0,)单调递减，如图3.3-5（3）所示．（4）因为32()23241fxxxx

=+−+，所以．-4-当'()0fx，即时，函数2()23fxxx=−−；当'()0fx，即时，函数2()23fxxx=−−；函数32()23241fxxxx=+−+的图像如图3.3-5（4）所示．注：（3）、（4）生练例3如图3.3-6，水以常速（即单位时间内注入水的体

积相同）注入下面四种底面积相同的容器中，请分别找出与各容器对应的水的高度h与时间t的函数关系图像．分析：以容器（2）为例，由于容器上细下粗，所以水以常速注入时，开始阶段高度增加得慢，以后高度增加得越来越快．反映在图像上，（A）符合上

述变化情况．同理可知其它三种容器的情况．解：()()()()()()()()1,2,3,4BADC→→→→思考：例3表明，通过函数图像，不仅可以看出函数的增减，还可以看出其变化的快慢．结合图像，你能从导数的角度解释变化快慢的情况吗？一般的，如果一

个函数在某一范围内导数的绝对值较大，那么函数在这个范围内变化的快，这时，函数的图像就比较“陡峭”；反之，函数的图像就“平缓”一些．如图3.3-7所示，函数()yfx=在()0,b或(),0a内的图像“陡峭”，在(),b+或(),a−内的图像“平缓”．例4求证：函数3223121y

xxx=+−+在区间()2,1−内是减函数．-5-证明：因为()()()'22661262612yxxxxxx=+−=+−=−+当()2,1x−即21x−时，'0y，所以函数3223121yxxx=+−+在区间()2,1−内是减函数．说明：

证明可导函数()fx在(),ab内的单调性步骤：（1）求导函数()'fx；（2）判断()'fx在(),ab内的符号；（3）做出结论：()'0fx为增函数，()'0fx为减函数．例5已知函数232()4()3fxxaxxxR=+−在区间1,1−上是

增函数，求实数a的取值范围．四．课堂练习1．求下列函数的单调区间1.f(x)=2x3－6x2+72.f(x)=x1+2x3.f(x)=sinx,x]2,0[4.y=xlnx2．课本练习五．回顾总结（1）函数的单调性与导数的关

系（2）求解函数()yfx=单调区间（3）证明可导函数()fx在(),ab内的单调性-6-六．布置作业