【文档说明】吉林省梅河口市第五中学2019-2020学年高二4月月考数学（文）试题【精准解析】.doc，共(18)页，1.155 MB，由管理员店铺上传

转载请保留链接：https://www.doc5u.com/view-a8b61204ea176f78c02ec5edca09e5bd.html

以下为本文档部分文字说明：

数学试题（文）第Ⅰ卷（选择题）一、单选题1.点M的直角坐标()3,1−化成极坐标为（）A.52,6B.22,3C.52,3D.112,6【答案】D【解析】【分析】分别求得极径和极角，即可将直角坐标化为极坐标.【详解】由点M的直角坐

标可得：()()22312=+−=，点M位于第二象限，且13tan33−==−，故116=，则将点M的直角坐标()3,1−化成极坐标为112,6.本题选择D选项.【点睛】本题主要考查直角坐标化为极坐标的方法，意在考查学生的转化能力和计算求解能

力.2.根据下面的结构图，总经理的直接下属是（）A.总工程师和专家办公室B.总工程师、专家办公室和开发部C.开发部D.总工程师、专家办公室和所有七个部【答案】B【解析】【分析】按照结构图的表示，就是总工程师、专家办公室和开发部

．读结构图的顺序是按照从上到下，从左到右的顺序．本题是一个从上到下的顺序，先看总经理，他有三个分支：总工程师、专家办公室和开发部．【详解】按照结构图的表示一目了然，就是总工程师、专家办公室和开发部．读结构图的顺序是按照从上到下，从左到右的顺序．故选B．【点睛】本题是一个

已知结构图，通过解读各部分从而得到系统具有的功能，在解读时，要从大的部分读起，一般而言，是从左到右，从上到下的过程解读．3.利用反证法证明：若0xy+=，则0xy==，假设为()A.,xy都不为0B.,xy不都为0C.,xy都不

为0，且xyD.,xy至少有一个为0【答案】B【解析】【分析】根据反证法，假设要否定结论，根据且的否定为或，判断结果.【详解】0xy==的否定为00xy或，即x，y不都为0，选B.【点睛】本题考查反证法以及命题的否定，考查基本应用能力.属基本题.4.以平面直角坐标系

的原点为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，两种坐标系中取相同的长度单位，已知直线l的参数方程是13xtyt=+=−（t为参数），圆C的极坐标方程是4cos=，则直线l被圆C截得的弦长为（）A.14B

.214C.2D.22【答案】D【解析】【分析】先求出直线和圆的普通方程，再利用圆的弦长公式求弦长.【详解】由题意得，直线l的普通方程为y＝x－4，圆C的直角坐标方程为(x－2)2＋y2＝4，圆心到直线l的距离d＝20422−−=，直线l被

圆C截得的弦长为2222(2)22−=.【点睛】(1)本题主要考查参数方程极坐标方程与普通方程的互化，意在考察学生对这些知识的掌握水平和分析推理计算能力.(2)求直线和圆相交的弦长，一般解直角三角形，利用公式22||2ABrd=−求解.5.设点N的球坐标是54,,23，则它的直

角坐标是（）A.(2,23,0)−B.(2,23,2)−C.(2,23,0)D.(2,23,2)【答案】A【解析】【分析】利用球坐标与直角坐标的变换公式即可求解【详解】由球坐标与直角坐标的变换公式，得554sincos2,4sinsin23,4cos02

3232xyz====−==，故点N的直角坐标是(2,23,0)−.故选A【点睛】本题考查球坐标与直角坐标的变换公式，熟记公式是关键，是基础题6.在复平面内与复数21izi=+所对应的点关于虚轴对称的点为A，则A对应的

复数为（）A.1i−−B.1i−C.1i+D.1i−+【答案】D【解析】【分析】根据复数的运算法则求出1zi=+，即可得到其对应点关于虚轴对称点的坐标，写出复数.【详解】由题()()()2122211112iiiiziiii−+=

===+++−，在复平面对应的点为（1,1），关于虚轴对称点为（-1,1），所以其对应的复数为1i−+.故选：D【点睛】此题考查复数的几何意义，关键在于根据复数的乘法除法运算准确求解，熟练掌握复数的几何意义.7.某商场为了了解毛衣的月销售量y

（件）与月平均气温x（C）之间的关系，随机统计了某4个月的月销售量与当月平均气温，其数据如下表：月平均气温xC171382月销售量y（件）24334055由表中数据算出线性回归方程ybxa=+$$$中的2b=−$，气象部门预测下个月的平均气温为6C

，据此估计该商场下个月毛衣销售量约为（）A.58件B.40件C.38件D.46件【答案】D【解析】试题分析：由表格得(),xy为：()10,38，因为(),xy在回归方程ybxa=+$$$上且2b=−$，()38102a=−+，解得58a=2ˆ58yx=−+，当6x

=时，26ˆ5846y=−+=，故选D.考点：1、线性回归方程的性质；2、回归方程的应用.8.已知下表：1a23,aa456,,aaa则81a的位置是（）A.第13行第2个数B.第14行第3个数C.第13行第3个数D.第17行第2个数【答案】C【解析】分析

：根据数阵，第n行的最后个数为第(1)1232nnn−++++=项，从而求得结果.详解：根据题中所给的条件，可以发现第n行最后一项为(1)2+nna，故当12n=时，最后一个数为78a，所以81a是第13行第3个数，故选C.点睛：该题考查的是有关数列的

问题，需要从数阵中关察，得出其特征，将数列的项顺次往下写，所以关键是清楚第n行的最后一个数是第多少项，也可以从第n行的第一个数去分析，这样都可以求得结果.9.现有甲、乙、丙、丁四人参加数学竞赛，其中只有一位获奖.

有人走访了四人，甲说：“乙、丁都未获奖”，乙说：“是甲或丙获奖”，丙说：“是甲获奖”，丁说：“是乙获奖”，四人所说话中只有一位是真话，则获奖的人是()A.甲B.乙C.丙D.丁【答案】B【解析】【分析】结合题意分类讨论甲乙丙丁

获奖的情况，然后考查说真话的人的个数即可确定获奖的人.【详解】结合题意分类讨论：若甲获奖，则说真话的人为：甲乙丙，说假话的人为：丁，不合题意；若乙获奖，则说真话的人为：丁，说假话的人为：甲乙丙，符合题意；若丙获奖，则说真话的人为：甲乙，说假话的人为：丙丁，不合题意；若丁获奖，则说假话的人为：甲

乙丙丁，不合题意；综上可得，获奖人为乙.故选B.【点睛】本题主要考查数学推理的方法，分类讨论的数学思想，属于中等题.10.已知圆C的参数方程为=-1+cos1xysin=+(α为参数)，当圆心C到直

线kx＋y＋4＝0的距离最大时，k的值为()A.13B.15C.1-3D.－15【答案】D【解析】【分析】先求出圆C的普通方程，再求出直线过的定点A(0,-4)，再利用数形结合求出k的值.【详解】圆C的普通

方程为(x＋1)2＋(y－1)2＝1，所以圆心C(－1，1)．直线kx＋y＋4＝0过定点A(0，－4)，故当CA与直线kx＋y＋4＝0垂直时，圆心C到直线的距离最大，因为kCA＝－5，所以－k＝15，所以k＝－15.【点睛】(1)本题主要考查参数方程和普通方程的互化，意在考查学生对这

些知识的掌握水平和分析推理计算能力.(2)解答本题的关键是数形结合分析推理出当CA与直线kx+y+4=0垂直时，圆心C到直线的距离最大.11.如图是为了求出满足321000−nn的最小偶数n，那么在和两个空白框中，可以分别填入()A.1000A和1=+nnB.1000A和2=+nnC.10

00A和1=+nnD.1000A和2=+nn【答案】D【解析】由题意，因为321000−nn，且框图中在“否”时输出，所以判定框内不能输入1000A，故填1000A，又要求n为偶数且初始值为0，所以矩形框内填2=+nn，故选D.点睛:解决此类问题的关键是读懂程序框图，明

确顺序结构、条件结构、循环结构的真正含义.本题巧妙地设置了两个空格需要填写，所以需要抓住循环的重点，偶数该如何增量，判断框内如何进行判断可以根据选项排除.12.我国古代数学名著《九章算术》的论割圆术中有:“割之弥细，所失弥

少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣.”它体现了一种无限与有限的转化过程比如在表达式11111+++中“”即代表无限次重复，但原式却是个定值，它可以通过方程11xx+=求得512x+=，类似上述过程，则231111333++

++=()A.2B.32C.3D.53【答案】B【解析】【分析】由232311111131333333+++=++++，类比已知中的求法，可构造方程求得结果.【详解】232311111131333333+++=

++++可设23111333x=+++，则31xx=+，解得：12x=23111131133322++++=+=故选：B【点睛】本题考查类比推理的应用问题，关键是能够明确已知中的代换关系，将所求式子整理变形为可以整体换元的方式.

第Ⅱ卷（非选择题）二、填空题13.平面直角坐标系中，若点73,2P经过伸缩变换11213xxyy==后的点为Q，则极坐标系中，极坐标为Q的点到极轴所在直线的距离等于______．【答案】1【解析】【分析】根据伸缩

变换求得Q点的坐标，则根据对应点的坐标即可容易求得结果.【详解】因为点73,2P，不妨设其直角坐标下对应点的坐标为(),xy，故可得0,3xcosysin====−，故其在直角坐标系下对应的点为()0,3−，则110,1xy==−，故()0,1Q−.故Q点

在极坐标系下的对应坐标为31,2，则Q点到极轴所在直线的距离等于1.故答案为：1.【点睛】本题考查伸缩变换，以及直角坐标和极坐标之间的相互转化，属综合基础题.14.设复数1(zii=−−虚

数单位),z的共轭复数为z，则()1zz−=________.【答案】10【解析】分析：由1iz=−−，可得1zi=−+，代入()1zz−，利用复数乘法运算法则整理后，直接利用求模公式求解即可.详解：因为1iz=−−，所以1z

i=−+，()()()()()111121zziiii−=++−+=+−+39110i=−+=+=，故答案为10.点睛：本题主要考查的是共轭复数的概念与运算以及复数的乘法的运算，属于中档题．解题

时一定要注意21i=−和()()()()abicdiacbdadbci++=−++15.在极坐标系中，若圆2cosa=关于直线cos3sin10++=对称，则a=_____.【答案】1−【解析】【分析】把极坐标方程化为普通直角方程，利用圆心在直线上，得到a值.【详解】解：圆方

程化为：22cosa=，化为直角坐标方程为：2220xyax+−=，直线cos3sin10++=化为直角坐标方程为：310xy++=，圆关于直线对称，则直线经过圆的圆心（a，0），所以，3010a++=，解得：a＝－1.故答案为

－1【点睛】本题考查极坐标与直角坐标的互化，考查直线与圆的位置关系，属于基础题.16.直线3yx=+和x、y轴分别交于A、B两点，点C在椭圆221169xy+=上运动，则椭圆上点C到直线AB的最大距离为______.【答案】42【解析】【分析】设点C坐标为椭圆的参数形

式，利用点到直线的距离公式和三角函数的有界性，即可求解.【详解】设()4cos,3sinCθθ，则点C到AB的距离4cos3sin3|5cos()3|842222θθθφd−+++===其中3tan4=.故答案为:42.【点睛】本题考查椭圆参数方程的应用、点到直线的距离、三角函数的性

质，属于基础题.三、解答题17.用综合法或分析法证明：（1）如果,0ab，则lglglg22abab++；（2）610232++．【答案】(1)见证明；(2)见证明【解析】【分析】（1）利用基本不等式，结合y=lgx在（0，+∞）上增函数即可证明；（2）用分析法证明不等式成立，就是寻找使不等

式成立的充分条件，直到使不等式成立的充分条件显然成立为止．【详解】证明：（1）当a，b＞0时，有2ab+≥ab＞0，∴lg2ab+≥lgab，∴lg2ab+≥12lg（ab）=2lgalgb+．∴lg2ab+≥2lgalgb+；（2）要证6+10＞23+2，

只要证（6+10）2＞（23+2）2，即260＞248，显然成立的，所以，原不等式成立．【点睛】本题考查综合法或分析法，考查对数函数的单调性和定义域，基本不等式的应用，掌握这两种方法证明不等式是关键，属于中档题．18.中央政府为了应对因人口老龄化而造成的劳动力短缺等问题，拟定出台“

延迟退休年龄政策”.为了了解人们对“延迟退休年龄政策”的态度，责成人社部进行调研.人社部从网上年龄在15～65岁的人群中随机调查100人，调查数据的频率分布直方图如图所示,支持“延迟退休年龄政策”的人数与年龄的统计结果如表：年龄（岁）[1

5,25)[25,35)[35,45)[45,55)[55,65]支持“延迟退休年龄政策”人数155152817（I）由以上统计数据填写下面的22列联表；年龄低于45岁的人数年龄不低于45岁的人数总计支持不支持总计（II）通过计算判断是否有95%的把握认为以4

5岁为分界点的不同人群对“延迟退休年龄政策”的态度有差异.()20PKk0.1000.0500.0100.0010k2.7063.8416.63510.828参考公式：22(),()()()()nadbcKnabcdabcdacbd−==+++++++【答案】（

I）列联表见解析；（II）有.【解析】【分析】（I）先根据频率分布直方图算出各数据，再结合支持“延迟退休年龄政策”的人数与年龄的统计结表求解；（II）算出观测值与3.841比较.【详解】（I）由统计数据填写的22列联表如下：年龄低于45岁的人数年龄不低于45岁的人数总计

支持354580不支持15520总计5050100（II）计算观测值22100(3554515)6.253.84180205050K−==，有95%的把握认为以45岁为分界点的同人群对“延迟退休年龄政策”的态度有差异.【点睛】本题考查频率分布直方图与独立性检验.19.在平面直角坐

标系xOy中，直线l的参数方程为12xtyt=−+=−（t为参数），以原点O为极点、x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为243cos2=−.（1）求直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程；（2）已知点(1,2)P−，直线l与

曲线C相交于AB两点，求||||PAPB+的值.【答案】（1）22:12xCy+=，:10lxy+−=；（2）102||||3PAPB+=【解析】【分析】(1)消去参数t求解直线l的普通方程,再利用极坐标与直角坐标的对应关系与二倍角公式求解曲线C的直角坐标方程.(2)利用参数t的几何意义,联

立直线与圆C的方程,利用韦达定理求解即可.【详解】(1)由12xtyt=−+=−,两式相加可得:1lxy+=,即:10lxy+−=.又22443cos222sin==−+,即22222+22sin4244xy=+=即22:12xCy+=.(2)将:10

lxy+−=化简成关于点(1,2)P−的参数方程有：212222xtyt=−−=+,（t为参数）,代入22:12xCy+=有222221222310214022tttt+++=++=,则12102||||3PAPBtt+=+=.【点

睛】本题主要考查了参数方程与极坐标化成直角坐标的方法,同时也考查了直线参数方程的几何意义.属于中等题型.20.在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为cossinxtyt==（t为参数），以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标

系中，曲线C的极坐标方程为22cos4sin4−=（1）若4=，求直线l的极坐标方程以及曲线C的直角坐标方程：（2）若直线l与曲线C交于M、N两点，且12MN=，求直线l的斜率．【答案】（1）直线l的

极坐标方程为()4R=，曲线C的直角坐标方程为244xy=+（2）2【解析】【分析】（1）根据222xy+=，cosx=，siny=，求出直线l和曲线C的直角坐标方程；（2）求出1224si

ncos+=，1224cos=−，根据12MN=，求出直线l的斜率即可．【详解】（1）由题意，直线22:22xtlyt==，可得直线l是过原点的直线，故其极坐标方程为()4R=

，又22cos4sin4−=，故244xy=+；（2）由题意，直线l的极坐标为()R=，设M、N对应的极径分别为1，2，将()R=代入曲线C的极坐标可得：22cos4sin4

−=，故1224sincos+=，1224cos=−，12MN=−=()21212244cos+−=，故2412cos=，则21cos3=，即222sin1cos3=−=，222sint

an2cos==，所以tan2k==故直线l的斜率是2．【点睛】本题考查了极坐标和直角坐标方程的转化，考查直线的斜率，是一道中档题．21.某城市理论预测2007年到2011年人口总数与年份的关系如表所示年份2007x+01234（年）人口数y（十万）5781119（1）请根

据表提供的数据，求最小二乘法求出y关于x的线性回归方程；（2）据此估计2012年该城市人口总数．参考公式：1221,niiiniixynxybaybxxnx==−==−−．【答案】（1）3.23.6yx=+；（1）约为196万【解析】【分析】（1）先求出年

份2007x+和人口数y的平均值，即得到样本中心点，利用最小二乘法得到线性回归方程的系数，根据样本中心点在线性回归直线上，得到a的值，得到线性回归方程；（2）当5x=代入回归直线方程，即可求得y．【详解】解：

（1）0123425x++++==，5781119105y++++==，51051728311419132iiixy==++++=，522222210123430iix==++++=1222113252103.23052niiiniixynxyb

xnx==−−===−−，103.223.6aybx=−=−=故y关于x的线性回归方程为3.23.6yx=+；（2）当5x=时，3.253.6y=+，即19.6y=据此估计2012年该城市人口总数约为196万【点睛】本题考查采用最小二乘法求线

性回归方程及线性回归方程的简单应用，考查计算能力，属于基础题．22.已知函数()()lnxfxaxa=−(0)a.（1）若函数()fx在[1,)+上是增函数，求正数a的取值范围；（2）当1a时，设函数()fx的图象与x轴的交

点为A，B，曲线()yfx=在A，B两点处的切线斜率分别为1k，2k，求证：1k+2k0.【答案】（1）(0,1]；（2）见解析.【解析】【分析】（1）由题意，求得函数的导数()2lnxxxafxax+−

=，设()2lngxxxxa=+−，分离参数转化为2lnaxxx+在)1,+上恒成立，设()lnhxxxx=+，利用导数求得函数()hx的单调性，得到函数()hx的最值，即可得到实数a的取值范围；（2）由()0fx=，得11x=，22xa=，不妨设()()21,0,,0AB

a，利用导数求得,AB两点的斜率，得到1k+2k22ln1aaa−+=，设()ln1Fxxx=−+，利用导数求得函数()Fx的单调性与最大值，即可作出证明.【详解】（1）()lnxfxaxa=−(0)a，∴()2lnxxxafxax+−=，设

()2lngxxxxa=+−，函数()fx在)1,+上是增函数，∴()2lngxxxxa=+−0在)1,+上恒成立，即2lnaxxx+在)1,+上恒成立，设()lnhxxxx=+，则()ln2

hxx=+，1x，∴()2hx，∴()lnhxxxx=+在)1,+上是增函数，∴()1hx，由2lnaxxx+在)1,+上恒成立，得21a，0a，∴01a，即a的取值范围是(0,1.（2）1a，由()ln0xfxaxa=−=，得11x=，22x

a=，不妨设()()21,0,,0ABa.()2lnxxxafxax+−=，211aka−=，22lnaka=，1k+2k22ln1aaa−+=，设()ln1Fxxx=−+，则()1xFxx−=，01x时，()0Fx，1x时，(

)0Fx，所以1x=为()ln1Fxxx=−+的极大值点，所以()ln1Fxxx=−+的极大值即最大值为()10F=，即()ln10Fxxx=−+，∵0a且1a，∴20a且21a，∴()222ln10Faaa=−+，∴1k+2k22ln1aaa−+=0.【点睛】本题主要考查

了导数的综合应用，以及利用综合法的证明不等关系式，其中解答中函数不等式恒成立或不等式问题时，通常要构造新函数，利用导数研究新函数的单调性、极值与最值，从而求出参数的取值范围．同时利用综合法证题是从已知条件出发，逐步推向结

论，综合法的适用范围是：①定义明确的问题，如证明函数的单调性、奇偶性，求证无条件的等式或不等式；②已知条件明确，并且容易通过分析和应用条件逐步逼近结论的题型．