【文档说明】山东省济南市平阴一中2021届高三上学期1月模拟数学试题.doc，共(8)页，824.000 KB，由小赞的店铺上传

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数学试题（21.01）一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知集合242{60{}MxxNxxx=−=−−，，则MN=()A．{

22xx−B．42{xx−−C．{43xx−D．{23xx2．复数z满足{|||||2,,0}zzczcazCac−++=，则z对应点的轨迹为()A.圆B.椭圆C.双曲线D.抛物线3．已知0.2-0.32log0.220.2abc===，，，则()

A．abcB．acbC．cabD．bca4．“cos0”是“为第一或第四象限角”的（）A.充分不必要条件B.既不充分也不必要条件C.充要条件D.必要不充分条件5.著名数学家华罗庚先生曾说过:“数缺形时少直观，形缺数时

难入微，数形结合百般好,隔裂分家万事休。”在数学的学习和研究中，经常用函数的图象来研究函数的性质，也经常用函数的解析式来琢磨函数图象的特征，如函数f(x)=在[,]−的图像大致为()A．B．C．D．6.我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果．哥德巴赫猜想是“每个大于2的

偶数可以表示为两个素数的和”，如24519=+．在不超过24的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于24的概率是()A．112B．114C．111D．1137．已知非零向量a，b满足||2||=ab，且(+)ab

⊥b，则a与b的夹角为()A．π6B．π3C．2π3D．5π68.已知数列{}na的首项11,a=函数31()cos3nnnfxxaa+=+−−为奇函数，记nS为数列{}na的前n项之和,则2021S的值是()2023.2AB.1011C.1008D.336二、多项选择题：本题共

4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分。9．在ABC△中，5cos25C=，1BC=，5AC=，则（）A．AB=42B．ABC△内切圆半径是

24-6C．ABC△外接圆直径是25D．AB=2510．已知P是椭圆2216xCy+=上的动点，Q是圆()221:15Dxy++=上的动点，则A．C的焦距为5B．C的离心率为306C．圆D在C的内部D．PQ的最小值为25511．在长方体1111ABCDAB

CD−中，1ABBC==，13AA=，则（）A．ACDDB11平面直线⊥B．过1AD的截面△M1AD//1DB，则△M1AD面积=1C．直线1AD与1DB所成角的余弦值为55D．直线1DB与平面CCDD11所成角的余弦值为55212．已知()fx是定义域为(,)−

+的奇函数，满足(1)(1)fxfx−=+，(1)2f=，正确结论是（）A．()fx的周期是4B．f（x-1）是偶函数C．()fx在2020,2016有2个零点D．(1)(2)(3)(50)ffff++++=…2三、填空题：本题共4个小题，每小题

5分，共20分。13．曲线()2ln(1)-2fxx=+在点(0,(0))f处的切线方程为__________．14．在6212xx−的展开式中，常数项是_________(用数字作答)．15．已知sin-cos1αβ=，

cossin0αβ+=，则sin(-)αβ=__________．16．设双曲线22214xyb−=的左右两个焦点分别为12,FF、P是双曲线上任意一点，过1F直线与12FPF的平分线垂直，垂足为Q，则点Q的轨迹曲

线E的方程_____;M在曲线E上，点A(4，0)，B(4，4)，则1||||2AMBM+的最小值___.（第一空2分，第二空3分）四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。17．（10分）在条件①()()(

)sinsinsinabABcbC+−=−，②sincos6aBbA=+，③sinsin2BCbaB+=中任选一个，补充到下面问题中，并给出问题解答．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为,,,,6,26abcbca+==，__________，求ABC

的面积．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．18.（12分）已知数列na的前n项和nS满足()()1212nnSnanNa=+=，且．PAOCBM(1)求数列na的通项公式；(2)设()13nannba=−，求数列

nb的前n项和nT.19．（12分）设抛物线28Cyx=：的焦点为F，过F且斜率为(0)kk的直线l与C交于A，B两点，||16AB=．（1）求l的方程；（2）求过点A，B且与C的准线相切的圆的方程．20．（12分）如图，在三棱锥PABC−中，2ABBC==，22PAPBPCAC

====，O为AC的中点．（1）证明：PO⊥平面ABC；（2）若点M在棱BC上，且二面角MPAC−−为30，求PC与平面PAM所成角的正弦值．21．（12分）已知函数2()exfxax=−．（1）若1a=，证明：当0x时，

()1fx；（2）若()fx在(0,)+只有一个零点，求a．22．（12分）某医院为筛查某种疾病，需要检验血液是否为阳性，现有n(n∈N*)份血液样本，有以下两种检验方式：(1)逐份检验，则需要检验n次；(2)混合检

验，将其中k(k∈N*且k≥2)份血液样本分别取样混合在一起检验．若检验结果为阴性，这k份血液全为阴性，因而这k份血液样本只要检验一次就够了，如果检验结果为阳性，为了明确这k份血液究竟哪几份为阳性，就要对这k份再逐份检

验，此时这k份血液的检验次数总共为k＋1次．假设在接受检验的血液样本中，每份样本的检验结果是阳性还是阴性都是独立的，且每份样本是阳性结果的概率为p(0＜p＜1)．(1)假设有5份血液样本，其中只有2份样本为阳性，若采用逐份检验方式，

求恰好经过4次检验就能把阳性样本全部检验出来的概率；(2)现取其中k(k∈N*且k≥2)份血液样本，记采用逐份检验方式，样本需要检验的总次数为ξ1，采用混合检验方式，样本需要检验的总次数为ξ2.①试运用概率统计的知识，若Eξ1＝Eξ2，试求p关于k的函数关系式p＝f(k)；②若

p＝1－13e，采用混合检验方式可以使得样本需要检验的总次数的期望值比逐份检验的总次数期望值更少，求k的最大值．参考数据：ln2≈0.6931，ln3≈1.0986，ln4≈1.3863，ln5≈1.6094，ln6≈1.7918.数学试题（21.01.01）参

考答案一、选择题1.C2.B3.A4.D5.D6.A7.C8.B二、多项选择题9.ABC10.BC11.BCD12.ABD三、填空题13.22yx=−14.6015.1216.224xy+=，517.解：若选①：由正弦定理得()()()ab

abcbc+−=−，………………………………2分即222bcabc+−=，所以2221cos222bcabcAbcbc+−===，……………………………………4分因为(0,)A，所以3A=.………………

…………………………6分又2222()3abcbcbcbc=+−=+−，26a=，6bc+=，所以4bc=，……………8分所以11sin4sin3223ABCSbcA===.……………………………10分若选②：由正弦定理得sinsinsincos()6ABBA=+.

…………………………2分因为0B，所以sin0B，sincos()6AA=+，化简得31sincossin22AAA=−，…4分即3tan3A=，因为0A，所以6A=.…………………………6分因为

2222cos6abcbc=+−，所以2222()6(26)=2323bcabc+−−=++，即24123bc=−……8分所以111sin(24123)633222ABCSbcA==−=−.………………10分若选③：由正弦定理得sinsinsinsin2BCBAB+=，

……………………………2分因为0B，所以sin0B，所以sinsin2BCA+=，又因为BCA+=−，所以cos2sincos222AAA=，………………………………………………4分因为0A，022A，所以cos0

2A，∴1sin22A=，26A=，所以3A=.…6分又2222()3abcbcbcbc=+−=+−，26a=，6bc+=，所以4bc=，……8分所以11sin4sin3223ABCSbcA===.…………………………10分18解：（1）因为2(

1)nnSna=+，*nN，所以112(2)nnSna++=+，*nN.两式相减得112(2)(1)nnnanana++=+−+，整理得1(1)nnnana+=+，.…………2分即11nnaann+=+，*nN，{}nan为常数列.所以121naan==，…

4分2nan=.…5分（2）(1)2=(21)9nannnban=−−.……………………………………………6分所以12319+39+59++(21)9nnTn=−231919+39++(23)9(21)9nnnTnn+=−+−.……7分两式相减得：23189+2(9+9++9

)(21)9nnnTn+−=−−，…………………9分2+1119945589+2(21)9(2)91944nnnnTnn++−−=−−=−+−−，…………………11分化简得145(85)9+3232nnn

T+−=.……………………………………12分19.(12分)解：（1）由题意得(2,0)F，l的方程为(2)(0)ykxk=−.……………2分设1221(,),(,)AyxyxB，由2(2),8ykxyx=−=得2222(48)40kxkxk−++=.0

，故122248kxkx++=.所以221248||||||(2)(2)+4kABAFBFxkx+=+=+++=.……………5分由题设知228816kk+=，解得1k=−（舍去），1k=.因此l的方程为2yx=−.……6分（2）由（1）得AB的中点坐标为(6,4)

，所以AB的垂直平分线方程为4(6)yx−=−−，即10yx=−+.…………………………………………8分设所求圆的圆心为00(,)xy，则002200010,(2)(2)64.2yxyxx=−+−++=+得006,4xy==或0022,12.xy==−……10分因此所求圆的

方程为22(6)(4)64xy−+−=或22(22)(12)576xy−++=.……12分20.(12分)解：（1）因为22APCPAC===，O为AC的中点，所以OPAC⊥，且6OP=.连结OB.因为22ABBCAC==，所

以ABC△为等腰直角三角形，且OBAC⊥，122OBAC==.由222OPOBPB+=知POOB⊥.由,OPOBOPAC⊥⊥知PO⊥平面ABC.（2）如图，以O为坐标原点，OBuuur的方向为x轴正方向，建立空间直角坐标系Oxyz−.由已知

得(0,0,0),(2,0,0),(0,2,0),(0,2,0),(0,0,6),(0,2,6),OBACPAP−=uuur取平面PAC的法向量(2,0,0)OB=uuur.设(,2,0)(02)Maaa−，则(,22,0)AMaa=−uuur.设平

面PAM的法向量为(,,)xyz=n.由0,0APAM==uuuruuurnn得260(22)0yzaxay+=+−=，可取(3(22),3,)aaa=−−n，所以2226(22)cos,=23(22)3aOBaaa−−++uuurn.由已知得3|cos,|2OB=uu

urn.所以2226|22|3=223(22)3aaaa−−++.解得22a=−（舍去），223a=.所以462622(,,)333=−−n.又(0,2,6)PC=−uuur，所以3cos,4PC=uuu

rn.所以PC与平面PAM所成角的正弦值为34.21．（12分）解（1）当1a=时，()1fx等价于2(1)e10xx−+−．设函数2()(1)e1xgxx−=+−，则22()(21)e(1)exxg'

xxxx−−=−−+=−−．当1x时，()0g'x，所以()gx在(0,)+单调递减．而(0)0g=，故当0x时，()0gx，即()1fx．（2）设函数2()1exhxax−=−．()fx在

(0,)+只有一个零点当且仅当()hx在(0,)+只有一个零点．（i）当0a时，()0hx，()hx没有零点；（ii）当0a时，()(2)exh'xaxx−=−．当(0,2)x时，()0h'x；当(2,)x+时，()0h'x．所以(

)hx在(0,2)单调递减，在(2,)+单调递增．故24(2)1eah=−是()hx在[0,)+的最小值．①若(2)0h，即2e4a，()hx在(0,)+没有零点；②若(2)0h=，即2e4a=，()hx在(0,)

+只有一个零点；③若(2)0h，即2e4a，由于(0)1h=，所以()hx在(0,2)有一个零点，由（1）知，当0x时，2exx，所以33342241616161(4)11110e(e)(2)aaaaahaaa=−=−−=−．故()hx在(2,4)a有一个零点，因此()hx在(

0,)+有两个零点．综上，()fx在(0,)+只有一个零点时，2e4a=22.解(1)p＝C12C13A23A22A55＝35.∴恰好经过4次检验就能把阳性样本全部检验出来的概率为35.(2)①由已知

得Eξ1＝k，ξ2的所有可能取值为1，k＋1.∴P(ξ2＝1)＝(1－p)k，P(ξ2＝k＋1)＝1－(1－p)k，∴Eξ2＝(1－p)k＋(k＋1)[1－(1－p)k]＝k＋1－k(1－p)k.若Eξ1＝Eξ2，则k＝k＋1－k(1－p)k，∴k(1－p)k＝

1，(1－p)k＝1k，∴1－p＝1k1k，∴p＝1－1k1k.∴p关于k的函数关系式p＝1－1k1k(k∈N*且k≥2)．②由题意可知Eξ2＜Eξ1，得1k＜(1－p)k，∵p＝1－13e，∴1k＜13ek，∴lnk＞13k

，设f(x)＝lnx－13x(x＞0)，则f′(x)＝3－x3x，∴当x＞3时，f′(x)＜0，即f(x)在(3，＋∞)上单调递减，又ln4≈1.3863,43≈1.3333，∴ln4＞43，∵ln5≈

1.6094，53≈1.6667，∴ln5＜53.∴k的最大值为4.