【文档说明】【精准解析】山东省日照市第一中学2020届高三下学期模拟考试数学试题.doc，共(31)页，2.363 MB，由小赞的店铺上传

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数学注意事项：1.考试时间120分钟，满分150分；2.把每小题的答案，写在答题卡上.一、单项选择题1.已知集合1|02xAxx−=−，2(|4)Byyx==−，则AB=（）A.B.(,2]−C.)1,2D.0,2【答案】C【解析】【分析】解分式不

等式确定集合A，求函数值域确定集合B，再由交集定义计算．【详解】由102xx−−得(1)(2)020xxx−−−，12x，即[1,2)A=，又2044x−，所以2042x−，即[0,2]B=，所以[1,2

)AB=．故选：C．【点睛】本题考查集合交集运算，考查解分式不等式，求函数值域，本题属于基础题．2.复数z满足342zi++=，则zz的最大值是（）A.7B.49C.9D.81【答案】B【解析】【分析】设zxyi=+，由342zi++=可得出()()22344xy+++=，22zzx

y=+，利用数形结合思想求出zz的最大值.【详解】设zxyi=+，则()()()()223434342zixyixy++=+++=+++=，()()22344xy+++=，则复数z在复平面内所对应的点的轨迹是以()3,4−−为

圆心，以2为半径的圆，22zzxy=+，其几何意义是原点到圆()()22344xy+++=上一点距离的平方，原点到圆心的距离为()()2230405−−+−−=，因此，zz的最大值为()22549+=，故选B.【点睛】本题考查复数的几

何意义，考查复数对应点的轨迹，同时也涉及了点到圆上一点最值的求解，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.3.加强体育锻炼是青少年生活学习中非常重要的组成部分．某学生做引体向上运动，处于如图所示的平衡状态时，

若两只胳膊的夹角为60，每只胳膊的拉力大小均为400N，则该学生的体重（单位：kg）约为（）（参考数据：取重力加速度大小为210/31.732gms＝，）A.63B.69C.75D.81【答案】B【解析】【分析】根据平行四

边形法则得到该学生的体重||||GF=,利用余弦定理即可求出||F得解.【详解】如图，设该学生的体重为G,则GF=.由余弦定理得22222||4004002400400cos()3400,||40033FF

=+−==.所以||400369G=kg.故选：B【点睛】本题主要考查向量的平行四边形法则和余弦定理解三角形，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.4.，,22−，且sinsin0−，则下列结论正确的是（）A.B.0+C

.D.22【答案】D【解析】【分析】构造函数()sinfxxx=，利用其导函数判断出单调区间，根据奇偶性和对称性可得正确选项.【详解】构造()sinfxxx=形式，则()sincosfxxxx+=，0,2x时导函数()0fx，()fx单调递增；,02x

−时导函数()0fx，()fx单调递减．又()fx为偶函数，根据单调性和对称性可知选D.故本小题选D.【点睛】本小题主要考查构造函数法，考查利用导数研究函数的单调性以及求解不等式，属于中档题.5.方舱医院的创设，在抗击新冠肺炎疫情中

发挥了不可替代的重要作用．某方舱医院医疗小组有七名护士，每名护士从周一到周日轮流安排一个夜班．若甲的夜班比丙晚一天，丁的夜班比戊晚两天，乙的夜班比庚早三天，己的夜班在周四，且恰好在乙和丙的正中间，则周五值夜班的护士为（）A.甲B.丙C.戊D.庚【答案】D【解析】【分析】对乙丙值班的时间分三种情况

讨论得解.【详解】假设乙丙分别在星期三和星期五值班，则星期六甲和庚值班，不符合题意；假设乙丙分别在星期二和星期六值班，则甲在星期日，庚在星期五值班，戊在星期一值班，丁在星期三值班；假设乙丙分别在星期一和星期日值班，显然不符合题意.故选：D【点睛】本题主要考查分析推理，意在考查学生对这些知识的理解掌

握水平和分析能力.6.已知抛物线24yx＝的焦点为F，直线l过F且与抛物线交于A，B两点，过A作抛物线准线的垂线，垂足为M，MAF的角平分线与抛物线的准线交于点P，线段AB的中点为Q．若8AB=，PQ=（）A.2B.4C.6D.8【答案】B【解析】【

分析】如图，先证明||||PMPF=，||||PMPN=,所以点P是MN的中点，根据中位线性质和抛物线的定义即得解.【详解】如图，由题得MAPQAP=,||||AFAM=,所以||||APMFMGG

F⊥=，.所以||||PMPF=,所以MPAPAF,所以90PFBPNB==,所以||||PFBPNBPFPN=，，所以||||PMPN=,即点P是MN的中点，所以111||(||||)(||||)||4222PQAMBNAFBFAB

=+=+==故选：B【点睛】本题主要考查抛物线的定义和几何性质，考查直线和抛物线的位置关系，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.7.洛书，古称龟书，是阴阳五行术数之源，被世界公认为组合数学的鼻祖，它是中华民

族对人类的伟大贡献之一．在古代传说中有神龟出于洛水，其甲壳上有图1：“以五居中，五方白圈皆阳数，四隅黑点为阴数”，这就是最早的三阶幻方，按照上述说法，将1到9这九个数字，填在如图2所示的九宫格里，九宫格的中间填5，四个角填偶数，其余位置填奇数．则每一横行、每一竖列以及两条对角线

上3个数字的和都等于15的概率是（）图1图2A.13B.16C.172D.1144【答案】C【解析】【分析】先求出满足题意的所有排法的总数，再求出所有排法的总数，再由古典概型的概率公式求解即可.【详解】先排左上角的数字，可以排2,4,6,8，有4种排法

，如果固定了左上角的偶数，如图，假设是2，则有两种排法，当四个角的数字固定之后，其他空位的数字随其固定，所以共有42=8种排法满足题意.要求所有的结果，可以先排四个角上的偶数，有44A种结果，再排其他四个空位，有44A种结果，共

有44442424576AA==.由古典概型的概率公式得444488157672PAA===.故选：C【点睛】本题主要考查古典概型的概率的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.8.已知直线(0)yaxbb=+＞与曲线3yx=有且只有两个公共点1122(,),(,)AxyBxy，其中12

xx＜，则122xx+=（）A.1−B.0C.1D.a【答案】B【解析】【分析】先分析出直线(0)yaxbb=+＞与曲线3yx=在点A处相切，在点B处相交，求出直线方程为231132yxxx=−，联立曲线方

程3yx=，解方程组即得1220xx+=.【详解】问题等价于直线(0)yaxbb=+＞与曲线3yx=有且只有两个公共点1122(,),(,)AxyBxy，画出函数的图象只能是这样：直线(0)yaxbb=+＞与曲线3yx=

在点A处相切，在点B处相交.由题得切线的斜率为213kx=，切线方程为3223111113(),32yxxxxyxxx−=−=−.所以23113,2axbx==−,所以直线方程为231132yxxx=−.把直线方程和曲线方程3yx=联立得

，323323111132,320xxxxxxxx=−−+=，所以2111()(2)0,xxxxxx−+==或12xx=−.所以21122,20xxxx=−+=.故选：B【点睛】本题主要考查导数的几何意义，考查直线和曲线的位置关系，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析

推理能力.二、多项选择题9.已知点F是抛物线()220ypxp=的焦点，,ABCD是经过点F的弦且ABCD⊥，AB的斜率为k，且0k，,CA两点在x轴上方.则下列结论中一定成立的是（）A.1112ABCDp+=B.若243AFBFp=，则33k=C.OAOBOCOD=D.四边形AB

CD面积最小值为216p【答案】AC【解析】【分析】先由AB的斜率为k，ABCD⊥，得到1CDkk=−，设11(,)Axy，22(,)Bxy，AB的方程为2pykx=−，联立直线与抛物线方程，根据韦达定理得到2122212(2)14pkxxkxxp++==

再由抛物线的焦点弦公式求出AB，CD，最后根据题意，逐项判断，即可得出结果.【详解】因为AB的斜率为k，ABCD⊥，所以1CDkk=−，设11(,)Axy，22(,)Bxy，AB的方程为2pykx=−

，由222pykxypx=−=可得，222221(2)04kxpkxkp-++=，2122212(2)14pkxxkxxp++==，所以221222(2)2(1)++=++=+=pk

pkABxxppkk，同理可得22212(1)2(1)1pkCDpkk+==+则有1112ABCDp+=，所以A正确；221212121422=+=+−−ppOAOBxxyypkxxuuuruuur()22222222212121111(2)34

244224+=+−++=+−=−ppkpkxxxxppkpp与k无关，同理234=−OCODpuuuruuur，故OAOBOCOD=uuuruuuruuuruuur，C正确；若243AFBFp=，由21212121()2224++=+++pppx

xxxxxp得222222221(2)4223++=+=pkppppkk，解得3k=，故B错；因为ABCD⊥，所以四边形ABCD面积22222222222112(1)2(1)12(1)22822++==+==++AB

CDpkpkSABCDpkpkpkkk当且仅当221kk=，即1k=时，等号成立；故D错；故选AC【点睛】本题主要考查直线与抛物线位置关系，熟记抛物线的简单性质，以及直线与抛物线的位置关系即可，解决此类题型，通常需要联立直线与抛物线方程，结合韦达定理，弦长公

式等求解，属于常考题型.10.如图，在棱长为1的正方体1111ABCDABCD−中，P为棱1CC上的动点（点P不与点C，1C重合），过点P作平面分别与棱BC，CD交于M，N两点，若CPCMCN＝＝，则下列说法正确的是（）A.1A

C⊥面B.存在点P，使得1AC∥平面C.存在点P，使得点1A到平面的距离为53D.用过P，M，1D三点的平面去截正方体，得到的截面一定是梯形【答案】ACD【解析】【分析】利用空间直线平面的位置关系对A,B分析

判断，利用点到平面的距离和截面知识对C,D分析判断得解.【详解】A.如图所示，平面//平面1BDC,在正方体中，1AC⊥平面1BDC,所以1AC⊥平面，所以选项A正确；B.假设存在点P，使得1AC∥平面，因为1AC平面1ACC,平面1ACC平面=PE,所以1//ACPE,所以22

1222CPCPCECP===,显然不等，所以假设不成立，故选项B错误；C.当CP越小，则点1A到平面的距离越大，这个距离大于零且无限接近1533AC=,所以存在点P，使得点1A到平面的距离为53，所以

选项C正确；D.用过P，M，1D三点的平面去截正方体，因为PM//1AD,所以得到的截面就是平面1PMAD,它是一个梯形，所以该选项正确.故选：ACD【点睛】本题主要考查空间直线和平面位置关系，考查点到平面的距离和截面问题

，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.11.已知函数()()()sincoscossin,fxxxxR=−，则（）A.()fx为偶函数B.()fx为周期函数，且最小正周期为2C.()0fx恒成立D.()fx的最小值为2−【答案】ABC【

解析】【分析】根据题意，结合三角函数的性质，对选项逐一分析，得到结果.【详解】函数()()()sincoscossin,fxxxxR=−，满足()sin[cos()]cos[sin()]sin(cos)cos(sin

)()fxxxxxfx−=−−−=−=，所以()fx为偶函数，所以A正确；根据正余弦函数的最小正周期可知()fx为周期函数，且最小正周期为2，所以B正确；当[0,]2x时，sin[0,1]x，且单调增，cos[0,1]x，且单调减，所以

()0fx，同理，[,]2x，3[,]2x，3[,2]2x时都成立，结合函数的周期性，满足()0fx恒成立，所以C正确；因为sin[1,1]x−，cos[1,1]x−，而sincos2sin()4xxx−=−，当4πx=−时

取得最小值2−，结合条件，取不到这个最小值，所以D不正确；故选：ABC.【点睛】该题考查的是有关三角函数的性质，涉及到的知识点有偶函数的性质，函数的周期性的判断，诱导公式的应用，属于简单题目.12.已知二次方程的韦达定理，推广到实系数三次方程320AxBxCxD+++=也成立，即123122

331123BxxxACxxxxxxADxxxA++=−++==−.若实数a、b、c满足abc，69abcabbcca++=++=，则（）A.0aB.13bC.34cD.()()55bc−−的最小值是154

【答案】BCD【解析】【分析】构造函数32()()()()69fxxaxbxcxxxabc=−−−=−+−，利用导数分析函数()yfx=的单调性，可得出()()()30fxff==极小值，()()()14fxff

==极大值，再由a、b、c为函数()yfx=的三个零点可判断出A、B、C的正误，由题中条件得出6bca+=−，()()2963bcaaa=−−=−，代入()()55bc−−可判断D的正误.【详解】构造函数32

()()()()69fxxaxbxcxxxabc=−−−=−+−，则2()3129fxxx−=+由()0fx可得3x或1x，由()0fx可得13x所以()fx在(),1−和()3,+上单调递增，在()1,3上单调递减因为a、b、c为函数()yfx=的三个零点所以

()()03fxf=极小值，()()01fxf=极大值因为()()()()030,140ffff==所以由零点存在定理可得01a，13b，34c，故A错误，B、C正确由条件可得6bca+=−，()()2963bcaaa=−−=−

所以()()()()()()2255525356254,0,1bcbcbcaaaaa−−=−++=−−−+=−+所以当12a=时()()55bc−−取得最小值154，故D正确故选：BCD【点睛】构造函数32()()()()69fxxaxbxcxxxabc=−−−=−+

−是解答本题的关键，考查了学生的分析能力与转化能力，属于中档题.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知函数sinyx=的图象与直线()()20ymxm=+恰有四个公共点()11,Axy，()22,Bxy，()33,Cxy，()44,Dxy，其中1234xxxx<<<，则

442tanxx+=__________．【答案】1【解析】【分析】根据题意画出图象，找到只有四个公共点的情况，明确D点即为直线与函数sinyx=的图象相切点，然后代入运算，即可得到结果．【详解】由题意画出图象如下：根据题意，很明显，在D点处，直线与函

数sinyx=的图象相切，D点即为切点．则有，在点D处，sinyx=−，cosyx=−．而4cosxm−=，且()4442sinymxx=+=−，∴44444sinsin2tancosxxxxmx−−+===−．∴44442tan1tantanxxxx+==．故答

案为：1．【点睛】此题考查根据函数图象关系求解参数的取值，关键在于结合直线与曲线的几何位置关系利用导数的几何意义建立等式求解.14.若函数11()ln()2xxfxee−−=+−与()sin2xgx=像的交点为()11,xy，()22,xy，(),mmxy，则1miix==___

_________.【答案】2【解析】【分析】利用复合函数的单调性得出()fx的单调性，再结合两函数的对称性确定交点个数与性质后可得结论．【详解】由1xte−=是增函数，1utt=+在[1,)+是单调递增，ln2yu=−在(0,

)u+单调递增得11()ln()2xxfxee−−=+−在[1,)+上是增函数，又211(2)11(2)ln2ln()2()xxxxfxeeeefx−−−−−−−=+−=+−=，所以()yfx=的图

象关于直线1x=对称，易知1x=也是()sin2xgx=的对称轴，在[1,3]上()gx是减函数，而(1)10(1)gf=，(3)10(3)gf=−，因此()fx与()gx的图象在[1,3]上有一个交点，[3,4)x时，()0,()0fxgx，4x

时，()1fx，()1gx，()fx与()gx的图象在[3,)+上无交点，所以在[1,)+上它们只有一个交点，根据对称性在(,1]−上也只有一个交点，且这两个交点关于直线1x=对称．所以1212miixxx==+

=．故答案为：2．【点睛】本题考查两函数图象交点问题，解题方法是研究函数的性质：单调性，对称性，确定交点个数及性质．15.已知函数()()21xfxex=+，令1()()fxfx=，1()()nnfxfx+=，若()2()xnnnnfxeaxbxc=++，记

数列22nnnacb−的前n项和为nS，求2019S的近似值.有四位同学做出了4个不同答案：23，1，32，53，其中最接近2019S的近似值的是____________.【答案】32【解析】【分析】依次求导数，归纳出()nfx，得,,nnnabc，然后用

放缩法估值nS，得出结论．【详解】由已知221()()(21)(22)(43)xxxfxfxexxexexx==++++=++，2221()()(43)(24)(67)xxxfxfxexxexexx==++++=++，2232()()

(67)(26)(813)xxxfxfxexxexexx==++++=++，…归纳出：22()2(1)1xnfxexnxnn=+++++，又()2()xnnnnfxeaxbxc=++1na=，2(1)nbn=+，21ncnn=++.∴222221222(22

)nnnnacbnnn==−+−++，令221111(2)2(1)1nnnnadncbnnnnn===−−−−，则2019123111111122231nSddddnn=+++++−+−++−−

31322n=−，∴与2019S的值最接近的是32.【点睛】本题考查数列的函数特性，考查基本初等函数的导数运算，考查了用放缩法证明数列不等式，还考查了归纳推理，属于中档题．16.古希腊数学家阿波罗尼奥斯发现：平面上到两定点A，B距离之比为

常数(0＞且1)的点的轨迹是一个圆心在直线AB上的圆，该圆简称为阿氏圆．根据以上信息，解决下面的问题：如图，在长方体1111ABCDABCD−中，1226ABADAA＝＝＝，点E在棱AB上，2BEAE＝，动点P满足3BPPE＝．若点P在平面ABCD内运动，则点P

所形成的阿氏圆的半径为________；若点P在长方体1111ABCDABCD−内部运动，F为棱11CD的中点，M为CP的中点，则三棱锥1MBCF−的体积的最小值为___________．【答案】(1).23(2).94【解析

】【分析】（1）以AB为x轴，AD为y轴，1AA为z轴，建立如图所示的坐标系，设(,)Pxy，求出点P的轨迹为22+12xy=，即得解；（2）先求出点P的轨迹为222++12xyz=，P到平面1BCF的距离为|9|3xyzh++−=，再求出h的最小值即得解.【详解

】（1）以AB为x轴，AD为y轴，1AA为z轴，建立如图所示的坐标系，则(6,0),(2,0),BE设(,)Pxy，由3BPPE＝得2222(6)3[(2)]xyxy−+=−+，所以22+12xy=，所以若点P在平面ABCD内

运动，则点P所形成的阿氏圆的半径为23.（2）设点(,,)Pxyz，由3BPPE＝得222222(6)3[(2)z]xyzxy−++=−++，所以222++12xyz=，由题得1(3,3,3,),(6,0,3),(6,3,0),FBC所以11(3,3,0),(

0,3,3),FBBC=−=−设平面1BCF的法向量为000(,,)nxyz=r，所以100100·330,(1,1,1)·330nFBxynnBCyz=−===−=，由题得(6,3,z)CPxy=−−，所以点P到平面1BCF的距离为|||9|||3CPnxyzhn++−==，因为2

222222(++)(111)(),66xyzxyzxyz++++−++，所以min|69|33h−==，所以点M到平面1BCF的最小距离为32，由题得1BCF为等边三角形，且边长为223332+=，所以三棱锥1MBCF−的体积的最小值为2

133932=3424（）.故答案为：(1).23(2).94．【点睛】本题主要考查空间几何中的轨迹问题，考查空间几何体体积的计算和点到平面距离的计算，考查最值的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析

推理能力.四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤17.若数列na满足221nnaap+−=（n+N，p为常数），则称数列na为等方差数列，p为公方差.（1）已知数列

{}nc，{}nd，nx，ny分别满足2020nc=，1ndn=+，21nxn=+，3nny=，从上述四个数列中找出所有的等方差数列（不用证明）；（2）若数列na是首项为1，公方差为2的等

方差数列，求数列2na的前n项和nS.【答案】（1）nc，nd为等方差数列；（2）2nSn=.【解析】【分析】（1）根据等方差数列的定义判断；（2）利用等方差数列的定义写出2{}na的性质，得出其通项公式2

na，再求其和．【详解】（1）22221202020200nncc+−=−=为常数，22111nnddnn+−=+−=为常数，22221(23)(21)88nnxxnnn+−=+−+=+不是常数，()()2222113389nnnnnyy++−=−=不是常数，所以nc，nd

为等方差数列；（2）因为数列na是首项为1，公方差为2的等方差数列，所以11a=，2212nnaa+−=，所以212(1)21nann=+−=−，所以2(121)2nnnSn+−==.【点睛】本题考查数列的新定义，考查等差数列的

通项公式和前n项和公式，解题关键是理解新定义，把新定义数列转化为已知数列问题．18.如图，平面四边形ABCD，点B，C，D均在半径为533的圆上，且3BCD＝．（1）求BD的长度；（2）若3,2ADADBABD＝＝，求ABD的面积．【答案】（1）5（2）52【解析】【分

析】（1）先求出BCD的外接圆半径为533，再利用正弦定理求出BD得解；（2）设ABD=，为锐角，则2ADB=，先求出6cosAB=，再利用余弦定理求出6cos3=，即得ABD的面积．【详解】（1）由题意可知，BCD的外接圆半径为533，由正弦定理5322

sin3BDRBCD==，解得5BD=；（2）在ABD中，设ABD=，为锐角，则2ADB=，因为sin2sinABAD=，所以32sincossinAB=，所以6cosAB=，因

为2222cosADABBDABBD=+−，即22936cos2560cos=+−，所以6cos3=，则36cos26,sin3AB===，所以1sin522ABDSABBD==，【点睛】本题主要考查正弦余弦定理解三角形，考查三角形面积的计算，意在

考查学生对这些知识的理解掌握水平.19.如图1，平面四边形ABCD中，2,,ABACABACACCD⊥⊥＝＝，E为BC的中点，将ACD沿对角线AC折起，使CDBC⊥，连接BD，得到如图2所示的三棱锥DABC−（1）证明：平面ADE⊥平面BCD；（2）已知

直线DE与平面ABC所成的角为4，求二面角ABDC−−的余弦值．【答案】（1）见解析（2）66【解析】【分析】（1）证明AE⊥平面BCD，平面ADE⊥平面BCD即得证；（2）先由题可知DEC即为直线DE与平面ABC所成的角，再证明AHE为二面角ADBC−−的平面角，再解三角形求解即可.【详

解】（1）证明：在三棱锥DABC−中，因为,CDBCCDAC⊥⊥，=ACBCC，所以CD⊥平面ABC，又AE平面ABC，所以AECD⊥，因为=ABAC，E为BC中点，所以AEBC⊥，又=BCCDC，所以AE⊥平面BCD，又AE

平面ADE，所以平面ADE⊥平面BCD．（2）由（1）可知DEC即为直线DE与平面ABC所成的角，所以4DEC=，故1CDCE==；由（1）知AE⊥平面BCD，过E作EHBD⊥于H，连接AH，由三垂线定理可知AHBD

⊥，故AHE为二面角ADBC−−的平面角．由BHEBCD∽，得BEEHBDCD=，即115EH=得55EH=，所以305AH=，故6cos6EHAHEAH==，所以二面角ADBC−−的余弦值为66．【点睛】本

题主要考查空间直线平面位置关系的证明，考查空间线面角和二面角的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.20.网络购物已经成为人们的一种生活方式．某购物平台为了给顾客提供更好的购物体验，为入驻商家设置了积分制度，每笔购物完成后，买家可以根据物流情况、商品质量等因素对商家做出

评价，评价分为好评、中评和差评平台规定商家有50天的试营业时间，期间只评价不积分，正式营业后，每个好评给商家计1分，中评计0分，差评计1−分，某商家在试营业期间随机抽取100单交易调查了其商品的物流情况以及买家的评价情况，分别制成了图1和图2．（1）通常收件时间不超过四天认为是物流迅速，否则

认为是物流迟缓；请根据题目所给信息完成下面22列联表，并判断能否有99％的把握认为“获得好评”与物流速度有关？好评中评或差评合计物流迅速物流迟缓30合计（2）从正式营业开始，记商家在每笔交易中得到的评价得分为X．该商家将试营业5

0天期间的成交情况制成了频数分布表（表1），以试营业期间成交单数的频率代替正式营业时成交单数发生的概率．表1成交单数363027天数102020（Ⅰ）求X的分布列和数学期望；（Ⅱ）平台规定，当积分超过10000分时，商家会获得“诚信商家”称号

，请估计该商家从正式营业开始，1年内（365天）能否获得“诚信商家”称号附：22()()()()()nadbcKabcdacbd−=++++参考数据：20()PKk0.1500．1000.0500.0250.0100k2.0722.7063.8415.024

6.635【答案】（1）见解析，有99%的把握认为“获得好评”与物流速度有关．（2）（Ⅰ）见解析，0.7（Ⅱ）该商家在1年内不能获得“诚信商家”称号．【解析】【分析】（1）先画出2×2列联表，再利用独立性检验求解；（2）

（Ⅰ）先求出X的取值可能是1，0，1−，再求出对应的概率，写出其分布列，求出其期望得解；（Ⅱ）设商家每天的成交量为Y，求出商家每天能获得的平均积分和商家一年能获得的积分，即可判断得解.【详解】（1）由题意得好评中评或差评合计物流迅速50555物流迟

缓301545合计802010022(5015305)1006.6358020554511K−==，所以有99%的把握认为“获得好评”与物流速度有关．（2）（Ⅰ）由题意可知，X的取值可能是1，0，1−，每位买家给商家作出好评、中评、差

评的概率分别为0.8，0.1，0.1，所以X的分布列为X101−P0.80.10.1所以10.800.1(1)0.10.7EX=++−=；（Ⅱ）设商家每天的成交量为Y，则Y的取值可能为27，30，36，所以Y的分布列为Y273036P0.40.40.2所以270.4300.4360

.230EY=++=，所以商家每天能获得的平均积分为300.721=，商家一年能获得的积分：21365766510000=，所以该商家在1年内不能获得“诚信商家”称号．【点睛】本题主要考查独立性检验，考查随机变量的分布列和期望及其应用

，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.21.在平面直角坐标系xOy中，①已知点(3,0)A，直线l：433x＝，动点P满足到点A的距离与到直线l的距离之比为32；②已知圆C的方程为224xy+=，直线l为圆C的切线，记点(3,0),(3,0)A−到直线l

的距离分别为12,dd，动点P满足12,PAdPBd＝＝；③点S，T分别在x轴，y轴上运动，且3ST＝，动点P满足21+33OPOSOT=uuuruuruuur．（1）在①，②，③这三个条件中任选一个，求动点P的轨迹方程；（2）记（1）中的轨迹为E，经过点(

1,0)D的直线l交E于M，N两点，若线段MN的垂直平分线与y轴相交于点Q，求点Q纵坐标的取值范围．【答案】（1）不论选哪种条件，动点P的轨迹方程2214xy+=（2）33[,]44−【解析】【分析】（1）选①,可以用直接法求轨迹方程，选②，可以用待定

系数法求轨迹方程，选③，可以用代入法求轨迹方程；（2）设0(0,)Qy，当l斜率不存在时，00y=，当l斜率不存在时，求出02331144kykkk==++，得到0304y−或0304y，综合即得解.【详解】（1）若选①，设(,)Pxy，根据题意，22(3)32433x

yx−+=−，整理得2214xy+=，所以所求的轨迹方程为2214xy+=．若选②，设(,)Pxy，直线l与圆相切于点H，则12||||2||423||PAPBddOHAB+=+===，由椭圆定义知，点P的轨迹是以,AB为焦点的椭圆，所以24,2

||23acAB===，故2,3,1acb===，所以所求的轨迹方程为2214xy+=．若选③，设(,)Pxy，(,0)Sx，(0,)Ty，则22()()3(*)xy+=，因为2133OPOSOT=

+，所以2313xxyy==，整理得323xxyy==，代入(*)得2214xy+=，所以所求的轨迹方程为2214xy+=（2）设0(0,)Qy，当l斜率不存在时，00y=，

当l斜率存在时，设直线l的方程为(1)(0)ykxk=−，11(,)Mxy，22(,)Nxy，由22(1)14ykxxy=−+=，消去y并整理，得2222(14)84(1)0kxkxk+−+−=，恒成立，2122814kxxk+

=+，设线段MN的中点为33(,)Gxy，则()212333224,121414xxkkxykxkk+===−=−++，所以线段MN的垂直平分线方程为：222141414kkyxkkk+=−−++，令0x=，得02331144kykkk==++，当k0时，144kk

+−，当且仅当12k=−时，取等号，所以0304y−；当0k时，144kk+，当且仅当12k=时，取等号，所以0304y；综上，点Q纵坐标的取值范围是33[,]44−【点睛】本题主要考查

轨迹方程的求法，考查椭圆中的范围问题的求解，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理计算能力.22.已知函数2(1)()xaexfxx−−=，且曲线()yfx＝在(2,(2))f处的切线斜率为1．（1）求实数a

的值；（2）证明：当0x＞时，()1fx＞；（3）若数列{}nx满足1()nxnefx+＝，且113x＝，证明：211nxne−＜【答案】（1）2a=（2）见解析（3）见解析【解析】【分析】（1）由(2)12

af==即得a的值；（2）只需证21()102xhxexx=−−−，利用导数证明21()12xhxexx=−−−在(0,)+上单调递增，所以21()1(0)02xhxexxh=−−−=成立，即得证；（3）分析得到只需

证11()122nxnfxe−−，再利用导数证明即可.【详解】（1）3[(2)2]()xaxexfxx−++=，(2)12af==，所以2a=；（2）要证()1fx，只需证21()102xhxexx=−−−，()1,()1xxhxexhxe=−−=

−，因为(0,)x+，所以()0hx，所以()1xhxex=−−在(0,)+上单调递增，所以()1(0)0xhxexh=−−=，所以21()12xhxexx=−−−在(0,)+上单调递增，所以21()1(0)02x

hxexxh=−−−=成立，所以当0x时，()1fx成立．（3）由（2）知当0x时，()1fx.因为1()nxnefx+=，所以1ln()nxfx+=，设()ln()nngxfx=，则1()nnxgx+=，所以121()(())((()))0nnnxgxgg

xggx−−====；要证：2|1|1nxne−，只需证：1|1|()2nxne−，因为113x=，所以113|1|1xee−=−，因为3227()03eex−=−，所以1332e，所以1131|1|12xee−=−，故只需证：11|1||1|2nnxxee+−−

，因为(0,)nx+，故只需证：111122nnxxee+−−，即证：11()122nxnfxe−−，只需证：当(0,)x+时，2211()(2)22022xxxexx=−+++，21()222xxxxex=+−++，21()2112xxxxe

=+−+，21()3102xxxxe=++，所以()x在区间(0,)+上是增函数，故21()(21)1(0)02xxxxe=+−+=，所以()x在

区间(0,)+上是增函数，故21()(22)2(0)02xxxxex=+−++=，所以()x在区间(0,)+上是增函数，故2211()(2)22(0)022xxxexx=−+++=，所以原不等式成立．【点睛】本题主要考查导数

的几何意义，考查利用导数证明不等式，考查分析法证明不等式，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.