【文档说明】专题5.26《分式与分式方程》全章复习与巩固 （培优篇）（专项练2021-2022学年八年级数学下册基础知识专项讲练（北师大版）.docx，共(21)页，621.029 KB，由管理员店铺上传

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专题5.26《分式与分式方程》全章复习与巩固（培优篇）（专项练习）一、单选题1．若x取整数，则使分式6321xx+−的值为整数的x值有（）A．3个B．4个C．6个D．8个2．下列分式中，最简分式是（）A．2211xx−+B．211xx+−C．2222xxyyxxy−+−D．23621

2xx−+3．若代数式11xx+−有意义，则x的取值范围是()A．x＞﹣1且x≠1B．x≥﹣1C．x≠1D．x≥﹣1且x≠14．已知0ba，则分式ab与11ab++的大小关系是（）A．11aabb++B．11aabb+=+C．11aabb++D．不能确定5．老师设计了接力游戏

，用合作的方式完成分式化简，规则是：每人只能看到前一人给的式子，并进行一步计算，再将结果传递给下一人，最后完成化简．过程如图所示：接力中，自己负责的一步出现错误的是（）A．只有乙B．甲和丁C．乙和丙D．乙和丁6．已知关于x的分式方程213xmx−=−的解是非正数，则m的取值范围是（）A

．3mB．3mC．3m−D．3m−7．若数a使关于x的不等式组232xaxa−−−无解，且使关于x的分式方程5355axxx−=−−−有正整数解，则满足条件的整数a的值之积为（）A．28B．﹣4

C．4D．﹣28．若整数a使关于x的不等式组1112341xxxax−+−+，有且只有45个整数解，且使关于y的方程2260111yayy+++=++的解为非正数，则a的值为（）A．61−或58−B．61−或59−C．60−或59−D．61−或60−或59−9．使得关

于x的不等式组6101131282xaxx−−−+−+有且只有4个整数解，且关于x的分式方程14axx−−+274x−=-8的解为正数的所有整数a的值之和为（）A．11B．15C．18D．1910．若数a使关于x的不等式组36222()4xxxax

++−+„的解集为x＜﹣2，且使关于y的分式方1311−−=−++yayy的解为负数，则符合条件的所有整数a的个数为（）A．4B．5C．6D．711．已知关于x的分式方程23111axxx−+=−−有整数解，且关于x的不

等式组32(2)11322xxxxa−+−有且只有4个整数解，则符合条件的整数a的个数有（）A．2个B．3个C．4个D．5个12．“5.12”汶川大地震导致某段铁路隧道被严重破坏，为尽快抢修其中一段12

00米的铁路，施工队每天比原计划多修10米，结果提前4天开通列车，设原计划每天修x米，则下面列出的方程正确的是()A．12001200410xx−=+B．12001200410xx−=−C．12001200410xx−=+D．12001200410xx−=−二、填空题1

3．已知11xy-＝3，则代数式21422xxyyxxyy−−−−的值为___．14．不改变分式的值,把分式0.420.51xx+−中分子、分母各项系数化成整数为________.15．ab、为常数，且对任何实数x都有()()2222231212xabxxxx+=+++++成立，则ab=____

_____.16．若关于x的方程2xm2x22x++=−−有增根，则m的值是_____17．已知非零实数x，y满足1xyx=+，则3xyxyxy−+的值等于_________．18．要使关于x的方程121(2)(1)xxaxxxx+−=+−+−的解是正数，a的取值范围是___．.19．若关于x

的分式方程311xaxx−−=−无解，则=a________．20．当x取_____时，分式1111xxx+−−有意义．21．对于两个不相等的实数,ab，我们规定符号max{,}ab表示,ab中的较大值，如：max{2,4}4=，故max3,5=____

______；按照这个规定，方程21max,xxxx−−=的解为__________．三、解答题22．计算．(1)11.11xxx−−−(2)32322222bbabbabaababba++−−+−．(3)2

22212abababababaabb−++−−+−−+(4)211aaa−−−．23．解方程：3221xx=−（1）2—216—124xxx=+−（2）24．先化简，再求值：2443(1)11mmmmm−+−

−−−，请在﹣2≤m≤1的范围内取一个自己喜欢的数代入求值．25．阅读：对于两个不等的非零实数a、b，若分式xaxbx(−)(−)的值为零，则x＝a或x＝b．又因为2()()()()xaxbxabxababxabxxx−−−++==+−+，所以关于x的方程xabx+=a＋b有两个解，分别为x1＝a

，x2＝b．应用上面的结论解答下列问题：（1）方程xpx+=q的两个解分别为x1＝﹣2、x2＝3，则p＝，q＝；（2）方程x7x+=8的两个解中较大的一个为；（3）关于x的方程2x2621nnx+−+=−2n＋2的两个解分别为x1、x2（x1

＜x2）．求12321xx++的值．26．自从湖南与欧洲的“湘欧快线”开通后，我省与欧洲各国经贸往来日益频繁，某欧洲客商准备在湖南采购一批特色商品，经调查，用16000元采购A型商品的件数是用7500元采购B型商品

的件数的2倍，一件A型商品的进价比一件B型商品的进价多10元．(1)求一件A，B型商品的进价分别为多少元？(2)若该欧洲客商购进A，B型商品共250件进行试销，其中A型商品的件数不大于B型的件数，且不小于80件

，已知A型商品的售价为240元/件，B型商品的售价为220元/件，且全部售出．设购进A型商品m件，求该客商销售这批商品的利润v与m之间的函数解析式，并写出m的取值范围；(3)在(2)的条件下，欧洲客商决定在试销活动中每售出一件A型商品，就从一件A型商品的利润中捐献慈善资金a元，求该客

商售完所有商品并捐献慈善资金后获得的最大收益．参考答案1．B【解析】【分析】首先把分式转化为6321x+−，则原式的值是整数，即可转化为讨论621x−的整数值有几个的问题．【详解】6363663212121xxxxx+−+==+−−−,当216x−=或3或2或1时，621x−是整数

，即原式是整数．当216x−=或2时，x的值不是整数，当等于3或1是满足条件．故使分式6321xx+−的值为整数的x值有4个，是2，0和1．故选B．【点拨】本题主要考查了分式的值是整数的条件，把原式化简为6321x+−的形式是

解决本题的关键．2．A【解析】【详解】试题分析：选项A为最简分式；选项B化简可得原式==；选项C化简可得原式==；选项D化简可得原式==，故答案选A.考点：最简分式.3．D【解析】【分析】此题需要注意分式的分母不等于零，二次根式的被开方数是非负数．【详解】

依题意，得x+1≥0且x-1≠0，解得x≥-1且x≠1．故选D．【点拨】本题考查了二次根式有意义的条件和分式有意义的条件．函数自变量的范围一般从三个方面考虑：（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；（3）当函数表达

式是二次根式时，被开方数非负．4．A【解析】【分析】将两个式子作差，利用分式的减法法则化简，即可求解．【详解】解：()()()()111111abbaaaabbbbbbb+−++−−==+++，∵0ba，∴()1011aaabbb

bb+−−=++，∴11aabb++，故选：A．【点拨】本题考查分式的大小比较，掌握作差法是解题的关键．5．D【解析】【详解】【分析】根据分式的乘除运算步骤和运算法则逐一计算即可判断．【详解】∵22211xxxxx−−−=

22211xxxxx−−−=()2212·1xxxxx−−−−=()()221·1xxxxx−−−−=()2xx−−=2xx−，∴出现错误是在乙和丁，故选D．【点睛】本题考查了分式的乘除法，熟练掌握分式乘除法的运算法则是解题的关键.6．A【解析】【分析】分式方程去分母转

化为整式方程，由分式方程解为正数确定出m的范围即可【详解】213xmx−=−，方程两边同乘以3x−，得23xmx−=−，移项及合并同类项，得3xm=−，分式方程213xmx−=−的解是非正数，30x−，30(3)30mm−−−，解得，3m，故选A．【点拨】此题考查分式

方程的解，解题关键在于掌握运算法则求出m的值7．B【解析】【详解】解：不等式组整理得：232xaxa+−，由不等式组无解，得到3a﹣2≤a+2，解得：a≤2，分式方程去分母得：ax+5=﹣3x+15，即（a+3）x=10，由分式方程有正整数解，得到x=103a+且x≠

5，即a+3=1，5，10，解得：a=﹣2，2，7．综上，满足条件a的为﹣2，2，之积为﹣4，故选B．【点拨】此题考查了分式方程的解，以及解一元一次不等式组，熟练掌握运算法则是解本题的关键．8．B【解析】【分析】先解不等式组，

根据不等式组的整数解确定a的范围，结合a为整数，再确定a的值，再解分式方程，根据分式方程的解为非正数，得到a的范围，注意结合分式方程有意义的条件，从而可得答案．【详解】解：1112341xxxax−+−+①②由①得：25,x由②得：x＞13a+，因为不等式组有且只有45个

整数解，13a+＜25,x1203a+−＜19,−601a−+＜57,−61a−＜58,−a为整数，a为61,60,59,−−−2260111yayy+++=++，22601,yay+++=

+61,ya=−−而0,y且1,y−610,a−−61,a−又611,a−−−60,a−综上：a的值为：61,59.−−故选B．【点拨】本题考查的是由不等式组的整数解求参数系数的问题，考查分式方程的解为非正数，易错点是疏忽分式方程有意义

，掌握以上知识是解题的关键．9．A【解析】【分析】解不等式组得到a的范围，再把分式方程化简，表示为方程的解，再根据方程的解为正数，算出a的各值即可.【详解】由不等式组6101131282xaxx−−−+−+得1064axx−，∵x有且只有4个整数解,∴

-1＜1006a−，解得4＜10a，解分式方程14axx−−+274x−=-8，得x=48a−，∵解为正数∴8-a＞0且448−a，即a＜8且7a，∴a=5，6，即所有整数a的值之和为5+6=11，故选A.【点拨】此题主要考察含参不等式组的解法与分式方程的解法的综

合问题，需要熟练运用才可以解出此题.10．C【解析】【分析】表示出不等式组的解集，由不等式组的解集为x＜﹣2确定出a的范围，再由分式方程的解为负数以及分式有意义的条件求出满足题意整数a的值，进而求出符合条件的a的个

数．【详解】解：解不等式组36222()4xxxax++−+„，得：224xxa−+„，由不等式组的解集为x＜﹣2，得到2a+4≥﹣2，解得：a≥﹣3；分式方程1311−−=−++yayy去分母得：1﹣y﹣a＝﹣3（y+1），解得：y＝42a

−，由分式方程的解为负数以及分式有意义的条件，得412402aa−−−，解得：a＜4且a≠2；∴﹣3≤a＜4且a≠2，∴a＝﹣3，﹣2，﹣1，0，1，3，∴符合条件的所有整数a的个数为6

个；故选：C．【点拨】此题主要考查分式方程与不等式组的求解运用，解题的关键是熟知分式方程与不等式组的解法．11．C【解析】【分析】解出分式方程，根据题意确定a的范围，解不等式组，根据题意确定a的范围，根据分式不为0的条件得到5a，根据题意计算即可．【详解】解：23111ax

xx−+=−−，方程两边同乘(1)x−，得231axx−−=−整理得，41xa=−，由题意得，41a−是整数，且411a−，即5a，解得：3a=−，1−，0，2，3；解不等式组32(2)11322xxxxa−+

−„得：145ax+−„，关于x的不等式组32(2)11322xxxxa−+−„有且只有4个整数解，1015a+„，14a−„，则符合条件的所有整数为：1−，0，2，3，符合条件的整数a的个数有4个，故选：C．【

点拨】本题考查的是分式方程的解法、一元一次不等式组的解法，掌握解分式方程、一元一次不等式组的一般步骤是解题的关键．12．C【解析】【分析】根据题意可以列出相应的分式方程，从而可以解答本题．【详解】由题意可得，1200

12004xx10−=+，故选C．【点拨】本题考查由实际问题抽象出分式方程，解答本题的关键是明确题意，列出相应的分式方程．13．4【解析】【分析】由11xy-＝3，得yxxy−=3即y-x=3xy，然后代入代数式，进行消元，即

可得到结论．【详解】解：由11xy-＝3，得yxxy−=3即y-x=3xy，x-y=-3xy，则21422xxyyxxyy−−−−=2()142xyxyxyxy−−−−=61432xyxyxyxy−−−−=4故答案为：4【点拨】本题主要考查了分式的求值，解题的关键在于能够利用整体代入的思想求解．

14．420510xx+−【解析】【分析】根据题意可知，为了把各项系数化成整数，上下式分别乘以10，可得到答案.【详解】从分析可知：0.4x+2100.5x-110（）（）＝420510xx+−，可见

，各项系数都化成整数了，故答案为420510xx+−.【点拨】本题主要考查了分式的概念与性质，上下式共同乘以相同的数，分式值不变．15．1；【解析】【详解】解：∵()()2222231212xabxxxx+=+++++，∴2223(2)(1)xax

bx+=+++，∴223()(2)xabxab+=+++，∴123abab+=+=，解得：21ab==−，∴2(1)ab=−=1．故答案为1．16．0．【解析】【详解】方程两边都乘以最简公分母（x－2），把分式方程化为

整式方程，再根据分式方程的增根就是使最简公分母等于0的未知数的值求出x的值，然后代入进行计算即可求出m的值：方程两边都乘以（x－2）得，2－x－m=2（x－2）．∵分式方程有增根，∴x－2=0，解得x=2．∴2－2－m=2（2－2），解得m=0．17．4【解析】【分

析】由条件1xyx=+变形得，x-y=xy，把此式代入所求式子中，化简即可求得其值．【详解】由1xyx=+得：xy+y=x，即x-y=xy∴3344xyxyxyxyxyxyxyxy−++===故答案为：4【点拨】本题是求代数式的值，考查

了整体代入法求代数式的值，关键是根据条件1xyx=+，变形为x-y=xy，然后整体代入．18．1a−且a≠-3.【解析】【详解】分析：解分式方程，用含a的式子表示x，由x＞0，求出a的范围，排除使分母为0的a的值.详解：

()()12121xxaxxxx−−−＋＝＋＋，去分母得，(x＋1)(x－1)－x(x＋2)＝a，去括号得，x2－1－x2－2x＝a，移项合并同类项得，－2x＝a＋1，系数化为1得，x＝12a−−.根据题意得，12a−−＞0，解得a＜－1.当x＝1时，－2×1＝a＋1，解

得a＝－3；当x＝－2时，－2×(－2)＝a＋1，解得a＝3.所以a的取值范围是a＜－1且a≠－3.故答案为a＜－1且a≠－3.点睛：本题考查了由分式方程的解的情况求字母系数的取值范围，这种问题的一般解法是：①根据未知数的范围求出字母的范围；②把使分母

为0的未知数的值代入到去分母后的整式方程中，求出对应的字母系数的值；③综合①②，求出字母系数的范围.19．1或-2．【解析】【分析】先去分母，将原方程化为整式方程，根据一元一次方程无解的条件得出一个a值，再根据分式方程无解的条件得出另外的a值即可．【详

解】解：311xaxx−−=−，去分母得：x(x-a)﹣x(x-1)＝3(x-1)，整理得：（a+2）x＝3，∴当a+2＝0，即a＝-2时，方程无解；当a+2≠0，由分式方程无解即有增根，可得x﹣1＝0或x＝0，把x＝1代入（a+2）x＝3，解得：a＝1，

把x＝0代入（a+2）x＝3，方程无解；综上，a的值为1或-2．故答案为：1或-2．【点拨】本题考查了分式方程的解，熟练掌握分式方程及整式方程无解的条件是解题的关键．20．x≠0且x≠±1【解析】【详解】分析：要想使分式有意义，那么分式的分母就不能为0，据此列

出关于x的不等式组，解不等式组即可求得x的取值范围．详解：由题意可知，只有当：0101101xxxxxx−+−−时，原分式才有意义，解得：011xxx−，即当x≠0且x≠±1时，原分式有意义．故答案为x≠0且x≠±1．点睛：本题主要考查了分

式有意义的条件，要求掌握．对于任意一个分式，分母都不能为0，否则分式无意义．解此类问题，只要令分式中分母不等于0，求得字母的取值即可．本题的难点在于，题中是一个繁分式，需一层一层分析，x是1x的分母，所以x≠0；x﹣1x是11xxx+−的分母，所以x﹣

1x≠0；1﹣11xxx+−又是整个分式的分母，因此1﹣11xxx+−≠0．繁分式的有关知识超出初中教材大纲要求，只在竞赛中出现．21．512−−或1【解析】【分析】按照规定符号可求得max3,5=5；根据x与x−的大小关系化简所求方程，求出解即可．【详解】max35=，5；故

答案为：5；当xx−，即0x时，方程化简得：21xxx−=，去分母得：221xx=−，整理得：2210xx−+=，即()210x−=解得：1x=，经检验：1x=是分式方程的解；当xx−，即0x时，方程化简得：21xxx−−=，去分母得：221xx−=−，

整理得：2210xx+−=，解得：12x=−+(不合题意，舍去)或12−−，经检验：12x=−−是分式方程的解；故答案为：12−−或1．【点拨】本题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．弄清题中的新定义是解

本题的关键．22．(1)1(2)ba(3)22abab−+(4)11a−【解析】【分析】（1）首先通分计算括号里面，进而根据分式的除法运算计算即可；（2）根据分式的加减乘除混合运算顺序进行计算，注意进行因式分解

和约分；（3）首先通分计算括号里面，再根据分式的除法运算法则进行计算，注意进行因式分解和约分；（4）根据分式的加减法法则进行计算，注意通分．(1)原式1111xxxx−+−=−11xxxx−=−1=；(2)原式()

()()()32ababbbabbabaab−+−=+−+−()2bbabaab=−−−()2abbaab−=−()()babaab−=−ba=；(3)原式()()()2222222()()2ababaabb

abababab−−+−+−−=+−−()()()22222222aabbaabbabababab−+−−−−=+−−()()()242ababababab−−=+−−22abab−=+；(4)原式()2211aaa−−=−22

11aaa−+=−11a=−．【点拨】本题考查了分式的混合运算，需掌握的知识点：分式的混合运算的顺序和法则，分式的约分、通分以及因式分解；熟练掌握分式的混合运算顺序和因式分解是解决问题的关键．23．（1）3x=−；（2）无解【解析】【

分析】（1）找出最简公分母为()21xx−，去分母后转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，代入检验即可得到原分式方程的解；（2）找出最简公分母为()()22xx+−，去分母后转化为整式方程，求出整式方程的解得

到x的值，代入检验即可得到原分式方程的解．【详解】解：（1）3221xx=−去分母得：()314xx−=，整理得：433xx−=−解得：3x=−，经检验3x=−是原方程的根，∴原方程的解为：x=-3；（2）2216124xxx−−=+−去分母得：()()()2

21622−−=+−xxx，整理得：48x−=，解得：2x=−，经检验2x=−是增根，原分式方程无解．【点拨】此题考查了分式方程的解法，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解

分式方程一定注意要验根．24．22mm−−+；当m=0时，原式为1，当m=-1时，原式为3【解析】【分析】先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再由分式有意义的条件选取使分式有意义的m的值，代入计算即可．【详解】解：原

式=22()321111mmmmm−−−−−−（）=22241()1mmmm−−−−=()221•122()()mmmmm−−−−+−=22mm−−+，∵m≠±2且m≠1，∴取m=0或m=-1，则原式=02102−−=+；当m=-1时，原式=12312−−

−=−+．【点拨】本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是掌握分式的混合运算顺序和运算法则及分式有意义的条件．25．（1）﹣6，1；（2）7；（3）12【解析】【分析】（1）根据题干可知，p为两根之积，q为两根之

和，代入计算即可；（2）根据题意求出两个解，从而可得出答案；（3）首先求出x1、x2，然后代入12321xx++计算即可．【详解】解：（1）由已知可得p＝（﹣2）×3＝﹣6，q＝（﹣2）＋3＝1，故答案为﹣6，1；（2）∵ab＝7，a＋b＝8，∴a＝1，b＝7或a＝7，b＝1故答案为7；

（3）∵2622221nnxnx+−+=+−，∴26212121nnxnx+−−+=+−，(3)(2)21(3)(2)21nnxnnx+−−+=++−−；∴2x﹣1＝n＋3或2x﹣1＝n﹣2，∴42nx+=或12nx−=，又∵x1

＜x2，∴112nx−=，242nx+=，∴12153312242152212nnxnxn−+++===++++．【点拨】本题主要考查分式的解，读懂题意并能灵活应用是关键．26．（1）一件B型商品的进价为150元，一件A型商品的进价为160元；（2）80≤m≤125；（3）m＝80时，最大利润

为(18300－80a)元．【解析】【分析】（1）设一件B型商品的进价为x元，则一件A型商品的进价为（x+10）元．根据16000元采购A型商品的件数是用7500元采购B型商品的件数的2倍，列出方程即可解决问题；（2）根据总利润=两种商品的利

润之和，列出式子即可解决问题；（3）设利润为w元．则w=（80﹣a）m+70（250﹣m）=（10﹣a）m+17500，分三种情形讨论即可解决问题．【详解】解：（1）设一件B型商品的进价为x元，则一件A型商品的进价为（x+10）元．由题意：1600075002

10xx=+，解得x=150，经检验x=150是分式方程的解．答：一件B型商品的进价为150元，一件A型商品的进价为160元．（2）因为客商购进A型商品m件，所以客商购进B型商品（250﹣m）件．由题意：v=80m+70（250﹣m）=10m+17500，∵80≤m≤250﹣m，∴80≤m≤1

25，∴v=10m+17500（80≤m≤125）；（3）设利润为w元．则w=（80﹣a）m+70（250﹣m）=（10﹣a）m+17500：①当10﹣a＞0时，w随m的增大而增大，所以m=125时，最大利润为（18750﹣125a）元．②当10﹣a=0时

，最大利润为17500元．③当10﹣a＜0时，w随m的增大而减小，所以m=80时，最大利润为（18300﹣80a）元，∴当0＜a＜10时，最大利润为（18750﹣125a）元；当a=10时，最大利润为17500元；当a＞10时，最大

利润为（18300﹣80a）元．【点拨】本题考查了分式方程的应用、一次函数的应用等知识，解题的关键是理解题意，学会构建方程或一次函数解决问题，属于中考常考题型．