【文档说明】云南、贵州、四川、广西四省2021届高三5月模拟考试数学（理）试题 含答案.docx，共(15)页，895.727 KB，由小赞的店铺上传

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云南、贵州、四川、广西四省2021届高三5月模拟考试数学试卷理科1.答卷前，考生务必将自己的姓名､考生号､考场号和座位号填写在答题卡上2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂

黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一､选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是

符合题目要求的.1.已知集合{35},2,AxxByyxxA=−==Z∣∣，则AB的元素个数为（）A.3B.4C.5D.62.在ABC中，若31,5,sin5ABACA===，则ABAC=（）A.3B.3C.4D.43.函数()32

71fxxx=−+的图象在点()()4,4f处的切线斜率为（）A.8−B.7−C.6−D.5−4.跑步是一项有氧运动，通过跑步，我们能提高肌力，同时提高体内的基础代谢水平，加速脂肪的燃烧，养成易瘦体质.小林最近给自己制定了一个2

00千米的跑步健身计划，他第一天跑了8千米，以后每天比前一天多跑0.5千米，则他要完成该计划至少需要（）A.16天B.17天C.18天D.19天5.明朝的一个葡萄纹椭圆盘如图（1）所示，清朝的一个青花山水楼阁纹饰椭圆盘如图（2）所示

，北宋的一个汝窑椭圆盘如图（3）所示，这三个椭圆盘的外轮廓均为椭圆.已知图（1），（2），（3）中椭圆的长轴长与短轴长的比值分别为139，5645，107，设图（1），（2），（3）中椭圆的离心率分别为e1，e2，e3，则（）A.132eeeB.231eeeC.123eeeD.213e

ee6.已知函数()11g2xfxx=−，f(m)=1，且0pmn，则（）A.f(n)<1且f(p)>1B.f(n)>1且f(p)>1C.f(n)>1且f(p)<1D.f(n)<l且f(p)<17.

下列各项中，是6yxyx−的展开式的项为（）A.15B.9220y−C.15y4D.220x−8.执行如图所示的程序框图，则输出的i=（）A.10B.15C.20D.259.已知函数()tansincosfxxxx=−，则（）A.()fx的最小正周

期为2B.()fx的图象关于原点对称C.()fx的图象关于,02称D.()fx的图象关于(,0)对称.10.在三棱柱ABC-A1B1C1中，D为侧棱CC1的中点，从该三棱柱的九条棱中随机选取两条，则这两条棱所在直线至少有一条与直线BD异面的概率是（）A.23B.1318C

.79D.5611.已知双曲线C：22221xyab−=(a>0，b>0)的左､右焦点分别为F1，F2，M为C左支上一点，N为线段MF2上一点，且|MN|=|MF1|，P为线段NF1的中点.若|F1F2|=4|OP|(O为坐标原点)，则C的渐近线方程为（）A.yx=B.2yx=C

.3yx=D.2yx=12.如图，函数f(x)的图象由一条射线和抛物线的一部分构成，f(x)的零点为12−，若不等式f(x+a2)≥f(x)(a≠0)对x∈R恒成立，则α的取值范围是（）A.535366−−+

，，B.()33−−+，，C.434355−−+，，D.232333−−+，，二､填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分

.把答案填在答题卡的相应位置.13.复数()()1215zii=−−的实部为__________.14.若x，y满足约束条件23326xxyxy++„„…则xy−的最大值为___________，22xy+的最小值为___________.15.在数列

na中，a1=2，()()2211222nnnanna−++=+，则na=___________.16.如图，正四棱锥P-ABCD的每个顶点都在球M的球面上，侧面PAB是等边三角形.若半球О的球心为四棱锥的底面中心，且半球与四个侧面均相切，则

半球О的体积与球M的体积的比值为___________.三.解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明､证明过程或演算步骤.7~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22，23题为选考题，考生根据要求作答.(一)必考题：共60分.1

7.(12分)ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知3,2ab==（1）若6A=，求cos2B；（2）当A取得最大值时，求ABC的面积.18.(12分)某社区为丰富居民的业余文化生活，打算在周一到周五连续为该社区居民举行“社区音乐会”，每晚举

行一场，但若遇到风雨天气，则暂停举行.根据气象部门的天气预报得知，在周一到周五这五天的晚上，前三天每天出现风雨天气的概率均为1p，后两天每天出现风雨天气的概率均为2p，每天晚上是否出现风雨天气相互独立.已知前两天的晚上均出现风雨天气的概率为1

4，且这五天至少有一天晚上出现风雨天气的概率为199200.（1）求该社区能举行4场音乐会的概率；（2）求该社区举行音乐会场数X的数学期望.19.(12分)如图，在四棱锥P-ABCD中，四边形ABCD为平行四边形，以BC为直径的圆

O(O为圆心)过点A，且2AOACAP===，PA⊥底面ABCD，M为PC的中点.（1）证明：平面OAM⊥平面PCD.（2）求二面角OMDC−−的余弦值.20.(12分)已知F为抛物线2:2(0)Cxpyp=的焦点，直线:21lyx=+与C交于A，B两点，且|AF|

+|BF|=20.（1）求C的方程.（2）若直线:2(1)myxtt=+与C交于M，N两点，且AM与BN相交于点T，证明：点T在定直线上.21.(12分)已知函数2()(1)12lnfxmxx=+−−.（1）讨论()fx的

单调性；（2）当[1,2]x时，()0fx，求m的取值范围.(二)选考题：共10分.请考生从第22，23两题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一个题目计分.22.[选修4—4；坐标系与参数方程](10分)在直角坐标系xOy中，曲线C的方程为223xyy=−++.（1）写出曲线C的一

个参数方程；（2）若(1,0),(1,0)AB−，点P为曲线C上的动点，求2PAPBOAOP+的取值范围.23.[选修4—5：不等式选讲](10分)已知函数()||||fxxaxb=+++.（1）若232

abb=++，证明：,,()1xRbRfx….（2）若关于x的不等式()7fx的解集为[6,1]−，求a，b的一组值，并说明你的理由.高三数学试卷参考答案(理科)1.B【解析】本题考查集合的交集.考查运算求解能力.因为{2,1,0,1,2,3,4},{4,2,0,2,4,6.8}AB=

−−=−−，所以{2,0,2,4}AB=−2.D【解析】本题考查平面向量的数量积，考查运算求解能力.在ABC因为3sin5A=，所以4cos5A=，所以||||cos4ABACABACA==3.A【解析】本题考查导数的几何意义.考查运

算求解能力.因为2()314fxxx−=，所以所求切线的斜率为(4)3161448f=−=−4.B【解析】本题考查等差数列的应用，考查数学建模与逻辑推理的核心素养.依题意可得，他从第一天开始每

天跑步的路程(单位：千米)依次成等差数列，且首项为8，公差为0.5.设经过n天后他完成健身计划，则()11820022nnn−+≥，整理得n2+3ln-800≥0.因为函数f(x)=x2+3lx-800在[1，﹢∞)上为增函数，且f(16)<0，f(1

7)>0，所以n≥17.5.A【解析】本题考查椭圆的离心率与中国古代数学文化，考查数据处理能力与推理论证能力.因为椭圆的离心率2222112bbeaa=−=−，所以长轴长与短轴长的比值越大，离心率越大.因为131.449

，561.2445，101.437，所以132>>eee.6.C【解析】本题考查基本初等函数的单调性，考查推理论证能力.因为y=1gx在(0，﹢∞)上单调递增，12xy=在(﹣∞，﹢∞)上单调递减，所以f(

x)在(0，﹢∞)上单调递增.又f(m)=1，且0<p<m<n，所以f(n)>1且f(p)<1.7.C【解析】本题考查二项式定理，考查运算求解能力与推理论证能力.6yxyx−展开式中的第3项为()24246C15yxyyx−=.8.C

【解析】本题考查程序框图，考查运算求解能力.a=1+10=11，i=5；a=5+22=27，i=10；a=21+54=75，i=15；a=69+150>100，i=20.故输出的i=20.9.D【解析】本题考查三角函数的对称性与周期，考查逻辑推理的核心素养.因为()()fxfx+=，所

以f(x)的最小正周期不是2π.因为()()()fxfxfx−=−，所以f(x)是奇函数，其图象不关于y轴对称.因为f(π-x)=﹣tanx+sinxcosx=﹣f(x)，所以f(x)的图象关于(2，0)对称.因为f(2π-x)=﹣tan

x+sinxcosx=-f(x)，所以f(x)的图象关于(π，0)对称.10.B【解析】本题考查异面直线的判定､排列组合的应用､古典概型，考查直观想象､推理论证的核心素养.如图，这九条棱中，与BD共面的是BC，BB1，CC1

，B1C1，AB，共五条，故所求概率2529C131C18P=−=.11.C【解析】本题考查双曲线的性质与定义的应用，考查数形结合的数学思想.因为|F1F2|=4|OP|，所以2cOP=，所以|NF2|=2|OP|=c，又|MF2|-|MF1|=|NF2|=2a，所以c=2a，所以a

2+b2=4a2，则3ba=.故C的渐近线方程为.3yx=12.A【解析】本题考查函数与不等式的综合应用，考查化归与转化的数学思想.由题可知射线经过点(12−，0)，(1，2)，则射线的方程为.()42133y

xx=+≤.当x≥1时，设f(x)=m(x-2)2+1(m>0)，因为f（1）=m+1=2，所以m=1.令f(x)=t(1≤t≤2)，则该方程的解为1324tx−=，221xt=−−，321xt=+−，3132214txxt−−=+−−，令()101tll−=≤≤则()2231312322

52524431212lxxll+−−=+−=−−+≤.依题意可得22512a≥，解得5353+66a−−，，13.9−【解析】本题考查复数的四则运算与实部，考查运

算求解能力.因为97zi=−−，所以z的实部为9−14.2；3613【解析】本题考查线性规划，考查推理论证能力与运算求解能力.作出约束条件表示的可行域(图略)，由图可知当直线z=x-y经过(2，0)时，z有最大值2.x2+y2表示可行域中的点P(x

，y)到原点距离的平方.因为原点到直线3x+2y=6的距离为613，所以x2+y2的最小值为2636=1313.15.2222nnn−+(或()2211nn−+)【解析】本题考查等比数列的定义与通项公式，考查抽象概括能力.因为(n2+1)an+1=2[(n-1)2+

1]an，a1=2，所以数列{[(n-1)2+1]an}是首项为2，公比为2的等比数列，则()2112nnna−+=，所以()22222211nnnannn==−+−+.16.318【解析】本题考查四棱锥的外接球与内切球，考查空间想象能力与运算求解能力.

如图，连接PO，BD，取CD的中点E，连接PE，OE，过O作OH⊥PE于H.易知PO⊥底面ABCD，设AB=4，则2242BDBABC=+=，1222BOBD==，2222POBPBO=−=.设球M的半径为R，半球O的半径为R0.则22R=.易知R0=OH.则013ROHOERP

OPE===，故30303411323=42183OMRVRRVR==半球球.17.解：（1）由正弦定理sinsinabAB=，得32=1sin2B，解得3sin3B=，所以21cos212sin3BB=−=（2）由余弦定理得22221co

s24bcacAbcc+−+==.因为2121=442cccc+≥当且仅当c=1时，等号成立，所以1cos2A≥，则03A≤，即A的最大值为3.此时，△ABC的面积113sin21sin2232SbcA===.评分细则：

【1】第（1）问解析第一行未写sinsinabAB=不扣分，得出3sin3B=，直接写1cos23B=，没有写倍角公式扣1分.【2】第（2）问中，得到03A≤，但未写A的最大值为3﹐不扣分.18.解：（1）因为前两天的晚上均为风雨天气的概率为14，所以211

4p=，则112p=.因为这五天至少有一天出现风雨天气的概率为199200.所以()()3212199111200pp−−−=，又112p=，所以245p=.设“该社区能举行4场音乐会”为事件A，则()223113211414411C111C122525520

0PA=−−+−−=.（2）X的可能取值为0，1，2，3，4，5.()3214202525PX===，()22311321141417122525525PXCC==+=

，()22232211332114114114732111225225525200PXCCC==−+−+−=，()32222211323141141

1144331111252255225200PXCCC==−+−+−−=，()114200PX==，()199151200200PX==−

=.所以()7734311119123452520020020020010EX=++++=.评分细则：【1】第（1）问中，只要得到112p=即得1分，得到245p=即得2分.【2】第（2）问中，E(X)的最后结果写为1.9不扣分.19.（1）证明：由题

意点A为圆O上一点，则AB⊥AC.由PA⊥底面ABCD，知PA⊥AB.又PA∩AC=A，因此AB⊥平面PAC，则AB⊥AM，又AB//CD，则AM⊥CD.因为AC=AP，M为PC的中点，所以AM⊥PC.又CD∩PC=C，所以A

M⊥平面PCD.因为AM平面OAM，所以平面OAM⊥平面PCD.（2）解：如图，以A为原点，AB的方向为x轴的正方向建立空间直角坐标系A—xyz则C(0，2，0)，D(23−，2，0)，M(0，1，1)，O(3，1，0)，()301OM=−，，，()3310OD=−，，设n

=(x，y，z)为平面OMD的法向量，则00nOMnOD==，，即30,330xzxy−+=−+=，令x=1，得()1,33,3n=.由（1）可知，AM⊥平面PCD，则平面CDM的一个法向量m=

(0，1，1)，所以2186cos,=31mnmnmn=.由图可知二面角O—MD—C为锐角，故二面角O—MD—C的余弦值为218631.评分细则：【1】第（1）问严格按步骤给分.【2】第（2）问中，平面OMD的一个法向量只要与n=(1，33，3)共线即可得分.20.（1）解：设A(

x1，y1)，B(x2，y2)，由221,2,yxxpy=+=得()28210ypy−++=，则y1+y2=8p+2，从而12922022ppAFBFyyp+=+++=+=，解得p=2，故C的方程为24xy=.（2）证明：设()33,Mxy，()44,Nxy，()00

,Txy，()1TMTA=.因为AB//MN，所以TNTB=，根据2112224,4,xyxy==得()()()1212124xxxxyy+−=−，则()12121248yyxxxx−+=

=−，同理得348xx+=.又()()30104020,,xxxxxxxx−=−−=−两式相加得()34012022xxxxxx+−=+−，即()()0410x−−=，由于1，所以04x=.故点T在定直线

4x=上.评分细则：【1】第（1）问还可以通过联立消去y，其步骤及给分如下：由221,2,yxxpy=+=得2420xpxp−−=，则124xxp+=，()12122282yyxxp+=++=+，从而12922022

ppAFBFyyp+=+++=+=，解得2p=，故C的方程为24xy=.【2】第（2）问若用其他方法解答，请按照步骤给分.21.解：（1）()()()221221mxmxfxmxxx+−=+−=，>0

x.①当0m≤时，显然()0fx，此时()fx在(0，﹢∞)上单调递减.②当>0m时，令()0fx，得241022mmxm+−；令()>0fx，得241>22mmxm+−.所以()fx在2410,22mmm+−上单调递减，在241+2

2mmm+−，上单调递增.（2）由于对一切1,2x，()0fx≤恒成立，所以1,2x，()212ln1xmx++≤，构造函数()()212ln1xFxx+=+，1,2x，所以()()324ln1xxfxx

−=+，再令()24lngxxx=−，1,2x，所以()2240gxxx=−−，()gx在[1，2]上单调递减.因为()12>0g=，()214ln20g=−，所以存在唯一的()01,2x，使()00gx=，且当)01,xx时，()>0gx；当(0,2xx时，()0g

x，所以()Fx在)01x，上单调递增，在(02x，上单调递减.因为5585=lnln3ln28ln2e=，所以()()8ln2521>036FF−−=，则()()1min1=4FxF=，从而14m≤，即m的取值范围是14−，.评分细

则：【1】第（1）问中，未写定义域或未说明x>0，但求导正确，不扣分.【2】第（2）问中，解法二如下：由于对一切1,2x，()0fx≤恒成立，所以()1410fm=−≤，得14m≤，下面证明当14m≤时，()0fx≤对一切

1,2x恒成立，要证此结论成立，只需证明当14m=时，()0fx≤一切1,2x恒成立，此时()()21112ln4fxxx=+−−，()0fx=，得()1711,22x−=，且()fx在17112−，上单调递减，

在17122−，上单调递增.因为5585=lnln3ln28ln2e=，所以()522ln204f=−.又()10f=，所以当14m=时，结论成立.综上，m的取值范围是1,4−.22.解：（1）由223xyy=−++，得2223xyy=−+

+，整理得()2214xy+−=.又2230xyy=−++≥，所以曲线C的一个参数方程为2cos,12sinxy==+(为参数，且22−≤≤).（2）由（1）可设点P的坐标为()2cos12sin+，，22−≤≤.因为(

)=12cos12sinPA−−−，，()12cos12sinPB=−−−−，，所以()()()212cos12cos12sin44sinPAPB=−−−+−−=+.又2cosOAOP=，所以

()244sincos442sin4PAPBOAOP+=++=++.因为22−≤≤，所以2sin124−+≤≤，故2PAPBOAOP+的取值范围是0442+，.评分细则：【1】第（1）问中，得到()2214xy+−

=后直接得出曲线C的一个参数方程为2cos,12sinxy==+(为参数)，扣2分.【2】第（1）问的参数方程不唯一，只要参数方程对应的曲线为圆()2214xy+−=的右半部分均可得分.【3】第（2）问中设点P的坐标为(2cos，1+2sin)，

后面没有写明的取值范围，扣1分.23.（1）证明：f(x)=|x+a|+|x+b|≥|x+a-(x+b)|=|a-b|.因为a=b2+3b+2，所以|a-b|=|b2+2b+2|=(b+1)2+1≥1，当b

=﹣l时，|a-b|取得最小值1，故xR，bR，()1fx≥.（2）解：依题意可得f(﹣6)=f（1）=7，即|a-6|+|b-6|=|1+a|+|1+b|=7，不妨取α=0，则b=5.下面证明|x|+|x+5|≤7的解

集为[﹣6，1].证明：当x≤﹣5时，﹣2x-5≤7，则x≥﹣6，又x≤﹣5，所以﹣6≤x≤﹣5.当-5<x<0时，5≤7显然成立，所以﹣5<x<0.当x≥0时，2x+5≤7，则x≤1，又x≥0，所以0≤x≤1.所以|x|+|x+5|≤7的解集为[﹣6，1

]，故a，b的一组值为0，5.评分细则：【1】第（1）问中，未写b=﹣1不扣分.【2】第（2）问中，a，b的一组值不唯一，但a+b=5，且a，b∈[﹣1，6].