【文档说明】2021学年北师大版高中数学必修第二册：5.3　复数的三角表示.docx，共(6)页，98.760 KB，由小赞的店铺上传

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课时分层作业(三十八)复数的三角表示(建议用时：40分钟)一、选择题1．复数cosπ6－isinπ6的辐角主值为()A．－π6B．π6C．5π6D．11π6D[因为cosπ6－isinπ6＝cos11π6＋isin1

1π6，所以复数cosπ6－isinπ6的辐角主值为11π6.]2．下列复数是复数的三角形式的是()A．－3cosπ12＋isinπ12B．3cosπ12－isinπ12C．cosπ3＋isinπ4D．cos5π6＋isin5π6D[由复数的三角形式

的定义可知cos5π6＋isin5π6是复数的三角形式，故选D．]3．把复数－33＋3i化为三角形式为()A．6cosπ6＋isinπ6B．6cos5π6＋isin5π6C．6cos7

π6＋isin7π6D．6cos11π6＋isin11π6B[－33＋3i＝6(cos5π6＋isin5π6)．]4．设z1＝cosπ4＋isinπ4，z2＝3cos5π12＋isin5π12，则z1·z2＝()A．32＋32iB．

32－32iC．－32＋332iD．－32－332iC[z1·z2＝3cosπ4＋5π12＋isinπ4＋5π12＝3cos2π3＋isin2π3＝－32＋332i.]5．设z1＝4cos7π12＋isin7π12，z2＝cos1

1π12＋isin11π12，则z1z2＝()A．2＋23iB．－2＋23iC．－2－23iD．2－23iD[z1z2＝4cos7π12＋isin7π12cos11π12＋isin11π12＝4cos－π3＋isin－π3

＝2－23i.]二、填空题6．把复数3＋3i对应的向量按顺时针方向旋转π6，所得向量对应的复数为________．23[复数3＋3i对应的向量按顺时针方向旋转π6，所得向量对应的复数是(3＋3i)[cos－π6＋isin－π6]＝(3＋3i)

32－12i＝23.]7．计算：2cosπ3＋isinπ36＝________.64[2cosπ3＋isinπ36＝64(cos0＋isin0)＝64.]8．计算：2i÷cosπ6＋isinπ6＝________.1＋3

i[2i÷cosπ6＋isinπ6＝2cosπ2＋isinπ2÷cosπ6＋isinπ6＝2cosπ3＋isinπ3＝1＋3i.]三、解答题9．计算下列各式的值：(1)(1＋i)12＋32i9

；(2)2cosπ3＋isinπ34÷2cosπ6＋isinπ6.[解](1)(1＋i)12＋32i9＝2cosπ4＋isinπ4cosπ3＋isinπ39＝2cosπ4＋isinπ4(cos

3π＋isin3π)＝2cos5π4＋isin5π4＝－1－i.(2)2cosπ3＋isinπ34÷2cosπ6＋isinπ6＝82cos76π＋isin76π＝－46－42i.10

．已知复数z＝1＋i，求复数z2－3z＋6z＋1的模和辐角主值．[解]因为z＝1＋i，所以z2－3z＋6z＋1＝(1＋i)2－3(1＋i)＋61＋i＋1＝3－i2＋i＝(3－i)(2－i)(2＋i)(2－i)＝1－i＝2

cos7π4＋isin7π4，所以复数z2－3z＋6z＋1的模为2，辐角主值为7π4.11．设z1＝cosπ6－isinπ6，z2＝cos5π6＋isin5π6，则z1·z2＝()A．1B．－1C．－12－

32iD．－12＋32iD[因为z1＝cosπ6－isinπ6＝cos－π6＋isin－π6，z2＝cos5π6＋isin5π6，所以z1·z2＝cos2π3＋isin2π3＝－12＋32

i.]12．计算2(cos75°＋isin75°)÷6cosπ6＋isinπ6的值为()A．1＋iB．22＋22iC．－12－32iD．26＋26iD[2(cos75°＋isin75°)÷6cosπ6＋isinπ6＝2(cos75°＋isin7

5°)÷[]6(cos30°＋isin30°)＝13(cos45°＋isin45°)＝26＋26i.]13．复数z＝1＋cosθ＋isinθ(0<θ<π)的模是________，辐角主值是________．2cosθ2θ2[z＝1＋cosθ＋isinθ＝

1＋2cos2θ2－1＋2isinθ2cosθ2＝2cosθ2cosθ2＋isinθ2，因为0<θ<π，所以0<θ2<π2，所以复数z的模是2cosθ2，辐角主值是θ2.]14．若θ＝10°，则(cosθ＋isinθ)

5(cos3θ－isin3θ)6(cos4θ＋isin4θ)2＝________.－32＋12i[(cosθ＋isinθ)5(cos3θ－isin3θ)6(cos4θ＋isin4θ)2＝(cos5θ＋i

sin5θ)[cos(－18θ)＋isin(－18θ)]cos8θ＋isin8θ＝cos(－13θ)＋isin(－13θ)cos8θ＋isin8θ＝cos(－21θ)＋isin(－21θ)＝cos(－210°)＋isin(－210°)＝－32＋12i.

]15．若OZ1→与OZ2→分别表示复数z1＝1＋23i，z2＝7＋3i，求∠Z2OZ1，并判断三角形Z2OZ1的形状．[解]如图，z1z2＝1＋23i7＋3i＝1＋3i4＝12cosπ3＋isinπ3，所以∠Z2OZ1＝π3，且|OZ1→||OZ2→|＝12，由余弦定

理，设|OZ1→|＝k，|OZ2→|＝2k(k>0)，|Z1Z2→|2＝k2＋4k2－2k×2k×cosπ3＝3k2，所以|Z1Z2→|＝3k，而k2＋(3k)2＝(2k)2，所以三角形Z2OZ1为有一锐角为6

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