【文档说明】【精准解析】山东省宁阳县第四中学2019-2020学年高二上学期期末考试数学试题.doc，共(18)页，1.383 MB，由管理员店铺上传

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山东省宁阳县第四中学2019-2020学年高二上学期期末考试数学试题一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．1.设a，b，c∈R，且a＞b，则（）A.acbcB.acbc−−C.22abD.11ab【答案】B【解析】【分析】利用

不等式的基本性质即可判断出结论．【详解】∵a＞b，∴a﹣c＞b﹣c，因此B正确．c≤0时，A不正确；取a=﹣1，b=﹣2，C不正确；a＞0＞b时，D不正确.故选B．【点睛】本题考查了不等式的基本性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．2.设等比数列na中，前n项和为nS，已知368,7SS

==，则789aaa++等于()A.18B.18−C.578D.558【答案】A【解析】【分析】根据等比数列的性质36396,,SSSSS−−成等比数列求解即可.【详解】因为78996aaaSS++=−,且36396,,SSSSS−−也成等比数列,63781SS−=−=−

.即8,－1,96SS−成等比数列,所以968()1SS−=,即9618SS−=所以78918aaa++=故选A【点睛】本题主要考查等比数列的前n项和性质,属于基础题型.3.对于空间任意一点O和不共线的三点A，B，C，有如下关系：623OPOAOBOC=++，则（）A.四点O，A，B，C必共面B

.四点P，A，B，C必共面C.四点O，P，B，C必共面D.五点O，P，A，B，C必共面【答案】B【解析】【分析】由已知得111632OPOAOBOC=++，可得1111632++=，利用共面向量定理即可判断出．【详解】解

：由已知得111632OPOAOBOC=++，而1111632++=，四点P、A、B、C共面．故选：B．【点睛】本题考查了共面向量定理，属于基础题．4.已知双曲线22215xya−=的右焦点与抛物线212yx=的焦点重合，则该双曲线的焦点

到其渐近线的距离等于()A.5B.3C.5D.42【答案】A【解析】抛物线焦点为()3,0,故2253,2aa+==,双曲线焦点到渐近线的距离等于b,故距离为5,所以选A.5.如图，空间四边形OABC中，,,O

AaOBbOCc===，且2OMMA=，BNNC=，则MN=（）A.221332abc++B.111222abc+−C.211322abc−++D.121232abc−+【答案】C【解析】【分析】根据MNONOM=−，再由2OMMA=，BNNC=，得到()()2211

,3322aOMOAONOBOCcb=+===+，求解.【详解】因为MNONOM=−，又因为()()2211,3322aOMOAONOBOCcb=+===+，所以211322MNabc=−++.故选：C【点睛】本题主要考查平面向量的线性运算，还考查了运算求解的能力，属于基础题.6.等

差数列na和nb的前n项和分别为nS与nT，对一切自然数n，都有1nnSnTn=+，则55ab等于（）A.34B.56C.910D.1011【答案】C【解析】【分析】取9n=代入计算得到答案.【详解】()()19199595999,922aabbSaTb++====，59591

199aSbT==，又∵当9n=时，99910ST=，5959910aSbT==．故选:C．【点睛】本题考查了等差数列前n项和与通项的关系，判断9n=是解题的关键.7.不等式2210axx−+对1,2x+恒成立，则a的取值范围为（）

A.()0,+B.()1,+C.()0,1D.)1,+【答案】B【解析】【分析】把不等式2210axx−+对1()2,x+恒成立，转化为221axx−恒成立，结合二次函数的性质，即可求解，得到答案.【详解】由题

意，不等式2210axx−+对1()2,x+恒成立，即221axx−恒成立，设22211()11fxxxx=−=−−+，由1()2,x+可得()10,2x，所以()(1)1maxfxf==，只需1a，即a的取值范围为()1,+.

故选：B.【点睛】本题主要考查了不等式的恒成立问题的求解，其中解答中合理利用分离参数，转化为二次函数的最值问题是解答的关键，着重考查了转化思想，以及推理与运算能力，属于基础题.8.已知抛物线2:4Cyx=的焦点F和

准线l，过点F的直线交l于点A，与抛物线的一个交点为B，且3FAFB=−，则||AB=（）A.23B.43C.323D.163【答案】C【解析】【分析】由题设||,|FA|3a,FBa==解三角形求出a的值，再求|AB|的值得解.【详解】由题设||,|FA|3a,|AB|4aFB

a===过点B作BC⊥l,垂足为C,则|BC|=a,1cos44aCBFa==，设准线l交x轴与D,则128coscos,,433DFACBAaa====所以832||4433ABa===.故选C【点睛】本题主要考查直线和抛物线的位置关系，考查抛物线的简单几何性质，意在考查学生对这些知

识的理解掌握水平和分析推理能力.二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分．9.等差数列na是递增数

列，满足753aa=，前n项和为nS，下列选择项正确的是（）A.0dB.10aC.当5n=时nS最小D.0nS时n的最小值为8【答案】ABD【解析】【分析】设等差数列na的公差为d，因为753aa=，求得1

3ad=−，根据数列na是递增数列，得到,AB正确；再由前n项公式，结合二次函数和不等式的解法，即可求解.【详解】由题意，设等差数列na的公差为d，因为753aa=，可得()11634adad+=+，解得13ad=−，又由等差数列na是递增数列，可知0d，则10

a，故,AB正确；因为22172222nddddSnannn=+−=−，由7722dnnd−=−=可知，当3n=或4时nS最小，故C错误，令27022nddSnn=−，解得0n或7n，即0nS时n的最小值为8，故D正

确.故选：.ABD【点睛】本题主要考查了等差数列的通项公式，以及前n项和公式的应用，其中解答中熟练应用等差数列的通项公式和前n项和公式，结合数列的函数性进行判断是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.10.若0,0,2abab+=，则下

列不等式,其中正确的有（）A.1abB.2ab+C.222ab+D.112ab+【答案】ACD【解析】【分析】依据基本不等式相关知识分别检验证明或举出反例即可的出选项.【详解】由题：0,0,2abab+=由基本不等式可得：2()12abab+=，所以A正确；

当1ab==时，22ab+=，所以B错误；222abab+，所以222222()2()4abababab+++=+=，即222ab+，所以C正确；因为20()12abab+=，所以121,2,2abababab+即112ab+，所以

D正确.故选：ACD【点睛】此题考查基本不等式的应用，注意适用范围，对每个选项依次验证，必须要么证明其成立，要么举出反例，能够熟记常用的基本不等式的变形对提升解题速度大有帮助.11.给出下列命题，其中正确命题有（）A.空间任意三个不共面的向量都可以作为一个基底B.已知向量//ab，则,ab与任何向

量都不能构成空间的一个基底C.,,,ABMN是空间四点，若,,BABMBN不能构成空间的一个基底，那么,,,ABMN共面D.已知向量,,abc组是空间的一个基底，若mac=+，则,,abm也是空间的一个基底【答案】

ABCD【解析】【分析】根据空间基底的概念，结合向量的共面定量，逐项判定，即可求解，得到答案.【详解】选项A中，根据空间基底的概念，可得任意三个不共面的向量都可以作为一个空间基底，所以A正确；选项B中，根据空间基底的概念，可得B正确；选项C中，由,,BABMBN不能构成空间的一个基底，

可得,,BABMBN共面，又由,,BABMBN过相同点B，可得,,,ABMN四点共面，所以C正确；选项D中：由,,abc是空间的一个基底，则基向量,ab与向量mac=+一定不共面，所以可以构成空间另一个基底，所以D正确．故选：ABCD.【点睛】本题主要考查了空间基底的概念及其判定，

其中解答中熟记空间基底的概念，合理利用共面向量定量进行判定是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.12.已知椭圆()222210xyabab+=的左，右焦点是12FFP、，是椭圆上一

点，若122PFPF=，则椭圆的离心率可以是（）A.14B.13C.12D.23【答案】BCD【解析】【分析】由椭圆的定义和题设条件122PFPF=，求得1242,33PFaPFa==，再在12PFF中，结合三角形的性质，得到223ac，求得离心率的范围，即可求解.【详解】由椭

圆的定义，可得122PFPFa+=，又由122PFPF=，解得1242,33PFaPFa==，又由在12PFF中，1212||PFPFFF−，可得223ac，所以13cea=，即椭圆的离心率e的取值范围是1,13.故选：BCD．【点睛】本题主要考查了椭圆的

离心率的求解，其中解答中熟练椭圆的离心率的概念，合理应用椭圆的定义和三角形的性质，得到关于,ac的不等式是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于中档试题.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.命题“2[2,),4xx+”的否定为__________．【答案

】200[2,),4xx+【解析】【分析】全称命题的否定为特称命题.【详解】命题“2[2,),4xx+”的否定为200[2,),4xx+.故答案为：200[2,),4xx+【点睛】本题考查全称命题的否定，属于基础题.14.已知数列满足221nSnn=−

+，则通项公式na=______．【答案】2,143,2nnn=−【解析】【分析】根据数列的通项公式na和前n项和nS的关系，准确运算，即可求解，得到答案.【详解】由题意，当1n=时，12112a=−+=，当2n时，1nnnaSS−=−=2221

2(1)(1)1]4[3nnnnn−+−−−−+=−，当1n=时，12a=，不满足43nan=−，所以通项公式为2,143,2nnann==−．故答案为：2,143,2nnn=−【点睛】本题主要考

查了数列的通项公式na和前n项和nS的关系，其中解答中熟记数列的通项公式na和前n项和nS的关系，准确运算时解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.15.如图，在正方体1111ABCDABCD−中，上底面中心为O，则异面直线AO与1DC所成角的余弦值为_____

_【答案】32【解析】【分析】由题意，连接1AB和1OB，结合正方体的结构特征，得到异面直线AO与1DC所成角即为直线AO与1AB所成角，设1OAB=，在直角1AOB中，即可求解，得到答案.【详解】由题意，连接1AB和1OB，设正方体1111ABCDABCD−的棱长为a，则12A

Ba=，在正方体1111ABCDABCD−中，可得11//ABDC，所以异面直线AO与1DC所成角即为直线AO与1AB所成角，设1OAB=，在直角1AAO中，可得22221126()22aaAOAAAOa=+=+=在直角

1AOB中，可得11632cos22aAOABa===.故答案为：32.【点睛】本题主要考查了异面直线所成角的求解，其中解答中结合正方体的结构特征，得到异面直线AO与1DC所成角即为直线AO与1AB所成角是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题

.16.设椭圆22162xy+=与双曲线2213xy−=有公共焦点1F，2F，P是两条曲线的一个公共点，则12cosFPF等于__________．【答案】13【解析】试题分析：，，，则，，考点：1.椭圆定义；2.双曲线定义；3.余弦定理；四、解答题：本题共6小题，

第17题10分，其余每小题12分，共70分．17.已知命题p：“曲线2122:128xyCmm+=+表示焦点在x轴上的椭圆”，命题q：“曲线222:11xymtmtC+=−−−表示双曲线”．（1）若命题p是真命题，求m

的取值范围；（2）若p是q的必要不充分条件，求t的取值范围．【答案】（1）(4,2)(4,)−−+；（2）[4,3][4,)−−+.【解析】【分析】（1）根据椭圆的标准方程，得到p为真命题，则满足228280mmm++，即可求解；（2）求得命题q为真时，得到1

tmt+，再根据p是q的必要不充分条件，结合集合的包含关系，即可求解.【详解】（1）命题:p“曲线2122:128xyCmm+=+表示焦点在x轴上的椭圆”，若p为真命题，则满足228280mmm++，解得42m−−或4m，即m的取值范围(4,2)(4,)

−−+.（2）若命题q为真，则())(10mtmt−−−，即1tmt+，因为p是q的必要不充分条件，则{|}142{|mtmtmm+−−或4}m即412tt−+−或4t，解得43t−

−或4t.即实数t的取值范围[4,3][4,)−−+.【点睛】本题主要考查了椭圆的标准方程的应用，以及利用充分、必要条件求解参数问题，其中解答熟记椭圆的标准方程，以及合理利用充分、必要条件转化为集合的包含关系是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.18.设数列

na满足123(21)2naanan+++−=.（1）求na的通项公式；（2）求数列21nan+的前n项和．【答案】(1)221nan=−；(2)221nn+.【解析】【分析】（1）利用递推公式,作差后即可求得na的通项公式.（2）将

na的通项公式代入,可得数列21nan+的表达式.利用裂项法即可求得前项和.【详解】（1）数列na满足()123212=naanan+++−2n时,()()12132321naanan+++−−﹣＝∴()212nna−=∴

221nan=−当1n=时,12a=,上式也成立∴221nan=−（2）21121(21)(21)2121nannnnn==−+−+−+∴数列21nan+的前n项和1111113352121nn=

−+−++−−+1212121nnn=−=++【点睛】本题考查了利用递推公式求通项公式,裂项法求和的简单应用,属于基础题.19.已知关于x的一元二次不等式ax2+x+b＞0的解集为（-∞，-2）∪（1，+∞）

．（Ⅰ）求a和b的值；（Ⅱ）求不等式ax2-（c+b）x+bc＜0的解集．【答案】(Ⅰ)1,2ab==−；(Ⅱ)答案见解析.【解析】试题分析：(Ⅰ)由题意结合根与系数的关系得到关于实数a,b的方程组，求解方

程组可得1,2ab==−；(Ⅱ)结合(I)的结论化简不等式，然后分类讨论即可求得不等式的解集.试题解析：（Ⅰ）由题意知-2和1是方程ax2+x+b=0的两个根，由根与系数的关系，得，解得；（Ⅱ）由a=1、b=-2，不等式可化为x2-（c-2）

x-2c＜0，即（x+2）（x-c）＜0；则该不等式对应方程的实数根为-2和c；所以，①当c=-2时，不等式为（x+2）2＜0，它的解集为∅；②当c＞-2时，不等式的解集为（-2，c）；②当c＜-2时，不等式的解集为（c，-2）．20.设数列

na的前n项和为nS，且111,21nnaaS+==+，数列nb满足11ab=，点()1,nnPbb+在20xy−+=上，*.nN（1）求数列na，nb的通项公式；（2）设nnnbca=，求数列

nc的前n项和nT．【答案】（1）13nna−=，1(1)221nbnn=+−=−（2）2112132323nnnnT−−−=−−1133nn−+=−.【解析】【分析】（1）利用na与nS的递推关系可以na的通项公式；P点代入直线方程得12nnbb+−=，可知数列nb是

等差数列，用公式求解即可.(2)用错位相减法求数列的和.【详解】()1由121nnaS+=+可得()1212nnaSn−=+，两式相减得12nnnaaa+−=，()132nnaan+=．又21213aS=+=，所以213aa=．故na是首项为1，公比为

3的等比数列．所以13nna−=．由点()1,nnPbb+在直线20xy−+=上，所以12nnbb+−=．则数列nb是首项为1，公差为2的等差数列．则()11221nbnn=+−=−()2因为1213nnnnbnca−−==，所以0121135213333

nnnT−−=++++．则123111352321333333nnnnnT−−−=+++++，两式相减得：21222221133333nnnnT−−=++++−．所以21112113323233nnnnnnT

−−−−+=−−=−．【点睛】用递推关系1=(2)nnnaSSn−−求通项公式时注意n的取值范围，所求结果要注意检验1n=的情况；由一个等差数列和一个等比数列的积组成的数列求和，常用错位相减法求解.21.如图，已知四棱锥P－ABCD，底面ABCD为菱形，PA⊥平面ABCD，∠AB

C＝60°，E，F分别是BC，PC的中点.(I)证明：AE⊥PD；(II)设AB＝PA＝2，①求异面直线PB与AD所成角的正弦值；②求二面角E－AF－C的余弦值.【答案】（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）①14;4②15.5【解析】【分析】（Ⅰ）通过AEBC⊥

得到AEAD⊥，再证明PAAE⊥，AE⊥平面PAD，然后证明AEPD⊥；（Ⅱ）以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，①求出()3,1,2BP=−，()020AD=，，，得到异面直线PB与AD所成角的正弦函

数值；②求出平面AEF的一法向量，平面AFC的一法向量，利用空间向量的数量积求解所求二面角的余弦值．【详解】（Ⅰ）证明：由四边形ABCD为菱形，60ABC=，可得ABC为正三角形.因为E为BC的中点，所以AEBC⊥.又//BCAD，因此AEAD⊥.因为PA⊥平面ABCD，A

E平面ABCD，所以PAAE⊥.而PA平面PAD，AD平面PAD且PAADA=，所以AE⊥平面PAD，又PD平面PAD.所以AEPD⊥（Ⅱ）由（Ⅰ）知,,AEADAP两两垂直，以A为坐标原点，建立

空间直角坐标系，又,EF分别为,BCPC的中点，所以(0,0,0)A，(3,1,0)B−，(3,1,0)C，(0,2,0)D，(0,0,2)P，(3,0,0)E，31(,,1)22F，①(3,1,2),(0,2,0)BPAD=−=,

.∴3012202cos,4222||BPADBPADBPAD−++===设异面直线PB与AD所成角为，∴14sin4=②31(3,0,0),(,,1).22AEAF==设平面AEF的一法向量为111(,,),mxyz=则00mAEmAF=

=，因此111130,310.22xxyz=++=取11,(0,2,1),zm=−=−则因为BDAC⊥，BDPA⊥，PAACA=，所以BDAFC⊥平面，故BD为平面AFC的一法向量.又BD=()3,3,0−，所以cos

,mBD=23155512mBDmBD==.因为二面角EAFC−−为锐角，所以所求二面角的余弦值为15.5【点睛】本题考查了线面面面垂直的判定与性质定理、利用法向量夹角求空间角，考查了空间想象能力、

推理能力与计算能力，属于中档题．22.已知曲线C上的任意一点到两定点1(1,0)F−、2(1,0)F距离之和为4，直线l交曲线C于,AB两点，O为坐标原点．（1）求曲线C的方程；（2）若l不过点O且不平行于坐标轴，记线段AB的中点为M

，求证：直线OM的斜率与l的斜率的乘积为定值；（3）若直线l过点(0,2)Q，求OAB面积的最大值，以及取最大值时直线l的方程．【答案】（1）22143xy+=（2）证明见解析；（3）53,22yx=+或522yx=−+【解析】【分析】（1）利用椭圆的定义可知曲线为2,1a

c==的椭圆，直接写出椭圆的方程．（2）设直线:l()0,0ykxbkb=+，设()()()112200,,,,,AxyBxyMxy，联立直线方程与椭圆方程，通过韦达定理求解KOM，然后推出直线OM的斜率与l的斜率的乘积为定值．（3）设直线方程是2ykx

=+与椭圆方程联立，根据面积公式()21212121242AOBSxxxxxx=−=+−，代入根与系数的关系，利用换元和基本不等式求最值.【详解】（1）由题意知曲线是以原点为中心，长轴在x轴上的椭圆，设其标准方程为22221xyab+=，则有2,1

ac==，所以2223bac=−=，∴22143xy+=.（2）证明：设直线l的方程为()0,0ykxbkb=+，设()()()112200,,,,,AxyBxyMxy则由22143ykxbxy=++=可得()223412xkxb++=，即()2

223484120kxkbxb+++−=∴122834kbxxk+=−+，∴12024234xxkbxk+==−+，20022433434kbbykxbbkk=+=−+=++，0034OMykxk==−，∴直线OM的斜率与l的斜率的乘积=4334OMkkkk=−=−为定值

（3）点()()1122,,,AxyBxy，由222143ykxxy=++=可得()22341640kxkx+++=，，解得214k121222164,3434kxxxxkk+=−=++∴()21212121242AOBSx

xxxxx=−=+−()22222216164143343434kkkkk−=−−=+++设()241,0,ktt−=+()2143431648AOBtSttt==+++16816tt++当4t=时，AOBS取得最大值3.此时2414k−

=，即52k=所以直线方程是522yx=+【点睛】本题考查椭圆定义及方程、韦达定理的应用及三角形面积的范围等问题，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想，函数与方程思想，是中档题．