【文档说明】【精准解析】山东省宁阳县第四中学2019-2020学年高二上学期期末考试数学试题.doc,共(18)页,1.383 MB,由管理员店铺上传
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山东省宁阳县第四中学2019-2020学年高二上学期期末考试数学试题一、单项选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.1.设a,b,c∈R,且a>b,则()A.acbcB.acbc−−C.22abD.11ab【答案】B【解析】【分析】利用不等式的基本性
质即可判断出结论.【详解】∵a>b,∴a﹣c>b﹣c,因此B正确.c≤0时,A不正确;取a=﹣1,b=﹣2,C不正确;a>0>b时,D不正确.故选B.【点睛】本题考查了不等式的基本性质,考查了推理能力与计算能力,属于基础题.2.设等比数
列na中,前n项和为nS,已知368,7SS==,则789aaa++等于()A.18B.18−C.578D.558【答案】A【解析】【分析】根据等比数列的性质36396,,SSSSS−−成等比数列求解即可.【详解】因为78996aaaSS++=−,且36396,,SSSSS−−也成等比
数列,63781SS−=−=−.即8,-1,96SS−成等比数列,所以968()1SS−=,即9618SS−=所以78918aaa++=故选A【点睛】本题主要考查等比数列的前n项和性质,属于基础题型.3.对于空间任意一点O和不共线的三点A,B,C,有如下关系:623OPO
AOBOC=++,则()A.四点O,A,B,C必共面B.四点P,A,B,C必共面C.四点O,P,B,C必共面D.五点O,P,A,B,C必共面【答案】B【解析】【分析】由已知得111632OPOAOBOC=++,可得1111632++=,利用共面向量定理即可判断出.【详解】解:由已知得1
11632OPOAOBOC=++,而1111632++=,四点P、A、B、C共面.故选:B.【点睛】本题考查了共面向量定理,属于基础题.4.已知双曲线22215xya−=的右焦点与抛物线212yx=的焦点重合,则该
双曲线的焦点到其渐近线的距离等于()A.5B.3C.5D.42【答案】A【解析】抛物线焦点为()3,0,故2253,2aa+==,双曲线焦点到渐近线的距离等于b,故距离为5,所以选A.5.如图,空间四边形OABC中,,,OAaO
BbOCc===,且2OMMA=,BNNC=,则MN=()A.221332abc++B.111222abc+−C.211322abc−++D.121232abc−+【答案】C【解析】【分析】根据MNONOM=−,再由2OMMA=,BNNC=,得到()()2211,3322aOMOAONO
BOCcb=+===+,求解.【详解】因为MNONOM=−,又因为()()2211,3322aOMOAONOBOCcb=+===+,所以211322MNabc=−++.故选:C【点睛】本题主要考查平面向量的线性运算,还考查了运算求解的能力,属于基础
题.6.等差数列na和nb的前n项和分别为nS与nT,对一切自然数n,都有1nnSnTn=+,则55ab等于()A.34B.56C.910D.1011【答案】C【解析】【分析】取9n=代入计算得到答案.【详解】()()191
99595999,922aabbSaTb++====,59591199aSbT==,又∵当9n=时,99910ST=,5959910aSbT==.故选:C.【点睛】本题考查了等差数列前n项和与通项的关系,判断9n=是解题的关键.7.不等式2210axx−+对1,2x+
恒成立,则a的取值范围为()A.()0,+B.()1,+C.()0,1D.)1,+【答案】B【解析】【分析】把不等式2210axx−+对1()2,x+恒成立,转化为221axx−恒成立,结合二次函数的性质,即可求解,得到答案.【详解】由题意,不等式2210axx
−+对1()2,x+恒成立,即221axx−恒成立,设22211()11fxxxx=−=−−+,由1()2,x+可得()10,2x,所以()(1)1maxfxf==,只需1a,即a的取值范围为(
)1,+.故选:B.【点睛】本题主要考查了不等式的恒成立问题的求解,其中解答中合理利用分离参数,转化为二次函数的最值问题是解答的关键,着重考查了转化思想,以及推理与运算能力,属于基础题.8.已知抛物线2:4Cyx=的焦点F和准线l,过点F的直线交l于点A,与抛物线的一个交
点为B,且3FAFB=−,则||AB=()A.23B.43C.323D.163【答案】C【解析】【分析】由题设||,|FA|3a,FBa==解三角形求出a的值,再求|AB|的值得解.【详解】由题设||,|
FA|3a,|AB|4aFBa===过点B作BC⊥l,垂足为C,则|BC|=a,1cos44aCBFa==,设准线l交x轴与D,则128coscos,,433DFACBAaa====所以832||4433ABa===.故选C【点睛】本题主要考查直线和抛物线的位置关系,考查抛
物线的简单几何性质,意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.二、多项选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求全部选对的得5分,部分选对的得3分,有选错的得0分
.9.等差数列na是递增数列,满足753aa=,前n项和为nS,下列选择项正确的是()A.0dB.10aC.当5n=时nS最小D.0nS时n的最小值为8【答案】ABD【解析】【分析】设等差数列na的公差为d,因为753aa=,求得13ad=−,根据数列na是递增数列
,得到,AB正确;再由前n项公式,结合二次函数和不等式的解法,即可求解.【详解】由题意,设等差数列na的公差为d,因为753aa=,可得()11634adad+=+,解得13ad=−,又由等差数列na是递增数列,可知0d,则10a,故,AB正确;因
为22172222nddddSnannn=+−=−,由7722dnnd−=−=可知,当3n=或4时nS最小,故C错误,令27022nddSnn=−,解得0n或7n,即0nS时n的最小值为8
,故D正确.故选:.ABD【点睛】本题主要考查了等差数列的通项公式,以及前n项和公式的应用,其中解答中熟练应用等差数列的通项公式和前n项和公式,结合数列的函数性进行判断是解答的关键,着重考查了推理与运算能力,属于基础题.10.若0,0,2abab+=,则下列不等式,其中正确的有()A
.1abB.2ab+C.222ab+D.112ab+【答案】ACD【解析】【分析】依据基本不等式相关知识分别检验证明或举出反例即可的出选项.【详解】由题:0,0,2abab+=由基本不等式可得:2()12abab+=,所以A正确;当1ab=
=时,22ab+=,所以B错误;222abab+,所以222222()2()4abababab+++=+=,即222ab+,所以C正确;因为20()12abab+=,所以121,2,2abababab+即112ab+,所以D正确
.故选:ACD【点睛】此题考查基本不等式的应用,注意适用范围,对每个选项依次验证,必须要么证明其成立,要么举出反例,能够熟记常用的基本不等式的变形对提升解题速度大有帮助.11.给出下列命题,其中正确命题有()A.空间任意三个不共面的向量都可以作为一个基底
B.已知向量//ab,则,ab与任何向量都不能构成空间的一个基底C.,,,ABMN是空间四点,若,,BABMBN不能构成空间的一个基底,那么,,,ABMN共面D.已知向量,,abc组是空间的一个基底
,若mac=+,则,,abm也是空间的一个基底【答案】ABCD【解析】【分析】根据空间基底的概念,结合向量的共面定量,逐项判定,即可求解,得到答案.【详解】选项A中,根据空间基底的概念,可得任意三个不共面的向量都可以作为一个
空间基底,所以A正确;选项B中,根据空间基底的概念,可得B正确;选项C中,由,,BABMBN不能构成空间的一个基底,可得,,BABMBN共面,又由,,BABMBN过相同点B,可得,,,ABMN四点共面,所以C正确;选项D中:由,,abc是空间的一个基底,则基向量,ab与向量ma
c=+一定不共面,所以可以构成空间另一个基底,所以D正确.故选:ABCD.【点睛】本题主要考查了空间基底的概念及其判定,其中解答中熟记空间基底的概念,合理利用共面向量定量进行判定是解答的关键,着重考查了分析问题和解答问题的能力,属于基础题.12.已知椭圆()
222210xyabab+=的左,右焦点是12FFP、,是椭圆上一点,若122PFPF=,则椭圆的离心率可以是()A.14B.13C.12D.23【答案】BCD【解析】【分析】由椭圆的定义和题设条件122PFPF=,求得1242
,33PFaPFa==,再在12PFF中,结合三角形的性质,得到223ac,求得离心率的范围,即可求解.【详解】由椭圆的定义,可得122PFPFa+=,又由122PFPF=,解得1242,33PFaPFa==,又由在12PFF中,1212||PFPF
FF−,可得223ac,所以13cea=,即椭圆的离心率e的取值范围是1,13.故选:BCD.【点睛】本题主要考查了椭圆的离心率的求解,其中解答中熟练椭圆的离心率的概念,合理应用椭圆的
定义和三角形的性质,得到关于,ac的不等式是解答的关键,着重考查了推理与运算能力,属于中档试题.三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13.命题“2[2,),4xx+”的否定为__________.【答案】200
[2,),4xx+【解析】【分析】全称命题的否定为特称命题.【详解】命题“2[2,),4xx+”的否定为200[2,),4xx+.故答案为:200[2,),4xx+【点睛】本题考查全称命题的
否定,属于基础题.14.已知数列满足221nSnn=−+,则通项公式na=______.【答案】2,143,2nnn=−【解析】【分析】根据数列的通项公式na和前n项和nS的关系,准确运算,即可求解,得到答案.【详解】由题意,当1n=时,
12112a=−+=,当2n时,1nnnaSS−=−=22212(1)(1)1]4[3nnnnn−+−−−−+=−,当1n=时,12a=,不满足43nan=−,所以通项公式为2,143,2nnann==−.故答案为:2,143,2nnn=−
【点睛】本题主要考查了数列的通项公式na和前n项和nS的关系,其中解答中熟记数列的通项公式na和前n项和nS的关系,准确运算时解答的关键,着重考查了推理与运算能力,属于基础题.15.如图,在正方体1111ABCDABCD−中,上底面中心为O,则异
面直线AO与1DC所成角的余弦值为______【答案】32【解析】【分析】由题意,连接1AB和1OB,结合正方体的结构特征,得到异面直线AO与1DC所成角即为直线AO与1AB所成角,设1OAB=,在直角1AOB中,即可求解,得到答案.【详解】由题意
,连接1AB和1OB,设正方体1111ABCDABCD−的棱长为a,则12ABa=,在正方体1111ABCDABCD−中,可得11//ABDC,所以异面直线AO与1DC所成角即为直线AO与1AB所成角,设1OAB=,在直角1AA
O中,可得22221126()22aaAOAAAOa=+=+=在直角1AOB中,可得11632cos22aAOABa===.故答案为:32.【点睛】本题主要考查了异面直线所成角的求解,其中解答中结合正方体的结构特征,得到异面直线AO与1DC所成角
即为直线AO与1AB所成角是解答的关键,着重考查了推理与计算能力,属于基础题.16.设椭圆22162xy+=与双曲线2213xy−=有公共焦点1F,2F,P是两条曲线的一个公共点,则12cosFPF等于__________.【答案】13【解析】
试题分析:,,,则,,考点:1.椭圆定义;2.双曲线定义;3.余弦定理;四、解答题:本题共6小题,第17题10分,其余每小题12分,共70分.17.已知命题p:“曲线2122:128xyCmm+=+表示焦点在x轴上的椭圆”,命题q:“曲线222:11xymtmtC+
=−−−表示双曲线”.(1)若命题p是真命题,求m的取值范围;(2)若p是q的必要不充分条件,求t的取值范围.【答案】(1)(4,2)(4,)−−+;(2)[4,3][4,)−−+.【解析】【分析】(1)根据椭圆的标准方程,得到p为真命题,则满足22
8280mmm++,即可求解;(2)求得命题q为真时,得到1tmt+,再根据p是q的必要不充分条件,结合集合的包含关系,即可求解.【详解】(1)命题:p“曲线2122:128xyCmm+=+表示焦点在x轴上的椭圆”,若p为真命题,则满
足228280mmm++,解得42m−−或4m,即m的取值范围(4,2)(4,)−−+.(2)若命题q为真,则())(10mtmt−−−,即1tmt+,因为p是q的必要不充分条件,
则{|}142{|mtmtmm+−−或4}m即412tt−+−或4t,解得43t−−或4t.即实数t的取值范围[4,3][4,)−−+.【点睛】本题主要考查了椭圆的标准方程的应用,以及利用充分、必要条件求解参数问题,其中解答熟记椭圆的标准方程,以及合
理利用充分、必要条件转化为集合的包含关系是解答的关键,着重考查了推理与运算能力,属于基础题.18.设数列na满足123(21)2naanan+++−=.(1)求na的通项公式;(2)求数列21nan+的前n项和.【答案】(1)221nan=−;(2)221nn+.【解析】【分
析】(1)利用递推公式,作差后即可求得na的通项公式.(2)将na的通项公式代入,可得数列21nan+的表达式.利用裂项法即可求得前项和.【详解】(1)数列na满足()12321
2=naanan+++−2n时,()()12132321naanan+++−−﹣=∴()212nna−=∴221nan=−当1n=时,12a=,上式也成立∴221nan=−(2)21121(21)(21)2121nan
nnnn==−+−+−+∴数列21nan+的前n项和1111113352121nn=−+−++−−+1212121nnn=−=++【点睛】本题考查了利用递推公式求通项公式,裂项法求和的简单应用,属于基础题.19
.已知关于x的一元二次不等式ax2+x+b>0的解集为(-∞,-2)∪(1,+∞).(Ⅰ)求a和b的值;(Ⅱ)求不等式ax2-(c+b)x+bc<0的解集.【答案】(Ⅰ)1,2ab==−;(Ⅱ)答案见解析
.【解析】试题分析:(Ⅰ)由题意结合根与系数的关系得到关于实数a,b的方程组,求解方程组可得1,2ab==−;(Ⅱ)结合(I)的结论化简不等式,然后分类讨论即可求得不等式的解集.试题解析:(Ⅰ)由题意知-2和1是方程ax2+x+b=0的两个根,由根与系
数的关系,得,解得;(Ⅱ)由a=1、b=-2,不等式可化为x2-(c-2)x-2c<0,即(x+2)(x-c)<0;则该不等式对应方程的实数根为-2和c;所以,①当c=-2时,不等式为(x+2)2<0,
它的解集为∅;②当c>-2时,不等式的解集为(-2,c);②当c<-2时,不等式的解集为(c,-2).20.设数列na的前n项和为nS,且111,21nnaaS+==+,数列nb满足11ab=,点
()1,nnPbb+在20xy−+=上,*.nN(1)求数列na,nb的通项公式;(2)设nnnbca=,求数列nc的前n项和nT.【答案】(1)13nna−=,1(1)221nbnn=+−=−(2)2112132323nnnnT−−−=−−1133nn−+=−.
【解析】【分析】(1)利用na与nS的递推关系可以na的通项公式;P点代入直线方程得12nnbb+−=,可知数列nb是等差数列,用公式求解即可.(2)用错位相减法求数列的和.【详解】()1由121nnaS+=+可得()1212nnaSn−=
+,两式相减得12nnnaaa+−=,()132nnaan+=.又21213aS=+=,所以213aa=.故na是首项为1,公比为3的等比数列.所以13nna−=.由点()1,nnPbb+在直线20xy−+=上,所以12nnbb+−=.则数列
nb是首项为1,公差为2的等差数列.则()11221nbnn=+−=−()2因为1213nnnnbnca−−==,所以0121135213333nnnT−−=++++.则123111352321333333nnnnnT−−−=+++++,两式相减得:21222221133333nnnn
T−−=++++−.所以21112113323233nnnnnnT−−−−+=−−=−.【点睛】用递推关系1=(2)nnnaSSn−−求通项公式时注意n的取值范围,所求结果要注意检验1n=的情况;由一个等差数列和一个等比数列的积组成的数列求和,常
用错位相减法求解.21.如图,已知四棱锥P-ABCD,底面ABCD为菱形,PA⊥平面ABCD,∠ABC=60°,E,F分别是BC,PC的中点.(I)证明:AE⊥PD;(II)设AB=PA=2,①求异面直线PB与AD所成角的正弦值;②求二
面角E-AF-C的余弦值.【答案】(Ⅰ)证明见解析;(Ⅱ)①14;4②15.5【解析】【分析】(Ⅰ)通过AEBC⊥得到AEAD⊥,再证明PAAE⊥,AE⊥平面PAD,然后证明AEPD⊥;(Ⅱ)以A为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系,①求出()3,1,2BP=−,()020AD=,,,得到异面
直线PB与AD所成角的正弦函数值;②求出平面AEF的一法向量,平面AFC的一法向量,利用空间向量的数量积求解所求二面角的余弦值.【详解】(Ⅰ)证明:由四边形ABCD为菱形,60ABC=,可得ABC为正三角形.因为
E为BC的中点,所以AEBC⊥.又//BCAD,因此AEAD⊥.因为PA⊥平面ABCD,AE平面ABCD,所以PAAE⊥.而PA平面PAD,AD平面PAD且PAADA=,所以AE⊥平面PAD,又PD平面PAD
.所以AEPD⊥(Ⅱ)由(Ⅰ)知,,AEADAP两两垂直,以A为坐标原点,建立空间直角坐标系,又,EF分别为,BCPC的中点,所以(0,0,0)A,(3,1,0)B−,(3,1,0)C,(0,2,0)D,(0,0,2)P,(3,0,0)E,31(,,1)22F,①(3,1,2),(0,2,0
)BPAD=−=,.∴3012202cos,4222||BPADBPADBPAD−++===设异面直线PB与AD所成角为,∴14sin4=②31(3,0,0),(,,1).22AEAF==设平面AEF的
一法向量为111(,,),mxyz=则00mAEmAF==,因此111130,310.22xxyz=++=取11,(0,2,1),zm=−=−则因为BDAC⊥,BDPA⊥,PAACA=,所以BDAFC⊥平面,故BD为平面AFC的一法向量.又BD=
()3,3,0−,所以cos,mBD=23155512mBDmBD==.因为二面角EAFC−−为锐角,所以所求二面角的余弦值为15.5【点睛】本题考查了线面面面垂直的判定与性质定理、利用法向量夹角求空间角,考查了空间想象能力、推理能力
与计算能力,属于中档题.22.已知曲线C上的任意一点到两定点1(1,0)F−、2(1,0)F距离之和为4,直线l交曲线C于,AB两点,O为坐标原点.(1)求曲线C的方程;(2)若l不过点O且不平行于坐标轴,记线段AB的中点为M,求证:直线OM的斜率与l的斜率的乘积为定值;(3)若直线l过点(0
,2)Q,求OAB面积的最大值,以及取最大值时直线l的方程.【答案】(1)22143xy+=(2)证明见解析;(3)53,22yx=+或522yx=−+【解析】【分析】(1)利用椭圆的定义可知曲线为2,1ac==的
椭圆,直接写出椭圆的方程.(2)设直线:l()0,0ykxbkb=+,设()()()112200,,,,,AxyBxyMxy,联立直线方程与椭圆方程,通过韦达定理求解KOM,然后推出直线OM的斜率与l的斜率的乘积为定值.(3)设直线方程是2ykx=+与椭圆方程联立,
根据面积公式()21212121242AOBSxxxxxx=−=+−,代入根与系数的关系,利用换元和基本不等式求最值.【详解】(1)由题意知曲线是以原点为中心,长轴在x轴上的椭圆,设其标准方程为22221xyab+=,则有2,1ac==,所以2
223bac=−=,∴22143xy+=.(2)证明:设直线l的方程为()0,0ykxbkb=+,设()()()112200,,,,,AxyBxyMxy则由22143ykxbxy=++=可得()223412xkxb++=,即()2223484120kxkbxb+++−=∴1
22834kbxxk+=−+,∴12024234xxkbxk+==−+,20022433434kbbykxbbkk=+=−+=++,0034OMykxk==−,∴直线OM的斜率与l的斜率的乘积=4334OMkkkk
=−=−为定值(3)点()()1122,,,AxyBxy,由222143ykxxy=++=可得()22341640kxkx+++=,,解得214k121222164,3434kxxxxkk+=−=++∴()21212121242AO
BSxxxxxx=−=+−()22222216164143343434kkkkk−=−−=+++设()241,0,ktt−=+()2143431648AOBtSttt==+++16816tt++当4t=时,AOBS取得最大值3.此时2414k−=,即52k=所
以直线方程是522yx=+【点睛】本题考查椭圆定义及方程、韦达定理的应用及三角形面积的范围等问题,考查推理论证能力、运算求解能力,考查化归与转化思想,函数与方程思想,是中档题.