【文档说明】广西壮族自治区百色市2020-2021学年高二下学期期末考试理科数学试卷 含解析【精准解析】.docx，共(14)页，106.796 KB，由小赞的店铺上传

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1广西壮族自治区百色市2020-2021学年高二下学期理数期末考试试卷一、单选题（共12题；共60分）1.设复数𝑧=2+𝑎𝑖，若𝑧=𝑧̅，则实数𝑎=（）A.0B.2C.-1D.-22.数列{𝑎

𝑛}中，已知𝑎1=1，当𝑛≥2时，𝑎𝑛=𝑎𝑛−1+2𝑛−1，依次计算𝑎2，𝑎3，𝑎4后，猜想𝑎𝑛的表达式是（）A.𝑎𝑛=3𝑛−2B.𝑎𝑛=4𝑛−3C.𝑎𝑛=𝑛2D.𝑎𝑛=3𝑛−13.对两个变

量𝑦和𝑥进行回归分析，得到一组样本数据：(𝑥1,𝑦1)、(𝑥2,𝑦2)、⋯、(𝑥𝑛,𝑦𝑛)，则下列说法中不正确的是（）A.由样本数据得到的回归方程𝑦̂=𝑏̂𝑥+𝑎̂必过样本中心(𝑥̅,𝑦̅)

B.残差平方和越大的模型，拟合的效果越好C.用相关指数𝑅2来刻画回归效果，𝑅2越大，说明模型的拟合效果越好D.若变量𝑦和𝑥之间的相关系数为𝑟=−0.9362，则变量𝑦和𝑥之间具有线性相关关系4.设𝑓(𝑥)在定义域内可导，其图象如图所示，则导函𝑓′(𝑥)的图象可

能是（）A.B.C.D.5.函数𝑓(𝑥)=𝑥2−2𝑙𝑛𝑥的单调减区间是（）A.（0，1）B.（1，+∞）C.（﹣∞，1）D.（﹣1，1）6.已知函数𝑓(𝑥)=ln𝑥，则函数𝑔(𝑥)=𝑓(𝑥)−𝑓′(𝑥)的零点所在的区间是（）A.（0,1）B.（1,2）C.（2

,3）D.（3,4）7.已知随机变量𝜉服从正态分布𝑁(4,𝜎2)，且𝑃(𝜉>6)=0.1，则𝑃(2<𝜉<4)=（）A.0.8B.0.6C.0.4D.0.28.把一枚硬币连续抛两次，记“第一次出现正面”为事件𝐴，“第二

次出现正面”为事件𝐵，则𝑃(𝐵|𝐴)=（）A.12B.14C.16D.189.随机变量X的分布列为X-101Pabc其中a,b,c成等差数列,则𝑃(|𝑋|=1)等于（）2A.16B.13C.12D.2310.若样本数据𝑥1,𝑥2,⋯,𝑥10的标准差为8，则

数据2𝑥1−1,2𝑥2−1,…,2𝑥10−1的标准差为（）A.8B.15C.16D.1811.从分别标有1,2,…,9的9张卡片中不放回地随机抽取2次，每次抽取1张．则抽到的2张卡片上的数奇偶性不同的概率是（）A.

518B.49C.59D.7912.已知函数𝑓(𝑥)=2𝑥3+𝑎𝑥+𝑎.过点𝑀(−1,0)引曲线𝐶:𝑦=𝑓(𝑥)的两条切线，这两条切线与y轴分别交于A，B两点，若|𝑀𝐴|=|𝑀𝐵|，则𝑓(𝑥)的极大值点为（）A.−3√24B.3√24C.−√63D.√63二、

填空题（共4题；共20分）13.二项式(𝑥+1𝑥)6的展开式中，常数项是________.14.某校的书法绘画，乐器演奏，武术爱好三个兴趣小组的人数分别为600，400，300，若用分层抽样方法抽取n名学生参加某项活动，已知从武术小组中抽取了6名学生，则n的值为_____

___．15.现有一圆桌，周边有标号为1，2，3，4的四个座位，甲、乙、丙、丁四位同学坐在一起探讨一个数学课题，每人只能坐一个座位，甲先选座位，且甲、乙不能相邻，则所有选座方法有________种．（用数字作答）16.若函数𝑓(𝑥)=𝑚−𝑥2+2ln𝑥在[1e2,

e]上有两个零点，则实数𝑚的取值范围为________.三、解答题（共6题；共70分）17.设(1−2𝑥)2018=𝑎0+𝑎1𝑥+𝑎2𝑥2+⋯+𝑎2018𝑥2018(𝑥∈𝑅)．（1）求𝑎0+𝑎1+𝑎2+⋯+𝑎2018的值．（2）求𝑎1+

𝑎3+𝑎5+⋯+𝑎2017的值．18.已知函数𝑓(𝑥)=𝑥3+𝑥2−𝑥，𝑥∈[−2,1].（1）求𝑓(𝑥)的单调区间；（2）求𝑓(𝑥)的最大值和最小值.19.已知数列{𝑎𝑛}的前𝑛项和为𝑆𝑛，∀𝑛∈𝑁∗，𝑆𝑛=14(

2𝑛+1)𝑎𝑛+14.（1）求𝑎1,𝑎2,𝑎3；（2）猜想数列{𝑎𝑛}的通项公式，并用数学归纳法给予证明.20.某电视台举行一个比赛类型的娱乐节目，A、B两队各有六名选手参赛，将他们首轮的比赛成绩作为样本数据，绘制成茎叶图如图所示，为了增加节目的趣味性，

主持人故意将A队第六位选手的成绩没有给出，并且告知大家B队的平均分比A队的平均分多4分，同时规定如果某位选手的成绩不少于21分，则获得“晋级”．3（1）根据茎叶图中的数据，求出A队第六位选手的成绩；（2）主持人从AB两队所有选手成绩分别随机抽取2个，记抽取到“晋级”选

手的总人数为𝜉，求𝜉的分布列及数学期望．21.在传染病学中，通常把从致病刺激物侵入机体或者对机体发生作用起，到机体出现反应或开始呈现该疾病对应的相关症状时止的这一阶段称为潜伏期.一研究团队统计了某地区1000名患者的相关信息，得到如下表格：潜伏期（单位：天）[0,2](2,4](4,6]

(6,8](8,10](10,12](12,14]人数85205310250130155（1）该传染病的潜伏期受诸多因素的影响，为研究潜伏期与患者年龄的关系，以潜伏期是否超过6天为标准进行分层抽样，从上述1000名患者中抽取

200人，得到如下列联表.请将列联表补充完整，并根据列联表判断是否有95%的把握认为潜伏期与患者年龄有关；潜伏期≤6天潜伏期＞6天总计50岁以上（含50岁）10050岁以下55总计200（2）以这1000名患者的潜伏期超过6天的频率，代替该地区1名患者潜伏期超过6天发生的概率，每名患者的

潜伏期是否超过6天相互独立.为了深入研究，该研究团队随机调查了20名患者，设潜伏期超过6天的人数为𝑋，则𝑋的期望是多少？附：𝑃(𝐾2≥𝑘0)0.050.0250.010𝑘03.8415.0246.635𝐾2=𝑛(𝑎𝑑−𝑏𝑐)2(�

�+𝑏)(𝑐+𝑑)(𝑎+𝑐)(𝑏+𝑑)其中𝑛=𝑎+𝑏+𝑐+𝑑.22.已知函数𝑓(𝑥)=ln𝑥𝑥+𝑘的极大值为1+𝑒𝑒，其中𝑘为常数，𝑒=2.71828⋅⋅⋅为自然对数的底数.（1）求𝑘的值；（2）若函数𝑔(𝑥)=𝑒𝑥−�

�𝑥，对任意实数𝑥∈(0,+∞)，不等式𝑔(𝑥)≥𝑎𝑓(𝑥)恒成立，求实数𝑎的取值范围.4答案解析部分一、单选题（共12题；共60分）1.设复数𝑧=2+𝑎𝑖，若𝑧=𝑧̅，则实数𝑎=（）A.0B.2C.-1D.-2【答案】A【考点】复数相等的充要条件【解析】【解答】因为�

�=𝑧̅，所以2+𝑎𝑖=2−𝑎𝑖，解得𝑎=0．故答案为：A.【分析】利用共轭复数及复数相等的定义即可得到答案.2.数列{𝑎𝑛}中，已知𝑎1=1，当𝑛≥2时，𝑎𝑛=𝑎𝑛−1+2𝑛−1，依次计算𝑎2，𝑎3，𝑎4后，猜想𝑎𝑛的表达式是

（）A.𝑎𝑛=3𝑛−2B.𝑎𝑛=4𝑛−3C.𝑎𝑛=𝑛2D.𝑎𝑛=3𝑛−1【答案】C【考点】数列递推式【解析】【解答】𝑎2=𝑎1+2×2−1=1+3=4=22，𝑎3=𝑎2+2×3−1=4+5=9=32，𝑎4=𝑎3+2×4−1=9+7=16=42，

由上猜想𝑎𝑛的表达式为𝑎𝑛=𝑛2，故答案为：C.【分析】先根据数列的递推关系式求出𝑎2，𝑎3，𝑎4的值，即可得到答案.3.对两个变量𝑦和𝑥进行回归分析，得到一组样本数据：(𝑥1,𝑦1)、(𝑥2,𝑦2)、⋯、(𝑥𝑛,𝑦𝑛)

，则下列说法中不正确的是（）A.由样本数据得到的回归方程𝑦̂=𝑏̂𝑥+𝑎̂必过样本中心(𝑥̅,𝑦̅)B.残差平方和越大的模型，拟合的效果越好C.用相关指数𝑅2来刻画回归效果，𝑅2越大，说明模型的拟合效果越好D

.若变量𝑦和𝑥之间的相关系数为𝑟=−0.9362，则变量𝑦和𝑥之间具有线性相关关系【答案】B【考点】两个变量的线性相关，线性回归方程【解析】【解答】对于A选项，回归直线𝑦̂=𝑏̂𝑥+𝑎̂必过样本的中心(𝑥̅,

𝑦̅)，A选项正确；对于B选项，残差平方和越大的模型，拟合的效果越差，B选项错误；对于C选项，用相关指数𝑅2来刻画回归效果，𝑅2越大，说明模型的拟合效果越好，C选项正确；对于D选项，若变量𝑦和𝑥之间的相关系数为𝑟=−0.9362，则变量𝑦和𝑥之间具有较强的线性相关关系，

D选项正确.故答案为：B.5【分析】根据两个变量的线性相关和线性回归方程的特点，对四个选项分别进行判断，即可得出答案。4.设𝑓(𝑥)在定义域内可导，其图象如图所示，则导函𝑓′(𝑥)的图象可能是（）A

.B.C.D.【答案】B【考点】函数的图象【解析】【解答】函数的递减区间对应的𝑓′(𝑥)<0，函数的递增区间对应𝑓′(𝑥)>0，可知B选项符合题意.故答案为：B【分析】由f(x)的图象可得在y轴的左侧，图象下降，f(x)递减，y轴的右侧，图象先下降再上升,最后下降，即有y轴左侧导数小于0，

右侧导数先小于0，再大于0，最后小于0，对照选项，即可判断.5.函数𝑓(𝑥)=𝑥2−2𝑙𝑛𝑥的单调减区间是（）A.（0，1）B.（1，+∞）C.（﹣∞，1）D.（﹣1，1）【答案】A【考点】利用导数研究函数的单调

性【解析】【解答】由题意，函数𝑓(𝑥)=𝑥2−2𝑙𝑛𝑥的定义域为(0,+∞)，且𝑓′(𝑥)=2𝑥−2𝑥=2(𝑥−1)(𝑥+1)𝑥，因为𝑥>0，可得𝑥+1>0，令𝑓′(𝑥)<0，即𝑥−1<0，解得0<𝑥<1，所以函

数𝑓(𝑥)的递减区间为(0,1).故答案为：A【分析】求出函数的导数，令导数小于0，注意函数的定义域，解不等式即可得到单调减区间.6.已知函数𝑓(𝑥)=ln𝑥，则函数𝑔(𝑥)=𝑓(𝑥)−𝑓′(𝑥)的零点所在的区间是（）A.（0,1）B

.（1,2）C.（2,3）D.（3,4）【答案】B【考点】函数零点的判定定理【解析】【解答】𝑔(𝑥)=𝑓(𝑥)−𝑓′(𝑥)=ln𝑥−1𝑥,易知，所以根据零点存在性定理𝑔(𝑥)在（1,2）间有零点.故答案为：B6【分析】求出函数f(x)

的导函数，把f(x)及其导函数代入函数g(x)中，对函数g(x)求导可知函数g(x)是单调函数，且g(1)<0,g(2)>0，则函数g(x)的零点所在的区间可求.7.已知随机变量𝜉服从正态分布𝑁(4,𝜎2)，且𝑃(𝜉>6)=0.1，则𝑃(2<𝜉<4)=（）A.0.8B.0.6C.

0.4D.0.2【答案】C【考点】正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义【解析】【解答】因为随机变量𝜉服从正态分布𝑁(4,𝜎2)，𝜇=4，所以𝑃(𝜉<2)=𝑃(𝜉>6)=0.1，故𝑃(2<𝜉<6)=1−2×

0.1=0.8，所以𝑃(2<𝜉<4)=𝑃(4<𝜉<6)=12𝑃(2<𝜉<6)=0.4，故答案为：C.【分析】由已知求得正态分布曲线的对称轴，由已知结合正态分布曲线的对称性即可求解P(2<ξ

<4).8.把一枚硬币连续抛两次，记“第一次出现正面”为事件𝐴，“第二次出现正面”为事件𝐵，则𝑃(𝐵|𝐴)=（）A.12B.14C.16D.18【答案】A【考点】条件概率与独立事件【解析】【解答】“第一

次出现正面”：𝑃(𝐴)=12,“两次出现正面”:𝑃(𝐴𝐵)=12×12=14,则𝑃(𝐵|𝐴)=𝑃(𝐴𝐵)𝑃(𝐴)=1412=12故答案为：A【分析】求出第一次出现正面的概率和两次出现正面的概率，结合条件概率的计算公式，即可求出𝑃(𝐵|𝐴)

.9.随机变量X的分布列为X-101Pabc其中a,b,c成等差数列,则𝑃(|𝑋|=1)等于（）A.16B.13C.12D.23【答案】D【考点】等差数列的性质，离散型随机变量及其分布列【解析】【解答】因为a

,b,c成等差数列,所以2b=a+c,又a+b+c=1,所以b=13,7所以P(|X|=1)=a+c=23，故答案为：D.【分析】利用等差中项公式结合概率之和为1的性质，建立关于a,b,c的方程组，从而解方程组求出b的值，进而求出a+

c的值，从而求出概率值𝑃(|𝑋|=1)。10.若样本数据𝑥1,𝑥2,⋯,𝑥10的标准差为8，则数据2𝑥1−1,2𝑥2−1,…,2𝑥10−1的标准差为（）A.8B.15C.16D.18【答案】C【考点】极差、方差与标准差【解析】【解答】设

样本数据𝑥1,𝑥2,…,𝑥10的标准差为√𝐷𝑋，则[139,151]，即方差20，而数据2𝑥1−1,2𝑥2−1,…,2𝑥10−1的方差𝐷(2𝑋−1)=22𝐷𝑋=22×64，所以其标准差为√

22×64=16．故答案为：C．【分析】根据标准差和方差之间的关系先求出对应的方差，然后结合变量之间的方差关系进行求解即可.11.从分别标有1,2,…,9的9张卡片中不放回地随机抽取2次，每次抽取1张．则抽到的2张卡片

上的数奇偶性不同的概率是（）A.518B.49C.59D.79【答案】C【考点】古典概型及其概率计算公式【解析】【解答】标有1，2，⋅⋅⋅，9的9张卡片中，标奇数的有5张，标偶数的有4张，所以抽到的2

张卡片上的数奇偶性不同的概率是2𝐶51𝐶419×8=59,故答案为：C.【分析】计算出所有情况总数，及满足条件的情况数，代入古典概型概率计算公式，可得答案.12.已知函数𝑓(𝑥)=2𝑥3+𝑎𝑥+𝑎.过点𝑀(−1,0)引曲线𝐶:

𝑦=𝑓(𝑥)的两条切线，这两条切线与y轴分别交于A，B两点，若|𝑀𝐴|=|𝑀𝐵|，则𝑓(𝑥)的极大值点为（）A.−3√24B.3√24C.−√63D.√63【答案】A【考点】利用导数研究函数的极值【解析】【解答】设切点坐标

为(𝑡,2𝑡3+𝑎𝑡+𝑎)，∵𝑦′=6𝑥2+𝑎，∴6𝑡2+𝑎=2𝑡3+𝑎𝑡+𝑎𝑡+1，即4𝑡3+6𝑡2=0，解得𝑡=0或𝑡=−32.∵|𝑀𝐴|=|𝑀𝐵|，∴𝑦′|𝑥=0+𝑦′|𝑥=−32=0，即2𝑎+6

×(−32)2=0，8则𝑎=−274，𝑓′(𝑥)=6𝑥2−274.当𝑥<−3√24或𝑥>3√24时，𝑓′(𝑥)>0；当−3√24<𝑥<3√24时，𝑓′(𝑥)<0.故𝑓(𝑥)的极大值点为−3√24.故答案为：A【分析】设出切点坐标，求出原函数的导函数，

可得函数在切点处的切线斜率，由斜率相等列式求得切点横坐标，再由|MA|=|MB|，可得𝑦′|𝑥=0+𝑦′|𝑥=−32=0，由此求得a的值，即可得到f(x)的极大值点.二、填空题（共4题；共20分）13.二项式(𝑥+1𝑥)6的展开式中，常数项

是________.【答案】20【考点】二项式定理【解析】【解答】由题意展开式通项公式为𝑇𝑟+1=𝐶6𝑟𝑥6−𝑟(1𝑥)𝑟=𝐶6𝑟𝑥6−2𝑟，令6−2𝑟=0，𝑟=3，所以常数项为𝑇4=𝐶63=20．故答案为：20．【分析

】写出展开式通项公式，由𝑥的指数为0可得常数项的项数，从而得常数项．14.某校的书法绘画，乐器演奏，武术爱好三个兴趣小组的人数分别为600，400，300，若用分层抽样方法抽取n名学生参加某项活动，已知从武术小组中抽

取了6名学生，则n的值为________．【答案】26【考点】古典概型及其概率计算公式【解析】【解答】因为书法绘画，乐器演奏，武术爱好三个兴趣小组的人数分别为600，400，300，所以得到武术小组占总人数的比值为3006

00+400+300=313，因为武术小组中抽取了6名学生，根据分层抽样的特点可得6𝑛=313，解得𝑛=26．故答案为：26【分析】由题意利用分层抽样的定义和方法，求出n的值。15.现有一圆桌，周边有标号为1，2，3，4的四个座位，甲、乙、丙、丁四位同学坐在一起探讨一个数学课题，每人只能

坐一个座位，甲先选座位，且甲、乙不能相邻，则所有选座方法有________种．（用数字作答）【答案】8【考点】分步乘法计数原理【解析】【解答】先按排甲，其选座方法有𝐶41种，由于甲、乙不能相邻，所以乙只能坐甲对面，而丙、丁两位同学坐另两个位置的坐法有𝐴22种，所以共有坐法种数为𝐶41⋅�

�22=4×2=8种．9故答案为8．【分析】先安排甲，有𝐶41种方法；再安排乙，只能在甲的对面;最后安排丙、丁，有𝐴22种方法，最后根据分步乘法计数原理可得所求结果.16.若函数𝑓(𝑥)=𝑚−𝑥2+2ln𝑥在[1e2,e

]上有两个零点，则实数𝑚的取值范围为________.【答案】(1,4+1e4]【考点】利用导数研究函数的单调性，利用导数求闭区间上函数的最值【解析】【解答】令𝑓(𝑥)=𝑚−𝑥2+2ln𝑥=0，则𝑚=𝑥2−2

ln𝑥，令𝑔(𝑥)=𝑥2−2ln𝑥，则由𝑔′(𝑥)=2𝑥−2𝑥=2(𝑥−1)(𝑥+1)𝑥知，𝑔(𝑥)在[1e2,1]上单调递减，在[1,e]上单调递增，且[𝑔(𝑥)]min=𝑔(1)=1，𝑔(1e2)=4+1e4，𝑔(e)=e2−2.

∵4+1e4<5，e2−2≥5，∴𝑔(1e2)<𝑔(e)，作出函数𝑔(𝑥)的图像，如下图所示：所以函数𝑓(𝑥)在[1e2,e]上有两个零点，则实数𝑚的取值范围为(1,4+1e4].故答案为：(1,4+1e4].【分析】令𝑔(𝑥)=𝑥2

−2ln𝑥，判断g(x)的单调性和极值，根据g(x)=m由两解得出m的范围.三、解答题（共6题；共70分）17.设(1−2𝑥)2018=𝑎0+𝑎1𝑥+𝑎2𝑥2+⋯+𝑎2018𝑥2018(𝑥∈𝑅)．10（1）求𝑎0

+𝑎1+𝑎2+⋯+𝑎2018的值．（2）求𝑎1+𝑎3+𝑎5+⋯+𝑎2017的值．【答案】（1）令𝑥=1，得𝑎0+𝑎1+𝑎2+⋯+𝑎2018=(−1)2018=1①；（2）令𝑥=−1，得𝑎0−𝑎1+𝑎2−⋯+𝑎

2018=32018②，①−②得2(𝑎1+𝑎3+𝑎5+⋯+𝑎2017)=1−32018，∴𝑎1+𝑎3+𝑎5+⋯+𝑎2017=1−320182【考点】二项式系数的性质【解析】【分析】（1）令𝑥=1，

得𝑎0+𝑎1+𝑎2+⋯+𝑎2018=(−1)2018=1（2）通过给二项式的x赋值，求得展开式的系数和，从而得出结论.18.已知函数𝑓(𝑥)=𝑥3+𝑥2−𝑥，𝑥∈[−2,1].（1）求𝑓(�

�)的单调区间；（2）求𝑓(𝑥)的最大值和最小值.【答案】（1）因为函数𝑓(𝑥)=𝑥3+𝑥2−𝑥，所以𝑓′(𝑥)=3𝑥2+2𝑥−1=3(𝑥−13)(𝑥+1)，当−2<𝑥<−1或13<𝑥<1时，𝑓′(𝑥)>0，当−1<𝑥<13时，𝑓′(

𝑥)<0，所以𝑓(𝑥)的增区间是：[−2,−1]，[13,1]；𝑓(𝑥)的减区间是：[−1,13]（2）由（1）知：当𝑥=−1时，𝑓(𝑥)取得极大值1；当𝑥=13时，𝑓(𝑥)取得极小值−527；又𝑓(−2)=−2,𝑓(1)=1，

所以𝑓(𝑥)的最大值1和最小值-2.【考点】利用导数研究函数的单调性，利用导数研究函数的极值【解析】【分析】(1)求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间;(2)根据函数的单调性，求出函数的端点值和极值,求出函数的最值即可.19.已知数列{𝑎𝑛}

的前𝑛项和为𝑆𝑛，∀𝑛∈𝑁∗，𝑆𝑛=14(2𝑛+1)𝑎𝑛+14.（1）求𝑎1,𝑎2,𝑎3；（2）猜想数列{𝑎𝑛}的通项公式，并用数学归纳法给予证明.【答案】（1）解：分别取𝑛=1,2,3得𝑆1=𝑎1=34𝑎1+14，𝑆2

=𝑎1+𝑎2=54𝑎2+14，𝑆3=𝑎1+𝑎2+𝑎3=74𝑎3+14，解得𝑎1=1，𝑎2=3，𝑎3=5.11（2）解：猜想𝑎𝑛=2𝑛−1𝑛=1时，由（1）知，𝑎1=1=2×1−1，猜想成立，假设𝑛=𝑘(𝑘∈𝑁∗

)时，𝑎𝑘=2𝑘−1则𝑎𝑘+1=𝑆𝑘+1−𝑆𝑘=[14(2𝑘+3)𝑎𝑘+1+14]−[14(2𝑘+1)𝑎𝑘+14]=14(2𝑘+3)𝑎𝑘+1−14(2𝑘+1)𝑎𝑘所以14(2𝑘−1)𝑎𝑘+1=14(2𝑘

+1)𝑎𝑘因为𝑎𝑘=2𝑘−1，所以𝑎𝑘+1=2𝑘+1=2(𝑘+1)−1所以，𝑛=𝑘+1时𝑎𝑛=2𝑛−1成立，综上所述，任意𝑛∈𝑁∗，𝑎𝑛=2𝑛−1.【考点】数列递推式，数学归纳法的证明步骤【解析】【分析】（1）由题

设所给条件，分别令𝑛=1,2,3可得𝑎1,𝑎2,𝑎3（2）猜想数列的通项公式为𝑎𝑛=2𝑛−1，采用数学归纳法证明即可20.某电视台举行一个比赛类型的娱乐节目，A、B两队各有六名选手参赛，将他们首轮的比赛成绩作为样本数据，绘制成茎叶图如图所示，为了增加节目的趣

味性，主持人故意将A队第六位选手的成绩没有给出，并且告知大家B队的平均分比A队的平均分多4分，同时规定如果某位选手的成绩不少于21分，则获得“晋级”．（1）根据茎叶图中的数据，求出A队第六位选手的成绩；（

2）主持人从AB两队所有选手成绩分别随机抽取2个，记抽取到“晋级”选手的总人数为𝜉，求𝜉的分布列及数学期望．【答案】（1）B队选手的平均分为，11+12+21+25+27+366=22，设A队第6位选手的成绩为𝑥，则9+11+13+24+31+𝑥

6=18，解得𝑥=20．（2）𝜉的可能取值有0，1，2，3，4，𝑃(𝜉=0)=𝐶42𝐶22𝐶62𝐶62=6225；𝑃(𝜉=1)=𝐶21𝐶41𝐶22+𝐶42𝐶41𝐶21𝐶62𝐶62=56225；12𝑃(𝜉=2)=𝐶21𝐶41

𝐶41𝐶21+𝐶22𝐶22+𝐶42𝐶42𝐶62𝐶62=101225；𝑃(𝜉=3)=𝐶21𝐶4𝐶21+𝐶21𝐶41𝐶42𝐶62𝐶62=56225；𝑃(𝜉=4)=�

�21𝐶42𝐶62𝐶62=6225．∴𝜉的分布列为𝜉01234𝑃622556225101225562256225∴𝐸(𝜉)=0×6225+1×56225+2×101225+3×56225+4

×6225=2．【考点】茎叶图，离散型随机变量及其分布列，离散型随机变量的期望与方差【解析】【分析】(1)设A队第六位选手的成绩为x，利用茎叶图及平均数的定义能求出A队第六位选手的成绩；(2)由题意A队6位选手中有2人获得“晋级”，B队6位选手中有4人获得“晋级”，则ξ的

可能取值为0，1,2，3,4,分别求出相应的概率，由此能求出ξ的分布列及数学期望.21.在传染病学中，通常把从致病刺激物侵入机体或者对机体发生作用起，到机体出现反应或开始呈现该疾病对应的相关症状时止的这一阶段称为潜伏期.一研究团队统计了某地区10

00名患者的相关信息，得到如下表格：潜伏期（单位：天）[0,2](2,4](4,6](6,8](8,10](10,12](12,14]人数85205310250130155（1）该传染病的潜伏期受诸多因素的影响，为研究潜伏期与患者年龄

的关系，以潜伏期是否超过6天为标准进行分层抽样，从上述1000名患者中抽取200人，得到如下列联表.请将列联表补充完整，并根据列联表判断是否有95%的把握认为潜伏期与患者年龄有关；潜伏期≤6天潜伏期＞6天总计50岁以上（含50岁）100

50岁以下55总计200（2）以这1000名患者的潜伏期超过6天的频率，代替该地区1名患者潜伏期超过6天发生的概率，每名患者的潜伏期是否超过6天相互独立.为了深入研究，该研究团队随机调查了20名患者，设潜伏期超过6天的人数为𝑋

，则𝑋的期望是多少？附：𝑃(𝐾2≥𝑘0)0.050.0250.010𝑘03.8415.0246.635𝐾2=𝑛(𝑎𝑑−𝑏𝑐)2(𝑎+𝑏)(𝑐+𝑑)(𝑎+𝑐)(𝑏+𝑑)其中𝑛=𝑎+𝑏+𝑐+𝑑.13【答案】（1）

根据题意，补充完整的列联表如下：潜伏期＜6天潜伏期≥6天总计50岁以上（含50岁）653510050岁以下5545100总计12080200则𝐾2=(65×45−55×35)2120×80×100×100=2512≈2.083，经查表，得𝐾

2≈2.083<3.841，所以，没有95%的把握认为潜伏期与年龄有关.（2）由题可知，该地区每1名患者潜伏期超过6天发生的概率为4001000=25，设调查的20名患者中潜伏期超过6天的人数为𝑋，则𝑋服从二项分布：𝑋∼𝐵(20,

25)，𝑃(𝑋=𝑘)=𝐶20𝑘(25)𝑘(35)20−𝑘，𝑘=0,1,2,⋅⋅⋅,20，则𝐸(𝑋)=20×25=8，所以，𝑋的期望为𝐸(𝑋)=8.【考点】独立性检验的基本思想，二项分布与n次独立重复试验的模型【解析】【分析】（1

）根据题目所给的数据填写2X2列联表，计算K的观测值K2,对照题目中的表格，得出统计结论；（2）由题意可知X服从二项分布:𝑋∼𝐵(20,25)，即可求出𝑋的期望。22.已知函数𝑓(𝑥)=ln𝑥𝑥+𝑘的极大值为1+𝑒𝑒

，其中𝑘为常数，𝑒=2.71828⋅⋅⋅为自然对数的底数.（1）求𝑘的值；（2）若函数𝑔(𝑥)=𝑒𝑥−𝑎𝑥，对任意实数𝑥∈(0,+∞)，不等式𝑔(𝑥)≥𝑎𝑓(𝑥)恒成立，求实数𝑎的取值范围.【答案】（1）解：𝑓(𝑥)的定义域为(0,+∞)，𝑓′(𝑥)=1

−ln𝑥𝑥2，令𝑓′(𝑥)>0，解得：0<𝑥<𝑒，令𝑓′(𝑥)<0，解得：𝑥>𝑒，所以当𝑥∈(0,𝑒)，𝑓(𝑥)为增函数，当𝑥∈(𝑒,+∞)，𝑓(𝑥)为减函数，所以𝑥=𝑒时，𝑓(𝑥)有极大值𝑓(𝑒)=1𝑒+𝑘=1+𝑒𝑒，所以𝑘=1；

（2）解：由（1）知，𝑓(𝑥)=ln𝑥𝑥+1，则𝑔(𝑥)≥𝑎𝑓(𝑥)，即𝑒𝑥−𝑎𝑥≥𝑎ln𝑥𝑥+𝑎对∀𝑥∈(0,+∞)恒成立，所以𝑥𝑒𝑥−𝑎≥𝑎ln𝑥+𝑎𝑥对∀𝑥∈(0,+∞)恒成立，即𝑥𝑒𝑥−𝑎ln𝑥−𝑎𝑥−𝑎≥

0对∀𝑥∈(0,+∞)恒成立14设ℎ(𝑥)=𝑥𝑒𝑥−𝑎ln𝑥−𝑎𝑥−𝑎，则ℎ(𝑥)≥0对∀𝑥∈(0,+∞)恒成立，ℎ(𝑥)=𝑒ln𝑥𝑒𝑥−𝑎ln𝑥−𝑎𝑥−𝑎=𝑒ln𝑥+𝑥−𝑎(ln𝑥+𝑥)−𝑎设

ln𝑥+𝑥=𝑡，𝑡∈R，原问题转化为：𝜑(𝑡)=𝑒𝑡−𝑎𝑡−𝑎≥0对∀𝑡∈R恒成立，①若𝑎<0，当𝑡∈(−∞,0)时，𝜑(𝑡)=𝑒𝑡−𝑎𝑡−𝑎<1−𝑎𝑡−𝑎，则𝜑(1𝑎−1)<1−𝑎(1𝑎−1)

−𝑎=0，不合题意；②若𝑎=0，则𝜑(𝑡)=𝑒𝑡≥0对∀𝑡∈R恒成立，符合题意③若𝑎>0，则𝜑′(𝑡)=𝑒𝑡−𝑎，令𝜑′(𝑡)>0，𝑡>ln𝑎，令𝜑′(𝑡)<0，𝑡<ln𝑎，所以当𝑡∈(−∞,ln𝑎)时，

𝜑(𝑡)为减函数，当𝑡∈(ln𝑎,+∞)时，𝜑(𝑡)为增函数，所以𝜑(𝑡)≥𝜑(ln𝑎)=𝑒ln𝑎−𝑎ln𝑎−𝑎=−𝑎ln𝑎≥0，即ln𝑎≤0，即0<𝑎≤1；综上0

≤𝑎≤1【考点】函数恒成立问题，利用导数研究函数的单调性，利用导数研究函数的极值【解析】【分析】（1）本小题先求导函数，再根据单调性求解即可.（2）本小题先将不等式恒成立问题转化为函数恒大于零的问题，再分类讨论解题即可.