【文档说明】`“超级全能生”2021届高三全国卷地区1月联考丙卷（B）文科数学含解析.doc，共(19)页，1.232 MB，由管理员店铺上传

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-1-2021年“超级全能生”高考数学联考试卷（文科）（丙）（B卷）（1月份）一、选择题（每小题5分）.1．已知i是虚数单位，若复数z满足（2+3i）z＝﹣1+i，则|z|＝（）A．B．C．D．2．已知集合A＝{2，4，6，7}，B＝{x∈N|lo

g2（x﹣1）≤3}，则∁BA的元素的个数为（）A．2B．3C．4D．53．从装有2个红球与3个白球的口袋中任选2个球，那么得到的2个球颜色相同的概率是（）A．B．C．D．4．在某次数学测试中6名同学的

成绩分别为91，100，95，92，x，92，且91＜x＜95，x为正整数，若6名同学的数学成绩的中位数与众数相等，则这6名同学的数学成绩的平均数是（）（结果保留一位小数）A．93.0B．92.5C．94.5D．93.75．已知数列{an}是等差数列，且a3，a7

是方程x2﹣10x+9＝0的两根，则a5＝（）A．3B．4C．5D．66．已知函数f（x）＝的图象如图所示，则满足解集为{x|﹣1＜x＜1}的不等式可能为（）A．f（x）≥log2（x+1）B．f（x）＞log

2（x+1）C．f（x）≥log2（x+2）D．f（x）＞log2（x+2）7．已知变量x，y满足约束条件，则目标函数z＝3x+2y的最小值为（）-2-A．3B．﹣5C．﹣10D．﹣208．如图所示，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F分别是BC，D1D的中点，则异

面直线EF与A1C1所成角的余弦值为（）A．B．C．D．9．已知函数f（x）＝Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜π）的图象上最高点的坐标为（，2），相邻最低点的坐标为（，﹣2），将函数f（x）的图象向右平移m（m＞0）个单位长

度后，得到函数g（x）的图象，其图象关于y轴对称，则m的值可能为（）A．B．C．D．10．过双曲线＝1（m＞0）的右焦点F作x轴的垂线与双曲线的两条渐近线分别交于A，B两点，O为坐标原点，当△ABO的面积取

得最小值时，双曲线的渐近线方程为（）A．y＝±xB．y＝±xC．y＝±xD．y＝±x11．在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且tanA＝﹣，a＝3，△ABC的面积为2，则△ABC的周长为（）A．B．10C．1+D．3+12．已知圆x2+y2＝4与x轴

的交点分别为A，B，点P是直线l：y＝﹣x+6上的任意一点，椭圆C以A，B为焦点且过点P，则椭圆C的离心率e的取值范围为（）A．[，]B．（0，]C．[，]D．[，1）二、填空题（每小题5分）.13．曲线f（x）＝xex+3x﹣1在点（0，f（0））处的切线的

斜截式方程为．14．已知＝（cosα，﹣sinα），＝（1，），且⊥，α∈（0，π），则α＝．15．已知cos（α+β）＝，sin（π﹣β）＝，且α，β∈（0，），则tan（α﹣）＝．-3-16．已知函数f

（x）是R上的奇函数，且对任意的x都有f（x+）＝﹣f（x）成立，f（﹣2）＞1，f（17）＝，则实数a的取值范围为．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22，23题为选考题，考生根据要求作

答。（一）必考题：共60分。17．已知正项数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝1﹣an（n∈N*）．（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；（Ⅱ）若bn＝，求数列{bn}的前n项和Tn．18．某商场随机抽取在一年中7个月的月平均促销费x（单位：万元）与

月平均利润y（单位：万元）作统计，如表：月份i1234567月平均促销费x（万元）10.81.31.80.91.21.4月平均利润y（万元）13.51115.319.211.716.517.8经计算得，．（Ⅰ）求y关于x的线性回归方程（结果保留两

位小数）；（Ⅱ）求（xi，yi）（i＝1，2，3，4，5，6，7）的相关系数r，并回答该商场的月利润额与促销费的相关关系如何？附：＝＝，＝﹣，r＝-4-．19．在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F分别是BB1，A1

D1的中点．（Ⅰ）求证：EF∥平面BC1D1；（Ⅱ）若正方体的棱长为2，求三棱锥D﹣BC1D1的体积．20．已知f（x）＝lnx+ax，a∈R．（Ⅰ）讨论f（x）的单调性；（Ⅱ）若a＜﹣1，证明：f（x）＜﹣1．21．已知抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点在直线x﹣y﹣2＝0上．（Ⅰ）求

抛物线C的方程；（Ⅱ）设P，M，N为抛物线C上的不同三点，点P（2，4），且PM⊥PN．求证：直线MN过定点（10，﹣4）．（二）选考题：共10分。请考生在第22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做

的第一题记分，作答时，请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑。[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程是（φ为参数）．以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线C2的极坐标方程是ρsinθ＝．（Ⅰ）求曲线C1的极坐标方程

和直线C2的直角坐标方程；（Ⅱ）过点O的直线l与C1异于点O的交点为点A，与C2的交点为点B，求|OA|•|OB|的值．[选修4-5：不等式选讲]23．（Ⅰ）若a，b∈R，且满足＝3，证明：≥6；-5-（Ⅱ）若a，b∈R，且满足

，证明：≥6．-6-参考答案一、选择题（每小题5分）.1．已知i是虚数单位，若复数z满足（2+3i）z＝﹣1+i，则|z|＝（）A．B．C．D．解：因为（2+3i）z＝﹣1+i，所以，故．故选：A．2．已知集合A＝{2，4，6

，7}，B＝{x∈N|log2（x﹣1）≤3}，则∁BA的元素的个数为（）A．2B．3C．4D．5解：∵A＝{2，4，6，7}，B＝{x∈N|0＜x﹣1≤8}＝{x∈N|1＜x≤9}＝{2，3，4，5，6，7，8，9}，∴∁B

A＝{3，5，8，9}，∴∁BA的元素个数为：4．故选：C．3．从装有2个红球与3个白球的口袋中任选2个球，那么得到的2个球颜色相同的概率是（）A．B．C．D．解：从2个红球与3个白球的口袋中任选2个球的所

有选法有＝10种等可能结果，得到的2个球颜色相同的情况有＝4种结果，故P＝＝．故选：B．4．在某次数学测试中6名同学的成绩分别为91，100，95，92，x，92，且91＜x＜95，x为正整数，若6名同学的数学成绩的中位数与众数相等，则这6名同学的数学成绩的平均数是（）（结果保留一

位小数）-7-A．93.0B．92.5C．94.5D．93.7解：将成绩按从小到大排列为：91，92，92，95，100，又x的值必定在92，93，94之中，若x为92，则众数为92，中位数也是92，符合题意；若x为93，则中位数是92.5，不可能与众数92相等，不符合题意；若为94，则中

位数为93，与众数92不相等，不符合题意．故x为92，所以这6名同学的数学成绩的平均数是为≈93.7．故选：D．5．已知数列{an}是等差数列，且a3，a7是方程x2﹣10x+9＝0的两根，则a5＝（）A．3B．4C．5D．6解：因为数列{an}是等差数列，且

a3，a7是方程x2﹣10x+9＝0的两根，所以a3+a7＝2a5＝10，则a5＝5．故选：C．6．已知函数f（x）＝的图象如图所示，则满足解集为{x|﹣1＜x＜1}的不等式可能为（）A．f（x）≥log2（x+1）B．f（x）＞log2（x+1）C．f（x）≥log

2（x+2）D．f（x）＞log2（x+2）解：当x＝0时，f（0）＝0+2＝a，解得a＝2，由满足解集为{x|﹣1＜x＜1}，则只要将y＝log2x的图象向左移一个单位即可，即不等式为f（x）＞lo

g2（x+1），故选：B．-8-7．已知变量x，y满足约束条件，则目标函数z＝3x+2y的最小值为（）A．3B．﹣5C．﹣10D．﹣20解：由约束条件作出可行域如图，联立，解得A（﹣4，﹣4），由z＝3x+2y，得y＝﹣，由图可知，

当直线y＝﹣过A时，直线在y轴上的截距最小，z有最小值为﹣20．故选：D．8．如图所示，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F分别是BC，D1D的中点，则异面直线EF与A1C1所成角的余弦值为（）-9-A．B．C．D．解：取A

B的中点O，连结OE，OF，AC，因为E为BC的中点，所以OE∥AC，又AC∥A1C1，所以OE∥A1C1，故∠FEO即为异面直线EF与A1C1所成的角，设正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为2，则，，所以，在

△EFO中，由余弦定理可得，＝，所以异面直线EF与A1C1所成角的余弦值为．故选：B．9．已知函数f（x）＝Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜π）的图象上最高点的坐标为（，2），相邻最低点的坐标为（，﹣2），将函数

f（x）的图象向右平移m（m＞0）个单位长度后，得到函数g（x）的图象，其图象关于y轴对称，则m的值可能为（）A．B．C．D．-10-解：∵函数f（x）＝Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜π）的图象上最高点的坐标为（，2），相邻最

低点的坐标为（，﹣2），∴A＝2，•＝﹣，∴ω＝2，f（x）＝2sin（2x+φ）．结合五点法作图，2×+φ＝，∴φ＝，故f（x）＝2sin（2x+）．将函数f（x）的图象向右平移m（m＞0）个单位长度后，得到y＝2sin（2x+﹣2m）的图象．再

根据所得图象关于y轴对称，故所得函数g（x）为偶函数，故﹣2m＝kπ+，k∈Z，即m＝﹣﹣，则m的值可能是，此时，k＝﹣1，故选：C．10．过双曲线＝1（m＞0）的右焦点F作x轴的垂线与双曲线的两条渐近线分别交于A，B两点，O为坐标原点，当△ABO的面

积取得最小值时，双曲线的渐近线方程为（）A．y＝±xB．y＝±xC．y＝±xD．y＝±x解：双曲线＝1（m＞0）的右焦点F（，0），渐近线的方程为y＝±，令x＝，可得y＝±，则△ABO的面积为S＝••＝＝m+≥2，当且仅当m＝1时，上式取得等号．所以双曲线的渐近线方程为

y＝±x．故选：C．11．在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且tanA＝﹣，a＝3，△ABC的面积-11-为2，则△ABC的周长为（）A．B．10C．1+D．3+解：因为tanA＝﹣，所以cosA＝﹣，sinA＝，因为△ABC的面积S＝＝＝2

，则bc＝5，由余弦定理得，a2＝9＝b2+c2﹣2bccosA＝（b+c）2﹣10+10×，故b+c＝，△ABC的周长为a+b+c＝3+．故选：D．12．已知圆x2+y2＝4与x轴的交点分别为A，B，点P

是直线l：y＝﹣x+6上的任意一点，椭圆C以A，B为焦点且过点P，则椭圆C的离心率e的取值范围为（）A．[，]B．（0，]C．[，]D．[，1）解：圆x2+y2＝4与x轴的交点分别为A，B，点P是直线l：y＝﹣x+6上的任意一点，椭

圆C以A，B为焦点且过点P，可知A（﹣2，0），B（2，0），c＝2，P是直线l上的点，P到A、B两点距离之和的最小值为：B关于直线的对称性B′与A的距离，设B′（m，n），可得，解得n＝4，m＝6，所以B′（6，4），|AB′|＝＝4，所以椭圆的长轴长

2a＝4，所以a的最小值为2，椭圆的离心率的最大值为：＝．椭圆C的离心率e的取值范围为（0，]．故选：B．-12-二、填空题（每小题5分）.13．曲线f（x）＝xex+3x﹣1在点（0，f（0））处的切线的斜截式方程为y＝4x﹣1．解：f（x）＝xex+3

x﹣1的导数为f′（x）＝（x+1）ex+3，可得在点（0，f（0））处的切线的斜率为f′（0）＝4，切点为（0，﹣1），则切线的斜截式方程为y＝4x﹣1．故答案为：y＝4x﹣1．14．已知＝（cosα，﹣sinα）

，＝（1，），且⊥，α∈（0，π），则α＝．解：∵＝（cosα，﹣sinα），＝（1，），且⊥，∴•＝cosα﹣sinα＝0，故tanα＝，结合α∈（0，π），则α＝，故答案为：．15．已知cos（α+β）＝，sin（π﹣β）＝，且α，β

∈（0，），则tan（α﹣）＝﹣．解：∵sin（π﹣β）＝，∴sinβ＝，又β∈（0，），∴cosβ＝，∵cos（α+β）＝，且α，β∈（0，），∴sin（α+β）＝，-13-∴cosα＝cos[（α+β）﹣β]＝

cos（α+β）cosβ+sin（α+β）sinβ＝×+×＝，∵α∈（0，），∴sinα＝＝，tanα＝＝，∴tan（α﹣）＝＝＝﹣．故答案为：﹣．16．已知函数f（x）是R上的奇函数，且对任意的x都有f（x+）＝﹣f（x）

成立，f（﹣2）＞1，f（17）＝，则实数a的取值范围为（﹣，﹣）．解：根据题意，对任意的x都有f（x+）＝﹣f（x）成立，则f（x+5）＝﹣f（x+）＝f（x），则有f（17）＝f（2+15）＝f（2）＝﹣f（﹣2），又由f（﹣2）＞1，则f（17）＝＝﹣f（﹣

2）＜﹣1，则有＜﹣1，变形可得：＜0，解可得：﹣＜a＜﹣，即a的取值范围为（﹣，﹣），故答案为：（﹣，﹣）．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答

。第22，23题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共60分。17．已知正项数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝1﹣an（n∈N*）．（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；（Ⅱ）若bn＝，求数列{bn}的前

n项和Tn．解：（Ⅰ）正项数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝1﹣an，①当n＝1时，2a1＝1，解得，当n≥2时，Sn﹣1＝1﹣an﹣1，②故①﹣②得：an＝an﹣1﹣an，-14-整理得2an＝an﹣1，即（常数），所以数列{an}是以为首项，为公比的等比数列；所

以（首项符合通项），故．（Ⅱ）由（Ⅰ）得：bn＝＝n+2n，所以＝＝．18．某商场随机抽取在一年中7个月的月平均促销费x（单位：万元）与月平均利润y（单位：万元）作统计，如表：月份i1234567月平均促销费x（万元）10

.81.31.80.91.21.4月平均利润y（万元）13.51115.319.211.716.517.8经计算得，．（Ⅰ）求y关于x的线性回归方程（结果保留两位小数）；（Ⅱ）求（xi，yi）（i＝1，2，3，4，5，6，7）的相关系数r，并回

答该商场的月利润额与促销费的相关关系如何？-15-附：＝＝，＝﹣，r＝．解：（Ⅰ）由题意可知，（1+0.8+1.3+1.8+0.9+1.2+1.4）＝1.2，，由公式可得，＝＝，故＝﹣＝15﹣8.57×1.2＝4.72，所以

线性回归方程为＝8.57x+4.72；（Ⅱ）相关系数r＝＝＞0.75，故该商场的月利润额与促销费具有很强的相关性．19．在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F分别是BB1，A1D1的中点．（Ⅰ）求证：EF∥平面BC1D1；（Ⅱ）若正方体的棱长为2，求三棱锥D﹣BC1D1的体积．-

16-【解答】（Ⅰ）证明：取BC1的中点O，连结D1O，EO，因为E，O分别为BB1，BC1的中点，所以OE∥B1C1，且OE＝B1C1，又F为A1D1的中点，故D1F∥B1C1，且D1F＝B1C1，故OE∥D1F且OE＝D1F，所以四边形D1FEO为平行

四边形，故EF∥D1O，又EF⊄平面BC1D1，D1O⊂平面BC1D1，所以EF∥平面BC1D1；（Ⅱ）解：正方体的棱长为2，所以，在正方体中，BC⊥平面CDD1C1，故BC为三棱锥B﹣DD1C1的高，所以，由等体积法可得，＝，所以三棱锥D﹣BC1D1的体

积为．20．已知f（x）＝lnx+ax，a∈R．-17-（Ⅰ）讨论f（x）的单调性；（Ⅱ）若a＜﹣1，证明：f（x）＜﹣1．解：（Ⅰ）f（x）的定义域为（0，+∞），由已知，f′（x）＝a+＝，①当a≥0时，f′

（x）≥0恒成立，此时f（x）在（0，+∞）．上单调递增；②当a＜0时，令f′（x）＞0恒，得x＜﹣，所以f（x）在（0，﹣）上单调递增，在（﹣，+∞）上单调递减，综上所述，当a≥0时，f（x）的单调增区间为（0，+∞）

，无单调递减区间；当a＜0时，f（x）的单调递增区间为（0，﹣），单调递减区间为（﹣，+∞）．（Ⅱ）由（Ⅰ）a＜﹣1时，f（x）的单调递增区间为（0，﹣），单调递减区间为（﹣，+∞），∵a＜﹣1，∴﹣a＞1，∴ln（﹣a）＞0，﹣ln

（﹣a）＜0，∴f（x）的最大值是f（﹣）＝ln（﹣）+a•（﹣）＝﹣ln（﹣a）﹣1＜﹣1，故若a＜﹣1，则f（x）＜﹣1．21．已知抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点在直线x﹣y﹣2＝0上．（Ⅰ）求抛物线C的方程；（Ⅱ）设P，M，N为

抛物线C上的不同三点，点P（2，4），且PM⊥PN．求证：直线MN过定点（10，﹣4）．解：（Ⅰ）抛物线C的焦点为（，0），因为抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点在直线x﹣y﹣2＝0上，所以﹣0﹣2＝0，解得p＝4，所以抛物线的方程为y2＝8x．（Ⅱ）证

明：设M（x1，y1），N（x2，y2），直线MN的方程为x＝my+n，联立，得y2﹣8my﹣8n＝0，所以y1y2＝﹣8n，y1+y2＝8m，-18-所以x1x2＝（my1+n）（my2+n）＝m2y1y2+mn（y1+y2）+

n2＝m2•（﹣8n）+mn•8m+n2＝n2，x1+x2＝（my1+n）+（my2+n）＝m（y1+y2）+2n＝m•8m+2n＝8m2+2n，因为PM⊥PN，所以•＝0，所以（x1﹣2，y1﹣4）•（x2﹣2，y2﹣4）＝0，所以（x1﹣2）•（x2﹣2）（y1﹣4）•

（y2﹣4）＝0，所以x1x2﹣2（x1+x2）+4+y1y2﹣4（y1+y2）+16＝0，所以n2﹣2（8m2+2n）+4+（﹣8n）﹣4•8m+16＝0，解得n＝4m+2（舍去）或n＝4m+10，所以直线MN为：x＝my+4m+10＝m（y+4）+1

0，所以直线MN过点（10，﹣4）．（二）选考题：共10分。请考生在第22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，作答时，请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑。[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程是（φ为参数）．以O为极

点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线C2的极坐标方程是ρsinθ＝．（Ⅰ）求曲线C1的极坐标方程和直线C2的直角坐标方程；（Ⅱ）过点O的直线l与C1异于点O的交点为点A，与C2的交点为点B，求|OA|•|OB|的值．解：（Ⅰ）曲线C1的参数方程是（φ为

参数），转换为直角坐标方程为x2+（y﹣1）2＝1，整理得x2+y2＝2y，根据，转换为极坐标方程为ρ＝2sinθ．直线C2的极坐标方程是ρsinθ＝，根据，转换为直角坐标方程为y＝．（Ⅱ）设直线l的极坐标方程

为θ＝α，与曲线C1的交点为A，-19-则，整理得ρ1＝2sinα，与曲线C2的交点为B，则，整理得，所以．[选修4-5：不等式选讲]23．（Ⅰ）若a，b∈R，且满足＝3，证明：≥6；（Ⅱ）若a，b∈R，且满足，证明：≥6．【解答】证明：（Ⅰ）由＝3得：a＝3﹣，∴＝+＝，即≥6

成立，当且仅当a＝b＝2时，等号成立．（Ⅱ）由柯西不等式得（1+）（）≥，∴，即，当且仅当a＝b＝c＝时，等号成立．