【文档说明】陕西省西安中学2021届高三下学期第二次仿真考试理科数学试题 含解析【精准解析】.doc，共(20)页，1.211 MB，由小赞的店铺上传

转载请保留链接：https://www.doc5u.com/view-a7b0dafb1157e5cf11373f582a015497.html

以下为本文档部分文字说明：

2021年陕西省西安中学高考数学第二次仿真试卷（理科）一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分）.1．若集合M＝{x∈Z|sin（πx）＝0}，，则（）A．M＝NB．M⊆NC．N⊆MD．M∩N＝Φ2．等比数列{an}的公比q＝i，其中为虚数单

位，若a1＝1+i，则a8＝（）A．﹣1+iB．﹣1﹣iC．1+iD．1﹣i3．设α，β为两个平面，则α∥β的充要条件是（）A．α内有无数条直线与β平行B．α内有两条相交直线与β平行C．α，β平行于同一条直线D．α，β垂直于同一平面4．已知函数

f（x）＝（2x+2﹣x）ln|x|的图象大致为（）A．B．C．D．5．若直线x﹣y+1＝0与圆（x﹣a）2+y2＝2有公共点，则实数a取值范围是（）A．[﹣3，﹣1]B．[﹣1，3]C．[﹣3，1]D．（﹣∞，﹣3]∪[1，+∞

）6．函数y＝x3和存在公共点P（x0，y0），则x0的范围为（）A．（0，1）B．（1，2）C．（2，3）D．（3，4）7．某程序框图如图所示，若该程序运行后输出的值是，则整数a的值为（）A．6B．7C．8D．98．已知α是第二象限角，且tanα＝﹣，则sin2α＝（）A．﹣B．C．﹣D．9

．等比数列{an}中，a1＝1，a5＝4a3，Sn为{an}的前n项和．若Sm＝63，则m的值是（）A．6B．7C．8D．不存在10．已知向量，，则△ABC的面积为（）A．1B．2C．3D．411．甲乙两人相约1

0天内在某地会面，约定先到的人等候另一个人，经过三天后方可离开．若他们在期限内到达目的地是等可能的，则此二人会晤的概率是（）A．0.5B．0.51C．0.75D．0.412．双曲线C1：x2﹣y2＝1和抛物线C2：y2＝2px相交于点M，N，若△OMN的外接圆经过

点，则抛物线C2的方程为（）A．B．y2＝3xC．y2＝xD．y2＝4x二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知向量，．若，则实数k＝．14．若x，y满足约束条件目标函数z＝ax+2y仅在点（1，0）处取得最小值，则a的取值范围是．15．据市场调查，某种商

品一年内的销售量按月呈的模型波动（x为月份），已知3月份达到最高量9000，然后逐步降低，9月份达到最低销售量5000，则7月份的销售量为．16．如图，一个立在水平地面上的圆锥形物体的母线长为4，一只小虫从圆锥的底面圆上的点P出发，

绕圆锥表面爬行一周后回到点P处．若该小虫爬行的最短路程为，则圆锥底面圆的半径等于．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．17．设向量，，．（

1）若，求x的值；（2）设函数，求f（x）的最大值．18．2021年，福建、河北、辽宁、江苏、湖北、湖南、广东、重庆8省市将迎来“3+1+2”新高考模式．“3”指的是：语文、数学、英语，统一高考；“1”指的是：物理和历史，考生从中选一科；“2”指的是：化学、

生物、地理和政治，考生从四科中选两科．为了迎接新高考，某中学调查了高一年级1500名学生的选科倾向，随机抽取了100人，统计选考科目人数如表：选考物理选考历史总计男生4050女生总计30（Ⅰ）补全2×2列联表

，并根据表中数据判断是否有95%的把握认为“选考物理与性别有关”；（Ⅱ）将此样本的频率视为总体的概率，随机调查该校3名学生，设这3人中选考历史的人数为X，求X的分布列及数学期望．参考公式：K2＝，其中n＝a+b+c+d．参考数据：P（K2≥k0）0.100.050.025

0.0100.0050.001k02.7063.8415.0246.6357.87910.82819．如图1，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，且AB＝AD＝，现以AD为一边向形外作正方形ADEF，然后沿边AD将正方形ADEF翻折，使平面AD

EF与平面ABCD垂直，M为ED的中点，如图2．（1）求证：AM∥平面BEC；（2）求证：BC⊥平面BDE；（3）求直线DC与平面BEC所成角的正弦值．20．如图，椭圆C1：的一个顶点为P（0，﹣1），离心率为．l1，l2是过点P且互相垂直的两条直线，其中，l1交圆C2：x2+y2

＝4于A，B两点，l2交椭圆C1于另一点D．（Ⅰ）求椭圆C1的方程；（Ⅱ）求△ABD面积取最大值时，直线l1的方程．21．已知函数f（x）＝．（1）当a＝1，求函数y＝f（x）的图象在x＝0处的切线方程；（2）若函数f（x）在（0，1）上单调递增，求实数a的取值范围；（3）已知x，y，z均为

正实数，且x+y+z＝1，求证：++≤0．22．在平面直角坐标系xOy中，已知曲线E的参数方程为（a为参数），直线l的参数方程为（t为参数，0≤β＜π）．以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系．（1）分别写出曲线E

和直线l的极坐标方程；（2）直线l与曲线E交于M，N两点，若，求直线l的斜率．23．已知a，b，c为正数，f（x）＝|x+a|+|x+b|+|x﹣c|．（1）若a＝b＝c＝1，求函数f（x）的最小值；（2）若f（0）＝1且a，b，c不全相等，求证：b3c+c

3a+a3b＞abc．参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．若集合M＝{x∈Z|sin（πx）＝0}，，则（）A．M＝NB．M⊆NC．N⊆MD．M∩N＝Φ解：∵M＝

{x∈Z|sin（πx）＝0}＝Z，＝{x|x＝2k+1，k∈Z}，∴N⊆M，故选：C．2．等比数列{an}的公比q＝i，其中为虚数单位，若a1＝1+i，则a8＝（）A．﹣1+iB．﹣1﹣iC．1+iD

．1﹣i解：等比数列{an}的公比q＝i，其中为虚数单位，若a1＝1+i，则a8＝a1•q7＝（1+i）•i7＝（1+i）（﹣i）＝1﹣i，故选：D．3．设α，β为两个平面，则α∥β的充要条件是（）A．α内有无数条

直线与β平行B．α内有两条相交直线与β平行C．α，β平行于同一条直线D．α，β垂直于同一平面解：对于A，α内有无数条直线与β平行，α∩β或α∥β；对于B，α内有两条相交直线与β平行，α∥β；对于C，α，β平行于同一条直线，α∩β或α∥β；对于D，α，β垂直于同

一平面，α∩β或α∥β．故选：B．4．已知函数f（x）＝（2x+2﹣x）ln|x|的图象大致为（）A．B．C．D．解：f（﹣x）＝（2﹣x+2x）ln|﹣x|＝（2x+2﹣x）ln|x|＝f（x），则f（x）是偶函数，排除D，由f（x）＝0得ln|x|＝0得|x|＝1，即x＝1或x＝﹣1，

即f（x）有两个零点，排除C，当x→+∞，f（x）→+∞，排除A，故选：B．5．若直线x﹣y+1＝0与圆（x﹣a）2+y2＝2有公共点，则实数a取值范围是（）A．[﹣3，﹣1]B．[﹣1，3]C．[﹣3，1]D．（﹣∞，﹣3]∪[1，+∞）解：∵直线x﹣y+1＝0与圆（x﹣a）2+y2＝2有

公共点∴圆心到直线x﹣y+1＝0的距离为∴|a+1|≤2∴﹣3≤a≤1故选：C．6．函数y＝x3和存在公共点P（x0，y0），则x0的范围为（）A．（0，1）B．（1，2）C．（2，3）D．（3，4）解：令f（x）＝x3﹣，可知该函数为R上的增函数，函数y＝x3和存在公共点P（x0，y0），即

x0为函数f（x）的零点，∵f（0）＝﹣4＜0，f（1）＝1﹣2＝﹣1＜0，f（2）＝23﹣1＝7＞0，f（3）＝＞0，f（4）＝＞0，∴x0的范围为（1，2），故选：B．7．某程序框图如图所示，若该程序运行后输出的值是，则整数a的值为（）A．6B．7C．8D．9解：当S＝

1，k＝1时，应不满足退出循环的条件，故S＝，k＝2；当S＝，k＝2时，应不满足退出循环的条件，故S＝，k＝3；当S＝，k＝3时，应不满足退出循环的条件，故S＝，k＝4；当S＝，k＝4时，应不满足退出循环

的条件，故S＝，k＝5；当S＝，k＝5时，应不满足退出循环的条件，故S＝，k＝6；当S＝，k＝6时，应不满足退出循环的条件，故S＝，k＝7；当S＝，k＝7时，应满足退出循环的条件，故整数a的值为6，故选：A．8．已知α是第二象

限角，且tanα＝﹣，则sin2α＝（）A．﹣B．C．﹣D．解：∵α是第二象限角，且tanα＝﹣，∴cosα＝﹣＝﹣，sinα＝＝，∴sin2α＝2sinαcosα＝﹣．故选：C．9．等比数列{an}中，a1＝1，a5＝4a3，Sn为{an}的前n项和．若Sm

＝63，则m的值是（）A．6B．7C．8D．不存在解：根据题意，等比数列{an}中，a1＝1，a5＝4a3，则q2＝＝4，则q＝±2，当q＝2时，若Sm＝63，则有＝63，解可得m＝6；当q＝﹣2时，若Sm＝63，则有＝63，变形可得：（﹣2）m＝﹣

168，无解；故m＝6；故选：A．10．已知向量，，则△ABC的面积为（）A．1B．2C．3D．4解：，所以，因为，所以，故△ABC的面积为．故选：A．11．甲乙两人相约10天内在某地会面，约定先到的人等候另一个人，经

过三天后方可离开．若他们在期限内到达目的地是等可能的，则此二人会晤的概率是（）A．0.5B．0.51C．0.75D．0.4解：设甲乙两人分别在第x，y天到达某地，则0≤x≤10，0≤y≤10，他们会面的充要条件是|x﹣y|＜3，则

点（x，y）分布在如图所示的正方形OABC内，其基本事件S1为介于两条直线x﹣y＝±3之间的阴影内，所以所求概率为＝＝0.51．故选：B．12．双曲线C1：x2﹣y2＝1和抛物线C2：y2＝2px相交于点M，N，若△OMN的外接圆经过点，则抛物线

C2的方程为（）A．B．y2＝3xC．y2＝xD．y2＝4x解：由题意设M（x0，y0），N（x0，﹣y0），，T是MN与x轴的交点，因为O，M，N，A四点共圆，由相交弦定理可得：|OT|•|TA|＝|MT|•|TN|，即x0•（﹣x0）＝y02＝2px0，其

中x0＞0，可得x0＝﹣2p，y02＝2px0＝7p﹣4p2，代入双曲线的方程：（﹣2p）2﹣（7p﹣4p2）2＝1，即：32p2﹣84p+45＝0，解得p＝（舍）或p＝，所以抛物线的方程为：y2＝x，故选：A．二

、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知向量，．若，则实数k＝．解：由，得1×（k﹣6）﹣9k＝0，解得k＝﹣，故答案为：．14．若x，y满足约束条件目标函数z＝ax+2y仅在点（1，0）处取得最小值，

则a的取值范围是（﹣4，2）．解：可行域为△ABC，如图，当a＝0时，显然成立．当a＞0时，直线ax+2y﹣z＝0的斜率k＝﹣＞kAC＝﹣1，a＜2．当a＜0时，k＝﹣＜kAB＝2a＞﹣4．综合得﹣4＜a＜2，故答案为：（﹣4，2）．15．据市场调查，某种商品一年内的销售量按月呈的模型波动

（x为月份），已知3月份达到最高量9000，然后逐步降低，9月份达到最低销售量5000，则7月份的销售量为6000．解：作出函数f（x）的简图如图所示，三角函数模型为：f（x）＝Asin（ωx+φ）+B，由题意知：A＝2000，B＝7000，T＝2×（9﹣3）＝12，

∴，所以，当x＝3时，y取最大值，所以，k∈Z，∴φ＝0+2kπ，k∈Z，故，∴，故7月份的出厂价格为6000元．故答案为：6000．16．如图，一个立在水平地面上的圆锥形物体的母线长为4，一只小虫从圆锥的底面圆

上的点P出发，绕圆锥表面爬行一周后回到点P处．若该小虫爬行的最短路程为，则圆锥底面圆的半径等于1．解：根据圆锥的侧面展开图：得知：OA＝OB＝4，AB＝4，所以OA2+OB2＝AB2，故∠AOB＝，设圆锥的底面半径为r，利用4×＝2πr，解得r＝1．故答案为：1．三

、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．17．设向量，，．（1）若，求x的值；（2）设函数，求f（x）的最大值．解：（1）由题意可得＝+sin2x＝4sin2x，＝cos2x+sin2x＝

1，由，可得4sin2x＝1，即sin2x＝．∵x∈[0，]，∴sinx＝，即x＝．（2）∵函数＝（sinx，sinx）•（cosx，sinx）＝sinxcosx+sin2x＝sin2x+＝sin（2

x﹣）+．x∈[0，]，∴2x﹣∈[﹣，]，∴当2x﹣＝，sin（2x﹣）+取得最大值为1+＝．18．2021年，福建、河北、辽宁、江苏、湖北、湖南、广东、重庆8省市将迎来“3+1+2”新高考模式．“3”指的是：语文、数学、英语，统一高考；“1”指的是：物理和历史

，考生从中选一科；“2”指的是：化学、生物、地理和政治，考生从四科中选两科．为了迎接新高考，某中学调查了高一年级1500名学生的选科倾向，随机抽取了100人，统计选考科目人数如表：选考物理选考历史总计男生4050女生总计30（Ⅰ）补全2×2列联表，并根据表中数据判断是否有95%的把握认为

“选考物理与性别有关”；（Ⅱ）将此样本的频率视为总体的概率，随机调查该校3名学生，设这3人中选考历史的人数为X，求X的分布列及数学期望．参考公式：K2＝，其中n＝a+b+c+d．参考数据：P（K2≥k0）0.100.050.0250.0100.0050.001k02.7063.8415.024

6.6357.87910.828解：（Ⅰ）根据题意补全列联表，如下：选考物理选考历史总计男生401050女生302050总计7030100计算K2＝≈4.762＞3.841，所以有95%的把握认为“选考物理与性别有关”；（Ⅱ）根据题意知，随机变量X的可能取值

为0，1，2，3，且X服从二项分布，由题意知，学生选考历史的概率为，且X～B（3，），计算P（X＝0）＝•＝，P（X＝1）＝••＝，P（X＝2）＝••＝，P（X＝3）＝•＝，所以X的分布列为：X0123P计算数学期望为E（X）＝3×＝．19．如图1，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，

且AB＝AD＝，现以AD为一边向形外作正方形ADEF，然后沿边AD将正方形ADEF翻折，使平面ADEF与平面ABCD垂直，M为ED的中点，如图2．（1）求证：AM∥平面BEC；（2）求证：BC⊥平面BDE

；（3）求直线DC与平面BEC所成角的正弦值．【解答】证明：（1）取EC中点N，连结MN，BN，在△EDC中，M，N分别为ED、EC的中点，∴MN∥CD，且MN＝CD．由已知AB∥CD，AB＝CD，∴四边形ABMN为平行四边形．∴BN∥AM．又∵BN⊂平面BEC，且AM

⊄平面BEC，∴AM∥平面BEC．（2）在正方形ADEF中，ED⊥AD，又∵平面ADEF⊥平面ABCD，且平面ADEF∩平面ABCD＝AD，∴ED⊥平面ABCD，∴ED⊥BC，在直角梯形ABCD中，AB＝AD＝1，CD＝2，得BC＝．在△BCD中，BD＝BC＝，CD＝2，BD2+BC2＝

CD2，∴BC⊥BD．∵ED∩BD＝D，∴BC⊥平面BDE．解：（3）作DH⊥平面BEC于点H，连接CH，则∠DCH为CD与平面BEC所成角，由（2）知，BC⊥BE，BC⊥BD，∴S△BCD＝，又∵ED⊥平面ABCD，＝．∴DH＝，∴sin＝＝．∴CD与平面BE

C所成角的正弦值为．20．如图，椭圆C1：的一个顶点为P（0，﹣1），离心率为．l1，l2是过点P且互相垂直的两条直线，其中，l1交圆C2：x2+y2＝4于A，B两点，l2交椭圆C1于另一点D．（Ⅰ）求椭圆C1的

方程；（Ⅱ）求△ABD面积取最大值时，直线l1的方程．解：（Ⅰ）因为椭圆的一个顶点为P（0，﹣1），则b＝1，又离心率为，则，结合c2＝a2﹣b2，解得a＝2，b＝1，所以椭圆的方程是；（Ⅱ）因为直线l1⊥l2，且都过点P（0，

﹣1），则设直线l1：y＝kx﹣1，即kx﹣y﹣1＝0，直线l2：，故圆心（0，0）到直线l1的距离为，所以直线l1被圆x2+y2＝4所截的弦，联立方程组，所以，故，所以＝，当且仅当时等号成立，此时直线l1的方程为．21．

已知函数f（x）＝．（1）当a＝1，求函数y＝f（x）的图象在x＝0处的切线方程；（2）若函数f（x）在（0，1）上单调递增，求实数a的取值范围；（3）已知x，y，z均为正实数，且x+y+z＝1，求证：++

≤0．【解答】（1）解：当a＝1时，f（x）＝，则f（0）＝0，f′（x）＝，∴f′（0）＝1，∴函数y＝f（x）的图象在x＝0处的切线方程为y＝x；（2）解：∵函数f（x）在（0，1）上单调递增，∴

ax+1＝0在（0，1）上无解当a≥0时，ax+1＝0在（0，1）上无解满足当a＜0时，只需1+a≥0，∴﹣1≤a＜0①f′（x）＝∵函数f（x）在（0，1）上单调递增，∴f′（x）≥0在（0，1）上恒成立即a[（x+1）ln（x+1）﹣x]≤1在（

0，1）上恒成立设h（x）＝（x+1）ln（x+1）﹣x，则h′（x）＝ln（x+1），∵x∈（0，1），∴h′（x）＞0，∴h（x）在（0，1）上单调递增∴h（x）在（0，1）上的值域为（0，2ln2﹣1）∴a≤在（0，1）上恒成立，∴a≤②综合①②得实数a的取值范围为

[﹣1，]（3）证明：由（2）知，当a＝﹣1时，f（x）＝在（0，1）上单调递增于是当0＜x≤时，f（x）＝≤f（）＝当≤x＜1时，f（x）＝≥f（）＝∴（3x﹣1）f（x）≥（3x﹣1）•，即≤（3x﹣1）•，同理有≤（3y

﹣1）•，≤（3z﹣1）•，三式相加得：++≤0．22．在平面直角坐标系xOy中，已知曲线E的参数方程为（a为参数），直线l的参数方程为（t为参数，0≤β＜π）．以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系．（

1）分别写出曲线E和直线l的极坐标方程；（2）直线l与曲线E交于M，N两点，若，求直线l的斜率．解：（1）曲线E的参数方程为（a为参数），转换为直角坐标方程为x2+（y﹣4）2＝10，根据，转换为极坐标方程为ρ2﹣8ρsinθ+6＝0，直线l的参数方程为（t为参数，0≤β＜π），

转换为极坐标方程为θ＝β；（2）将直线极坐标方程为θ＝β代入ρ2﹣8ρsinθ+6＝0，得到ρ2﹣8ρsinβ+6＝0，所以ρ1+ρ2＝8sinβ，ρ1ρ2＝6，由于，故，即ρ2＝3ρ1，所以，所以，所以直线的斜率k＝±1．23．已知a，b，c为正数，f（x）＝|x+a|

+|x+b|+|x﹣c|．（1）若a＝b＝c＝1，求函数f（x）的最小值；（2）若f（0）＝1且a，b，c不全相等，求证：b3c+c3a+a3b＞abc．解：（1）因为a＝b＝c＝1，所以f（x）＝|x+a|+|x+b|+|x﹣c|＝2|x+1|+|x﹣1|，法1：

由上可得：所以，当x＝﹣1时，函数f（x）的最小值为2；法2：f（x）＝）＝|x+a|+|x+b|+|x﹣c|＝|x+1|+|x+1|+|x﹣1|≥|x+1|+|x+1﹣x+1|＝2+|x+1|≥2，当且仅当，即x＝﹣1时取得最小

值2；证明（2）：因为a，b，c为正数，所以要证，即证明就行了，法1：因为＝≥2+2+2＝2（a+b+c），当且仅当a＝b＝c时取等号．又因为f（0）＝1即a+b+c＝1且a，b，c不全相等，所以，即，法2：因为（a+b+c）（++）≥1，当且

仅当＝＝取等号，又因为f（0）＝1即a+b+c＝1且a，b，c不全相等，所以，即．