【文档说明】2024年高中数学学业水平考试分类汇编 专题03 函数的概念与性质 PDF版含解析.pdf，共(30)页，1.465 MB，由小赞的店铺上传

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学科网（北京）股份有限公司1专题03函数的概念与性质考点一：函数的概念1．（2023·北京）已知函数fxxa．若yfx的图象经过原点，则fx的定义域为（）A．0,B．,0C．1,

D．,1【答案】A【分析】利用点在函数的图象上及偶次根式有意义即可求解.【详解】因为函数fxxa的图象经过原点，所以00a，解得0a，所以函数fx的解析式为fxx.要使

fxx有意义，只需要0x，所以fx的定义域为0,.故选：A.2．（2023·河北）函数()(2)fxxx的定义域是（）A．0,2B．2,0C．,02,D．

,20,【答案】D【分析】根据函数解析式可得(2)0xx，再利用一元二次不等式解法即可求得定义域.【详解】根据函数定义域可知(2)0xx，解得0x或2x；所以函数()fx的定义域为,20,.故选：D3

．（2023·江苏）函数11fxx的定义域为（）A．,1B．,1C．1,D．1,【答案】D【分析】函数定义域满足101x，10x，解得答案.【详解】函数11fxx的定义域满足：10

1x，10x，解得1x.故选：D学科网（北京）股份有限公司24．（2023春·湖南）函数fxx的定义域是（）A．0,B．0,C．1,D．,【答案】B【分析】由函数解析式有意义列式求解，【详解】由题意得0x，即fxx的定义域是0

,故选：B5．（2023·云南）函数32fxxx的定义域为（）A．2,3B．2,3C．2,D．,3【答案】A【分析】解不等式3020xx得出函数fx的定义域.【详解】要使得32fxxx

有意义，则3020xx，解得23x.则函数fx的定义域为2,3.故选：A6．（2022春·浙江）函数1fxx的定义域是（）A．,1B．1,C．,

1D．1,【答案】D【分析】根据函数特征得到不等式，求出定义域.【详解】∵10x，∴1x，即函数1fxx的定义域为1,.故选：D.7．（2022秋·浙江）函数1()2fxx的定义域是A．{|2}xxB．{|2}xxC．

RD．{|2}xx【答案】D【分析】由20x，即可得出定义域.【详解】20x2x即函数1()2fxx的定义域为{|2}xx故选：D学科网（北京）股份有限公司38．（2021秋·浙江）函数1()32fxxx

的定义域是（）A．[3,)B．(3,)C．[3,2)(2,)D．[3,2)(2,)【答案】C【解析】根据函数解析式，列不等式组3020xx求解即可.【详解】根据题意可得3020xx，所以3,22,x.故

选：C.9．（2021秋·福建）函数11fxx的定义域为（）A．1,B．1,C．2,D．R【答案】B【分析】根据函数定义域的求法，求得fx的定义域.【详解】10,1xx，所以fx的定义域为1,.故选：B10．（2021

·北京）已知函数fxx，则fx的定义域是.【答案】0,/0xx【分析】根据偶数次方根号里的数大于等于零即可得出答案.【详解】解：由函数fxx，得0x，所以fx的定义域是[0,).故答案为：[0,).考点二：函数的表示1．（2022·北京）函数(

)yfx的图象如图所示，则不等式()0fx的解集为（）学科网（北京）股份有限公司4A．(1,0)B．0,1C．(1,2)D．(2,3)【答案】C【分析】结合图象确定正确选项.【详解】由图象可知，当1,2x时，0fx.故选：C2．（2022秋

·福建）函数1yxx的图象大致为（）A．B．C．D．【答案】A【分析】根据函数1yxx的奇偶性以及值域即可解出．【详解】因为1yfxxx的定义域为|0xx，且fxfx，所以函数1yxx为奇函数，其图象关于原点对称，所以排除C；又当0x

时，12yxx，当且仅当1x时取等号，所以排除B，D．故选：A．3．（2021·北京）已知函数2,02,0xxfxxx，则2f（）A．1B．2C．3D．4【答案】D【分析】根据分段函数解析

式计算可得；【详解】解：因为2,02,0xxfxxx，所以2224f故选：D4．（2021秋·吉林）已知函数21,02,0xxfxxx，则12ff（）学科网（北京）股份有限公司5A．2B．52C．54

D．1【答案】A【分析】根据分段函数解析式求得正确答案.【详解】112121222ffff.故选：A5．（2023·云南）函数,0(),0xxfxxx，则3f.【答案】3【分析】根据给定的分

段函数，代入计算作答.【详解】函数,0(),0xxfxxx，所以33f.故答案为：36．（2022春·广西）已知函数2()2fxx，那么(1)f=.【答案】3【分析】直接根据函数解析式可求出结果.【详解】因为2()2fxx，所以2(1)123f.故答案

为：3.7．（2021秋·福建）若2()11fxx，则2f.【答案】4【分析】根据解析式，令1x求解即可.【详解】因为2()11fxx，所以22(11)(11)4ff，故答案为

：48．（2022·北京）已知函数2,0,,0,xxfxxx则(1)f；方程()1fx的解为．【答案】－21【分析】根据分段函数的性质求解即可.【详解】(1)f2×(－1)＝－

2；x＜0时，f(x)＜0，故f(x)＝1＞0时，x≥0，则1x，解得x＝1.故答案为：－2；1.9．（2022·北京）已知函数2()1fxxmx（m是常数）的图象过点(1,2)．学科网（北京）股份有限公司6(1)求()fx的解析式；(

2)求不等式()21fxx的解集．【答案】(1)2()1fxx；(2)(0,2).【分析】（1）把点代入解析式可得0m，即得；（2）利用一元二次不等式的解法即得.【详解】（1）由题意，(1)22fm，所以0m

．所以()fx的解析式为2()1fxx．（2）不等式()21fxx等价于220xx．解得02x．所以不等式()21fxx的解集为(0,2)．10．（2021·吉林）已知函数2*2Nfxaxxcac

、满足：①15f；②6211f.（1）求a，c的值；（2）若对任意的实数13,22x，都有21fxmx成立，求实数m的取值范围.【答案】（1）1a，2c；（2）94m.【解析】（1）把条件①15f；②

6211f，代入到fx中求出ac、即可；（2）不等式21fxmx恒成立，设22212gxfxmxxmx则分2112m，2112m两种情况讨论，只需max3293124gxgm

即可.【详解】（1）∵2*N2,fxaxxcac，满足(1)5f，可得25ac，即3ac，∵6(2)11f，∴64411ac，即644311aa，∴134a，∴1433a，∵*,Nac，学科网

（北京）股份有限公司7∴1a，2c；（2）由（1）得222fxxx，设22212gxfxmxxmx，①当2112m，即2m时，max329324gx

gm，故只需29314m，解得2512m，与2m不合，舍去；②当2112m，即m>2时，max11324gxgm，故只需1314m，解得94m，又m>2，故94m综上，m的取值范围为94m.考点三：函数的单调性与最大（小）值

1．（2023·河北）已知定义在R上的偶函数fx在,0上是增函数，且10f，则使0fx的x的取值范围是（）A．1,0B．0,1C．1,1D．,11,【答案】C【分析】使用函数的奇偶性和单调性进

行求解即可.【详解】∵fx是定义在R上的偶函数，在区间,0上单调递增，且(1)0f，∴fx在区间0,上单调递减，且110ff，∴当,0x时，()00110fxffxx，当0,x时，()0

()1001fxfxfx，学科网（北京）股份有限公司8综上所述，x的取值范围是1,1.故选：C.2．（2023·山西）下列函数中，既是偶函数又在区间0,上单调递增的函数是（）A．24yxB．3

yxC．1yxD．yx【答案】D【分析】A.由二次函数的性质判断；B.由一次函数的性质判断；C.由反比例函数的性质判断；D.由,0,0xxyxxx判断；【详解】A.24yx由二次函数的性质得，该函数是偶函数，在区间0,上单调递减，故错误；

B.3yx由一次函数的性质得，该函数不是偶函数，在区间0,上单调递减，故错误；C.1yx由反比例函数的性质得，该函数不是偶函数，在区间0,上单调递减，故错误；D.,0,0xxyxxx，设fxx，定义域为R，关于原点对称，且fxxxfx，

则该函数是偶函数，在区间0,上单调递增，故正确；故选：D.3．（2023·云南）已知函数22,2,5fxxxx，则函数的最大值为（）A．15B．10C．0D．1【答案】A【分析】根据给定函数的单调性，求出在指定区间

上的最大值作答.【详解】函数2()2fxxx在[2,5]上单调递增，则2max()(5)52515fxf，所以函数()fx的最大值为15.故选：A4．（2023春·新疆）下列函数在区间(0,)上单调递减的是（）A．1yxB．2yxC．2xyD．lnyx【答案】B【分析

】根据各选项中的函数解析式，直接判断单调性作答.【详解】对于A，一次函数1yx在R上单调递增，A不是；对于B，反比例函数2yx在(0,)上单调递减，B是；学科网（北京）股份有限公司9对于C，指数函数2xy在R上单调递增

，C不是；对于D，对数函数lnyx在(0,)上单调递增，D不是.故选：B5．（2022秋·浙江）已知函数2()2fxxaxb在区间（-∞，1]是减函数，则实数a的取值范围是（）A．[1，+∞）B．（-∞，1]C

．[-1，+∞）D．（-∞，-1]【答案】A【分析】由对称轴与1比大小，确定实数a的取值范围.【详解】2()2fxxaxb对称轴为xa，开口向上，要想在区间（-∞，1]是减函数，所以1,a.故选：A6．（

2022·湖南）下列函数中，在0,1为减函数的是（）A．1yxB．12yxC．2yx=D．3yx【答案】A【分析】根据导函数的正负来判断原函数的单调性即可求解.【详解】对于1yx,210yx,所以

在0,1为减函数,对于12yx,1102yx,所以在0,1单调递增,2yx=,20yx,3yx,230yx,故在0,1单调递增.故选：A7．（2022春·贵州）函数21fxx的单调递增区间是（）A．,3B．0,C．3,3D

．3,【答案】B【分析】直接由二次函数的单调性求解即可.【详解】由21fxx知，函数为开口向上，对称轴为0x的二次函数，则单调递增区间是0,.故选：B.8．（2021·吉林）偶函数

()fx在区间[2,1]上单调递减，则函数()fx在区间[1,2]上（）A．单调递增，且有最小值(1)fB．单调递增，且有最大值(1)fC．单调递减，且有最小值(2)fD．单调递减，且有最大值(2)f【答案】A【分

析】根据偶函数的性质分析即得解.【详解】解：偶函数fx在区间[2,1]上单调递减，则由偶函数的图象关于y轴对称，则有fx在[1,2]上单调递增，即有最小值为(1)f，最大值(2).f学科网（北京）股份有限公司10对照选项，A正确．故选：A9．（2021春·福建）下列函数中，在其定

义域上为单调递减的函数是（）A．21yxB．21yxC．yxD．2xy【答案】A【分析】利用指数函数，幂函数相关知识直接进行判断【详解】21yx在R上单调递减，A正确；21yx在,0上单调递减，在0,上单调递增，故B错误；

yx在0,上单调递增，故C错误；2xy在R上单调递增，D错误故选：A10．（2021春·贵州）已知函数4()fxxx，若()fxm对任意[1,4]x恒成立，则实数m的取值范围为（）A．(,3)B．(,3]C．(

3,)D．[3,)【答案】D【分析】先判断出4()fxxx在[1,4]x单调递增，求出max()fx，即可求出实数m的范围.【详解】因为yx在[1,4]x单调递增，4yx在[1,4]x单调递增，所以4()fxx

x在[1,4]x单调递增.所以max4()(4)434fxf.因为()fxm对任意[1,4]x恒成立，所以max()3mfx.故选：D11．（2021春·浙江）若函数02fxaxxx的最大值是1，则实数a的值是．【答案】32或2【分析】将函数写成分段

函数形式，再分0a和0a讨论.当0a时，函数()fx在[0,2]单调递增，由此求出()fx的最大值为2f；当0a时，又需要分22a，1222a和12222aa三种情况分别讨论，分别求出()fx的最大值，求解出a的值即可.分a<0，02a„„，2a三种情况，分别

研究分段函数的单调性，求出()fx的最大值，列式求解a的值即可．学科网（北京）股份有限公司11【详解】22,,xaxxafxxxaxaxxa，（1）当0a时，因为02x，则xa成立，故222()

24fxaaaxxxaxx，对称轴为02ax，则fx在[0,2]上单调递增，max2421fxfa所以32a，与0a矛盾，故舍去；（2）当0a时，fx的大致图像如下：可求得1222

affa①当22a，即4a时，fx在[0,2]上单调递增，2max2221fxfa则52a，与4a矛盾，故舍去；②当1222a，即04

(21)a时，fx在[0,]2a单调递增，(,]2aa单调递减，(,2]a单调递增，且12222affaf，则2max2221fxfa，解得32a，与04(21)a相符；③当12222aa，即4(21)

4a时，学科网（北京）股份有限公司12222max()12224aaaafxf，解得2a，与4(21)4a相符.综上所述，a的值为32或2．故答案为：32或2．12．（2022春·天津）已知函数24xx

xafa，其中aR.(1)若14f，求a的值；(2)当1a时，（i）根据定义证明函数fx在区间2,上单调递增；（ii）记函数,08,0fxxgxfxxx，若33gbgb，求实数b的值.【答案】(1)1(2)（i）证明见解

析；（ii）0b或352b【分析】（1）根据函数值直接代入求参即可；（2）（i）任取12,2,xx，且12xx＞，从而证明12fxfx＞即可；（ii）根据题意研究该分段函数单调性，根据33gbgb分类

讨论求值即可.【详解】（1）因为函数24xxxafa，所以1144faa，解得1a，所以a的值为1（2）当1a时，241fxxx，（i）任取12,2,xx，且12xx＞，则

2222112212211241414fxxxxxxxxxfx12124xxxx，因为122xx＞＞，所以1212400xxxx＞,＞，所以120fxfx＞，即1

2fxfx＞，所以函数fx在区间2,上单调递增（ii）由题意得，2241,041,0xxxgxxxx，函数在,2和2,单调递增，在2,0和0,2单调递减，学科网（北京）股份有限公司13作出函数图像如下图所示，若33

gbgb，显然3bb＞，①30bb＞，即0b时，223431413bbbb，解得0b，符合题意；②03bb＞＞，即3b＜时，223431413bbbb

，解得3b，不符合题意；③30bb＞，即30b＜时，223431413bbbb，即2310bb，解得352b，均符合题意.综上所述，0b或352b13．（2021春·天津）已知函数

21fxxaxa，Ra．(1)当01f，求a；(2)当fx在1,2上单调递增，问a的取值范围；(3)设mx为fx和1fx中的较小者，证明mx在0,2上的最大值为12．【答案】(1)1a(2)1a(3)证明见解析【分

析】（1）代入函数值，直接求a；（2）比较对称轴和定义域的关系，即可根据不等式求a的取值范围；（3）根据函数yfx和函数1yfx的对称性，确定函数mx的最大值，并讨论在区间0,2上恒包含

最大值点，即可证明.【详解】（1）21fxxaxa，01fa；（2）21fxxaxa的对称轴为12ax，学科网（北京）股份有限公司14函数开口向上，并且在区间1,2上单调递增，112a，得1a；（3）函数21yxaxa，

开口向上，关于直线12ax对称，函数1yfx，开口向下，也关于直线12ax对称，并且yfx与1yfx关于12y对称，当1fxfx时，即2112xaxa，解得：21232aaax或21232aaa

x，当21232aaax或21232aaax，1mxfx，当21232aaax21232aaa时，mxfx，mx在21232aaax或21232aaax时，取得最大值12，当1a时，22123

420aaaa，即212302aaa要证明212322aaa，即证明2323aaa，当13a<£时，不等式恒成立，当3a时，即证明22323aaa，即32a恒成立，所以当1a时，2123022aaa，

即mx在区间0,2能取得最大值12；当1a时，要证明212302aaa，即证明2231aaa，若11a，不等式恒成立，若1a，即证明222321aaaa，即12a，即恒成立，要证明

212322aaa，即证明2233aaa，两边平方得222369aaaa，即32a，即不等式恒成立，学科网（北京）股份有限公司15所以当1a时，2123022aaa，即mx在区间0,2能取得最大值12；当1a时，此时，

21232122aaa，21232122aaa，都在区间0,2内，即mx在区间0,2能取得最大值12；综上可知，mx在0,2上的最大值为12.14．（2021春·贵州）已知函数2()2,fxxmxxR．(1)当3m时，求(1)f值；(2)若

()fx是偶函数，求()fx的最大值．【答案】(1)4(2)2【分析】（1）先得到函数()fx，再求值；（2）先利用函数是偶函数，求得()fx，再求最值.【详解】（1）解：当3m时，2()32fxxx，所以2113

124f；（2）因为()fx是偶函数，所以()()fxfx成立，即222222xmxxmxxmx成立，所以0m，则2()2fxx，所以()fx的最大值为2．15．（2021秋·青海）已知函数122fxxx．（1）试判断函数f

x在区间10,2上的单调性，并用函数单调性定义证明；（2）对任意10,2x时，2fxm都成立，求实数m的取值范围．【答案】（1）在10,2上单调递减，证明见解析；（2）0m.【分析】（1）利用单调性定义：设12102xx并证明

12,fxfx的大小关系即可.（2）由（1）及函数不等式恒成立可知：min2fxm在已知区间上恒成立，即可求m的取值范围．【详解】（1）函数122fxxx在区间10,2上单调递减，以下证明：设12102xx，学科网（北京）股份

有限公司1612121211122fxfxxxxx12121212121=2222xxxxxxxxxx121212412xxxxxx∵12102xx

，∴120xx，12410xx，1220xx，∴120fxfx，∴122fxxx在区间10,2上单调递减；（2）由（2）可知fx在10,2上单调减函数，∴当12x时，fx取得最小值，即min1

22fxf，对任意10,2x时，2fxm都成立，只需min2fxm成立，∴22m，解得：0m．16．（2021·北京）阅读下面题目及其解答过程．已知函数23,0()2,0xxfxxxx„，（1）求f（－2）与

f（2）的值；（2）求f(x)的最大值．解：（1）因为－2＜0，所以f（－2）＝①．因为2＞0，所以f（2）＝②．（2）因为x≤0时，有f(x)＝x＋3≤3，而且f（0）＝3，所以f(x)在(,0]上的最大值为③．又因为x＞0时，

有22()2(1)11fxxxx„，而且④，所以f(x)在（0，＋∞）上的最大值为1．综上，f(x)的最大值为⑤．以上题目的解答过程中，设置了①~⑤五个空格，如下的表格中为每个空格给出了两个选项，其中只有一个正确，请选出你认为正确的选

项，并填写在答题卡的指定位置（只需填写“A”或“B”）．空格序号选项①A．（－2）＋3＝1B．2(2)2(2)8②A．2＋3＝5B．22220③A．3B．0学科网（北京）股份有限公司17④A．f（1）＝1B．f（

1）＝0⑤A．1B．3【答案】（1）①A；②B；（2）③A；④A；⑤B．【分析】依题意按照步骤写出完整的解答步骤，即可得解；【详解】解：因为23,0()2,0xxfxxxx„，（1）因为20，所以2231f，因为20，所以222220f（2）因

为0x时，有33fxx，而且03f，所以fx在(,0]上的最大值为3．又因为0x时，有22()2(1)11fxxxx„，而且11f，所以fx在0,上的最大值为1．综上，fx的最大值为3．考点四：函数的奇偶性1．（2023·江苏）

已知函数fxx是偶函数，且在区间0,上单调递增，则下列实数可作为值的是（）A．-2B．12C．2D．3【答案】C【分析】2fxx在0,上单调递减，A错误，12fxx不是偶函数，B错误，定义判断C正确，3fxx函数为奇函数

，D错误，得到答案.【详解】对选项A：2，2fxx，函数在0,上单调递减，错误；对选项B：12，12fxx，函数定义域为0,，不是偶函数，错误；对选项C：2，2fxx，函数定义域为R，2fxxfx，函数为

偶函数，且在0,上单调递增，正确；对选项D：3，3fxx，函数定义域为R，3fxxfx，函数为奇函数，错误；故选：C2．（2023·云南）下列函数中为偶函数的是（）学科网（北京）股份有限公司18A．3fxxB．1fxx

xC．2fxxD．2fxx【答案】C【分析】根据偶函数的定义逐个判断可得答案.【详解】对于A：3()fxx定义域为R，且33()()fxxxfx，故3()fxx为奇函数，故A错误；对于B：1()+fxxx定义域

为|0xx，且11()+()fxxxfxxx，故1()+fxxx为奇函数，故B错误；对于C：2()fxx定义域为R，22()()fxxxfx，故2fxx为偶函数，故C正确；对于D：2f

xx定义域为R，且()2()fxxfx，故2fxx为奇函数，故D错误；故选：C3．（2022·北京）已知函数2(),fxxxR，则（）A．()fx是奇函数B．()fx是偶函数C．()fx既是奇函数又是偶函数D．()fx既不是

奇函数也不是偶函数【答案】B【分析】由函数奇偶性的定义即可判断答案.【详解】由题意，22R,xfxxxfx，即函数为偶函数.故选：B.4．（2022春·天津）下列函数中是奇函数的为（）A．fxxB．2logfxxC．fxx

D．exfx【答案】C【分析】根据奇函数定义逐一判断各个选项即可.【详解】对于A，函数定义域为R，fxxfx，该函数不是奇函数，故A错误；对于B，函数定义域为0,，该函数为非奇非偶函数，故B错误；对于C，函数定义域为R，fxxfx

，该函数为奇函数，故C正确；对于D，函数定义域为R，exfxfx，该函数不是奇函数，故D错误.故选：C5．（2022·山西）函数()fx在(,)单调递减，且为奇函数．若(1)1f，则满足1(2)1fx的x的取值

范围是（）A．[2,2]B．[1,1]学科网（北京）股份有限公司19C．[0,4]D．[1,3]【答案】D【分析】方法一：不妨设()fxx，解1(2)1fx即可得出答案.方法二：取=0x，则有21()1f，又因为1(12)()ff，所以与21()1f

矛盾，即可得出答案.方法三：根据题意，由函数的奇偶性可得()11f，利用函数的单调性可得121x，解不等式即可求出答案.【详解】［方法一］：特殊函数法由题意，不妨设()fxx，因为1(2)1fx，

所以121x，化简得13x．故选：D.［方法二］：【最优解】特殊值法假设可取=0x，则有21()1f，又因为1(12)()ff，所以与21()1f矛盾，故=0x不是不等式的解，于是排除A、B、C．

故选：D.［方法三］：直接法根据题意，()fx为奇函数，若(1)1f，则()11f，因为()fx在(,)单调递减，且1(2)1fx，所以1(2)1ffxf，即有：121x，解可得：13x.故选：D.6．（2022秋·浙江）已知函数32yax

（>0a），则此函数是（）A．偶函数且在（-∞，+∞）上单调递减B．偶函数且在（-∞，+∞）上单调递增C．奇函数且在（-∞，+∞）上单调递减D．奇函数且在（-∞，+∞）上单调递增【答案】D【分析】根据函数的奇偶性的定义和幂函数的单调

性可得选项.【详解】解：令32yfxax，则函数32yfxax的定义域为R，且3322fxaxaxfx，所以函数32yfxax是奇函数，又因为>0a，所以函数32yfxax在（-∞，+∞）上单调递增，故选：D．7．（20

21·北京）已知fx是定义在R上的偶函数，若11f，则1f（）A．1B．0C．1D．2【答案】C学科网（北京）股份有限公司20【分析】直接利用偶函数的性质求解即可.【详解】因为fx是定义在R上的偶函数且11f，所以

111ff，故选：C.8．（2021春·河北）已知函数fx是定义在R上的奇函数且单调递减，函数gxxfx，则（）A．gx是R上的奇函数且单调递减B．gx是R上的奇函数且单调递增C．gx是非奇非偶函数且在R上单调递减D．gx是非奇非偶函数

且在R上单调递增【答案】B【分析】由奇偶函数定义可判断函数奇偶性，函数yx及fx单调性可判断gx在R上的单调性.【详解】注意到gxxfxxfxxfxgx，且定义域为R，则gx是R上的奇函数；因fx在R上单调递减，则f

x在R上单调递增，又yx在R上单调递增，则gxxfx在R上单调递增.故选：B9．（2021秋·贵州）已知函数f（x）是偶函数.若f（3）＝5，则f（-3）＝（）A．-1B．0C．1D．5【答

案】D【分析】根据函数f（x）是偶函数，由f（-x）＝f（x）求解.【详解】因为函数f（x）是偶函数，且f（3）＝5，所以f（-3）＝f（3）＝5，故选：D10．（2023·广东）函数()fx是偶函数，当0x时，()(1)fxxx，则(1)f.【答案】2【分

析】根据函数的奇偶性求出解析式后即可代入求解.【详解】因为当0x时，()(1)fxxx，所以当0x时，0x，所以()(1)fxxx，函数()fx是偶函数，所以()()(1)fxfxxx，所以11112f，学科网（北京）股份有限公司21故答案为：2.

11．（2022秋·广东）函数fx是R上的偶函数，当0x时，21xfx，则3f．【答案】9【分析】根据函数的奇偶性求得正确答案.【详解】fx是偶函数，所以333219ff.故答案为：912．（2

022春·贵州）已知定义在R上的函数f（x）同时满足以下两个条件：①对任意xR，把有2fxfxx；②对任意120xx„，都有12120xxfxfx．则不等式21(1)fxxfx的解集为．【答案】2,0,3

【分析】根据2fxfxx，变形，可构造gxfxx，根据题意，可得函数的奇偶性和单调性，由此，解不等式，可得答案.【详解】由2fxfxx，可得：fxxfxx，令gxfxx，

则gxgx，即函数gx为偶函数，因为对任意120xx„，都有12120xxfxfx，所以函数fx在0,上单调递增，即函数gx在0,上单调递增，由21(1)fxxfx，得2121(

1)1fxxfxx，即211gxgx，因为函数gx为偶函数，所以211gxgx则211xx，22211xx，2320xx，解得23x或0x，故答案为：2,0,3

.13．（2023·北京）已知yfx是定义在区间22,上的偶函数，其部分图像如图所示．(1)求1f的值；学科网（北京）股份有限公司22(2)补全yfx的图像，并写出不等式1fx的解集．【答案】(1)1(2)作图见解析，2,11,2【分析】（

1）根据偶函数的性质计算；（2）根据偶函数的性质以及函数图像计算.【详解】（1）由图可知，11f，因为fx是偶函数，所以111ff；（2）yfx的图像如上图，不等式1fx的解集为2,11,2

；综上，11f，1fx的解集为2,11,2.14．（2023·山西）已知fx是定义在22,上的奇函数，且24f，若对任意的m，2,2n，mn，都有0mmffnn．(1)若

210fafa，求实数a的取值范围；(2)若不等式23afxa恒成立，求实数a的取值范围．【答案】(1)a的取值范围为1,12；(2)a的取值范围为,19,.

【分析】（1）利用单调性的定义，证得fx在22,上递增，由此结合奇函数的性质化简不等式(21)()0fafa，求得a的取值范围.（2）由（1）可得函数fx在22,上的最大值为4，由条件可得234aa，

解不等式可得a的取值范围．【详解】（1）任取两个实数12,xx，满足1222xx，学科网（北京）股份有限公司23由题意可得121212120fxfxfxfxxxxx，即12

fxfx，()fx在定义域[2,2]上是增函数.因为fx是定义在22,上的奇函数，所以当22x时，fxfx，所以210fafa，可化为21fafa

所以(21)()fafa所以2212aa，解得112a，a的取值范围为1,12.（2）由（1）知函数()fx在定义域[2,2]上是增函数，所以当2x时，函数()fx取最大值，最大值为2f，又fx是定义在22,上的

奇函数，所以22ff，又24f，所以函数()fx在定义域[2,2]上的最大值为4，因为不等式23afxa恒成立，所以234aa，所以0a，故不等式234aa可化为234aa，所以21090aa

，解得9a或1a，所以a的取值范围为,19,．15．（2022·湖南）已知函数21fxx.(1)写出()fx的定义域并判断()fx的奇偶性；(2)证明：()fx在(0,1)x是单调递减；(3

)讨论2(0)fxkxk的实数根的情况.【答案】(1)(,1)(1,1)(1,)，偶函数学科网（北京）股份有限公司24(2)证明见解析(3)有2个实数根【分析】（1）根据题意可得分母不能为0，即10x，求解函数()fx的定义域即可，利用奇偶性的定义

判断函数()fx的奇偶性即可；（2）利用定义法证明函数()fx在(0,1)x是单调递减即可.（3）构造函数2()(0)gxkxk，求解函数()fx与函数()gx在区间(0,)上的单调性，利用极限的思想可得函数()fx与函数()gx在区间(0,)上有一个

交点，利用偶函数的性质可得函数()fx与函数()gx共有2个交点，即为方程的根.【详解】（1）解：由题可知101xx，所以函数()fx的定义域为(,1)(1,1)(1,)，因为2()()1fxfxx，

所以函数()fx为偶函数.（2）解：当(0,1)x时，21fxx，设12,xx为区间(0,1)上的任意的两个值，且12xx，则122121212()22()()11(1)(1)xxfxfxxxxx，因为1201xx<<<，所以211210,10,0xxxx

，故21()()0fxfx，即21()()fxfx，所以函数()fx在区间(0,1)上单调递减.（3）解：由（2）得，当(0,1)x时，函数()fx在区间(0,1)上单调递减，且(0)2f，当1x时，()fx，当(1,)x时

，21fxx，设12,xx为区间(1,)上的任意的两个值，且12xx，则122121212()22()()11(1)(1)xxfxfxxxxx，因为1201xx<<<，所以211210,10,0xxxx，故

21()()0fxfx，即21()()fxfx，所以函数()fx在区间(1,)上单调递减.且当1x时，()fx，当x时，()0fx，设2()(0)gxkxk，则()gx为偶函数，且()0gx恒成立，

当0x时，函数()gx在区间(0,)单调递增，且(0)0g，当x时，()gx.所以函数()fx与函数()gx在区间(0,)必有一个交点，又因为函数()fx与函数()gx均为偶函数，所以函

数()fx与函数()gx在区间(,0)必有一个交点，学科网（北京）股份有限公司25所以函数()fx与函数()gx有2个交点，即方程2(0)fxkxk有2个实数根.16．（2021秋·浙江）设0,4a，已知函数24(),1xafxx

xR.（1）若()fx是奇函数，求a的值；（2）当0x时，证明：()22afxxa；（3）设12,xxR，若实数m满足212fxfxm，证明：1()(1)8fmaf.【答案】（1）0a；（2）证明见解析；（3）证明见解析.【解析】（1）由于函数的定义

域为xR，进而结合奇函数()()fxfx即可得0a；（2）采用作差比较大小，整理化简得222412(4)(1)01221xaaxaaxxxx；（3）令4txa，222416()1216xatytxtataR，

进而得2288()1616fxaaaa，再结合题意即可得22m，再分0ma和0ma两种情况讨论，其中当0ma时，结合（2）的结论得1()(1)(1)(1)228aafmafmaa

，等号不能同时成立.【详解】解：（1）由题意，对任意xR，都有()()fxfx，即224()4()11xaxaxx，亦即44xaxa，因此0a；（2）证明：因为0x，04a，2224214221

21axaxaxxaaxaxx学科网（北京）股份有限公司2622212142121axxxxxx221(4)(1)021axxx.所以，()

22afxxa.（3）设4txa，则222416()1216xatytxtataR，当0t时，0y；当0t时，216162yatat；max28()016fxaa，min28()016fxaa，

所以2288()1616fxaaaa.由212fxfxm得2maxmin()()4mfxfx，即22m.①当0ma时，()0fma，4(1)02af，所以1()(1)8fmaf；②当0ma时，由（2）知，4()(1)()

222aafmafmaa1(1)(1)228aamaa，等号不能同时成立.综上可知1()(1)8fmaf.考点五：幂函数1．（2022春·浙江）函数23yx的大致图象是（）A．B．学科网（北京）股份有限公司2

7C．D．【答案】B【分析】由奇偶性可排除D；由幂函数性质可排除AC，由此可得结果.【详解】3232xxy的定义域为R，且2323xx，23yx为偶函数，图象关于y轴对称，可排除D；2013，由幂函数性质知：23yx在0,上单调递增，但增

长速度越来越慢，可排除AC.故选：B.2．（2022春·贵州）函数1yx的图象大致为（）A．B．C．D．【答案】C【分析】首先得到函数的定义域，再判断函数的奇偶性，最后根据幂函数的性质判断即可；【详解】解：因为1yx，即1fxx，定义域为|0xx

，且11fxxxfx，即1fxx为奇函数，又由幂函数的性质可知1fxx在0,上单调递减，所以1fxx在,0上单调递减，故符合题意的只有C；故选：C3

．（2021秋·福建）函数yx的图像大致为（）学科网（北京）股份有限公司28A．B．C．D．【答案】A【分析】根据给定的幂函数的值域排除两个选项，再利用函数图象在第一象限的特征判断作答.【详解】由0yx得，函数yx的图象在x轴及上方，B、D都不正确，函数yx的图象是曲线，在

1x时，该曲线在直线yx的下方，且增长速度逐渐变慢，C不正确，A满足条件.故选：A4．（2021·湖北）如图，①②③④对应四个幂函数的图像，其中②对应的幂函数是（）A．3yxB．2yx=C．yxD．yx【答案】C【分析】根据常见幂函数的图像即

可得出答案.【详解】解：由图知：①表示yx，②表示yx，③表示2yx=，④表示3yx.故选：C.学科网（北京）股份有限公司295．（2021春·贵州）已知幂函数()fxx的图象经过点(2,4)，则（）A．1B．0C．1D．2【答案】D【分析】根据题意，将(2,4)代入到()fxx

中，即可求得答案.【详解】由题意，幂函数()fxx的图象经过点(2,4)，则422,，故选：D6．（多选）（2022春·浙江）图象经过第三象限的函数是（）A．2yx=B．3yxC．23yxD．1yx【答案】BD【分析】结合常见的

幂函数图象，数形结合得到答案.【详解】由幂函数的图象可知，A中，2yx=过第一、二象限；B中，3yx过第一、三象限；C中，33220yxx且定义域为R，过第一、二象限；D中，1yx过第一、三象限.

故选：BD7．（2021秋·贵州）若幂函数ayx的图像过点(28)，，则a．【答案】3【详解】幂函数ayx的图像过点28，，3282,3aa，故答案为3.考点六：函数的应用（一）1．（2022春·辽宁）刹车距离是分析交通事故的一个重要依据．

在一条限速为30km/h的道路上，某汽车司机发现情况不对，紧急刹车，但还是发生了交通事故．经现场勘查，测得汽车的刹车距离大于10m．已知该种车型的刹车距离（单位，m）与刹车前的车速v（单位km/h）之间有如下函数关系：21120020svv

，要判断该汽车是否超速，需要求解的不等式是（）．A．21110020020vvB．21110020020vvC．21110020020vvD．21110020020vv【答案】B【详解】∵汽车的刹

车距离大于10m,学科网（北京）股份有限公司30∴2111020020svv∴21110020020svv故选：B2．（2022春·广西）为了庆祝中国青年团100周年，校团委组织了一场庆祝活动，要用警戒线围出400

平方米的矩形活动区域，则所用警戒线的长度的最小值为（）A．30米B．50米C．80米D．110米【答案】C【分析】设该矩形区域的长为x米，则宽为400x米，利用基本不等式计算即可得出结果.【详解】设该矩形区域的长为x米，则宽为400x米，则所用警

戒线的长度为40040022280xxxx米，当且仅当400xx，即20x=时，取等号.则所用警戒线的长度的最小值为80米.故选：C3．（2022秋·福建）一车间为了规定工时定额，需要确定加工某零件所需的时间，为此进行了多次试验，收集了加工零件个数x与

所用时间y（分钟）的相关数据，并利用最小二乘法求得回归方程0.6755yx．据此可预测加工200个零件所用的时间约为分钟．【答案】189【分析】根据回归方程0.6755yx即可求解.【详解】解：因为回归方程0.6755yx，所以当200x时，0.6720055189y

，所以可预测加工200个零件所用的时间约为189分钟，故答案为：189.4．（2022秋·福建）某工厂要建造一个容积为39m的长方体形无盖水池．如果该水池池底的一边长为1m，池底的造价为每平方米200元，池壁的造价为每平方米100元，那么要使水池的总造价最低，水池的高应为m．【答案】3【分

析】写出底边长和高的关系式，运用基本不等式运算即可.【详解】由题意，设底面另一边长为x，高为y，则有9xy，总造价为200210021002002001800Sxyxyxy220018003000xy，当且仅当x=y=3时等号成立，故答案为：3.