【文档说明】江苏省南京市2021届高三下学期5月第三次模拟考试数学试题 含答案.doc，共(10)页，270.500 KB，由小赞的店铺上传

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南京市2021届高三年级第三次模拟考试数学2021．05注意事项：1．本试卷考试时间为120分钟，试卷满分150分，考试形式闭卷．2．本试卷中所有试题必须作答在答题卡上规定的位置，否则不给分．3．答题前，务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色

墨水签字笔填写在试卷及答题卡上．第I卷（选择题共60分）一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知集合A＝{x|2x＜4}，B＝{x|x2－2x－3≤0}，则A∪B＝A．[－1，2)B．(2，3

]C．(－1，3]D．(－∞，3]2．已知i为虚数单位，若复数z＝12＋32i，则复数1z的虚部为A．－32B．32C．－32iD．32i3．函数y＝ln|x|＋cosx的大致图象是ABCD4．将5名学生分配到A，B，C

，D，E这5个社区参加义务劳动，每个社区分配1名学生，且学生甲不能分配到A社区，则不同的分配方法种数是A．72B．96C．108D．1205．已知cos(α－π6)＝34，则sin(2α＋π6)＋cos2(α2－

π12)的值为A．14B．12C．378D．16．声音的强弱可以用声波的能流密度来计算，叫做声强．通常人耳能听到声音的最小声强为I0＝10－12(瓦/米2)．对于一个声音的声强I，用声强I与I0比值的常用对数的10倍表示声

强I的声强级，单位是“分贝”，即声强I的声强级是10lgII0(分贝)．声音传播时，在某处听到的声强I与该处到声源的距离s的平方成反比，即I＝ks2(k为常数)．若在距离声源15米的地方，听到声音的声强级是20分贝，则能听到该

声音(即声强不小于I0)的位置到声源的最大距离为A．100米B．150米C．200米D．1510米7．在正方形ABCD中，O为两条对角线的交点，E为边BC上的动点．若→AE＝λ→AC＋μ→DO（λ，μ＞0

），xyOxyOxyOxyO则2λ＋1μ的最小值为A．2B．5C．92D．1438．已知a，b，c均为不等于1的正实数，且lna＝clnb，lnc＝blna，则a，b，c的大小关系是A．c＞a＞bB．b＞c＞aC．a＞b＞c

D．a＞c＞b二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分)9．面对新冠肺炎疫情的冲击，我国各地区各部

门统筹疫情防控和经济社会发展均取得显著成效．下表显示的是2020年4月份到12月份中国社会消费品零售总额数据，其中同比增长率是指和去年同期相比较的增长率，环比增长率是指与上个月份相比较的增长率，则下列说法正确

的是中国社会消费品零售总额月份零售总额（亿元）同比增长环比增长累计（亿元）428178－7.50％6.53％106758531973－2.80％13.47％138730633526－1.80％4.86％17225

6732203－1.10％－3.95％2044598335710.50％4.25％2380299352953.30％5.14％27332410385764.30％9.30％31190111395145.

00％2.43％35141512405664.60％2.66％391981A．2020年4月份到12月份，社会消费品零售总额逐月上升B．2020年4月份到12月份，11月份同比增长率最大C．2020年4月份到12月份，5月

份环比增长率最大D．第4季度的月消费品零售总额相比第2季度的月消费品零售总额，方差更小10．定义曲线Γ：a2x2＋b2y2＝1为椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)的伴随曲线，则A．曲线Γ有对称轴B．曲线Γ没有对称中心C．曲线Γ有且仅

有4条渐近线D．曲线Γ与椭圆C有公共点11．已知正四棱台的上底面边长为2，下底面边长为22，侧棱长为2，则A．棱台的侧面积为67B．棱台的体积为143C．棱台的侧棱与底面所成的角的余弦值为12ABCDOEFxx2x2y图1D．棱台的侧面与

底面所成锐二面角的余弦值为7712．已知函数f(x)＝3sin2x＋4cos2x，g(x)＝f(x)＋|f(x)|．若存在x0∈R，对任意x∈R，f(x)≥f(x0)，则A．任意x∈R，f(x＋x0)＝f(x－x0)B．任意x∈R，f(x)≤f

(x0＋π2)C．存在θ＞0，使得g(x)在(x0，x0＋θ)上有且仅有2个零点D．存在θ＞－5π12，使得g(x)在(x0－5π12，x0＋θ)上单调递减第II卷（非选择题共90分）三、填空题(本大题共4小题

，每小题5分，共20分)13．(3x2＋1x3)5的展开式中的常数项为▲________．14．写出一个离心率为5，渐近线方程为y＝±2x的双曲线方程为▲________．15．早在15世纪，达·芬奇就曾提出一种制作正二十面体的方法：如图1，先制作三张一样的黄金矩形ABCD(短边长边＝5－12)，

然后从长边CD的中点E出发，沿着与短边平行的方向剪开一半，即OE＝12AD，再沿着与长边AB平行的方向剪出相同的长度，即OF＝OE，将这三个矩形穿插两两垂直放置，连结所有顶点即可得到一个正二十面体，如图2．若黄金矩形的短边长为4，则按如上制作的正二十面体

的表面积为▲________，其外接球的表面积为▲________．16．已知直线y＝kx＋b与曲线y＝x2＋cosx相切，则kπ2＋b的最大值为▲________．四、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应

写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)图2已知四边形ABCD中，AC与BD交于点E，AB＝2BC＝2CD＝4．（1）若∠ADC＝2π3，AC＝3，求cos∠CAD；（2）若AE＝CE，BE＝

22，求△ABC的面积．18．(本小题满分12分)已知等差数列{an}满足：a1＋3，a3，a4成等差数列，且a1，a3，a8成等比数列．（1）求数列{an}的通项公式；（2）在任意相邻两项ak与ak＋1(k＝1，2，…)之间插入2k

个2，使它们和原数列的项构成一个新的数列{bn}．记Sn为数列{bn}的前n项和，求满足Sn＜500的n的最大值．19．(本小题满分12分)如图，在四棱锥P－ABCD中，四边形ABCD为直角梯形，AD∥BC，∠ABC＝90º，AD＝

2BC＝2AB＝4，△PAD为等边三角形，E为PD的中点，直线AB与CE所成角的大小为45º．（1）求证：平面PAD⊥平面ABCD；（2）求平面PAB与平面PCD所成角的正弦值．20．(本小题满分12分)某乒乓球教练为了解某同学近期的训练效果，随机记录了该同学40局接

球训练成绩，每局训练时教PEDACB（第19题图）练连续发100个球，该同学接球成功得1分，否则不得分，且每局训练结果相互独立，得到如图所示的频率分布直方图．（1）若同一组数据用该区间的中点值作代表，①求该同学40局接球训练成绩的样本平均数x－；②若该同

学的接球训练成绩X近似地服从正态分布N(μ，100)，其中μ近似为样本平均数x－，求P(54＜X＜64)的值；（2）为了提高该同学的训练兴趣，教练与他进行比赛．一局比赛中教练连续发100个球，该同学得分达到80

分为获胜，否则教练获胜．若有人获胜达3局，则比赛结束，记比赛的局数为Y．以频率分布直方图中该同学获胜的频率作为概率，求E(Y)．参考数据：若随机变量ξ~N(μ，σ2)，则P(μ－σ＜ξ＜μ＋σ)≈0.6827，P(μ－2σ＜ξ＜μ＋2σ)≈0.9545，P(

μ－3σ＜ξ＜μ＋3σ)≈0.9973．21．(本小题满分12分)在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线C：y2＝4x，经过P(t，0)(t＞0)的直线l与C交于A，B两点．（1）若t＝4，求AP长度的最小值；（2）设以AB

为直径的圆交x轴于M，N两点，问是否存在t，使得→OM·→ON＝－4？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．22．(本题满分12分)已知函数f(x)＝a－exx＋alnx，a∈R．（1）若a＜e，求函数

f(x)的单调区间；（2）若a＞e，求证：函数f(x)有且仅有1个零点．南京市2021届高三年级第三次模拟考试数学参考答案及评分标准一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符O5060708090100

分数频率组距0.0050.0100.0200.045（第20题图）合题目要求的．1．D2．A3．C4．B5．D6．B7．C8．A二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．

全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．BCD10．AC11．ACD12．BD三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．27014．x2－y24＝1(答案不唯一)15．803，(40＋85)π16．

π24四、解答题：本大题共6小题，共70分．17．(本题满分10分)解：(1)在△ACD中，由正弦定理，得ACsin∠ADC＝CDsin∠CAD，所以sin∠CAD＝CDsin∠ADCAC＝2×sin2π33＝33．·····································

·····2分因为0＜∠CAD＜π3，因此cos∠CAD＝1－sin2∠CAD＝1－(33)2＝63．·································4分(2)方法1设AE＝CE＝x，

∠AEB＝α．在△ABE中，8＋x2－42xcosα＝16．①在△BCE中，8＋x2－42xcos(π－α)＝4，即8＋x2＋42xcosα＝4．②··············6分①②相加，解得x＝2，

即AE＝CE＝2．···············································8分将x＝2代入①，解得cosα＝－34．因为0＜α＜π，所以sinα＝1－cos2α＝74，所以△ABC的面积S△AB

C＝2S△ABE＝2×12AE×BE×sinα＝2×(12×2×22×74)＝7．······························10分方法2因为AE＝CE，所以→BE＝12(→BA＋→BC)，两边平方得4→BE2＝→BA2＋

→BC2＋2|→BA|·|→BC|cos∠ABC，即32＝16＋4＋2×4×2cos∠ABC，得cos∠ABC＝34，又0＜∠ABC＜π，所以sin∠ABC＝1－cos2∠ABC＝74．···········································

··········8分所以△ABC的面积S△ABC＝12AB·BC·sin∠ABC＝12×4×2×74＝7．················10分18．(本题满分12分)解：(1)设数列{an}的公差为d，因为a

1＋3，a3，a4成等差数列，所以2a3＝a1＋3＋a4，即2(a1＋2d)＝a1＋3＋a1＋3d，解得d＝3，·································································

·······················2分因为a1，a3，a8成等比数列，所以a32＝a1a8，即(a1＋6)2＝a1(a1＋21)，解得a1＝4，····················································

···································4分所以an＝4＋3(n－1)＝3n＋1．·································································5分(2)因为bn＞0，所以{Sn}是单调递增数列．

·················································6分因为ak＋1前的所有项的项数为k＋21＋22＋…＋2k＝k＋2k＋1－2，所以Sk＋2k＋1－2＝(a1＋a2＋…

＋ak)＋2(21＋22＋…＋2k)＝k(4＋3k＋1)2＋2×2(1－2k)1－2＝3k2＋5k2＋2k＋2－4．····················8分当k＝6时，S132＝321＜500；当k＝7时，S261＝599＞50

0．··························10分令S132＋a7＋2(n－133)＜500，即321＋22＋2(n－133)＜500，解得n＜211.5．所以满足Sn＜500的n的最大值为211．

···················································12分19.解：(1)取AD中点O，连接CO，OE．在梯形ABCD中，因为AD∥BC，AD＝2BC，所以四边形ABCO为

平行四边形，所以CO∥AB，所以∠OCE即为异面直线AB与CE所成的角或补角．··································2分在等边△PAD中，因为E为PD的中点，所以OE＝12PA＝12AD

＝2．在△OCE中，OC＝AB＝2，即OE＝OC＝2，所以∠OCE为锐角，从而∠OCE＝∠OEC＝45°，所以∠COE＝90°，即OC⊥OE．···························································4分因为∠ABC＝90º，

所以四边形ABCO为矩形，所以OC⊥AD．又AD∩OE＝O，AD，OE平面PAD，所以OC⊥平面PAD．又因为OC平面ABCD，所以平面PAD⊥平面ABCD．·······························6分(2)连接PO，在等边△PAD

中，因为O为AD中点，所以PO⊥AD．由(1)得OC⊥平面PAD，PO平面PAD，所以OC⊥PO．以O为原点，OC，OD，OP所在直线分别为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系O－xyz，Pz则A(0，－2，0)，C(2，0，0)，D(0，2，0)，B(2，－2，0)，P(

0，0，23)，故→AP＝(0，2，23)，→AB＝(2，0，0)，→PD＝(0，2，－23)，→CD＝(－2，2，0)．设平面PAB的法向量为m＝(x，y，z)，由m·→AP＝2y＋23z＝0，m·

→AB＝2x＝0，不妨取z＝1，得m＝(0，－3，1)．·······················································8分设平面PCD的法向量为n＝(x，

y，z)，由n·→PD＝2y－23z＝0，n·→CD＝－2x＋2y＝0，不妨取z＝1，得n＝(3，3，1)．············································

············10分所以cos＜m，n＞＝m·n|m|·|n|＝－77．所以平面PAB与平面PCD的所成角的正弦值为427．···························12分20．(本小题满分12分)解：(1)①

x－＝55×0.1＋65×0.2＋75×0.45＋85×0.2＋95×0.05＝74．···················2分②由(1)得μ＝x－＝74，所以X~N(74，100)，得P(54＜X＜94)≈0.9

545，P(64＜X＜84)≈0.6827，······························4分所以P(54＜X＜64)＝0.9545－0.68272＝0.1359．······················

················6分(2)记“该同学每局获胜”为事件A，则P(A)＝(0.02＋0.005)×10＝14．············7分Y的可能取值为3，4，5,P(Y＝3)＝(14)3＋(34)3＝716，·····

································································8分P(Y＝4)＝C23×(14)2×34×14＋C23×(34)2×14×34＝45128，···································

···9分P(Y＝5)＝C24×(14)2×(34)2×14＋C24×(34)2×(14)2×34＝27128．·······························10分因此E(Y)＝3×716＋4×45128＋5×27128＝483128．·······················

······················12分21．(本题满分12分)解：(1)设A(x1，y1)，则AP2＝(x1－4)2＋y12＝x12－8x1＋16＋4x1＝x12－4x1＋16，·······2分当x1＝2时，(AP2)min＝12，故AP长度的最小值为23．···········

··················4分(2)由l不与x轴重合，故可设直线l：x＝my＋t，A(x1，y1)，B(x2，y2)，EDACBOxy联立x＝my＋t，y2＝4x，得y2－4my－4t＝0，所以

y1＋y2＝4m，y1y2＝－4t．·······························································6分以AB为直径的圆方程为(x－x1)(x－x2)＋(y－y1)(y－y2)＝0，令y＝0，得(x－x1)(x－x2)＋y1y2＝

0，即x2－(x1＋x2)x＋x1x2＋y1y2＝0．设M(x3，y3)，N(x4，y4)．则x3x4＝x1x2＋y1y2．·············································································8分于是→OM

·→ON＝x3x4＝x1x2＋y1y2＝y12y2216＋y1y2＝t2－4t．·································10分令t2－4t＝－4，解得t＝2，此时Δ＝16(m2＋2)＞0，所以存在t＝2，使得→

OM·→ON＝－4．·······················································12分22．(本题满分12分)(1)解：因为f(x)＝a－exx＋alnx，x＞0，所以f'(x)＝－(x－1)(ex－a)x2．···········

·········1分①当a≤1时，令f'(x)＜0，得x＞1；令f'(x)＞0，得0＜x＜1．·················2分②当1＜a＜e时，令f'(x)＜0，得0＜x＜lna或x＞1；令f'(x)＞0，得lna＜x＜1．························

·············································································3分因此，当a≤1时，f(x)的减区间为(1，＋∞)，增区间为(0，1)；当1＜a＜

e时，f(x)的减区间为(0，lna)和(1，＋∞)，增区间为(lna，1)．·····························································································4分(2)证明：当a

＞e时，令f'(x)＜0，得0＜x＜1或x＞lna；令f'(x)＞0，得1＜x＜lna．所以f(x)的减区间为(0，1)和(lna，＋∞)；增区间为(1，lna)，····················6分所以当x∈(0，lna]时，f(x)≥f(

1)＝a－e＞0，此时f(x)无零点．··················7分方法1下面证明：当x＞0时，ex＞x33．设g(x)＝ex－x33，x＞0，则g'(x)＝ex－x2，g''(x)＝ex－2x，g'''(x)＝ex－2．当x∈(0，ln2)，g'''(x)＜0，所以g''(x)单调

递减；当x∈(ln2，＋∞)，g'''(x)＞0，所以g''(x)单调递增；因此g''(x)≥g''(ln2)＝2－2ln2＞0，故g'(x)在(0，＋∞)上单调递增．因此g'(x)＞g'(0)＝1＞0，故g(x)在(0，＋∞)上单调递增．所以g(x)＞g(

0)＝1＞0，即不等式ex＞x33(x＞0)得证．································9分由于x＞0时，由g''(x)＞0，知ex＞2x＞x，故lnex＞lnx，即lnx＜x．············10分因此，当x＞lna＞1时，f(x)＝a－

exx＋alnx＜a－13x3x＋ax＝－13x2＋ax＋ax＜－13x2＋ax＋a，令－13x2＋ax＋a＝0，得x＝3a＋9a2＋12a2＝a＋a＋9a2＋12a2＞lna，取x0＝3a＋9a2＋12a2，则f(x

0)＜0．又f(lna)＞f(1)＞0，且函数f(x)在[lna，＋∞)上单调递减，f(x)的图象不间断，故当x∈[lna，＋∞)时，f(x)有且仅有1个零点．综上，当a＞e时，函数f(x)有且仅有1个零点．································

····12分方法2先证明：ex≥e3x327(x＞0)．令g(x)＝ex－ex，x＞0，因为g'(x)＝ex－e，所以g(x)在(0，1)上递减，在(1，＋∞)上递增，所以g(x)min＝g(1)＝0，所以g(x)＝ex－ex

≥0，即ex≥ex，当且仅当x＝1时取等号．将x换作x3，得ex3≥e·x3，即证得ex≥e327x3．···············································9分再证

明：当x＞0时，lnx≤x－1．令h(x)＝lnx－x＋1，x＞0，h'(x)＝1x－1，所以当x∈(0，1)时，h'(x)＞0，所以h(x)在(0，1)上递增，当x∈(1，＋∞)时，h'(x)＜0，所以h(x)在(1，＋∞)上递减，所以h(x)max＝h(1)＝0，故h(x)＝lnx－x＋

1≤0，即证得当x＞0时，lnx≤x－1，当且仅当x＝1时取等号．··························10分当x＞1时，有f(x)＝a－exx＋alnx＝a(xlnx＋1)－exx＜a[x(x－1)＋x]－e3x327x＝ax2－e3x327

x，令ax2－e3x327＝0，解得x＝27ae3，所以f(27ae3)＜0．又f(lna)＞f(1)＞0，且lna＜a－1＜a＜27ae3，f(x)在[lna，＋∞)上单调递减，f(x)的图象不间断，所以f(x)在[lna，＋∞)上有且仅有1个零点．综上，当a＞e时，函数f(x)有且仅

有1个零点．······································12分