【文档说明】江苏省2020届高三普通高等学校招生全国统一考试冲刺模拟数学试题含解析.docx，共(16)页，880.285 KB，由小赞的店铺上传

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江苏省2020年普通高等学校招生全国统一考试冲刺模拟试题第I卷（必做题）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，

将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。4．测试范围：高中全部内容。一、填空题1．已知集合1,3,21Am=−−，集合23,Bm=，若BA，则实数m=_______2．已知复数(2)(1)ai

i++为纯虚数，其中i为虚数单位，则实数a的值是________.3．阅读如图所示的程序框，若输入的n是30，则输出的变量S的值是______.4．函数()2134lgxyxx−=−−的定义域是____________5．在某次数学测验中，5位学生的成绩如下：78

、85、a、82、69，他们的平均成绩为80，则他们成绩的方差等于________.6．某校开设5门不同的选修课程，其中3门理科类和2门文科类，某同学从中任选2门课程学习，则该同学“选到文科类选修课程”的概率为______.7．在平面直角坐

标系xOy中，已知点A是抛物线24yx=与双曲线()222104xybb−=的一个交点.若抛物线的焦点为F，且5FA=，则双曲线的渐近线方程为______8．设{an}是由正数组成的等比数列，Sn为其前n项和，已知a2a4=1

，S3=7，则S5=____________.9．已知P,A,B,C是球O的球面上的四点，PA，PB，PC两两垂直，PAPBPC==,且三棱锥PABC−的体积为43，则球O的表面积为______．10．若点P是曲线2lnyxx=−上任意一点，则点P到直线2yx=−的距离的最小值为_

___________11．已知,,,abcdR且满足332alnadbc+−==1，则22()()acbd−+−的最小值为_____.12．已知C是以AB为直径的半圆上一点，且C是线段PQ的中点，若AB=5，PQ=1，PQ与AB的夹

角为120，则APBQ=________.13．已知是第二象限角，且4sin5=，则tan24−的值为______．14．已知函数1,0()1,0xxxfxxxx+=

−，若函数()|()|gxfxxm=+−恰好有2个不同的零点，则实数m的取值范围是______.二、解答题15．在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，(sinsin)(sinsin)sin(sinsin)BCBCABA+−=−.（1）若ABC面积为3，

求ab的值；（2）若223cba+=，求cosA.16．如图，在四棱锥PABCD−中，四边形ABCD为平行四边形，E为侧棱PD的中点，O为AC与BD的交点．（1）求证：//OE平面PBC；（2）若平面PAD⊥平面ABCD，4AC=，5AB=，4sin5ABC=，求证：ACPD⊥．17．已

知椭圆()222210xyabab+=过点312，，且离心率1e2=．（1）求椭圆方程；（2）若直线()lykxm0k=+：与椭圆交于不同的两点MN，，且线段MN的垂直平分线过定点1G08

，，求k的取值范围．18．两城市A和B相距20km，现计划在两城市外以AB为直径的半圆AB上选择一点C建造垃圾处理场，其对城市的影响度与所选地点到城市的距离有关，对城A和城B的总影响度为城A和城B的影响度之和，记C点到城A的距离为xk

m，建在C处的垃圾处理场对城A和城B的总影响度为y，统计调查表明：垃圾处理场对城A的影响度与所选地点到城A的距离的平方成反比，比例系数为4，对城B的影响度与所选地点到城B的距离的平方成反比，比例系数为k，当垃圾处理场建在AB的中点时，对城A和城B的总影响度为

0.065；（1）将y表示成x的函数；（2）判断AB上是否存在一点，使建在此处的垃圾处理场对城A和城B的总影响度最小?若存在，求出该点到城A的距离；若不存在，说明理由；19．设函数()()1221xfxeaxax−=+−+（其中a为实数）.（1）若0a，求()fx零点的个数

；（2）求证：若1x=不是()fx的极值点，则()fx无极值点.20．给定数列na，记该数列前i项12,,,iaaa中的最大项为iA，该数列后ni−项1ia+，2ia+，…..，na中的最小项为,iiii

BdAB=−，(1,2,3...1)in=−.（1）对于数列：3，4，7，1，求出相应的1d，2d，3d；（2）nS是数列na的前n项和，若对任意nN+，有21(1)33nnSan−=−++，其中0且1，①设23(1)nnb

a=+−，判断数列nb是否为等比数列；②若数列na对应的id满足：1iidd+对任意的正整数1,2,2in=−恒成立，求的取值范围.第II卷（附加题）21．已知矩阵4001A=，1205B=，列向量Xab=.（1）求矩阵AB；（2）

若1151BAX−−=，求a，b的值.22．在直角坐标系xOy中，曲线1C的参数方程为63xtyt==+（t为参数），以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C的极坐标方程为22232cos3−=.（1）写出曲线1C的普通方程和曲线2C的直角坐标方程；（2

）已知点P是曲线2C上的动点，求点P到曲线1C的最小距离.23．已知函数2()4fxxax=−++，()|1||1|gxxx=++−．（1）当1a=时，求不等式()()fxgx的解集；（2）若不等式()(

)fxgx的解集包含[–1，1]，求a的取值范围．24．设()()()()20121111,Nnnnxaaxaxaxn+=+−+−+−.已知11023niia==−（1）求n的值；（2）求1nk

kka=的值.25．口袋中有大小、形状、质地相同的两个白球和三个黑球．现有一抽奖游戏规则如下：抽奖者每次有放回的从口袋中随机取出一个球，最多取球2n＋1(nN)次．若取出白球的累计次数达到n＋1时，则终止取球且获奖，其它情况均不

获奖．记获奖概率为nP．（1）求1P；（2）证明：1nnPP+．江苏省2020年普通高等学校招生全国统一考试冲刺模拟试题解析1．1【解析】由BA，21m−，∴221mm=−．解得1m=，验证可得符合集合元素的互异性，故答案为：1．2．2【解析】由题,因为()()(2)(1)22ai

iaai++=−++是纯虚数,所以20a−=,则2a=,故答案为：23．6i【解析】执行程序框图，有30n=，0S=；不满足条件2n，30S=，28n=；不满足条件2n，3028S=+，26n=；不满足

条件2n，302826S=++，24n=；…不满足条件2n，3028264S=++++，2n=；不满足条件2n，30282642S=+++++，0n=；满足条件2n，退出循环，输出()15230302826422402S+=+++++==.4．()(),11,1−−

−【解析】()2134lgxyxx−=−−，210340xxx−−−解得1x且1x−即函数()2134lgxyxx−=−−的定义域为()(),11,1−−−，故答案为：()(),11,1−−−5．38【解析】5位学生的成

绩如下：78、85、a、82、69，他们的平均成绩为80，78858269580a++++=，解得：86a=，2222221[(7880)(8580)(8680)(8280)(6980)]385s=−+−+−+−+−=，则他们成绩

的方差等于38.故答案为：38．6．710【解析】某校开设5门不同的选修课程，其中3门理科类和2门文科类，某同学从中任选2门课程学习，基本事件总数为2510nC==，该同学恰好“选到文科类选修课程”包含的基本事件个数为2112327mCCC=+=.∴该同学“选

到文科类选修课程”的概率是710mpn==.故答案为：710.7．233yx=【解析】设点A(x,y),因为5FA=，所以x-(-1)=5,所以x=4.所以点A(4,±4)，由题得22216161616

1,3,.43bbb−===所以双曲线的渐近线方程为4323323yxx==.故答案为233yx=8．314【解析】∵{an}是由正数组成的等比数列，且a2a4=1，∴设{an}的公比为q，则q>0，且22431aaa==，即a3=1.∵

S3=7，∴a1＋a2＋a3=21q＋1q＋1=7，即6q2－q－1=0.故q=12或q=－13(舍去)，∴a1=21q=4.∴S5=51412112−−=8(1－512)=314.9．12【解析】三棱锥的体积为2114323VPAPA=

=，故2PA=，因为PA，PB，PC两两垂直，PAPBPC==，故可把三棱锥补成正方体，该正方体的体对角线为三棱锥外接球的直径，又体对角线的长度为23，故球的表面积为()22312S==.10．2【解析】因为点P是曲线2lnyxx

=−上任意一点，则点P到直线2yx=−的距离的最小值是过点P的切线与直线平行的时候，则1'211yxxx=−==，即点（1，1）那么可知两平行线间的距离即点（1，1）到直线的距离为211．95ln223e【解析】因为3312alnadbc+−==，所以

可将(,)Pab，(,)Qcd分别看成函数3lnyxx=+与23yx=+上任意一点，问题转化为曲线上的动点P与直线上的动点Q之间的最小值的平方问题，设(,3)Mttlnt+是曲线3lnyxx=+的切点，因为31yx

=+，故点M处的切斜的斜率31kt=+，由题意可得312t+=，解得3t=，也即当切线与已知直线23yx=+平行时，此时切点(3,33ln3)M+到已知直线23yx=+的距离最近，最近距离6333363355lnlnd−−+−==，也即222229(2ln3)9()()ln

553eacbd−−+−==.12．32−；【解析】由C是以AB为直径的半圆上一点，且C是线段PQ的中点，且PQ与AB的夹角为120，可得ACBC⊥，且=−CPCQ则()()APBQACCPBCCQACBCAC

CQCPBCCPCQ=++=+++0ACCQCQBCCPCQACCQCQCBCPCQ=+−+=++()ACCBCQCPCQABCQCPCQ=++=+11113cos120cos1805()(1)22

222ABCQCPCQ=+=−+−=−.13．13【解析】是第二象限角，且4sin5=，2,2,2kkkZ++，23cos1sin5=−−=−，sin4tancos3

==−，22tan42tantan2231tan2===−−，又,,242kkkZ骣琪?+?琪琪桫，θtan02>，解得tan22=，tan12112tan241231tan2−−−===++．14．

(1,0)22−【解析】令函数()()0gxfxxm=+−=，得12,01()2,101,1xxxmfxxxxxxx+=+=−−−，结合函数()yfxx=+的图象知当(1,0)22m−时，函数(

)yfxx=+的图象与直线ym=恰好有2个不同的交点，所以(1,0)22m−.15．【解析】（1）因为(sinsin)(sinsin)sin(sinsin)BCBCABA+−=−，在ABC中，由正弦定理sinsinsinabcABC==，

得()()()bcbcaba+−=−，化简得222abcab+−=，在ABC中，由余弦定理得，222cos122abcCab+−==，因为(0,)C，所以3C=，又ABC面积为3，可得1sin32abC=，所以ab=4.（

2）因为223cba+=，在ABC中，由正弦定理sinsinsinabcABC==，所以2sinCsin2sin3BA+=，因为ABC++=，所以2sinCsin()2sin3ACA++=由（1）得3C=，所以2sinsin

2sin333AA++=，化简得333sincos223AA−=，所以1sin63A−=.因为203A，所以662A−−，所以222cos1sin663AA−=−−=

，所以coscoscoscossinsin666666AAAA=−+=−−−2231126132326−=−=16．【解析】（1）因为

四边形ABCD为平行四边形,O为AC与BD的交点,所以O为BD的中点.又因为E为侧棱PD的中点,所以//OEPB.又因为PB平面PBC,OE平面PBC,所以//OE平面PBC.（2）在ABC中,因为4AC=,5AB=,4sin5ABC=,由正弦定理sinsinACABABC

ACB=,可得45sin5sin14ABCABAACCB===,所以90ACB=,即ACBC⊥.又因为四边形ABCD为平行四边形,所以//ADBC,所以ACAD⊥.又因为平面PAD⊥平面ABCD,平面PAD平面ABCDAD=,AC平面ABCD,所以AC⊥平面PAD.

又因为PD平面PAD,所以ACPD⊥.17．【解析】（1）椭圆的离心率1e2=，2213144ba=−=，即2243ba=；①又椭圆过点31,2，∴221914ab+=，②由①②得24a=，23b=，∴椭圆的方程为2214

3xy+=．（2）由22143ykxmxy=++=消去y整理得()2223484120kxmkxm+++−=，直线与椭圆交于不同的两点，()()2222644344120mkkm=−+−，整理得2243mk+……（1），设()()1

122,,,MxyNxy，弦MN的中点A()00,xy，则21212228412,3434mkmxxxxkk−+=−=++，∴024,34mkxk=−+∴20022433434mkmykxmmkk=+=−

+=++，∴点A的坐标为2243,3434mkmkk−++，∴直线AG的斜率为22232434413234348AGmmkkmkmkkk+==−−−−−+，又直线AG和直线MN垂直，∴224·

13234mkmkk=−−−−，∴2348kmk+=−，将上式代入（1）式，可得22234438kkk++，整理得2120k，解得551010kk−或．∴实数k的取值范围为55,,1010

−−+．18．【解析】（1）由题意得()224020400kyxxx=+−，又当102x=时，0.065y=，9k=，()2249020400yxxx=+

−.（2）()()22242532049020400400xyxxxxx+=+=−−+，令()2320320,720tx=+，则51230400161040ytt=−++，当且仅当480t=

，即410x=时，等号成立，弧AB上存在一点，使建在此处的垃圾处理场对城A和城B的总影响度最小.19．【解析】（1）由题意得()()()()11221121xxfxeaxaeax−−=+−+=−+−，所以()10f=，又()12xfxea−=+，且0a，所以()0fx恒成立，从而

函数()yfx=在R上单调递增，所以当(),1x−时，()0fx；当()1,x+时，()0fx.则函数()yfx=在(),1−上单调递减，在()1,+上单调递增，因为()10fa=−

，()100fe=，函数()yfx=在(,1]−上单调递减且图象连续不断，所以函数()yfx=在(),1−上恰有1个零点，因为()10fa=−，()220fe=−，函数()yfx=在)1,+上单调递增且图象连续不断，所以函数()yfx=在)

1,+上恰有1个零点，综上所述，当0a时，函数()yfx=有2个零点；（2）由（1）知，当0a时，函数()yfx=在R上单调递增，又()10f=，当1x时，()0fx；当1x时，()0fx.所以，1x=是函数()yfx=的极小值点.

同理当0a=时，1x=也是函数()yfx=的极小值点.当0a时，由()120xfxea−=+=得()1ln2xa=+−，且()yfx=在R上单调递增.所以当()1ln2xa+−时，()0fx；当()1ln2xa+−时，()0fx，从而函数()yfx=

在()(),1ln2a−+−上单调递减；在()()1ln2,a+−+上单调递增.若()1ln21a+−，即102a−，则当()()1ln2,1xa+−时，()0fx，当()1,x+时，()0

fx，则1x=是函数()yfx=的极值点；同理若()1ln21a+−，即12a−，则1x=也是函数()yfx=的极值点；若()1ln21a+−=，即12a=−，()0fx，则函数()yfx=在R上单调递增，此时1x=不是函数()yfx=的

极值点.综上可知，若1x=不是函数()yfx=的极值点，则12a=−，函数()yfx=在R上单调递增，从而函数()yfx=无极值点.20．【解析】（1）13A=，11B=，12d=；24A=，21B=，23d=；37A=，31B=，36d=.（2）①当1n=时，11(1)1aa−=

−+，所以11a=；当2n时，由21(1)33nnSan−=−++，则1121(1)(1)33nnSan−−−=−+−+，两式相减得12(1)3nnnaaa−−=−++，即123nnaa−=+，所

以11122233(1)3(1)nnnnbaab−−−=++=+==−−.因为112313(1)3(1)ba−=+=−−，所以当13时，13103(1)b−=−，故0nb，所

以数列nb满足1(2)nnbnb−=，即数列nb是以313(1)−−为首项，为公比的等比数列；当13=时，13103(1)b−==−，故0nb=，数列nb不是等比数列.②由①知，当13时，13123(1)3(1)nna−−

=−−−；当13=时，23(1)na=−−.又1212max,,,min,,,iiiindaaaaaa++=−，112123max,,,min,,,iiiindaaaaaa++++=−，由于12

23min,,,min,,,iiniinaaaaaa++++，所以由1iidd+，可得，12121max,,,max,,,iiaaaaaa+.所以1211max,,,iiaaaa++=对任意的

正整数1,2,3,,2in=−恒成立，即数列na的前1n−项单调递增是题设成立的必要条件，易知13.因为1iiidaa+=−，112iiidaa+++=−，所以()12121213131212(1)3(1)3(1)iiiiiiiddaaa−−+++−−−=+

−=+−=−−−.当1时，由1nnaa+，得3103(1)−−，解得1，此时10iidd+−，不符合1iidd+，舍去；当01，由1nnaa+，得3103(1)−−，解得113，此时10iidd+−，符合1iidd+.综上所述

，的取值范围是1,13.21．【解析】（1）401248010505AB==；（2）由1151BAX−−=，解得51XAB=485

280515==，又因为aXb=，所以28a=，5b=.22．【解析】（1）消去参数t得到36yx=+，故曲线1C的普通方程为360xy−+=22232cos3−=，由x

cosysin==，得到()222323xyx+−=，即2213xy+=，故曲线2C的普通方程为2213xy+=（2）设点P的坐标为()3cos,sin，点P到曲线1C的距离3cos2sin6d−+=()10cos62++=所以，当

()cos1+=−时，d的值最小，所以点P到曲线1C的最小距离为6102−.23．【解析】（1）当1a=时，不等式()()fxgx等价于21140xxxx−+++−−.①当1x−时，①式化为2340xx−−，无解；当11x−时，①式化

为220xx−−，从而11x−；当1x时，①式化为240xx+−，从而11712x−+.所以()()fxgx的解集为117{|1}2xx−+−.（2）当1,1x−时，()2gx=.所

以()()fxgx的解集包含1,1−，等价于当1,1x−时()2fx.又()fx在1,1−的最小值必为()1f−与()1f之一，所以()12f−且()12f，得11a−.所以a的取值范围为1,1−.24．【解析】（1）令1x=得，02na

=；令0x=得，0121naaaa++++=所以12121023nnaaa+++=−=−，则10n=.（2）对2012(1)(1)(1)(1)nnnxaaxaxax+=+−+−++−两边求导得1112(1)2(1)(1)nnnnxaaxn

ax−−+=−−−−−−令0x=，10n=得110nkkka==−25．【解析】（1）根据题意，每次取出的球是白球的概率为25，取出的球是黑球的概率为35，所以1212222344()5555125PC=+=；（2）证明：累计取出白球次数是1n+的情况有：前n次取出n次白球，第n+

1次取出的是白球，概率为12()5nnnC+前n+1次取出n次白球，第n+2次取出的是白球，概率为1123()55nnnC++LLLL前2n﹣1次取出n次白球，第2n次取出的是白球，概率为112123()()55nnnnC+−−

前2n次取出n次白球，第2n+1次取出的是白球，概率为1223()()55nnnnC+则111112122323()()()()55555nnnnnnnnnnnPCCC+++−+−=++++11011121212232333()()

()[()()]555555nnnnnnnnnnnnnCCCCC++−−+−=++++因此2011111221222333()[()()]5555nnnnnnnnnnnPPCCCC++++++++−=++++1011112122333()[()()]5555nn

nnnnnnnCCCC+−−+−−++++101111221222333(){[()()]5555nnnnnnnnnCCCC+++++++=++++01+1+1+222+12+12+23333[()()+()]}5555nnnnnnnnnnnCCCCC+−+++

+则11111212221222333()[()()()]5555nnnnnnnnnnnnPPCCC++++++++++−=−−1111222122233()()()555nnnnnnnnCCC+++++++=−−11112122233()

()()555nnnnnnCC++++++=−因为11111212221212121212133231()55555nnnnnnnnnnnnnnnnCCCCCCCC+++++++++++++−=−+=−=−，

所以11121231()()()0555nnnnnnPPC++++−=−，因此1nnPP+．