【文档说明】《中考数学二轮复习经典问题专题训练》专题35 内外心综合问题（原卷版）.docx，共(12)页，312.639 KB，由管理员店铺上传

转载请保留链接：https://www.doc5u.com/view-a7873b417f12454af077a4c261bf0d02.html

以下为本文档部分文字说明：

1专题35内外心综合问题【规律总结】1、内心（1）定义：三角形的内心是三角形三条角平分线的交点(或内切圆的圆心)。（2）三角形的内心的性质①三角形的三条角平分线交于一点，该点即为三角形的内心②三角形的内心到三边的距离相等，都等于内切圆半径r③2)(cbarS++

=（r为内切圆半径）④在Rt△ABC中，∠C=90°，r=(a+b-c)/2．⑤∠BOC=90°+∠A/2∠BOA=90°+∠C/2∠AOC=90°+∠B/22、外心（1）定义：三角形的外心是三角形三条垂直平分线

的交点(或三角形外接圆的圆心)。（2）三角形的外心的性质①三角形三条边的垂直平分线的交于一点，该点即为三角形外接圆的圆心.②三角形的外接圆有且只有一个，即对于给定的三角形，其外心是唯一的，但一个圆的内接三角形却有无数个，这些三角形的外心重合。③锐角三角形的外心在三角形内；钝角三角形的外心在三角形外

；直角三角形的外心与斜边的中点重合④OA=OB=OC=R⑤∠BOC=2∠BAC，∠AOB=2∠ACB，∠COA=2∠CBA⑥S△ABC=abc/4R【典例分析】例1．（2020·浙江省黄岩实验中学九年级期中）如图，扇形AOD中，90A

OD=，6OA=，点P为弧AD上任意一点（不与点A和D重合），PQOD⊥于Q，点I为OPQ△的内心，过O，I和D三点的圆的半径为r．则当点P在弧AD上运动时，r的值满足（）A．03rB．3r=C．332rD．32r=【答案】D【分析】2连O

I，PI，DI，由△OPH的内心为I，可得到∠PIO=180°-∠IPO-∠IOP=180°-12（∠HOP+∠OPH）=135°，并且易证△OPI≌△ODI，得到∠DIO=∠PIO=135°，所以点I在以OD为弦，并且所

对的圆周角为135°的一段劣弧上；过D、I、O三点作⊙O′，如图，连O′D，O′O，在优弧AO取点P′，连P′D，P′O，可得∠DP′O=180°-135°=45°，得∠DO′O=90°，O′O=32．【详解】解：如图，连OI，PI，DI，∵△OPH的内心为I，∴∠IOP=∠IOD，∠IP

O=∠IPH，∴∠PIO=180°-∠IPO-∠IOP=180°-12（∠HOP+∠OPH），而PH⊥OD，即∠PHO=90°，∴∠PIO=180°-12（∠HOP+∠OPH）=180°-12（180°-90°）=135°，在△OPI和△ODI中，IOI

OPOIDOIODOP===，∴△OPI≌△ODI（SAS），∴∠DIO=∠PIO=135°，所以点I在以OD为弦，并且所对的圆周角为135°的一段劣弧上；过D、I、O三点作⊙O′，如图，连O′D，O′O，在优弧DO取点P′

，连P′D，P′O，∵∠DIO=135°，∴∠DP′O=180°-135°=45°，∴∠DO′O=90°，而OD=6，∴OO′=DO′=32，∴r的值为32，3故选D．【点睛】本题考查的是三角形的内切

圆与内心，根据题意作出辅助线，构造出全等三角形是解答此题的关键．例2．（2020·山东省昌乐第一中学九年级期中）如图，I是ABCV的内心，AI的延长线与ABCV的外接圆相交于点D，与BC交于点E，连接BI、CI、BD、DC．下列说法：①CADDAB=，②AIBICI==，③1

902BICBAC=+；④点D是BIC△的外心；正确的有______．（填写正确说法的序号）【答案】①③④【分析】利用三角形内心的性质得到BADCAD=，根据旋转的性质可对①进行判断；利用三4角形内心的性质可对②进行判断；利用12IBCABC=，12ICBACB=和三角形

内角和定理得1902BICBAC=+，可对③判断；通过证明BIDDBI=，可得BDDI=，在证明BDCD=，可对④进行判断．【详解】∵I是ABCV的内心，∴AD平分BAC，即BADCAD=，∴CAD绕

点A顺时针旋转一定的角度一定能和DAB重合，∴①正确；∵I是ABCV的内心，∴点I到三角形三边距离相等，∴②错误；∵BI平分ABC，CI平分ACB，∴12IBCABC=，12ICBACB=，∵()111801809022BICIBCICBABCAC

BBAC=−−=−+=+∴③正确；∵IBCIBA=，BAICADCBD==，∴BAIABIIBCDBC+=+，∴BIDDBI=，∴BDDI=，∵CADBAD=，5∴BDCD=nn，∴BDCD=，∴BDCDDI==，∴点B、I、C在以点D

为圆心，DB为半径的圆上，即点D是BIC△的外心，∴④正确．故答案为：①③④．【点睛】本题考查了三角形的内切圆与内心的性质，以及旋转的性质和三角形外心，熟练掌握三角形内切圆以及内心的性质是解答本题的关键．例3．（2020·陕西九年

级专题练习）问题提出（1）如图①，在△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝12，点O是△ABC的外接圆的圆心，则OB的长为问题探究（2）如图②，已知矩形ABCD，AB＝4，AD＝6，点E为AD的中点，以BC为直径作半圆O，点P为半圆O上一动点，求E

、P之间的最大距离；问题解决（3）某地有一块如图③所示的果园，果园是由四边形ABCD和弦CB与其所对的劣弧场地组成的，果园主人现要从入口D到»BC上的一点P修建一条笔直的小路DP．已知AD∥BC，∠ADB＝45°，BD＝1202米，BC＝160米，过弦BC的中点E作EF⊥BC交»BC于点

F，又测得EF＝40米．修建小路平均每米需要40元（小路宽度不计），不考虑其他因素，请你根据以上信息，帮助果园主人计算修建这条小路最多要花费多少元？6【答案】（1）254；（2）E、P之间的最大距离为7

；（3）修建这条小路最多要花费(800134000)+元．【分析】（1）若AO交BC于K，则AK＝8，在Rt△BOK中，设OB＝x，可得x2＝62+（8﹣x）2，解方程可得OB的长；（2）延长EO交半圆于点P，可求出此时E、P之间的最大距离为OE+OP的长即可；

（3）先求出»BC所在圆的半径，过点D作DG⊥BC，垂足为G，连接DO并延长交»BC于点P，则DP为入口D到»BC上一点P的最大距离，求出DP长即可求出修建这条小路花费的最多费用．【详解】（1）如图，若AO交BC于K，∵点O是△ABC的外接圆

的圆心，AB＝AC，∴AK⊥BC，BK＝162BC=，∴AK＝228ABAK−=，7在Rt△BOK中，OB2＝BK2+OK2，设OB＝x，∴x2＝62+(8−x)2，解得x＝254，∴OB＝254；故答案为：254．（2）如图，连接EO，

延长EO交半圆于点P，可求出此时E、P之间的距离最大，∵在»BC是任意取一点异于点P的P′，连接OP′，P′E，∴EP＝EO+OP＝EO+OP′＞EP′，即EP＞EP′，∵AB＝4，AD＝6，∴EO＝4，OP＝OC＝132BC=，∴EP＝OE+OP＝7，∴E、P之间的最大距离为7．（

3）作射线FE交BD于点M，8∵BE＝CE，EF⊥BC，»BC是劣弧，∴»BC所在圆的圆心在射线FE上，假设圆心为O，半径为r，连接OC，则OC＝r，OE＝r−40，BE＝CE＝1802BC=，在Rt△OEC中，r2＝

802+(r−40)2，解得：r＝100，∴OE＝OF−EF＝60，过点D作DG⊥BC，垂足为G，∵AD∥BC，∠ADB＝45°，∴∠DBC＝45°，在Rt△BDG中，DG＝BG＝1202BD=，在Rt△BEM中，ME＝BE＝80，∴ME＞OE，∴点O在△B

DC内部，∴连接DO并延长交»BC于点P，则DP为入口D到»BC上一点P的最大距离，∵在»BC上任取一点异于点P的点P′，连接OP′，P′D，∴DP＝OD+OP＝OD+OP′＞DP′，即DP＞DP′，过点O作OH⊥DG，垂足为H，则

OH＝EG＝40，DH＝DG−HG＝DG−OE＝60，∴22OD2013OHDH=+=,∴DP＝OD+r＝2013100+，9∴修建这条小路最多要花费40×(2013100)(800134000)+=+元．【点睛】本题主要考查了圆的性质与矩形性质的综合运用，熟练掌握相关方

法是解题关键.【好题演练】一、单选题1．（2020·江苏苏州市·九年级期中）10个大小相同的正六边形按如图所示方式紧密排列在同一平面内，A、B、C、D、E、O均是正六边形的顶点．则点O是下列哪个三角形的外心（）．A．AEDVB．ABD△C．BCD△D．A

CD△2．（2020·上饶市广信区第七中学九年级月考）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，AOB为Rt，点A的坐标是()10，，60BAO=，把RtAOB绕点A按顺时针方向旋转90后，得到RtAOB，则RtAOB的外

接圆圆心坐标是（）A．31122+，B．3122，C．1312+，D．11322+，二、填空题103．（2020·杭州市建兰中学九年级月

考）如图，ABCV中，90,40BACB==，BC边上有一点P（不与点,BC重合），I为APC△的内心，若AIC的取值范围为mAICn，则mn+=_______．4．（2020·福建南平市·九年级期中）如图，AB是⊙O的直径，且AB=

4，点C是半圆AB上一动点（不与A，B重合），CD平分∠ACB交⊙O于点D，点I是△ABC的内心，连接BD．下列结论：①点D的位置随着动点C位置的变化而变化；②ID=BD；③OI的最小值为21−；④AC+BC=2CD．其中正确的是_____________．（把你认为正确结论的序号都填上）三

、解答题5．（2020·河北石家庄市·石家庄外国语学校九年级一模）如图，在∠DAM内部做Rt△ABC，AB平分∠DAM，∠ACB＝90°，AB＝10，AC＝8，点N为BC的中点，动点E由A点出发，沿11AB运动，速度为每秒5个单位，动点F由A点出发，沿AM运动

，速度为每秒8个单位，当点E到达点B时，两点同时停止运动，过A、E、F作⊙O．（1）判断△AEF的形状为，并判断AD与⊙O的位置关系为；（2）求t为何值时，EN与⊙O相切，求出此时⊙O的半径，并比较半径

与劣弧»AE长度的大小；（3）直接写出△AEF的内心运动的路径长为；（注：当A、E、F重合时，内心就是A点）（4）直接写出线段EN与⊙O有两个公共点时，t的取值范围为．（参考数据：sin37°＝35，tan37°＝34，tan

74°≈247，sin74°≈2425，cos74°≈725）6．（2020·浙江宁波市·九年级学业考试）如图，AB为⊙O的直径，点C为»AB下方的一动点，连结OC，过点O作OD⊥OC交BC于点D，过点C作AB的垂线，垂足为F，交DO的延长线于点E．12（1）

求证：EC＝ED．（2）当OE＝OD，AB＝4时，求OE的长．（3）设OEED＝x，tanB＝y．①求y关于x的函数表达式；②若△COD的面积是△BOD的面积的3倍，求y的值．