【文档说明】天津市津南区咸水沽第一中学2020-2021学年高二上学期期中考试数学试卷【精准解析】.doc，共(21)页，2.075 MB，由小赞的店铺上传

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天津市咸一中2020-2021学年度第一学期期中考试高二数学试卷一、选择题（本大题共9小题，共45分）1.已知向量(1,2,1),(3,,)abxy=−=,且//ab,那么b=()A.36B.6C.9D.18【答案】A【解析】【分析】根据

两个向量共线的坐标表示列方程，由此求得,xy，从而求得||b.【详解】由于//ab，所以3121xy==−，解得6,3xy=−=−，所以()3,6,3b=−−，所以()()2223635436b=+−+−==.故选：A【点睛】本小题主要考查空间向量平行求参数，考查空间向量模的计算，属于基础题

.2.直线l绕它与x轴的交点逆时针旋转3，得到直线330xy+−=，则直线l的方程是（）A.310xy−−=B.330xy−−=C.310xy+−=D.310xy−−=【答案】B【解析】【分析】直线330

xy+−=与x轴的交点为(3,0)，且倾斜角为23，由l绕它与x轴的交点顺时针旋转3得到直线330xy+−=，可知直线l过点(3,0)，倾斜角为3，即可写出直线l的方程.【详解】因为直线330xy+−=与x轴

的交点为(3,0)，且倾斜角为23，所以知直线l过点(3,0)，倾斜角为3，直线l的方程为0tan(3)3yx−=−，即330xy−−=，故选B.【点睛】本题主要考查了直线的倾斜角，斜率，直线方程，属于中档题.3.已知两点()()2,1,5,3−−−AB，直线:10+−−=laxya与线

段AB相交，则直线l的斜率取值范围是()A.(2,2,3−−+B.22,3−C.223，−D.)2,2,3−−+【答案】A【解析】【分析】求出直线所过定点P，画出图形，再求出PA，PB

的斜率，数形结合得答案．【详解】解：直线:10+−−=laxya过定点(1,1)P，11221PAk−−==−−，312135PBk−−==−−，直线:10+−−=laxya与线段AB相交，则直线l的斜率取值范围是(,2][23,)−−+．故选A．【点睛】本题考查直线系方程的应

用，考查直线斜率的求法，体现了数形结合的解题思想方法，是基础题．4.在棱长为a的正方体1111ABCDABCD−中，M是1AA的中点，则点1A到平面MBD的距离是（）A.66aB.36aC.34aD.63a【答案】A【解析】【分析】以D为空间直角坐标原点建立

空间直角坐标系，通过点面距离公式，计算点1A到平面MBD的距离.【详解】以D为空间直角坐标原点，1,,DADCDD分别为,,xyz轴建立空间直角坐标系.由于M是1AA中点，故1,0,2Maa，且()()111,0,,,,0,0,0,2AaaBaaAMa

=−，设(),,nxyz=是平面BDM的法向量，故1020nDMaxaznDBaxay=+==+=，故可设()1,1,2n=−−，故1A到平面BDM的距离()110,0,1,1,22666aAMndan−−−===.故选A.【点睛】本小题主要

考查利用空间向量计算点到面的距离.计算过程中要先求得平面的法向量.属于基础题.5.若方程212xkx−=+有唯一解，则实数k的取值范围是（）A.3k=B.()22k−，C.2k−或2kD.2k−或2k或3k=【

答案】D【解析】【分析】将问题转化为函数()21fxx=−与()2gxkx=+只有一个交点，然后利用数形结合处理.【详解】因为方程212xkx−=+有唯一解，即()21fxx=−与()2gxkx=+的图象有唯一交点，又()fx表示圆

心为()00O，，半径为1r=的上半圆(包括()10A−，和()10)B，，而()gx是过点()02C，的直线，如图：当直线与半圆相切时，由圆心到直线的距离公式得：2211k=+，3k=，又2020220101ACBCkk−−====−+−，，由图象可知，当2k−或2k

或3k=时，()21fxx=−与()2gxkx=+的图象有唯一交点，故选：D．【点睛】本题考查根据方程的解的个数求参数的取值范围，难度一般，考查数形结合思想的运用.6.在四面体OABC中，E为OA中点，13CFCB=，若OAa=，OBb=，OCc

=，则EF=（）A.112233abc−−B.114233abc−−+C.121233abc−++D.112233abc−++【答案】D【解析】【分析】运用空间向量基本定理及向量的线性运算可解答此问题．【详

解】解：根据题意得，12OEOA=，13CFCB=EFFOEO=−()12AOCCFO=+−1132CBOAOC=+−()1132OBOCOAOC=+−−111332OBOCOOAC=+−−111332OBOCCOAO=+−−

112323OAOBOC=−++OAa=，OBb=，OCc=111122332332EFOAOBOCabc=−++=−++故选：D．【点睛】本题考查空间向量基本定理的简单应用以及向量的线性运算，属于基础题．7.若圆()2220xyrr+=上仅有4个点到直线2

0xy−−=的距离为1，则实数r的取值范围为（）A.()21,++B.()21,21−+C.()0,21−D.()0,21+【答案】A【解析】【分析】到已知直线的距离为1的点的轨迹，是与已知直线平行且到它的距离等于1的两条

直线，根据题意可得这两条平行线与222xyr+=有4个公共点，由此利用点到直线的距离公式加以计算，可得r的取值范围．【详解】解：作出到直线20xy−−=的距离为1的点的轨迹，得到与直线20xy−−=平行，且到直线20xy−−=的距离等于1的两条直线，圆222xyr+=的

圆心为原点，原点到直线20xy−−=的距离为|002|22d−−==，两条平行线中与圆心O距离较远的一条到原点的距离为21d=+，又圆222(0)xyrr+=上有4个点到直线20xy−−=的距离为1，两条平行线与圆

222xyr+=有4个公共点，即它们都与圆222xyr+=相交．由此可得圆的半径rd，即21r+，实数r的取值范围是()21,++．故选：C．【点睛】本题给出已知圆上有四点到直线的距离等于半径，求参数的取值范围．着重考查了圆的标准

方程、直线与圆的位置关系等知识，属于中档题．8.已知椭圆22195yx+=的上焦点为F，M是椭圆上一点，点()23,0A，当点M在椭圆上运动时，MAMF+的最大值为（）A.4B.6C.8D.10【答案】D【解析】【分析】设椭圆的下焦点为F，根据||MA

MFAF−以及||6||MFMF=−，可求得结果.【详解】如图所示，设椭圆的下焦点为F，则||4AFAF==，||26MFMFa+==，∵||MAMFAF−，当且仅当,,AFM共线且F在线段AM上时等号成立，∴||||||6MAMFMAMF+=+−||6

4610AF+=+=，故选：D.【点睛】本题考查了椭圆的定义，考查了椭圆中的最值问题，属于基础题.9.已知12FF，是椭圆与双曲线的公共焦点，P是它们的一个公共点，且12PFPF，线段1PF的垂直平分线过2F，若椭圆的离心率为1e，双曲线的离心率为2e，则21e2

e2+的最小值为（）A.6B.3C.6D.3【答案】C【解析】【分析】利用椭圆和双曲线的性质，用椭圆双曲线的焦距长轴长表示21e2e2+，再利用均值不等式得到答案．【详解】设椭圆长轴12a，双曲线实轴22a，由题意可知：1222FF

FPc==，又1211222,2FPFPaFPFPa+=−=，111222,22FPcaFPca+=−=，两式相减，可得：122aac−=，22112122242222eaaaccecaca++=+=，()222222222122242842422222caacecaacacecacac

a+++++===++．，2222222222aacccaca+=，当且仅当2222acca=时取等号，21e2e2+的最小值为6，故选：C．【点睛】本题考查了椭圆双曲线的性质，用椭圆双曲线的焦距长轴长表示

21e2e2+是解题的关键，意在考查学生的计算能力．二、填空题（本大题共6小题，共30分）10.如图，在正方体1111ABCDABCD−中，M、N分别是CD、1CC的中点，则异面直线1AM与DN所成角的大

小是____________．【答案】2【解析】【详解】试题分析：分别以1,,DADCDD所在直线为,,xyz轴，建立空间直角坐标系，设2DA=，则()()()112,0,2,0,1,0,2,1,2AMAM=−−，()()()()

1112,1,20,2,10,2,1,0,2,1cos,0AMDNNDNAMDNAMDNAMDN−−====1AMDN⊥，即异面直线A1M与DN所成角的大小是2考点：异面直线所成的角11.过点(1,2)−的直线l被圆222210xyxy+−−+=截得的弦长为2，则

直线l的斜率为__________．【答案】12−【解析】【分析】根据题意，由圆的方程分析圆的圆心与半径，结合弦长分析可得直线l经过圆的圆心，由斜率计算公式计算可得答案．【详解】解：根据题意，圆222210xyxy+−−+=的标准

方程为22(1)(1)1xy−+−=，其圆心为(1,1)，半径1r=，过点(1,2)−的直线l被圆222210xyxy+−−+=截得的弦长为2，则直线l经过圆的圆心，故直线l的斜率1211(1)2k−==−−−；故答案为：12−．【点睛】本题考

查了直线与圆的位置关系，两点间斜率公式的应用，属于基础题.12.已知双曲线()222210,0xyabab−=的右焦点为F，点A在双曲线的渐近线上，OAF△是边长为2的等边三角形（O为原点），则双曲线的方程为__

____．【答案】2213yx−=【解析】【分析】由题意可知3AOF=，进而可得出3ba=，再结合2c=可求得a、b的值，由此可得出双曲线的方程.【详解】由于OAF△是边长为2的等边三角形，则3AOF=，由题意可得22tan33

20bacaba===+=，解得13ab==，因此，双曲线的方程为2213yx−=.故答案为：2213yx−=.【点睛】本题考查双曲线方程的求解，要结合题意得出关于a、b、c的方程组，考查计算能力，属于中等题.13.已知圆1F：()2211

6xy++=，定点()21,0F，动圆M过点2F，且与圆1F相内切，那么点M的轨迹C的方程为________.【答案】22143xy+=【解析】【分析】由题意分析知：动圆M的圆心到1(1,0)F−、()21,0F的距离之和等于圆1F的半径1

4r=，即可知为椭圆轨迹，写出轨迹方程.【详解】由题意，动圆M的半径为2||MF，圆1F的圆心1(1,0)F−，半径14r=，且圆M与圆1F相内切，∴121||||4MFMFr+==，即动点M到两定点1F、2F的距离之和为定值，

且大于12FF，有24a=，22c=，∴根据椭圆定义知：M的轨迹C为22143xy+=，故答案为：22143xy+=.14.在平面直角坐标系xoy中，已知ABC的顶点(4,0),(4,0)AC−，顶点B在椭圆

221259xy+=上，sinsinsinACB+=_____________【答案】54【解析】由题意椭圆221259xy+=中．534abc===，，，故()()4,0,4,0AC−是椭圆的两个焦点，2108ABBCaAC，+===，由正

弦定理得2sinsinsinabcrABC===，sinsin?105sin84ACacABBCBbAC+++====【点睛】本题考查椭圆的简单性质，椭圆的定义以及正弦定理的应用．其中合理转化椭圆定义进而应用正弦定理是解题的关键15.已知椭

圆2222:1xyCab+=(0ab)的焦点为1F，2F，如果椭圆C上存在一点P，使得120PFPF=，且12PFF△的面积等于4，则实数b的值为_______，实数a的取值范围为_______.【答案】(1).2(2).)22,+【解析】【分析】根据椭圆的定义以及

勾股定理、12PFF△面积即可求解出b的值；再根据120PFPF=以及椭圆中x的取值范围即可求解出a的范围.【详解】因为120PFPF=，所以12PFPF⊥，又因为122PFPFa+=，所以122221224PFPFaP

FPFc+=+=，所以2122PFPFb=，又因为1212242PFFPSbPFF===，所以2b=；又因为120PFPF=，设(),Pxy且22214xya+=，所以2220xcy−+=，所以2222440xxca−+−=，所以222244a

xca−=−，所以()2222444axaa−=−−，又因为()2222280,4aaxaa−=−且2a，所以28a，所以)22,a+.故答案为：2；)22,+.【点睛】本题考查椭圆的焦点

三角形的面积求解以及根据椭圆方程中,xy的范围求解参数范围，难度一般.其实，椭圆()222210xyabab+=上任意一点P（非左右顶点）与两焦点围成的焦点三角形的面积等于212tan2FPFb.三、解答题（本大题共5小题，共75分）16.已知圆C经过点()3

,2A−和()10B,，且圆心在直线10xy++=上.（1）求圆C的方程；（2）直线l经过()2,0，并且被圆C截得的弦长为23，求直线l的方程.【答案】（1）222410xyxy+−++=；（2）2x=或3460xy−−=.【解析】【分析】（1）利用待定系数法，设圆C的方程为2

20xyDxEyF++++=，根据题意列出关于,,DEF的方程组，解出即可；（2）将圆的方程化为标准形式，求出圆心到直线的距离为1，当直线l的斜率不存在时符合题意，当直线l的斜率k存在时，设直线l的方程为(2)ykx=−，列出关

于k的方程解出即可.【详解】解：（1）设圆C的方程为220xyDxEyF++++=依题意得94320101022DEFDFDE++−+=++=−−+=解之得2,4,1DEF=−==∴圆C的方程为222410xyxy+−++=（2）圆222410xyxy+−++=

可化为()()22124xy−++=，所以圆心到直线的距离为()22231d=−=当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为2x=，此时直线l被圆C截得的弦长为23，符合题意当直线l的斜率k存在时，设直线l的方程为(2)ykx=−，即20kxyk−−=由题意得2|22|11kkk+−=+

解得34k=∴直线的方程为3460xy−−=综上所述，直线l的方程为2x=或3460xy−−=【点睛】本题主要考查了利用待定系数法求圆的方程，已知直线截圆所得的弦长求直线的方程，属于中档题.17.如图，已知多面体111ABCABC−，1AA，1BB，1

CC均垂直于平面ABC，120ABC=，14AA=，11CC=，12ABBCBB===.（1）证明：1AB⊥平面111ABC；（2）求直线AC与平面11ABC所成的角的正弦值.【答案】（1）证明见解析；（2）1020；【解析】【分析】（1）作11BEAA⊥，11CDBB⊥，利用勾股定理、

余弦定理可求11AB、11BC、1AB，1AC，进而得到111ABAB⊥，111ABBC⊥，根据线面垂直的判定即可证1AB⊥平面111ABC；（2）构建空间直角坐标，由各线段的长度确定11,,,ACBC的坐标，进而可

求11,,ABACAC，并求得面11ABC的一个法向量，根据法向量与直线AC方向量的夹角与线面角的关系，求直线AC与平面11ABC所成角的正弦值.【详解】（1）作11BEAA⊥于E，11CDBB⊥于D，即1112BEABBCCDAE=====，11BD=，在△ABC中，由余弦定理知：2222

cos12ACABBCABBCABC=+−=，则23AC=，∴在11RtAEB中，1122AB=；在11RtBDC中，115BC=；而122AB=，113AC=，∴2221111ABABAA+=，222111

1ABBCAC+=即111ABAB⊥，111ABBC⊥，又11111ABBCB=，∴1AB⊥平面111ABC；（2）构建以AC中点O为原点，,OBOC为x，y轴正方向，垂直于AC且1AA同方向作为z轴正方向，如下图示，则，可令11(0,3,0),(0,3,0

),(1,0,2),(0,3,1)ACBC−，∴11(1,3,2),(0,23,1),(0,23,0)ABACAC===，若(,,)nxyz=为面11ABC的一个法向量，则320230xyzyz++=+=，令

1y=，即(33,1,23)n=−，∴10cos,||20||||nACnACnAC==，即直线AC与平面11ABC所成的角的正弦值为1020.【点睛】思路点睛：线面垂直证明思路如下（1）作垂直：由垂直得到的直角三角形中，利用勾股定理求相应边长.

（2）证线线垂直：逆用勾股定理证明线段垂直.（3）证线面垂直：根据线面垂直的判定证明线面垂直.求线面角正弦值思路（1）构建空间坐标系：确定原点，标注相关点的坐标.（2）确定向量坐标：利用向量的坐标表示得到向量坐标.（3）求面的法向量：由垂直关系的

坐标表示求法向量.（4）求角的正弦值：线面角正弦值等于直线方向向量与面的法向量夹角余弦值的绝对值.18.在平面xOy中，已知椭圆2222:1(0)xyCabab+=过点(2,1)P，且离心率32e=.（1）求椭圆C的方程；（2）直线l方程为12yxm=+，直线l与

椭圆C交于A，B两点，求PAB面积的最大值.【答案】（1）22182xy+=；（2）2.【解析】【分析】（1）根据椭圆过点(2,1)P，且离心率32e=，由22241132aacca+=−=

求解.（2）联立直线与椭圆方程，利用韦达定理利用弦长公式求得AB，再求得点P到l的距离d，建立三角形面积模型1·2SABd=求解.【详解】（1）因为椭圆2222:1(0)xyCabab+=过点(2,1)P，且离心率32e=.所以22241132aacca+=−

=，解得22a=，6c=，则2b=，所以椭圆方程为：22182xy+=.（2）设直线方程为12yxm=+，1(Ax，1)y、2(Bx，2)y，联立方程组2212182yxmxy=++=整理得：222240xmxm++−=，所以12

2xxm+=−，21224xxm=−，由弦长公式得：25(4)ABm=−，点P到l的距离为2||5md=.所以22222211(4)··5(4)?(4)22225mmmSABdmmm+−==−=−=„.当且

仅当22m=，即2m=时取到最大值，最大值为：2.【点睛】本题主要考查椭圆的简单性质以及椭圆方程的求法，直线与椭圆的位置关系的综合应用，还考查了转化化归的思想和运算求解的能力，属于中档题.19.如图，在四棱锥SABCD−中，底面ABCD是直角梯形，侧棱SA⊥

底面ABCD，AB垂直于AD和BC，2SAABBC===，1AD=．M是棱SB的中点．（1）求证：//AM面SCD；（2）求二面角SCDM−−的正弦值；（3）在线段DC上是否存在一点N使得MN与平面SAB所成角的正弦值为357若存在，请求出DNDC的值，若不存在，请说明理由.【答案】(1)

证明见解析；(2)10521；(3)答案见解析.【解析】【分析】（1）通过建立空间直角坐标系，利用平面SCD的法向量0nAM=即可证明//AM平面SCD；（2）分别求出平面SCD与平面CDM的法向量，利用法向量的夹角即可得出；（3）假设存在，利用线面角的夹角公式

即可得出表达式，解方程即可。【详解】解：（1）以点A为原点建立如图所示的空间直角坐标系，则()0,0,0A，()0,2,0B，()1,0,0D，()0,0,2S，()0,1,1M．则(0,1,1)AM=，(1,0,2)SD=−，(1,2,0)CD=−−．设平面SCD的法向量是(,,)n

xyz=，则·0·0SDnCDn==，即2020xzxy−=−−=令1z=，则2x=，1y=−．于是(2,1,1)n=−．011110nAM=−+=，AMn⊥．又AM平面SCD，//

AM平面SCD．（2）设平面CDM的法向量为1111(,,)nxyz=ur．则()1,2,0CD=−−，()1,1,1DM=−11·0·0nCDnDM==即11111200xyxyz−−=−++=据此可得平面C

DM的一个法向量1(2,1,3)n=−,设二面角SCDM−−的平面角大小为，易知：则11cos241nnnn==，即21sin1cos1052=−=．二面角SCDM−−的正弦值为10521．（3）假设存在满足题意的点N，且：()01DNDC=，设点N的坐标为(,,)Nxyz，据

此可得：(-1,,)=(1,2,0)xyz，由对应坐标相等可得()1,2,0N+，故()1,21,1MN=+−−，由于平面SAB的一个法向量()1,0,0AD=，由题意可得：()()2213571211MNADMNAD+==

++−+解得：23=，据此可得存在满足题意的点N，且DNDC的值为23.【点睛】熟练掌握建立空间直角坐标系利用平面SCD的法向量0nAM=即可证明//AM平面SCD、平面SCD与平面CDM的法向量的夹角求出二面角

、线面角的夹角公式是解题的关键，属于中档题。20.已知椭圆2222:1(0)xyCabab+=的离心率为32，1A、2A分别为椭圆C的左、右顶点，点(2,1)P−满足121PAPA=．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）设直线l经过点P且与C交于不同的两点M、N，试问：在x轴上是

否存在点Q，使得直线QM与直线QN的斜率的和为定值？若存在，请求出点Q的坐标及定值；若不存在，请说明理由．【答案】（1）2214xy+=（2）(2,0)Q，定值为1.【解析】试题分析：（Ⅰ）由121PAPA=可得2a=，再根据离心率求得3c=，由此可得21b=，故可得椭圆的方程．（Ⅱ）由题

意可得直线l的斜率存在，设出直线方程后与椭圆方程联立消元后得到一元二次方程，求出直线QM与直线QN的斜率，结合根与系数的关系可得QMQNkk+222(48)24(2)8(2)tkttktkt−+=−+−+，根据此式的特点可得当2t=时，QMQNkk+为定值．试题解析：（Ⅰ）依题意得、，，∴

1=，解得．∵，∴，∴，故椭圆的方程为．（Ⅱ）假设存在满足条件的点.当直线与轴垂直时，它与椭圆只有一个交点，不满足题意.因此直线的斜率存在，设直线的方程为，由消去整理得，设、，则，，∵222(48)24(2)8(2)tkttktkt−+=−+−+，∴要使对任意实数，为定值，则

只有，此时．故在轴上存在点，使得直线与直线的斜率的和为定值．点睛：解决解析几何中定值问题的常用方法（1）从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关．（2）直接对所给要证明为定值的解析式进行推理、计算，并在计算推理的过程中

消去变量得到常数，从而证明得到定值，这是解答类似问题的常用方法．