【文档说明】重庆市育才中学2019-2020学年高二第一次月考数学试题【精准解析】.doc，共(19)页，2.526 MB，由小赞的店铺上传

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重庆育才中学高2021级高二第一次月考数学试题数学试题卷满分150分，考试时间120分钟注意事项1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择意）两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷和答题卡相应位置上.2.回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后

，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，写在本试卷上无效.第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分；在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的.1.两直线a与b是异面直线，/

/bc，则a、c的位置关系是（）A.平行或相交B.异面或平行C.异面或相交D.平行或异面或相交【答案】C【解析】【分析】直观想象分析即可.【详解】由题可得,a、c的位置关系可以是异面或相交.故选：C【点睛】本题主要考查了空间直线中的

位置关系,属于基础题型.2.下列说法正确的是（）①任意三点确定一个平面；②圆上的三点确定一个平面；③任意四点确定一个平面；④两条平行直线确定一个平面.A.①②B.②③C.②④D.③④【答案】C【解析】【分析】考虑特殊情况，三

点共线无法确定平面，当三点不共线时可以确定平面，而若四点中的任意三点不共线，则可以确定四个平面，易得答案【详解】①中，若三点在一条直线上，则不能确定一个平面；③中，若四点中的任意三点不共线，则可以确定四个平面；易知②④正确.【点睛】本题考查共线问题和共面问题，属于基础题3.若抛物线22y

px=的焦点为()1,0，则p的值为（）A.2−B.4−C.2D.4【答案】C【解析】【分析】利用抛物线22ypx=的焦点坐标为,02p，即可求出p的值.【详解】因为抛物线22ypx=的焦点为()1,0，所以12p=，2p=，故选C.【点睛】本题主要考查抛物线的方程与简单

性质，意在考查对基础知识的掌握情况，属于基础题.4.已知平面，及直线a，b，下列说法正确的是（）A.//ab，b，则//aB.a⊥，b，则ab⊥rrC.//，a，b，则//abD

.⊥，a，则a⊥【答案】B【解析】【分析】根据线面平行、垂直的性质与判定逐个判断即可.【详解】对A,//ab,b,也有可能a,故A错误.对B,根据线面垂直的性质,若a⊥，b，则ab⊥rr.故B正确.对C,若//，a，b

，但,ab也可能异面,故C错误.对D,若⊥，a,根据面面垂直的性质,则需要a垂直,交线才有a⊥.故D错误.故选：B【点睛】本题主要考查了空间线面、平行垂直的性质与判定,属于基础题型.5.等比数列na中，32a=−，118a=−，则7a=（）A.4−B.4C.4D.5

−【答案】A【解析】由等比数列性质得223117716aaaa==因为等比数列中3a，，117aa，同号，所以7-4a=，选A.6.对任意实数，则方程22sin4xy+=所表示的曲线不可能是（）A.椭圆B.双曲线C.抛物线D.圆【答案】C【解析】思路分析：用Ax2+By2

=c所表示的圆锥曲线，对于k=0,1及k＞0且k≠1，或k＜0，分别讨论可知：方程x2+ky2=1不可能表示抛物线7.在梯形ABCD中，90ABC=，//ADBC，222BCADAB===.将梯形ABCD绕AD所在直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体

积为（）A.23B.43C.53πD.2【答案】C【解析】【详解】由题意可知旋转后的几何体如图:直角梯形ABCD绕AD所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体是一个底面半径为1，母线长为2的圆柱挖去一个底面半径同样是1、高为1的圆锥后得到的组合体，所以该

组合体的体积为2215121133VVV=−=−=圆柱圆锥故选C.考点：1、空间几何体的结构特征；2、空间几何体的体积.8.若椭圆()222210xyabab+=的离心率为32，则双曲线22221

(0,0)xyabab−=的离心率为（）A.54B.52C.32D.54【答案】B【解析】【分析】由题意首先确定a,b的关系，然后求解双曲线的离心率即可.【详解】由椭圆()222210xyabab+=的离心率为32可得：2232aba−=,得a2=4b2，所以

a=2b.所以双曲线的离心率22224522abbbeab++===.故选B.【点睛】本题主要考查椭圆的离心率，双曲线的离心率等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.9.下列说法正确的是（）A.若直线a，b与平面所成角都是30°，

则这两条直线平行B.若直线a与平面、平面所成角相等，则//C.若平面内不共线三点到平面的距离相等，则//D.已知二面角l−−的平面角为120°，P是l上一定点，则一定存在过点P的平面，使与，与所成锐二面角都为60°【答案】D【解析】【分析

】根据线空间中线面的位置关系方法逐个证明或举出反例即可.【详解】对A,若直线a,b与平面所成角都是30°,则直线a,b也可能异面.故A错误.对B,若直线a与平面、平面所成角相等,易得反例如⊥,且直线a与平面、平面所成角均

为45时//不成立,故B错误.对C,若平面内不共线三点到平面的距离相等,且三点在平面的两侧时//不成立,故C错误.对D,易得当平面过l且经过二面角l−−的平面角的角平分线时成立.故D正确.故选：D【点睛】本题主要考查了空间中线面的位置关系,属于基础

题型.10.如果P是等边ABC所在平面外一点，且23PAPBPC===，ABC边长为1，那么PA与底面ABC所成的角是（）．A.30°B.45C.60D.90【答案】A【解析】【详解】如图，易知PABC−为正三棱锥，PO⊥面ABC，PA与底面ABC所成的角，即为APO，3333

AOAB==，23PA=，∴3cos2AOPAOPA==，故30PAO=．故选A．点睛：线线角找平行，通过平行将异面直线转化为两个相交直线，再通过解三角形求夹角，最后根据异面直线所成角范围求角的大小线面角找垂线，即通过线面垂直关系确定射影，再根据

解直角三角形确定大小二面角找垂面，即找棱垂直的平面，得到平面角之后再解三角形即可11.如图，在四面体ABCD中，截面PQMN是正方形，则在下列命题中，正确的个数为（）．（1）ACBD⊥（2）AC截面PQMN（3）ACBD=（4）异面直线PM与BD所成的角为45A.1B.2C.3D.

4【答案】C【解析】//,//QMPNQM面ABD,因此//QMBD,同理可得//ACMN，//,//,QMBDACMNMNQMACBD⊥⊥;（1）正确；//ACMNAC截面PQMN;（2）正确；//,//,1MNQMQMBDACMNACBD+=,(

3)不一定正确；//,QMBD异面直线PM与BD所成的角为045,PMQ=(4)正确，选C.点睛：线线角找平行，通过平行将异面直线转化为两个相交直线，再通过解三角形求夹角，最后根据异面直线所成角范围求角的大小.12.已知PABC−是正四面体(所有棱长都相等

的四面体)，E是PA中点，F是BC上靠近B的三等分点，设EF与PAPBPC、、所成角分别为、、，则（）．A.B.C.D.【答案】D【解析】分别取AB中点G，AC中点H，连结GE，GF，E

H，FH，AF，如图所示，则FEA=，FEG=，FEH=，2aEH=，2aEG=，2aFH=由PABC−是正四面体（所有棱长都相等的四面体），设正面体的棱长为a∴根据余弦定理可得2279AFa=，22736GFa=∴22222719494cos22aaEFaEFaEFaEF

+−−==，22222743618cos22aaEFaEFaEFaEF+−+==，222244cos22aaEFEFaEFaEF+−==∴coscoscos，且，为锐角∴故选D第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4

小题，每小题5分，共20分；把答案填写在答题卡相应位置上.13.直线:30lxy++=被圆22:(1)(2)16Cxy++−=截得的弦长为_________.【答案】42【解析】【分析】利用垂径定理求解即可.【详解】圆心()1,2−到

直线:30lxy++=的距离123222d−++==.又半径为4r=.故弦长为222216842rd−=−=.故答案为：42【点睛】本题主要考查了垂径定理求解圆的弦长问题,属于基础题型.14.自空间一点分别向70°二面角的两个平面引垂线，这两条直线所成的角的大小是______

_.【答案】70°【解析】【分析】画图分析求解即可.【详解】由图可得,自空间一点分别向70°二面角的两个平面引垂线,两条直线所成的角的大小是70.当该点在其他位置时也成立.故答案为：70【点睛】本题主要考查了

空间中的角度问题.属于基础题型.15.已知抛物线2:4Cyx=的焦点为F，准线为l，过点F作倾斜角为60°的直线交抛物线于A，B两点（点A在第一象限），过点A作准线l的垂线，垂足为M，则AFM的面积

为______.【答案】43【解析】【分析】根据抛物线的焦半径公式与三角形面积公式求解即可.【详解】由题,先推导焦半径公式,如图设22,(0)ypxp=中有PFt=,PFx=,过P引准线的切线,则有cost

pt=+,costtp−=化简得1cospt=−.根据抛物线焦半径公式得241cos60FMFA===−.又60FAM=故144sin60432AFMS==.故答案为：43【点睛】本题主要考查了抛物线焦半径公式与面积公式等,属于基础题型.16

.正四面体ABCD的棱长为2，棱AB∥平面，则正四面体上的所有点在平面内的射影构成的图形面积的最小值是______，最大值是______．【答案】(1).2，(2).2【解析】【分析】当正四面体绕着与平面平行的一条边转动时，不管怎么转动，投影图形的一边始终是A

B的投影，长度为2，而发生变化的是投影的高，找出高的变化，得到答案.【详解】因为正四面体的对角线互相垂直，且棱//AB平面，当//CD平面，这时的投影面是对角线为2的正方形，此时面积最大，为121222=；当CD⊥平面，射影面的面积最小

，此时构成的三角形底边2，高是直线CD到AB的距离，为2，射影面积为12222=；正四面体上的所有点在平面内的射影构成的图形面积的最小值是2，最大值是2【点睛】本题考查平行投影及平行投影作图法，本题是一

个计算投影面积的题，注意解题过程中的投影图的变化情况，属于中档题.三、解答题：本大题共6小题，共70分；解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知222bcabc+=+.（1）求A；（2）

若43a=，8c=，D是BC上的点，43AD=，求ABD的面积.【答案】（1）3A=（2）23【解析】【分析】(1)利用余弦定理求解即可.(2)利用正弦定理可得2C=,再计算出BD利用三角形面积公式求解即可.【详解】解：（1）222122bcabc+−=,即1cos2A=，又(0,

)A,故3A=；（2）由正弦定理sinsinacAC=得：sin1C=，(0,)2CC=,6B=,142bc==，在ACD中：2233CDADAC=−=，3BDBCCD=−=，1sin232ABDSABBDB==【点睛】本题主要考查了正余弦定理与三角形的面积公式解

三角形的方法,属于中等题型.18.如图几何体中，底面ABCD为正方形，PD⊥平面ABCD，//ECPD，且22PDADEC===.（1）求证：//BE平面PDA；（2）求PA与平面PBD所成角的大小.【答案】（1）见解析（2）6【解析】【分析】

（1）由//BCAD，//ECPD，结合面面平行判定定理可证得平面//BEC平面PDA，根据面面平行的性质证得结论；（2）连接AC交BD于点O，连接PO，利用线面垂直的判定定理可证得AO⊥平面PBD，从而可知所求角为

APO，在RtAPO中利用正弦求得结果.【详解】（1）四边形ABCD为正方形//BCAD又AD平面PDA//BC平面PDA又//ECPD，PD平面PDA//EC平面PDA,ECBC平面BEC，ECBCC=平面//BEC平面PDABE平面BEC//BE平面PDA

（2）连接AC交BD于点O，连接POPD⊥平面ABCD，AO平面ABCDAOPD⊥又四边形ABCD为正方形AOBD⊥,BDPD平面PBD，BDPDD=AO⊥平面PBDAPO即为PA与平面PBD所成角2

PDAD==且PDAD⊥22PA=又221122222AOAC==+=1sin2AOAPOPA==6APO=即PA与平面PBD所成角为：6【点睛】本题考查线面平行的证明、直线与平面所成角的求解，涉及到面

面平行的判定与性质、线面垂直的判定与性质的应用；求解直线与平面所成角的关键是能够通过垂直关系将所求角放入直角三角形中来进行求解.19.已知等比数列na的前n项和12nnS+=+，其中为常数.（1）求；（2）设2lognnba

=，求数列nnab+的前n项和nT.【答案】（1）2=−（2）()11222nnnnT++=+−【解析】【分析】（1）利用1nnnaSS−=−求出当2n时na的通项，根据na为等比数列得到1a的值后可得2=−.（2）利

用分组求和法可求nnab+的前n项和nT.【详解】（1）因为12nnS+=+，当1n=时，114aS==+，当2n时，12nnS−=+，所以11222nnnnnnaSS+−=−=−=，因为数列

na是等比数列，所以2nna=对1n=也成立，所以42+=，即2=−.（2）由（1）可得2nna=，因为2lognnba=，所以2log2nnbn==，所以nT()()()()2321212222123122nnnnn−+=++++++

+++=+−，即()11222nnnnT++=+−.【点睛】（1）数列的通项na与前n项和nS的关系是11,1,2nnnSnaSSn−==−，我们常利用这个关系式实现na与nS之间的相互转化.（2）数列求和关键看通项的结构形式，如果通项是等差数列与等比数列的和，

则用分组求和法；如果通项是等差数列与等比数列的乘积，则用错位相减法；如果通项可以拆成一个数列连续两项的差，那么用裂项相消法；如果通项的符号有规律的出现，则用并项求和法.20.已知F为抛物线2:2Cypx=的焦点，点(2,)Am在抛物线C上，且||

4AF=.（1）求抛物线C的方程；（2）过点F作斜率为2的直线交抛物线C于P、Q两点，求APQ的面积.【答案】（1）28yx=（2）APQ45S=【解析】【分析】(1)利用焦半径公式求解即可；(2)根据(1)中算得的方程,设直线:2(2)PQ

yx=−,再联立方程求解对应的二次方程,再根据韦达定理与弦长公式计算||PQ与(2,4)A到直线PQ的距离,进而求得面积即可.【详解】解：（1）||242pAF=+=4p=,即C的方程为28yx=；（2）将点A代

入方程：216m=,即4m=，(2,4)A.又直线:2(2)PQyx=−，联立方程22(2)8yxyx=−=,消y得：2640xx−+=，设()11,Pxy,()22,Qxy，则126xx+=,124xx=，22212||121264410PQxx=+−=+

−=，又点(2,4)A到直线PQ的距离2|444|45512d−==+，APQ1||452SPQd==.【点睛】本题主要考查了抛物线方程的焦半径公式与联立直线与抛物线方程求解三角形面积的方法,属于中等题型.21.如图，三棱柱111ABCABC−的所有棱长都是2，1AA⊥平面AB

C，D，E分别是AC，1CC的中点.（1）求证：平面BAE⊥平面1ABD；（2）求二面角1DBAA−−的余弦值；（3）在线段1BB（含端点）上是否存在点M，使点M到平面1ABD的距离为255，请说明理由.【答案】（1）证明见解析；（2）155；（3）存在，理由见

解析.【解析】【分析】(1)证明AE⊥面1ABD即可证明平面BAE⊥平面1ABD；(2)设1AD交AE于点O,过点A作1AFAB⊥,连OF,证明OFA即为所求二面角再计算即可；(3)取11AC中点1D,连接11BD,1DD,再证明当点M与点1B重合时,点M到平面1ABD的距离为

255即可.【详解】（1）证明：1AA⊥面ABC,BD面ABC，1AABD⊥,又BDAC⊥，1AAACA=，BD⊥面11AACC,AE面11ACC，BDAE⊥①，190ACEAAD==，1AAAC=，ADCE=，1AADCAE，则1AADCAE=，1AEAD

⊥②，又1ADBDD=，结合①②可得AE⊥面1ABD，又AE平面BAE，∴面BAE⊥面lABD；（2）设1AD交AE于点O,过点A作1AFAB⊥,连OF，AE^Q面1ABD，1AB平面1ABD，1AEAB⊥，

1AFAB⊥，AEAFA=，1AB⊥面AEF，OF面AEF，1ABOF⊥，OFA即为所求二面角，在1RtAAB中：2AF=，在1AAD中：11AAADADAO=,255AO=，RtAOF中：22305OFAFAO=−=，15cos5OFOFAAF

==，因此，二面角1DBAA−−的余弦值为155；（3）当点M与点1B重合时,点M到平面1ABD的距离为255.取11AC中点1D,连接11BD,1DD，四边形11AACC为平行四边形，11//ACAC且11ACAC=，DQ、1D

分别为AC、11AC的中点，11//ADAD且11ADAD=，四边形11AADD为平行四边形，11//AADD且11AADD=，在三棱柱111ABCABC−中，11//AABB，11//DDBB，∴B,1

B,D,1D四点共面，1DD⊥Q面111ABC，11AC平面111ABC，故111DDAC⊥，又1111BDAC⊥，1111DDBDD=，11AC⊥平面11BDDB，设点1B到平面1ABD的距离为h，由1111BAB

DABBDVV−−=，即11111133ABDBBDhSADS=，即11111113232hADBDBDBB=，255h=.故当点M与点1B重合时,点M到平面1ABD的距离为255.【点

睛】本题主要考查了线面垂直的证明与性质,同时也考查了二面角的计算、利用等体积法计算点到平面的距离.属于中等题型.22.已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，它的一个顶点恰好是抛物线214yx=的焦点，离心率等于255.(1)求椭圆C的标准方程；(2)过椭圆C的右焦点F作直线l交椭圆C

于,AB两点，交y轴于M点，若12,MAAFMBBF==，求证12+为定值．【答案】(1)2215xy+=；(2)证明见解析.【解析】【分析】(1)分析题意可得b＝1，再根据离心率的表达式和a,b,c之间的系数关系可

求得标准方程(2)将直线与椭圆方程进行联立，利用韦达定理，再结合题意即可【详解】(1)设椭圆的标准方程为为22221(0)xyabab+=，由题b＝1，222255aba−=.即221251,55aa−==,∴椭圆C的方程为2215xy+=.(2)方法一：设A、B、M点的坐标分别为A(x1

，y1)，B(x2，y2)，M(0，y0)．易知F点的坐标为(2,0)．1MAAF=，∴(x1，y1－y0)＝λ1(2－x1，－y1)，0111112,11yxy==++，将A点坐代入到椭圆方程中，得220111211511y+=

++，去分母整理得2211010550y++−=.同理，由2MBBF=，可得2222010550y++−=，∴λ1，λ2是方程22010550xxy++−=的两个根，∴λ1＋λ2＝－10.故λ1＋λ2为定值．方法二:

设A、B、M点的坐标分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(0，y0)．又易知F点的坐标为(2,0)．显然直线l存在斜率，设直线l的斜率为k，则直线l的方程是y＝k(x－2)．将直线l的方程代入到椭圆

C的方程中，消去y并整理得(1＋5k2)x2－20k2x＋20k2－5＝0.2212122220205,1515kkxxxxkk−+==++.又12,MAAFMBBF==,将各点坐标代入得121

212,22xxxx==−−,()()1212121212121222102242xxxxxxxxxxxx+−+=+==−−−−++,故λ1＋λ2为定值．