【文档说明】北京市丰台区2023届高三二模数学试题 含解析.docx，共(26)页，1.738 MB，由小赞的店铺上传

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2022~2023学年度第二学期综合练习（二）高三数学本试卷共6页，150分.考试时长120分钟.考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、选择题共10小题，每小题4分，共40

分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1.已知集合1,01,2,{11}ABxx=−=−，∣，则AB=（）A.{1}B.{0,1}C.{1,0,1}−D.{1,0,1,2}−【答案】B【解析】【分析】根据

交集概念进行计算.【详解】1,01,21101ABxx=−−=，∣，.故选：B2.若复数i(i1)z=−，则|1|z−=（）A.2i−−B.i−C.5D.5【答案】C【解析】【分析】根据复数代数形式的乘法运算化简，再根据复数模的计算公式计算可得.【详解】因为2i(i1)ii

1iz=−=−=−−，所以12iz−=−−，则()()22|1|215z−=−+−=.故选：C3.已知数列na的前n项和为nS，若21nSn=−，则3a=（）A.5−B.5C.7D.8【答案】B【解析】【分析】根据332aSS=−计算可得.【详解】因21nSn=−，

所以()()2233231215aSS=−=−−−=.为故选：B4.若某圆锥的轴截面是边长为2的正三角形，则它的体积为（）A.3π3B.2π3C.3πD.2π【答案】A【解析】【分析】根据轴截面求出圆锥的底面半径和高，求出体积.【详解】因为

圆锥的轴截面是边长为2的正三角形，所以圆锥的底面半径为1，且圆锥的高22213SO=−=，故体积为213π13π33=.故选：A5.如图，在ABC中，AD为BC边上的中线，若E为AD的中点，则CE=（）A.1544ABAC−−B.1344ABAC−−C1544ABAC−D.1344A

BAC−【答案】D【解析】【分析】根据平面向量线性运算法则计算可得.【详解】()11112222CECAAECAADCACDCACACD=+=+=+−=+1124CACB=+.()1124CAABAC=+−()1124ACABAC=−+−3144

ACAB=−+.故选：D6.已知圆22:680Cxyx+−+=，若双曲线2221(0)xymm−=的一条渐近线与圆C相切，则m=（）A.18B.24C.22D.8【答案】C【解析】【分析】求出圆心和半径，及双曲线的渐近线，由

相切关系列出方程，求出答案.【详解】22:680Cxyx+−+=变形为()2231xy−+=，故圆心为()3,0，半径为1，2221(0)xymm−=的渐近线方程为yxm=，不妨取xym=，由点到直线距离公式可得23111mm=

+，解得22m=，负值舍去.故选：C7.为了得到函数2log(22)yx=−的图象，只需把函数2logyx=的图象上的所有点（）A.向左平移2个单位长度，再向上平移2个单位长度B.向右平移2个单位长度，再向下平移2个单位长度C.向左平移1个单位长度，再向上平移

1个单位长度D.向右平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度【答案】D【解析】【分析】按照左加右减，上加下减，结合对数运算法则进行计算，得到答案.【详解】A选项，向左平移2个单位长度，再向上平移2个单位长度，得到()()222lo

g22log842og4lyxxx=++=++=，错误；B选项，向右平移2个单位长度，再向下平移2个单位长度得到()222log22log4xyx−=−−=，错误；C选项，向左平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度得到()()()()22222log11log1lo2g2log1lo2g

2yxxxx=++=+=+=++，错误；D选项，向右平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度得到()()()()22222log11log1lo2g2log1lo2g2yxxxx=−+=+=−=−−，正确.故选：D8.已知A，B是ABC的内角，“ABC为锐角

三角形"是“sincosAB”的（）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】先根据诱导公式及正弦函数单调性得到充分性成立，再举出反例得到必要性不成立.【详解】因为ABC为锐角

三角形，所以π,0,2AB且π2AB+，所以π2AB−，其中ππ0,22B−，因为sinyx=在π0,2x上单独递增，所以πsinsincos2ABB−=，充分性成立，若sinco

sAB，不妨设ππ,23AB==，满足sincosAB，但ABC为直角三角形，故必要性不成立.故选：A9.已知函数11()221xfx=−+，()fx是()fx的导函数，则下列结论正确的是（）A.()()0fxfx−−=B.()0fxC

.若120xx，则()()1221xfxxfxD.若120xx，则()()()1212fxfxfxx++【答案】D【解析】【分析】根据函数的奇偶性概念判断A，根据导函数值域判断B，利用特例法排除选项C，利用指数运算及指数函数的单调性结合不等式的性质即可

判断D.【详解】对于A，易知Rx，1121()2212(21)xxxfx−=−=++，所以2112()2(21)2(12)xxxxfx−−−−−==++，所以()()fxfx−=−，错误；对于B，因为11()221xfx=−+，所以22ln2

()(21)xxfx=+，由ln20知()0fx，错误；对于C，111(1)2216f=−=+，2113(2)22110f=−=+，虽然012，但是()()1221ff，故对120xx，()()1221xfxxfx不恒成立，错误；对于D，函数

1121()221222xxxfx−=−=++，则()()12121221212(21)2(21)xxxxfxfx−−+=+++，()121212212(21)xxxxfxx++−+=+，因为210xx，所以21221xx，所以1222(2

1)210xxx−−，所以12122122xxxx+++，所以1212122222221xxxxxx++++++，即12122(21)(21)(21)xxxx++++，所以121221(21)(21)21xxxx++++，所以121212122(21)21(

21)(21)21xxxxxxxx+++−−+++，又()()()()()12211221212121221xxxxxx+−++−+=−，所以1221121212(21)(21)(21)(21)21(21)(21)21xxxxxxxxxx++−++−+−+++，

所以1221121212(21)(21)(21)(21)212(21)(21)2(21)xxxxxxxxxx++−++−+−+++，即121212122121212(21)2(21)2(21)xxxxx

xxx++−−−++++，所以()()()1212fxfxfxx++，正确.故选：D10.已知A，B，C是单位圆上的三个动点，则ABACuuuruuur的最小值是（）A.0B.12−C.1−D.2−【答案】

B【解析】【分析】建立平面直角坐标系，设出(),Aab，()(),,,BmnCmn−，表达出22222bbnABAC=−−uuuruuur，结合1,1b−，求出最小值.【详解】以BC的垂直平分线为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系，设

(),Aab，()(),,,BmnCmn−，则22221,1abmn+=+=，故()()2222,,2manbmAanbamnnbbBAC−−−−−=−+=+−uuuruuur22222222bbnbnn=−=

−−，当2bn=时，22222bbnABAC=−−uuuruuur取得最小值，最小值为22b−，由于1,1b−，故当1b=时，22b−最小，故最小值为12−，此时12n=，满足要求，故选

：B【点睛】平面向量解决几何最值问题，通常有两种思路：①形化，即用平面向量的几何意义将问题转化为平面几何中的最值或取值范围问题，然后根据平面图形的特征直接进行求解；②数化，即利用平面向量的坐标运算，把问题转化为代数中的函数最值与

值域，不等式的解集，方程有解等问题，然后利用函数，不等式，方程的有关知识进行求解.第二部分（非选择题110分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.11.在4(21)x+的展开式中，2x的系数为__________．（用数字作答）【答案】

24【解析】【分析】写出展开式的通项公式，求出2x的系数.【详解】4(21)x+的展开式通项公式为()414C2rrrTx−+=，令2r=，得()22234C224Txx==，故2x的系数为24.故答案为：24

.12.已知点(0,2)P，直线:210lxy+−=，则过点P且与直线l相交的一条直线的方程是__________．【答案】2yx=+(答案不唯一)【解析】【分析】求出过(0,2)P且与:210lxy+−=不平行的方程即可.【详

解】直线:210lxy+−=的斜率为12−，故只需所求直线方程斜率不是12−即可，可设过点P且与直线l相交一条直线的方程为2yx=+.故答案：2yx=+(答案不唯一).13.若函数()sincos2fx

xx=−，则π6f=__________，()fx的值域为__________．【答案】①.0②.9,28−【解析】【分析】根据特殊角计算得函数值，换元可得sin1,1tx=−,221ytt=+−,再根据二次函数的单调性可得值域.【

详解】11sincosπππ6662022f−=−==的为()22()sincos2sin12sin2sinsin1,fxxxxxxx=−=−−=+−2sin,21txytt==+−,设sin1,1tx=−,221ytt=+−,11,,4t−−

221ytt=+−单调递减,1,1,4t−221ytt=+−单调递增,minmax19,;1,2;48tyty=−=−==()fx的值域为9,28−.故答案为:0;9,28−.14.在水平地面竖直定向爆破时，在爆破

点炸开的每块碎片的运动轨迹均可近似看作是抛物线的一部分．这些碎片能达到的区域的边界和该区域轴截面的交线是抛物线的一部分（如图中虚线所示），称该条抛物线为安全抛物线．若某次定向爆破中碎片达到的最大高度为40米，碎片距离爆炸中心的最远水平距离为80米，则这次爆破中，安

全抛物线的焦点到其准线的距离为__________米．【答案】80【解析】【分析】建立平面直角坐标系，待定系数法求出抛物线方程，得到答案.【详解】以抛物线最高点为坐标原点，平行于地面为x轴，建立平面直角坐标系，设抛物线方

程为22xpy=−，由题意得()80,40A−，将其代入抛物线方程得640080p=，解得80p=，故安全抛物线的焦点到其准线方程为80米.故答案为：8015.已知函数()|cos2|1fxx=+．给出下列四个结论：①()fx的最小正周

期是π；②()fx的一条对称轴方程为π4x=；③若函数()()()gxfxbb=+R在区间9π0,8上有5个零点，从小到大依次记为12345,,,,xxxxx，则()1234525πxxxxx++++=；④存在实数a，使得对任意mR，都

存在12π,,06xx−且12xx，满足()1()(1,2)()kafxfmkfm=+=．其中所有正确结论的序号是__________．【答案】②③【解析】【分析】画出函数图像，可判断①②，对

于③，转化为yb=−与()yfx=在9π0,8x上交点问题，数形结合得到5个根的对称性，从而得到答案；对于④，π,06x−时，()|cos2|1fxx=+单调递增，且3(),22fx

，从而判断出存在实数a，使得对任意mR，只有一个π,06x−，满足要求.【详解】()|cos2|1fxx=+的图象如下：对于①，()fx的最小正周期是π2，①错误；对于②，()fx的一条对称轴方程为π4x

=，②正确；对于③，画出图象，yb=−与()yfx=在9π0,8x上有5个交点，这5个交点即为函数()()()gxfxbb=+R在区间9π0,8上有5个零点，从小到大依次记为12345,,,,xxxxx，且12,xx关于π4x=对

称，23,xx关于π2x=对称，34,xx关于3π4x=对称，45,xx关于πx=对称，则12233445π3π,π,,2π22xxxxxxxx+=+=+=+=，故()()()()()5123122334445π3ππ2π2225πxxxxxxxxxxxxx+++++++

==+++++=++，③正确；对于④，π,06x−时，()|cos2|1fxx=+单调递增，且3(),22fx，对任意mR，()1,2fm，由对勾函数性质可知1()()yfmfm=+在()1,2fm上单调递增，故15()

2,()2fmfm+，由单调性可知存在实数a，使得对任意mR，只有一个π,06x−，满足()1()()afxfmfm=+，④错误.故答案为：②③【点睛】函数零点问题：将函数零点问题或方程解的问题转化为两函数的图象交点问题，将代数问题几何化，借助图象

分析，大大简化了思维难度，首先要熟悉常见的函数图象，包括指数函数，对数函数，幂函数，三角函数等，还要熟练掌握函数图象的变换，包括平移，伸缩，对称和翻折等，涉及零点之和问题，通常考虑图象的对称性进行解决.三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文

字说明，演算步骤或证明过程.16.在四边形ABCD中，123ABCDDABC====，，，再从条件①，条件②这两个条件中选择一个作为已知，解决下列问题．（1）求BD的长；（2）求四边形ABCD的面积．条

件①：5cos3DBC=；条件②：πDCBDAB+=．注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分．【答案】（1）选①，5BD=；选②，7BD=（2）选①，51+；选②，23【解析】【分析】（1

）选①，利用余弦定理得到5BD=；选②，利用互补得到coscos0BADBCD+=，结合余弦定理列出方程，求出答案；（2）选①，在（1）的基础上，得到AB⊥AD，结合三角形面积公式求出ABD△和BCD△的面积，相加即可；选②，在（1）的基础上求出2π3BAD=和π3BCD=，利用三角形面积

公式求出ABD△和BCD△的面积，相加得到答案.【小问1详解】选①，由余弦定理得2222945cos263DBBCCDDBDBCDBBCDB+−+−===，解得5BD=，选②，在ABD△中，由余弦定理得2

2222145cos244ABADBDBDBDBADABAD+−+−−===，在BCD△中，由余弦定理得222224913cos21212CDBCBDBDBDBCDCDBC+−+−−===，因为πDCBDAB

+=，所以coscos0BADBCD+=，即225130412BDBD−−+=，解得7BD=.【小问2详解】选①，5BD=，2sin1c32osDBCDBC=−=，故112sin535223BCDSBDCBDBC==

=，在ABD△中，222ABADBD+=，所以AB⊥AD，故1112122ABDSABAD===，所以四边形ABCD的面积为51+；选②，7BD=，故571cos42BAD−==−，故2π3BAD=，因为πDCBDAB+=，

所以π3BCD=，故1133sin122222ABDSABADBAD===，11333sin232222BCDSBCCDBCD===，故四边形ABCD的面积为3332322+=.17.如图，在

多面体ABCDEF中，面ABCD是正方形，DE⊥平面ABCD，平面//ABF平面CDE，A，D，E，F四点共面，2ABDE==，1AF=．（1）求证：//AFDE；（2）求点F到平面BCE的距离；（3）过点F与CE垂直的平面交直

线BE于点P，求EP的长度．【答案】（1）证明见解析（2）22（3）32【解析】【分析】（1）由面面平行的性质证明即可；（2）建立空间直角坐标系，利用空间向量法计算可得；（3）依题意可得CEFP⊥，设EPEB=，表示出FP，再根据数量积的坐标表示得到方程，求出的值，

即可得解.【小问1详解】因为平面//ABF平面CDE，A，D，E，F四点共面，且平面ABF平面ADEFAF=，平面CDE平面ADEFDE=，所以//AFDE.【小问2详解】因为DE⊥平面ABCD，ABCD是正方形，如图建立空间直

角坐标系，则()2,0,1F，()2,2,0B，()0,2,0C，()0,0,2E，则()2,0,0CB=，()0,2,2CE=−，()2,2,1CF=−，设平面BCE的法向量为(),,nxyz=，则20220nCBxnCEyz===−+=

，令1y=，则()0,1,1n=，所以点F到平面BCE的距离22nCFdn==.【小问3详解】因为过点F与CE垂直的平面交直线BE于点P，所以CEFP⊥，设EPEB=，因为()2,2,2EB=−，所以()()

2,2,22,2,2EP=−=−，()2,0,1FE=−，所以()()()22,2,,222,2,211,0FPFEEP−=−=+=−+−，所以()221202CEFP=−+−=，解得14=，所以()222113222442EP

EB==++−=.18.某地区教育研究部门为了解当前本地区中小学教师在教育教学中运用人工智能的态度、经验、困难等情况，从该地区2000名中小学教师中随机抽取100名进行了访谈．在整理访谈结果的过程中，统计他们对“人工智能助力教学”作用的认识，得到的部分数据如下表所示：假设用频率估计概率，且每

位教师对“人工智能助力教学”作用的认识相互独立．（1）估计该地区中小学教师中认为人工智能对于教学“没有帮助”的人数；（2）现按性别进行分层抽样，从该地区抽取了5名教师，求这5名教师中恰有1人认为人工智能对于教学“很有帮助”的概率；（3）对受访教师关于“人工智能助力教学”的观点进行赋

分：“没有帮助”记0分，“有一些帮助”记2分，“很有帮助”记4分．统计受访教师的得分，将这100名教师得分的平均值记为0，其中年龄在40岁以下（含40岁）教师得分的平均值记为1，年龄在40岁以上教师得分的平均值记为2，请直接

写出012,,的大小关系．（结论不要求证明）【答案】（1）140（2）740（3）102【解析】【分析】（1）完善表格，并得到认为人工智能对于教学“没有帮助”的频率，从而估计出该地区中小学教师中认为人工智能对于教学“没有帮助”的人数；（2）根据分层抽样定义得到抽取

的5名教师，有1名男教师，4名女教师，再结合该地区中小学教师中男教师和女教师认为对于教学“很有帮助”的概率，分两种情况求出这5名教师中恰有1人认为人工智能对于教学“很有帮助”的概率；（3）计算平均值，并比较出大小即可

.【小问1详解】根据表格中数据，完善表格，可以得到100名教师中，认为人工智能对于教学“没有帮助”的频率为7100，用频率估计概率，估计该地区中小学教师中认为人工智能对于教学“没有帮助”的人数为72000140100=；【

小问2详解】男女比例为20:801:4=，故抽取的5名教师，有1名男教师，4名女教师，用频率估计概率，估计该地区中小学教师中男教师认为对于教学“很有帮助”的概率为82205=，女教师认为对于教学“很有帮助”的概率为401802=，抽取的5名

教师中，恰有1人认为人工智能对于教学“很有帮助”，则1名男教师认为人工智能对于教学“很有帮助”的概率为421115240−=，1名女教师认为人工智能对于教学“很有帮助”的概率为31421131C?152220−−=

，故这5名教师中恰有1人认为人工智能对于教学“很有帮助”的概率为137402040+=；【小问3详解】0704524842.82100++==，1101923541785555++==，2

602621341044545++==，因为1781042.825545，所以102.19.已知椭圆2222:1(0)xyCabab+=经过两点1(2,0),3,2AB−.（1）

求椭圆C的方程和离心率；（2）设P，Q为椭圆C上不同的两个点，直线AP与y轴交于点E，直线AQ与y轴交于点F，若点(10)M，满足MFME⊥，求证：P，O，Q三点共线．【答案】（1）2214xy+=，32（2）证明过程见解析【解析】【分析】（1）

待定系数法求出椭圆方程，并求出3c=，得到离心率；（2）先根据MFME⊥得到两三角形相似，得到1OEOF=，从而设直线AE方程为2myxm=+，直线AF方程为112yxmm=−−，与椭圆方程联立后，表达出P，Q两点的横纵坐标，得到两点关于原点对称，

证明出结论.【小问1详解】将1(2,0),3,2AB−代入椭圆方程，222413114aab=+=，解得2241ab==，故222413cab=−=−=，3c=，所以椭圆C的方程为2214xy+=，离心率为32ca=；【小问2详解】法1：设点()

11,Pxy，()()2212,2,2Qxyxx，所以直线PA的方程为：()1122yyxx=++，直线AQ的方程为：()2222yyxx=++，所以点1120,2yEx+，2220,2yFx+．1121,2yMEx=−+，2221,2yMFx=−

+因为MEMF⊥，所以0MEMF=即()()121241022yyMEMFxx=+=++①当直线PQ无斜率时，设xm=，则12xxm==，2212114yyym=−=−代入①得：224141044mmm−+=++，解得：0m=，所以P，O，Q三点共

线．当直线PQ有斜率时，设()0ykxnk=+，由{𝑦=𝑘𝑥+𝑛𝑥24+𝑦2=1得：()222148440kxknxn+++−=所以()()22221222122Δ644144408144414knknknxxknxxk=−+−+=

−+−=+()()1212ykxxnynk=++()221212kxxknxxn=+++()22222224481414knknnkk−=−+++222414nkk−=+，代入（1）得：2222224416

41640141414nknnkkkk−−−++=+++，解得：0n=或2nk=.当2nk=时，直线PQ的方程：()2ykx=+，不符合题意．故0n=，所以P，O，Q三点共线．综上，P，O，Q三点共线．法2：设点()()000,2Pxyx，点()

0,Fn，直线PA的方程为：()0022yyxx=++，所以点0020,2yEx+．0021,2yMEx=−+，()1,MFn=−，因为MEMF⊥，所以0MEMF=，所以002102

ynx+=+，即0022xny+=−，所以直线AF的方程为：()00224xyxy+=−+，要证P，O，Q三点共线，由椭圆的对称性，只需证()00,Qxy−−在直线AF上．又因为220014xy+=，所以220044xy−=−，所以()200000024244xxxy

yy+−−−+==−，所以()00,Qxy−−在直线AF上，所以P，O，Q三点共线．法3：由题意得()2,0A−，不妨令E点在x轴上方，因为MFME⊥，所以90EMOFMO+=，又因为90EMOMEO+=，所以FMOMEO=，所以RtE

OM∽RtMOF△，故EOMOMOOF=，即1OEOF=，设OEm=，则1OFm=，则直线AE方程为2myxm=+，与2214xy+=联立得()222214440mxmxm+++−=，设()11,Pxy，则21

24421mxm−−=+，解得212221mxm−=+，则2122222211mmmymmm−=+=++，直线AF方程为112yxmm=−−，与2214xy+=联立得()22214440mxxm+++−=，设()

22,Qxy，则2224421mxm−−=+，解得222221mxm−=+，则222212212211mmymmmm−−=−−=++，故120xx+=，120yy+=，所以P，Q关于原点对称，P，O

，Q三点共线.【点睛】定值问题常见方法：（1）从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关；（2）直接推理计算，并在计算推理过程中消去变量，从而得到定值.20.已知函数()()e()xfxxaa=+R．（1）当0a=时，求曲线()yfx=在点(1,(1))f处

的切线方程；（2）若()fx是增函数，求a的取值范围；（3）证明：()fx有最小值，且最小值小于(1)f．【答案】（1）3ee22xy=−（2）)2,−+（3）证明过程见解析【解析】【分析】（1）求导得到3e(1)2f=，利用点斜

式写出切线方程；（2）先求定义域，求导后，即()0fx恒成立，即12xax+−，求出12xx+的最小值，从而得到参数的取值范围；（3）在（2）的基础上得到分2a−与2a−两种情况，结合函数的单调性，得到极值和最值情况，证明出结论.【小问1详解】当0a=时，()exfxx

=，(1)ef=，1()e2xfxxx+=，故13e(1)e=212f+=，所以曲线()yfx=在点(1,(1))f处的切线方程为()3ee12xy=−−，即3ee22xy=−；【小问2详解】()()e()xfxxaa=+R定义域为)0,+，的1()

e2xfxxax=++，若()fx是增函数，则()0fx恒成立，故012xax++，即12xax+−，其中112222xxxx+=，当且仅当12xx=，即12x=时，等号成立，故2a−，解得2a−，

a的取值范围是)2,−+【小问3详解】()()e()xfxxaa=+R定义域为)0,+，1221()ee22xxxaxfxxaxx++=++=，结合（1）可知，当2a−时，()

fx是增函数，故()fx在0x=处取得最小值，且最小值小于(1)f，当2a−时，令()0fx=得，2210xax++=，该方程有两个正实数根，设为1212,,xxxx，由韦达定理得1212xx=，即1214

xx=，令()0fx得，1xx，或2xx，令()0fx得，12xxx，随着x的变化，()(),fxfx的变化情况如下：x()10,x1x()12,xx2x()2,x+()fx+0-0+()fx单调递增极大值单调递减极小值单调递增所以()fx的极

小值为()2fx，故()fx的最小值为()()2min0,ffx，记为()0fx，当21x时，若11x，则21x，此时与1214xx=矛盾，舍去，所以()10,1x，则()121,xx或()2,x+，故()()21fxf，所以()()2min0,ffx肯定小于()1f，所以(

)()01fxf，当21x=时，()10f=，所以32a=−，此时()302f=−，1(1)e2f=−，()()0321e<201ff−=−+，即()()01ff，故此时()()01fxf，综上，()fx有最小值，且

最小值小于(1)f【点睛】方法点睛：分离参数法基本步骤为：第一步：首先对待含参的不等式问题在能够判断出参数的系数正负的情况下，可以根据不等式的性质将参数分离出来，得到一个一端是参数，另一端是变量表达式的不等式，第二步：先求出含变量一边

的式子的最值，通常使用导函数或基本不等式进行求解.第三步：由此推出参数的取值范围即可得到结论.21.已知等比数列na的公比为q（1q），其所有项构成集合A，等差数列nb的公差为d（0d），其所有项

构成集合B．令CAB=，集合C中的所有元素按从小到大排列构成首项为1的数列nc．（1）若集合{1,3,4,5,6,7,9}C=，写出一组符合题意的数列na和nb；（2）若()1*2nnan−=N，数列nb为无穷数列，AB=，且数列nc的前5项成公比为p的

等比数列．当15ba时，求p的值；（3）若数列nb是首项为1的无穷数列，求证：“存在无穷数列na，使AB”的充要条件是“d是正有理数”．【答案】（1）取na为4,6,9；nb为1,3,5,7.（2）2p=.（3）证明见解析.【解析】【分析】（

1）取na为4,6,9；nb为1,3,5,7，可验证它们符合题设要求.（2）可证明0d，设nc的前5项为：()2341,,,,1ppppp，就32ca=或32cb=分类讨论后可求p的值．（3）

可证1q，利用二项式定理可证明充分性，利用反证法结合等比中项可证明必要性.【小问1详解】取na为4,6,9；nb为1,3,5,7，则na满足：6946=，故4,6,9为等比数列.而3153752−=−=−=，故1,3,5,7为等差数列，故此时na，nb符合

题意.【小问2详解】因为集合C中的所有元素按从小到大排列构成首项为1的数列nc，故nc中各项均为正数，所以nb中的各项均为正数，而nb为无穷等差数列，故0d.设nc的前5项为：()2341,,

,,1ppppp，因为15ba，111ac==，AB=，所以2341,,,bpppp，此时必有21cpb==，事实上，若22ca=，则nc的前5项即是na的前5项，与2341,,,bpppp

矛盾．所以32ca=或32cb=．若32ca=，则22p=，所以2p=，此时nc的前5项为1，2，2，22，4，即12b=，222b=，所以数列nb的公差为212dbb=−=，因为3232ba=，所以2p=符合题意；若32cb=，则43cb=

或43ca=①43cb=时，有p，2p，3p成等差数列，所以232ppp=+，解得1p=，与1p矛盾；②43ca=时，有32p=，所以32p=，所以nc的前5项为1，32，34，2，322，因为322A，所以322B，即3322b=，所以3133323,2222322

4bbb=+=+=，故1322bbb+，与nb为等差数列矛盾．所以32cb=不可能．综上，p的值为2．【小问3详解】因为数列nb是首项为1的无穷数列，由（2）知，数列nb是递增的数列；对于公比不为1的无穷数列na，必有11a，1q

．否则，若q为负，则na相邻两项必有一项为负，这与nc中的最小项为11c=矛盾；若01q，则当1lnl1nqna−时，1111lnln111aqnaqqa−−−=，即1na，这与nc中的最小项为11c=矛盾．先证明充分性：当d是

正有理数时，因为数列nb是递增的等差数列，所以0d，设sdt=（s，*tN，s，t互质），则std=，令()11nnas−=+，则11a=，2111tastdb+=+=+=，当3n时，111221

1111CCCCnnrrnnnnnassss−−−−−−=++++++()1211211111CCCCrrnnnnnnssstd−−−−−−−=++++++所以数列na的第n项是数列nb的第()121121111CCC

C1rrnnnnnnssst−−−−−−−++++++项，所以数列na中的项都是数列nb的项，即AB．再证明必要性：假设d是正无理数，因为AB，即数列na中的项都是数列nb的项，故11b=.令11iab+=，21jab+=，31kab+=（i，j，Nk），则11aid=+，2

1ajd=+，31akd=+，且ijk，因为2213aaa=，即()()()2111jdidkd+=++，整理得：()2222jdjdikdikd+=++，约去d有()22jjdikikd+=++，因为i，j，*kN，且d是无理数，所以22jikjik

=+=，消去j并整理得()20ik−=，故ik=，与ijk矛盾，所以假设不成立，即d是有理数．综上所述，“存在数列na，使AB”的充要条件是“d是正有理数”【点睛】思路点睛：两类数列的交叉问题，往往需要从基本量来处理，注意合理的分类讨论

，另外等比数列与等差数列的交叉问题，注意结合二项式定理来沟通两者的关系，而整数性问题注意结合整数的性质来处理.获得更多资源请扫码加入享学资源网微信公众号www.xiangxue100.com