【文档说明】浙江省宁波市十校2020届高三下学期3月联考数学试题【精准解析】.doc,共(20)页,2.190 MB,由管理员店铺上传
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浙江省宁波市十校2020届高三3月联考数学试题参考公式:如果事件A,B互斥,那么()()()PABPAPB+=+如果事件A,B相互独立,那么()()()PABPAPB=如果事件A在一次试验中发生的概率是p,那么n次独立重复试验中事件A恰好发生k次的概率()(1)(0,1,2,
,)kknknnpkCppkn−=−=台体的体积公式11221()3VhSSSS=++其中12SS,分别表示台体的上、下底面积,h表示台体的高柱体的体积公式Vsh=其中S表示柱体的底面积,h表示柱体的高锥体的体积公式13VSh=其中S表示锥体的
底面积,h表示锥体的高球的表面积公式24SR=球的体积公式343VR=其中R表示球的半径一、选择题:本大题共10小题,每小题4分共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的1.已知{|11}Pxx=−,{|02}Qxx=,则PQ=()A.(1,2)−B.(0,1
)C.(1,0)−D.(1,2)【答案】B【解析】【分析】直接根据交集的定义计算PQ即可得到答案.【详解】因为{|11}Pxx=−,{|02}Qxx=,所以{|01}PQxx=.故选:B.【点睛】本题考查集合的交运
算,考查基本运算求解能力,属于容易题.2.双曲线22194xy−=离心率是()A.133B.53C.23D.59【答案】A【解析】【分析】由标准方程求出c和a,继而可求离心率.【详解】解:2229413cab=+=+=,所以13
c=.由29a=可知3a=.133cea==.故选:A.【点睛】本题考查了双曲线的标准方程,考查了离心率的求解.3.若xy,满足约束条件0262xyxyxy−++,则3zxy=+的最小值是()A.4−B.2−C.2D.4【答案】B【解析】【分析】由约束条件
画出可行域,通过平移13yx=−分析即可得最优解,代回3zxy=+中即可求出最小值.【详解】解:画出可行域为如图所示的阴影部分.由3zxy=+可知1133yxz=−+.则当1133yxz=−+过()4,2C−时,m
in462z=−=−.故选:B.【点睛】本题考查了线性规划.一般情况下,首先画出可行域,然后根据目标函数的几何意义,分析出最优解.这里在画可行域时应注意,边界线是实线还是虚线.4.已知某个几何体的三视图如下,根据图中标出的尺寸(单位:cm),可得这个几何体的体积是
()A.343cmB.32cmC.383cmD.34cm【答案】C【解析】【分析】由三视图还原出几何体,依据锥体体积的公式即可求解.【详解】解:由三视图可知,该几何体为底面是正方形的四棱锥,高为2.所以体积为311822
2333VShcm===.故选:C.【点睛】本题考查了几何体体积的求解,考查了三视图.5.函数()()22xbafx−=的图像如图所示,则()A.0,01abB.0,10.4ab−C.0,10ab−D.0,01ab【答案】D【解析】【分析】由解析式及图像判断
出01b,结合复合函数单调性,可知0a.【详解】解:由()()22xbafx−=可知,()()22xafxbfbx+=−=,所以函数对称轴为xb=,由图可知01b.设()2xbua−=,则()2
ufu=.由图可知,函数先增后减.因为()2ufu=单调递增,所以()2xbua−=应先增后减,故0a.故选:D.【点睛】本题考查了函数的图像,考查了复合函数的单调性.若()()fxafbx+=−,则该函数的对称轴为2ab
x+=;对于复合函数的单调性,遵循同增异减的原则.6.设aR,则“2a=−”关于x的方程“20xxa++=有实数根”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分
析】以2a=−为条件,判断20xxa++=有实数根是否成立;以20xxa++=有实数根为条件,判断2a=−是否成立,即可选出正确答案.【详解】解:当2a=−时,1490a=−=,此时20xxa++=有实数根;当20xx
a++=有实数根时,140a=−,即14a.故选:A.【点睛】本题考查了命题的充分必要条件的判断.一般此类问题分为两步,若pq,则p是q的充分条件;若qp,则p是q的必要条件.7.正方体1111ABCDABCD−,P
是线段1BD(不含端点)上的点.记直线PC与直线AB所成角为,直线PC与平面ABC所成角为,二面角PBCA−的平面角为,则()A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】不妨设P为1AC的中点,连
接,ACBD交于O,做BC的中点为K,连接,,,,POPKPCPDKO,经过分析,,PCDPKOPCO===,从而可求出tan,tan,tan,进而可比较三个角的大小.【详解】解:如图
,不妨设P为1AC的中点,连接,ACBD交于O,做BC的中点为K,连接,,,,POPKPCPDKO,则PO⊥面ABCD.设正方体的边长为2a.由题意知,,PCDPKOPCO===.KOPOa==,2COa=3PCCDa==,则tan1aa==;2223433cos3232aa
aaa+−==则tan2=;2tan22POaCOa===.因为tantantan,所以.故选:A.【点睛】本题考查了线线角,考查了线面角,考查了二面角.对于空间中角的问题
,在求解时有两种思路,一是按定义直接找到所求角,结合正弦定理、余弦定理、三角函数等求解;二是结合空间向量求解.8.已知随机变量的分布列如下102a:012Pba−ba则()A.()E有最小值12B.()E有最大值32C.()D有最小值0D.()D有最大值12【答案
】D【解析】【分析】由所有概率之和为1求出12b=,进而可求()122Ea=+,()211442Da−−+=,结合102a,可求最值.【详解】解:由题意知,21babab−++==,即1
2b=.则()()113022,222babaaE=−++=+,所以()E没有最值.()()222111021222222abaaDbaa=−−−+−−+−−22111424442aa
a=−++=−−+.由102a可知,当14a=时,()D有最大值为12.故选:D.【点睛】本题考查了分布列,考查了数学期望,考查了方差.对于分布列的题目,隐藏条件为,所有概率之和为1.本题的难点是计算化简.9.从1,3,5,7中任
取2个数字,从0,2,4,6,8中任取2个数字,组成没有重复数字的四位数,这样的四位数一共有()个.A.576B.1296C.1632D.2020【答案】B【解析】【分析】分成两种情况:取出数字中无0和取出数字中有0.第一种情况全排列即可;第二种情况下,千位有3种可能,再乘对剩余数字的全排
列.两种情况的结果相加即可.【详解】解:当取出的4个数字中没0时,再组成四位数,这样的四位数有224444864CCA=个;当取出的4个数字中有0时,共有214424CC=中组合,这四位数字所组成的四位
数有223318A=个,所以这种情况下的四位数共有2418432=个.4328641296+=故选:B.【点睛】本题考查了排列与组合的综合应用.本题的易错点是忽略这个四位数,千位不能为零.10.数列na满足21121,nnnaaaanN++==−+,,则()A.存在kN+,
使1122kkka−−B.存在m,kN+,mkaka=C.存在m,,mkkNama+=D.121111naaa+++【答案】D【解析】【分析】由数列单调性的定义作差可得10nnaa+−,可得na为递增数列,又()2111nnnnnaaaaa+=−−=−,两边取到数,结合裂项
求和以及不等式的性质可选出正确选项.【详解】解:由题意知,()221211nnnnnaaaaa+−=−+=−.由于120a=,所以()210na−,则10nnaa+−,所以na为递增数列.211nnnaaa+=−+,()2111nnnnnaaaaa+−=−=−,()11
111111nnnnnaaaaa+==−−−−.即111111nnnaaa+=−−−,则12122311111111111111......11111111nnnnaaaaaaaaaaa+++++=−+−++−=−−−
−−−−−−1111na+=−−.由na为递增数列,可得1101na+−,则11111na+−−.即121111naaa+++故选:D.【点睛】本题考查了数列递推式的应用,考查数列的单调性,考查了裂项求和,
考查了化简运算能力和推理能力.本题的难点是对递推公式进行处理.非选择题部分(共110分)二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,多空题每小题6分,共36分11.欧拉公式cossinixexix=+(i是虚数单位)是由瑞士著名数学家欧拉发现
的,它将指数函数的定义域扩大到复数域,建立了三角函数和指数函数的关系,它在复变函数论里非常重要,被誉为“数字中的天桥”根据欧拉公式可知,2020ie=___________【答案】1【解析】【分析】由
已知可知2020cos2020sin2020iei=+,运用诱导公式可求出cos20201=,以及sin20200=,继而可求2020ie.【详解】解:由题意知,2020cos2020sin2020iei
=+,()cos2020cos021010cos01=+==,同理,sin2020sin00==.故2020cos2020sin20201iei=+=.故答案为:1.【点睛】本题考查了诱导公式,考查了三角函数求值,考查
了推理能力和计算能力.12.()()421xx++的展开式中项3x的系数为___________【答案】14【解析】【分析】由二项式定理写出()()421xx++的通向,求出通项中3x,即可求系数.【详解】解:()41+x展开式中的第1k+项为414kkkTCx−+=,则()()54
444221kkkkxCxxxC−−=+++当2k=时,246C=;当1k=时,1428C=,8614+=.故答案为:14.【点睛】本题考查了二项式定理.做题关键是掌握二项展开式通项公式.13.在四边
形ABCD中,12,34ABBCCDAD====,,,且120ABC=,则AC=___________,cosBCD=___________【答案】(1).7(2).2114−【解析】【分析】利用余弦定理求出AC的值,利用勾股定理逆定理判断90ACD=
,由正弦定理和诱导公式即可求出cosBCD的值.【详解】解:在ABC中,由余弦定理可知2222cosACABBCABBCABC=+−即21422cos1207AC=+−=,7AC=.又2227916ACCDAD+=+==,所以90ACD=.由si
nsinABACACBB=,可知1sin12021sin147ACB==.()21coscos90sin14BCDACBACB=+=−=−.故答案为:7;2114−.【点睛】本题考查了余弦定理,考查了正弦定理,考查了诱导公式.
本题的关键是判断90ACD=.在解三角形时,已知两边及其夹角或已知三边,一般套用余弦定理求解;已知两角及一角的对边,常用正弦定理解三角形.14.已知直线()():10lykxk=+,椭圆22:143xyC+=,点()1,0F,若直线和椭圆有两个
不同交点AB,,则ABF周长是___________,ABF的重心纵坐标的最大值是___________【答案】(1).8(2).36【解析】【分析】由椭圆的定义可求出三角形的周长为224aaa+=;设()()1122,,,AxyBxy,联立直线与椭圆的方程,消去y,即可求出1
22643kyyk+=+,进而可知重心纵坐标为1202334yyykk+==+,分0,0kk两种情况,结合基本不等式,即可求出033,00,66y−,从而可求出重心纵坐标的最
大值.【详解】解:由题意知,可知()():10lykxk=+恒过定点()1,0−,此点为椭圆的左焦点,记为'F.则'24,'24AFAFaBFBFa+==+==.所以ABF的周长为''448ABAFBFAFA
FBFBF++=+++=+=.设()()1122,,,AxyBxy设ABF的重心纵坐标为0y.则12120033yyyyy+++==.联立直线与椭圆方程得()221431xyykx+==+,整理得2236490yy
kk+−−=.则222363136414410kkk=++=+,1222663434kkyykk+==++所以12022233434yykykkk+===++.当0k时,3424343kk+=,当且仅当34kk=,即32k
=时,等号成立,此时023643y=;当k0时,()333442443kkkkkk+=−−−−−−=−,当且仅当34kk−=−,即32k=−时,等号成立,此时023643y−=−.综上所述:033,00,66y−
.所以ABF的重心纵坐标的最大值是36.故答案为:8;36.【点睛】本题考查了椭圆的定义,考查了直线与椭圆的位置关系,考查了基本不等式.对于椭圆中的三角形问题,常结合椭圆的定义、性质以及解三角形的思路求解.本题的易错点是求出重心纵坐标的表达式时,未对k进行讨论.应用基本不等式时
,一定要注意一正二定三相等.15.()121fxxx=−−+的值域为___________;若函数()()gxfxa=−的两个不同零点12,xx,满足12210xx−,则实数a的取值范围是_____
______【答案】(1).(,2−(2).15,2−【解析】【分析】将函数化为分段函数的形式,作出图像,即可求出值域;依题意,()fxa=的零点必然在(,1−−和1,1−上或者(,1−−和)1,+上,分类讨论结合已知即可求出.【详解】解:()3,1
31,113,1xxfxxxxx+−=−−−−−,作出图像如下,由图像可知,函数的值域为(,2−.由()0gx=得()fxa=,显然,零点必然在(,1−−和1,1−上或(,1−−和)1,+上,令12331xa
xa+=−−=,解得12313xaax=−+=−,又12210xx−,则111719,,2222a−,由121,11xx−−,可得14,2a−;令1233xa
xa+=−−=,解得1233xaxa=−=−−,又12210xx−,则5,11,5a−−,同时121,1xx−,得5,4a−−.综上所述:15,2a−.故答案为:(,2−;15,2a−.【点睛】本题考查了函数值域的求法,考查函
数零点与方程根的关系,考查不等式的求解,考查数形结合的思想,考查分类讨论思想以及运算求解的能力.求函数的值域时,一般采用的思路有:图像法、导数法、结合函数的性质等.16.已知双曲线221:1Cxy−=,曲线222:xyCxyyx+=−,则
曲线12,CC的交点个数是___________个,原点O与曲线2C上的点之间的距离最小值是___________【答案】(1).0(2).2【解析】【分析】联立曲线12,CC的方程,通过配方法,解方程可判断交点个数;由两点的距离公式和三角换元,结合同角公式和二倍角公式,以及正弦函数的值域,可得所
求最小值.【详解】解:联立方程组22221xyxyxyyx−=+=−,整理可得,22xyxy+=,即2213024xyy−+=,由0xy可知方程无解,即两条曲线没有交点.设曲线2C上的点为(),xy,则原点与2C上的点之间的距离为22rxy=+.设cos,sinxryr
==,02,代入2C得()()()222222cossincossincossinrrrrrr+=−整理得24411sin2cos2sin424rrr==.由sin41,可得241r,解得
2r当sin41=时,r取最小值为2.故答案为:0;2.【点睛】本题考查曲线方程的关系,考查两曲线的交点个数,考查了两点的距离公式.应注意运用方程思想和三角换元.本题计算量较大,计算容易出错.17.设向量()()1122,,,axybxy==,记1212*
abxxyy=−,若圆22:240Cxyxy+−+=上的任意三点123AAA,,,且1223AAAA⊥,则1223**OAOAOAOA+的最大值是___________【答案】16【解析】【分析】设()()()
111222333,,,,,AxyAxyAxy,根据条件得13131,222xxyy++==−,则()()122321321322**24OAOAOAOAxxxyyyxy+=+−+=+,所以当直线240xyb++=与圆相切时,24xy+有最大
值,利用圆与直线的位置关系可求出最大值.【详解】解:由圆的方程得()()22125xy−++=,则圆心()1,2C−,半径5r=.设()()()111222333,,,,,AxyAxyAxy,由1223AAAA⊥得13AA为直径,由此可
得13131,222xxyy++==−,即13132,4xxyy+=+=−.则()()122321321322**24OAOAOAOAxxxyyyxy+=+−+=+,2A为圆上的一点,当直线240xyb++=与圆相切时,24xy+有
最大值.则圆心到直线的距离28520bd−+==,解得16b=或4−.则当16b=时,24xy+有最大值为16.故答案为:16.【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系,考查平面向量的运算,考查转化的思想.本题的难点在于将24xy+的最值问题转化为直线与圆相切的问题.三、解答题
18.设函数()sincos,Rfxxxx=+.(1)已知0,2,函数()fx+是奇函数,求的值;(2)若()22f=,求3f+.【答案】(1)34=或74(2)232f+=【解析】【分析】
(1)由三角恒等变换求得()2sin4fxx+=++,再由奇函数可知,4kkZ+=,结合0,2可求出符合题意的的值.(2)由()22f=可求出1sin42+=,
3cos42+=,则所求26sincos32424fa+=+++,即可求出值.【详解】解:(1)()sincos2sin4fxxxx==++,()2sin4fxx
+=++因为()fx+为奇函数,所以,4kkZ+=,解得,4kkZ=−+∵02∴当0k=或1时,34=或74.(2)因为()22f=,所以22sin42+=,即1sin42+=
,可得3cos42+=所以262sinsincos3432424fa+=++=+++当3cos42+=时,23f+=;
当3cos42+=−时,232f+=−.【点睛】本题考查了辅助角公式,考查了三角恒等变换,考查了同角三角函数的基本关系,考查了正弦函数的奇偶性.若已知()()sinfxAx=+为奇函数,则,kkZ
=;若已知()()sinfxAx=+为偶函数,则,2kkZ=+.19.如图,三棱锥PABC−中,PAC是正三角形,ABC是直角三角形,点D是PB的中点,且APBCPB=,2PAPB=.(1)求证:PBAC⊥;(2)求AD与
平面PAC所成角的正弦值.【答案】(1)证明见解析(2)1122【解析】【分析】(1)取AC的中点O,连接OBOP,,通过证明OPACOBAC⊥⊥,,则可证AC⊥面PBO,从而证明线线垂直.(2)由AC⊥面PBO
可知二面角BPOA−−为直二面角,作DTOP⊥于T,则DT⊥平面PAC,连接TA,则DAT是AD和平面PAC所成的角,由此能求出AD和平面PAC所成的角的正弦值.【详解】解:(1)证明:在APB△和CPB△中,∵APBCPBPAPCPBPB===,,,∴APBCPB△≌△,∴ABCB=
.∴ABC为等腰直角三角形取AC的中点O,连接OBOP,,则OPACOBAC⊥⊥,,∴AC⊥面PBO,PB面PBO,∴PBAC⊥(2)∵AC⊥面PBO,∴二面角BPOA−−为直二面角,作DTOP⊥于T,则DT⊥平面PAC,连接TA,则DAT为AD和平
面PAC所成的角.设2PB=,则PAC的边长为4,22BABC==.PBO中,12232PBOBOPDT====,,APB△中,4222PAABBP===,,,D为PB的中点,∴11AD=,在RtADT△中,11sin22DTDATAD==,故AD
与平面PAC所成角的正弦值1122【点睛】本题考查了线线垂直的证明,考查了线面角的正弦值求法.证明线线垂直时,可利用勾股定理、等腰三角形三线合一或者线面角的性质.求二面角时,有两种思路,一是直接找到二面角,在三角形内进行求解;二是建立
空间直角坐标系,结合空间向量进行求解.20.设等差数列na的前n项和为nS,4324,aaS==.数列nb的前n项和为nT,1nnTb+=,*nN.(1)求数列na,nb的通项公式;(2)记1,,nnnnacbn=为奇数为偶数,数列nc的前n项和为nW,证
明:13nWn+.【答案】(1)nan=;12nnb=(2)证明见解析【解析】【分析】(1)结合基本量法,将已知4324,aaS==用首项和公差表示出来,即可求出通项公式;由1nnTb+
=推出111nnTb−−+=,两式相减进行整理可求出nb的通项公式.(2)求出nc,分别讨论n为奇数和偶数,结合数列的分组求和,以及裂项法、放缩法,结合等比数列的求和公式和不等式的性质可证明.【详
解】解:(1)∵4324aaS==,∴111ad==,,∴nan=∵1nnTb+=,∴111nnTb−−+=,两式相减得112b=,112nnbb−=,则12nnb=(2)①当2nm=时,则形21111421kmmnmkkWWk====+
−,∵111144111111434314mkmmk=−==−−,当2k时,12221232121212123kkkkkkk==−−−−−+−−+−∴()121121232121mm
kkkkmk==+−−−=−−,∴112133nWmn+−+成立.②当21nm=−时,21213nmmWWWn−=+成立.综上①②得:13nWn+【点睛】本题考查了等差数列通项公式,考查了等比数列的通项公式,考查了裂项求和,考查了分组求和,考查
了放缩法.本题易错点在于第二问没对n取奇数和偶数进行讨论.21.已知点()0,Aa,0a,抛物线()220xpyP=上点B处的切线交x轴于点P,且直线AB交抛物线于另一个点C,过点C作AP的平行线x轴于点Q.(1)证明://AQBP;(2)记直线BP,CQ与x
轴围成的三角形面积为1S,BOC的面积为2S,是否存在实数,使12SS=?若存在,求实数的值若不存在,请说明理.【答案】(1)证明见解析(2)存在;12=【解析】【分析】(1)设()2002,2Bptpt,()2112,2Cppt,则可知直线BC的
方程,由()0,Aa在BC可知012attp=,求出22xPy=在B处的切线的方程可得()0,0Ppt,从而可求出直线CQ的方程,继而可得()1,0Qpt,由012AQBPaktkpt=−==可证明平行
.(2)设直线,BPCQ相交于点T,则1PQTSS=,四边形AQTP为平行四边形,由此推导出存在12=使得12SS=.【详解】解:(1)证明:设()2002,2Bptpt,()2112,2Cppt,则
直线BC的方程为()01012yttxptt=+−由()0,Aa在BC可知,012attp=,又22xPy=在B处的切线的方程为20022ytxpt=−,令0y=可得0pxPt=即()0,0Ppt∴0APakpt=−.直线CQ的方程为()()21111022
22ayptxpttxptpt−=−−=−,令0y=可得1Qxpt=即()1,0Qpt∴012AQBPaktkpt=−==即AQBP∥(2)设BP和CQ相交于点T则1PQTSS=△,由(1)可知,四边形AQ
TP为平行四边形∴1101122PQTAQPQPSSSOAxxaptt===−=−,∵21011222OBCBCSSOAxxaptt==−=−,∴1212=SS,即存在12=【点睛】本题考查了线线平行的证明,考查了直线方程,考查了直线与抛物线的关系.本题计算量较大
,应注意计算的准确性,避免出错.在解析几何中,若证明两条直线平行,通常的思路是利用斜率相等或者两条直线斜率都不存在.22.已知函数()()2112xfxxex−=+−,其中2.71828e为自然对数的底.(1)试求函数()fx的单调区;(2
)若函数()212xegxxxa+=++的定义域为R,且存在极小值b.①求实数a的取值范围;②证明:1325be.(参考数据:1.641.65e)【答案】(1)函数()fx在区间(,0]−上单调递增,在区间(0,)+上单调递减(2)①()1,4a②证明见解析【
解析】【分析】(1)求出导数为()(1)xxfxxexxe−−=−−=−+,令导数为零,解方程,结合函数的定义域,可探究'(),()fxfx随x的变化情况,即可求出单调区间.(2)①由定义域为R可知22
0xxa++恒成立,所以440a=−△,可求出1a,求出()()()()22222212xxaexgxxxa+−−+=++,令()0gx=得()22afx−=,结合第一问的单调性可知()2202af−=,即14a.②由(
)2112fa−=−−及33592221.644fa−−可知存在()1231,00,2xx−,,使()0gx=,则极小值()()()2222222222221122221xxxeeebgxxxaxxfxx++==
==+++++.结合导数可证明()()21xehxx=+在302x上递增,从而可求13255ebee.【详解】(1)求导得()(1)xxfxxexxe−−=−−=−+,由()0fx=,解得0x=
.当0x时,()0fx;当0x时,()0fx.又因为函数()fx的定义域为R,故函数()fx在区间(,0]−上单调递增,在区间(0,)+上单调递减.(2)①因为函数()gx的定义域为R,则220xxa++恒成立故440a=−△,即1a又()()()()()(
)()()2222222221122122xxxxxaxexaexgxxxaxxae++−+++−−+==++++则()0gx=等价于()()22212xaxexfx−−=+−=,由(1)知()2yfx=在(,0]−上递增,在(0,)+上递减,故函数()gx存在极小值,必有
()2202af−=,即14a.②又()2112fa−=−−,33595922241.644faee=−−−,故对任意()1,4a,存在()1231,00,2xx−,,使()0gx=,即()22,
1,2iafxi−==,因此,()gx在12(,),(,)xx−+上递增,在()12,xx上递减,所以,极小值()()()2222222222221122221xxxeeebgxxxaxxfxx++====+++++.记函数()()21xehxx=+
,302x,则()()2021xxehxx=+,即()hx在30,2上递增,故()()320hhxh,即13255ebee,所以,1325be.【点睛】本题考查了函数的单调区间的求解,考查了结合导数证明不等式,考查了极值
的求解,考查了不等式恒成立问题.