【文档说明】浙江省宁波市十校2020届高三下学期3月联考数学试题【精准解析】.doc，共(20)页，2.190 MB，由小赞的店铺上传

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浙江省宁波市十校2020届高三3月联考数学试题参考公式：如果事件A，B互斥，那么()()()PABPAPB+=+如果事件A，B相互独立，那么()()()PABPAPB=如果事件A在一次试验中发生的概率是p，

那么n次独立重复试验中事件A恰好发生k次的概率()(1)(0,1,2,,)kknknnpkCppkn−=−=台体的体积公式11221()3VhSSSS=++其中12SS，分别表示台体的上、下底面积，h表示台体的高柱体的体积公式Vsh=其中S表示柱体的底面积，h表示柱体的高锥体的体积公式

13VSh=其中S表示锥体的底面积，h表示锥体的高球的表面积公式24SR=球的体积公式343VR=其中R表示球的半径一、选择题：本大题共10小题，每小题4分共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1.已知{|11}Pxx=−，{|02}Qxx=，

则PQ=（）A.(1,2)−B.(0,1)C.(1,0)−D.(1,2)【答案】B【解析】【分析】直接根据交集的定义计算PQ即可得到答案.【详解】因为{|11}Pxx=−，{|02}Qxx=，所以{|01}PQxx=.故选

：B.【点睛】本题考查集合的交运算，考查基本运算求解能力，属于容易题.2.双曲线22194xy−=离心率是（）A.133B.53C.23D.59【答案】A【解析】【分析】由标准方程求出c和a，继而可求离心率.【详解】解：2229413cab=+=+=，所以13c=.由29a=可知3a=.1

33cea==.故选:A.【点睛】本题考查了双曲线的标准方程，考查了离心率的求解.3.若xy，满足约束条件0262xyxyxy−++，则3zxy=+的最小值是（）A.4−B.2−C.2D.4【答案】B【解析】【分析

】由约束条件画出可行域，通过平移13yx=−分析即可得最优解，代回3zxy=+中即可求出最小值.【详解】解：画出可行域为如图所示的阴影部分.由3zxy=+可知1133yxz=−+.则当1133yxz=−+过()4,2C−时，min462z

=−=−.故选:B.【点睛】本题考查了线性规划.一般情况下，首先画出可行域，然后根据目标函数的几何意义，分析出最优解.这里在画可行域时应注意，边界线是实线还是虚线.4.已知某个几何体的三视图如下，根据图中标出的尺寸（单位：cm），可得这个几何体的体积

是（）A.343cmB.32cmC.383cmD.34cm【答案】C【解析】【分析】由三视图还原出几何体，依据锥体体积的公式即可求解.【详解】解：由三视图可知，该几何体为底面是正方形的四棱锥，高为2.所

以体积为3118222333VShcm===.故选:C.【点睛】本题考查了几何体体积的求解，考查了三视图.5.函数()()22xbafx−=的图像如图所示，则（）A.0,01abB.0,10.4ab−C.0,10ab−D.0,01

ab【答案】D【解析】【分析】由解析式及图像判断出01b，结合复合函数单调性，可知0a.【详解】解：由()()22xbafx−=可知，()()22xafxbfbx+=−=，所以函数对称轴为xb=，由图可知01b.设()2xbua−=，则()2ufu=.由图可知，

函数先增后减.因为()2ufu=单调递增，所以()2xbua−=应先增后减，故0a.故选:D.【点睛】本题考查了函数的图像，考查了复合函数的单调性.若()()fxafbx+=−，则该函数的对称轴为2abx+=；对于复合函数的单调性，遵循同增异减的原则.6.设aR，则“

2a=−”关于x的方程“20xxa++=有实数根”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】以2a=−为条件，判断20xxa++=有实数根是否成立；以20xxa++=有实数根为条件，判断2a=−是否成立，即可选出正确答案.

【详解】解：当2a=−时，1490a=−=，此时20xxa++=有实数根；当20xxa++=有实数根时，140a=−，即14a.故选:A.【点睛】本题考查了命题的充分必要条件的判断.一般此类问题分为两步，若p

q，则p是q的充分条件；若qp，则p是q的必要条件.7.正方体1111ABCDABCD−，P是线段1BD（不含端点）上的点.记直线PC与直线AB所成角为，直线PC与平面ABC所成角为，二面角PBCA−的平面角为，则（）A.B.

C.D.【答案】A【解析】【分析】不妨设P为1AC的中点，连接,ACBD交于O，做BC的中点为K，连接,,,,POPKPCPDKO,经过分析,,PCDPKOPCO===，从而可求出tan,tan,tan

，进而可比较三个角的大小.【详解】解：如图，不妨设P为1AC的中点，连接,ACBD交于O，做BC的中点为K，连接,,,,POPKPCPDKO，则PO⊥面ABCD.设正方体的边长为2a.由题意知,,PCD

PKOPCO===.KOPOa==，2COa=3PCCDa==，则tan1aa==；2223433cos3232aaaaa+−==则tan2=；2tan22POaCOa===.因为tantantan，所以.故选

:A.【点睛】本题考查了线线角，考查了线面角，考查了二面角.对于空间中角的问题，在求解时有两种思路，一是按定义直接找到所求角，结合正弦定理、余弦定理、三角函数等求解；二是结合空间向量求解.8.已知随机变量的分布列如下102a：012Pba−ba则（）A.()E有最小值12B.(

)E有最大值32C.()D有最小值0D.()D有最大值12【答案】D【解析】【分析】由所有概率之和为1求出12b=,进而可求()122Ea=+，()211442Da−−+=，结合102a，可求最值.【详解】解：由题意知，21babab−++==

，即12b=.则()()113022,222babaaE=−++=+，所以()E没有最值.()()222111021222222abaaDbaa=−−−+−−+−−

22111424442aaa=−++=−−+.由102a可知，当14a=时，()D有最大值为12.故选:D.【点睛】本题考查了分布列，考查了数学期望，考查了方差.对于分布列的题目，隐

藏条件为，所有概率之和为1.本题的难点是计算化简.9.从1，3，5，7中任取2个数字，从0，2，4，6，8中任取2个数字，组成没有重复数字的四位数，这样的四位数一共有（）个.A.576B.1296C.1632D.2020【答案】B【解析】【分析】分成两种情况：取出数字中无0和取出数字中有0.第一种

情况全排列即可；第二种情况下，千位有3种可能，再乘对剩余数字的全排列.两种情况的结果相加即可.【详解】解：当取出的4个数字中没0时，再组成四位数，这样的四位数有224444864CCA=个；当取出的4个数字中有0时，共有214424CC=中组合，这四位数字所组成的四位数有223318

A=个，所以这种情况下的四位数共有2418432=个.4328641296+=故选:B.【点睛】本题考查了排列与组合的综合应用.本题的易错点是忽略这个四位数，千位不能为零.10.数列na满足21121,nnnaaaanN++==−+，，则（）A.存在kN+，使1122kk

ka−−B.存在m，kN+，mkaka=C.存在m，,mkkNama+=D.121111naaa+++【答案】D【解析】【分析】由数列单调性的定义作差可得10nnaa+−，可得na为递增数列，又()2111n

nnnnaaaaa+=−−=−，两边取到数，结合裂项求和以及不等式的性质可选出正确选项.【详解】解：由题意知，()221211nnnnnaaaaa+−=−+=−.由于120a=，所以()210na−，则10nnaa+−，所以na为递增数列.211nnnaaa+=−+，()

2111nnnnnaaaaa+−=−=−，()11111111nnnnnaaaaa+==−−−−.即111111nnnaaa+=−−−，则12122311111111111111......11111

111nnnnaaaaaaaaaaa+++++=−+−++−=−−−−−−−−−1111na+=−−.由na为递增数列，可得1101na+−，则11111na+−−.即121111naaa+++故选

:D.【点睛】本题考查了数列递推式的应用，考查数列的单调性，考查了裂项求和，考查了化简运算能力和推理能力.本题的难点是对递推公式进行处理.非选择题部分（共110分）二、填空题：本大题共7小题，每小题4分，多空题每小题6分，共36分11.欧拉公式cossinixe

xix=+（i是虚数单位）是由瑞士著名数学家欧拉发现的，它将指数函数的定义域扩大到复数域，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里非常重要，被誉为“数字中的天桥”根据欧拉公式可知，2020ie=___________【答案】1

【解析】【分析】由已知可知2020cos2020sin2020iei=+，运用诱导公式可求出cos20201=，以及sin20200=，继而可求2020ie.【详解】解：由题意知，2020cos2020sin2020

iei=+，()cos2020cos021010cos01=+==，同理，sin2020sin00==.故2020cos2020sin20201iei=+=.故答案为:1.【点睛】本题考查了诱导公式，考查了三角函数求值，考

查了推理能力和计算能力.12.()()421xx++的展开式中项3x的系数为___________【答案】14【解析】【分析】由二项式定理写出()()421xx++的通向，求出通项中3x，即可求系数.【详解】解：()41+x展开式中的第1k+项为414kkkTCx−+=，则()(

)54444221kkkkxCxxxC−−=+++当2k=时，246C=；当1k=时，1428C=，8614+=.故答案为：14.【点睛】本题考查了二项式定理.做题关键是掌握二项展开式通项公式.13.在四边形ABCD中，12,34ABBCCDAD====，，，且120ABC=，则AC=____

_______，cosBCD=___________【答案】(1).7(2).2114−【解析】【分析】利用余弦定理求出AC的值，利用勾股定理逆定理判断90ACD=，由正弦定理和诱导公式即可求出cosBCD的值.【详解】解：在ABC中，由余弦定理可知2222cosACA

BBCABBCABC=+−即21422cos1207AC=+−=，7AC=.又2227916ACCDAD+=+==，所以90ACD=.由sinsinABACACBB=，可知1sin12021sin147ACB==.

()21coscos90sin14BCDACBACB=+=−=−.故答案为:7;2114−.【点睛】本题考查了余弦定理，考查了正弦定理，考查了诱导公式.本题的关键是判断90ACD=.在解三角形时，已知两边及其夹角或已知三边，一般套用余弦定

理求解；已知两角及一角的对边，常用正弦定理解三角形.14.已知直线()():10lykxk=+，椭圆22:143xyC+=，点()1,0F，若直线和椭圆有两个不同交点AB，，则ABF周长是___________，ABF的重心

纵坐标的最大值是___________【答案】(1).8(2).36【解析】【分析】由椭圆的定义可求出三角形的周长为224aaa+=；设()()1122,,,AxyBxy，联立直线与椭圆的方程，消去y，即可求出122643kyyk+=+，进

而可知重心纵坐标为1202334yyykk+==+，分0,0kk两种情况，结合基本不等式，即可求出033,00,66y−，从而可求出重心纵坐标的最大值.【详解】解：由题意知，可知()():10lykxk

=+恒过定点()1,0−，此点为椭圆的左焦点，记为'F.则'24,'24AFAFaBFBFa+==+==.所以ABF的周长为''448ABAFBFAFAFBFBF++=+++=+=.设()()1122,,,AxyBxy设ABF的重心纵

坐标为0y.则12120033yyyyy+++==.联立直线与椭圆方程得()221431xyykx+==+，整理得2236490yykk+−−=.则222363136414410kkk=++=+，

1222663434kkyykk+==++所以12022233434yykykkk+===++.当0k时，3424343kk+=，当且仅当34kk=，即32k=时，等号成立，此时023643y=；当k0时，()333442443kkkkkk

+=−−−−−−=−，当且仅当34kk−=−，即32k=−时，等号成立，此时023643y−=−.综上所述：033,00,66y−.所以ABF的重心纵坐标的最大值是36.故答案为:8;36.【点睛】本题考查

了椭圆的定义，考查了直线与椭圆的位置关系，考查了基本不等式.对于椭圆中的三角形问题，常结合椭圆的定义、性质以及解三角形的思路求解.本题的易错点是求出重心纵坐标的表达式时，未对k进行讨论.应用基本不等式时，一定要注意一正二定三相等.15.()121fxxx=−−+的值域为_______

____；若函数()()gxfxa=−的两个不同零点12,xx，满足12210xx−，则实数a的取值范围是___________【答案】(1).(,2−(2).15,2−【解析】【分析】将函数化为分段函数的形式，作出图像，即可

求出值域；依题意，()fxa=的零点必然在(,1−−和1,1−上或者(,1−−和)1,+上，分类讨论结合已知即可求出.【详解】解：()3,131,113,1xxfxxxxx+−=−−−−−，作出图像如下，由图像可知，函数的值域为(,2−.由

()0gx=得()fxa=，显然，零点必然在(,1−−和1,1−上或(,1−−和)1,+上，令12331xaxa+=−−=，解得12313xaax=−+=−，又12210xx−，则111719,,2222a−，由1

21,11xx−−，可得14,2a−；令1233xaxa+=−−=，解得1233xaxa=−=−−，又12210xx−，则5,11,5a−−，同时121,1xx−，

得5,4a−−.综上所述：15,2a−.故答案为：(,2−;15,2a−.【点睛】本题考查了函数值域的求法，考查函数零点与方程根的关系，考查不等式的求解，考查数形结合的思想，考查分类讨论思想以及运算求解的能力.求函数的值域时，一般采

用的思路有：图像法、导数法、结合函数的性质等.16.已知双曲线221:1Cxy−=，曲线222:xyCxyyx+=−，则曲线12,CC的交点个数是___________个，原点O与曲线2C上的点之间的距离最小值是___________

【答案】(1).0(2).2【解析】【分析】联立曲线12,CC的方程，通过配方法，解方程可判断交点个数；由两点的距离公式和三角换元，结合同角公式和二倍角公式，以及正弦函数的值域，可得所求最小值.【详解】解：联立方程组22221xyxyxyyx−=+=

−，整理可得，22xyxy+=，即2213024xyy−+=，由0xy可知方程无解，即两条曲线没有交点.设曲线2C上的点为(),xy，则原点与2C上的点之间的距离为22rxy=+.设cos,sinxryr==，02，代入2C得()()()222222cossin

cossincossinrrrrrr+=−整理得24411sin2cos2sin424rrr==.由sin41，可得241r，解得2r当sin41=时，r取最小值为2.故答案为:0;2.【点睛】本题考查曲线方

程的关系，考查两曲线的交点个数，考查了两点的距离公式.应注意运用方程思想和三角换元.本题计算量较大，计算容易出错.17.设向量()()1122,,,axybxy==，记1212*abxxyy=−，若圆22:240Cxyxy+−+=上的任意三点123AAA，，，

且1223AAAA⊥，则1223**OAOAOAOA+的最大值是___________【答案】16【解析】【分析】设()()()111222333,,,,,AxyAxyAxy,根据条件得13131,222xxyy++

==−,则()()122321321322**24OAOAOAOAxxxyyyxy+=+−+=+,所以当直线240xyb++=与圆相切时,24xy+有最大值,利用圆与直线的位置关系可求出最大值.【详解】解：由圆的方程得()

()22125xy−++=，则圆心()1,2C−，半径5r=.设()()()111222333,,,,,AxyAxyAxy，由1223AAAA⊥得13AA为直径，由此可得13131,222xxyy++==−，即13132,4xxyy+=+=−.则()()12

2321321322**24OAOAOAOAxxxyyyxy+=+−+=+，2A为圆上的一点，当直线240xyb++=与圆相切时，24xy+有最大值.则圆心到直线的距离28520bd−+==，解得16b=或4−.则当16b=时，24xy+有最大值为16.故答案为:16.【点睛】本题

考查了直线与圆的位置关系，考查平面向量的运算，考查转化的思想.本题的难点在于将24xy+的最值问题转化为直线与圆相切的问题.三、解答题18.设函数()sincos,Rfxxxx=+.（1）已知0,2，函数()fx+是奇函数，求的值；（2）若()22f=，求3f+

.【答案】（1）34=或74（2）232f+=【解析】【分析】（1）由三角恒等变换求得()2sin4fxx+=++，再由奇函数可知,4kkZ+=，结合0,2可求出

符合题意的的值.（2）由()22f=可求出1sin42+=，3cos42+=，则所求26sincos32424fa+=+++，即可求出值.【详解】解：（1）()

sincos2sin4fxxxx==++，()2sin4fxx+=++因为()fx+为奇函数，所以,4kkZ+=，解得,4kkZ=−+∵02∴当

0k=或1时，34=或74.（2）因为()22f=，所以22sin42+=，即1sin42+=，可得3cos42+=所以262sinsincos3432424fa

+=++=+++当3cos42+=时，23f+=；当3cos42+=−时，232f+=−.【点睛】本题考查了辅助角公式，考

查了三角恒等变换，考查了同角三角函数的基本关系，考查了正弦函数的奇偶性.若已知()()sinfxAx=+为奇函数，则,kkZ=；若已知()()sinfxAx=+为偶函数，则,2kkZ=+.19.如图，三棱锥PA

BC−中，PAC是正三角形，ABC是直角三角形，点D是PB的中点，且APBCPB=，2PAPB=.（1）求证：PBAC⊥；（2）求AD与平面PAC所成角的正弦值.【答案】（1）证明见解析（2）112

2【解析】【分析】（1）取AC的中点O，连接OBOP，，通过证明OPACOBAC⊥⊥，，则可证AC⊥面PBO，从而证明线线垂直.（2）由AC⊥面PBO可知二面角BPOA−−为直二面角，作DTOP⊥于T，则DT⊥平面PAC，连接TA，则DAT是AD和平面PAC所成的角，由此能求出AD和平

面PAC所成的角的正弦值.【详解】解：（1）证明：在APB△和CPB△中，∵APBCPBPAPCPBPB===，，，∴APBCPB△≌△，∴ABCB=.∴ABC为等腰直角三角形取AC的中点O，连接OBOP，，则OPACOBAC⊥⊥，，∴AC⊥面PBO，PB面PBO，∴PBAC⊥（2）∵AC

⊥面PBO，∴二面角BPOA−−为直二面角，作DTOP⊥于T，则DT⊥平面PAC，连接TA，则DAT为AD和平面PAC所成的角.设2PB=，则PAC的边长为4，22BABC==.PBO中，12232P

BOBOPDT====，，APB△中，4222PAABBP===，，，D为PB的中点，∴11AD=，在RtADT△中，11sin22DTDATAD==，故AD与平面PAC所成角的正弦值1122【点睛】本题考查了线线垂直的证明，考查了线面角的正弦值求法.证明线线垂直时，可利用勾股定

理、等腰三角形三线合一或者线面角的性质.求二面角时，有两种思路，一是直接找到二面角，在三角形内进行求解；二是建立空间直角坐标系，结合空间向量进行求解.20.设等差数列na的前n项和为nS，4324,aaS==.数列nb的前n项

和为nT，1nnTb+=，*nN.（1）求数列na，nb的通项公式；（2）记1,,nnnnacbn=为奇数为偶数，数列nc的前n项和为nW，证明：13nWn+.【答案】（1）nan

=；12nnb=（2）证明见解析【解析】【分析】（1）结合基本量法，将已知4324,aaS==用首项和公差表示出来，即可求出通项公式；由1nnTb+=推出111nnTb−−+=，两式相减进行整理可求出nb的通项公式.（2）求出nc，分别讨论n为奇数和偶数，

结合数列的分组求和，以及裂项法、放缩法，结合等比数列的求和公式和不等式的性质可证明.【详解】解：（1）∵4324aaS==，∴111ad==，，∴nan=∵1nnTb+=，∴111nnTb−−+=，两式相减得112b=，112nnbb−=，则12nnb=

（2）①当2nm=时，则形21111421kmmnmkkWWk====+−，∵111144111111434314mkmmk=−==−−，当2k时，1222123212

1212123kkkkkkk==−−−−−+−−+−∴()121121232121mmkkkkmk==+−−−=−−，∴112133nWmn+−+成立.②当21nm=−时，21213nmmWWWn−=+

成立.综上①②得：13nWn+【点睛】本题考查了等差数列通项公式，考查了等比数列的通项公式，考查了裂项求和，考查了分组求和，考查了放缩法.本题易错点在于第二问没对n取奇数和偶数进行讨论.21.已知点()0,Aa，0a，

抛物线()220xpyP=上点B处的切线交x轴于点P，且直线AB交抛物线于另一个点C，过点C作AP的平行线x轴于点Q.（1）证明：//AQBP；（2）记直线BP，CQ与x轴围成的三角形面积为1S，BOC的面积为2S，是否存在实

数，使12SS=？若存在，求实数的值若不存在，请说明理.【答案】（1）证明见解析（2）存在；12=【解析】【分析】（1）设()2002,2Bptpt，()2112,2Cppt，则可知直线BC的方程，由()0,Aa在BC可知012attp=，求

出22xPy=在B处的切线的方程可得()0,0Ppt，从而可求出直线CQ的方程，继而可得()1,0Qpt，由012AQBPaktkpt=−==可证明平行.（2）设直线,BPCQ相交于点T，则1PQTSS=,四边形AQTP为平行四边形，

由此推导出存在12=使得12SS=.【详解】解：（1）证明：设()2002,2Bptpt，()2112,2Cppt，则直线BC的方程为()01012yttxptt=+−由()0,Aa在BC可知，012attp=，又22xPy=在B处

的切线的方程为20022ytxpt=−，令0y=可得0pxPt=即()0,0Ppt∴0APakpt=−.直线CQ的方程为()()2111102222ayptxpttxptpt−=−−=−，令0y=可得1Qxpt=即()1,0Qpt∴012AQBPaktkp

t=−==即AQBP∥（2）设BP和CQ相交于点T则1PQTSS=△，由（1）可知，四边形AQTP为平行四边形∴1101122PQTAQPQPSSSOAxxaptt===−=−，∵21011222OBCBCSSOAxxaptt==−=−，∴1212=SS，即存在1

2=【点睛】本题考查了线线平行的证明，考查了直线方程，考查了直线与抛物线的关系.本题计算量较大，应注意计算的准确性，避免出错.在解析几何中，若证明两条直线平行，通常的思路是利用斜率相等或者两条直线斜率都不存在.

22.已知函数()()2112xfxxex−=+−，其中2.71828e为自然对数的底.（1）试求函数()fx的单调区；（2）若函数()212xegxxxa+=++的定义域为R，且存在极小值b.①求实数a

的取值范围；②证明：1325be.（参考数据：1.641.65e）【答案】（1）函数()fx在区间(,0]−上单调递增，在区间(0,)+上单调递减（2）①()1,4a②证明见解析【解析】【分析】（1）

求出导数为()(1)xxfxxexxe−−=−−=−+，令导数为零，解方程，结合函数的定义域，可探究'(),()fxfx随x的变化情况，即可求出单调区间.（2）①由定义域为R可知220xxa++恒成立，所以440a=−△，可求出1a

，求出()()()()22222212xxaexgxxxa+−−+=++，令()0gx=得()22afx−=，结合第一问的单调性可知()2202af−=，即14a.②由()2112fa−=−−及33592221.644fa−−可知存在()1231

,00,2xx−，，使()0gx=，则极小值()()()2222222222221122221xxxeeebgxxxaxxfxx++====+++++.结合导数可证明()()21xehxx=+在302x上递增，从而可求

13255ebee.【详解】（1）求导得()(1)xxfxxexxe−−=−−=−+，由()0fx=，解得0x=.当0x时，()0fx；当0x时，()0fx.又因为函数()fx的定义域为R，故函数()fx在区间(,0]−上单调递增，在区间(

0,)+上单调递减.（2）①因为函数()gx的定义域为R，则220xxa++恒成立故440a=−△，即1a又()()()()()()()()2222222221122122xxxxxaxexaexgxxxaxxae++−+++−−+==++++则()0gx

=等价于()()22212xaxexfx−−=+−=，由（1）知()2yfx=在(,0]−上递增，在(0,)+上递减，故函数()gx存在极小值，必有()2202af−=，即14a.②又()2112fa−=−−，33595922241

.644faee=−−−，故对任意()1,4a，存在()1231,00,2xx−，，使()0gx=，即()22,1,2iafxi−==，因此，()gx在12(,),(,)xx−+上递增，在()12,xx上递减，所以，极小值()()

()2222222222221122221xxxeeebgxxxaxxfxx++====+++++.记函数()()21xehxx=+，302x，则()()2021xxehxx=+，即()hx在30,2

上递增，故()()320hhxh，即13255ebee，所以，1325be.【点睛】本题考查了函数的单调区间的求解，考查了结合导数证明不等式，考查了极值的求解，考查了不等式恒成立问题.