【文档说明】2023年高考数学一轮总复习考点探究与题型突破 第27讲　函数y＝Asin（ωx＋φ）的图象及三角函数模型的简单应用 精品讲义含解析【高考】.docx，共(33)页，3.506 MB，由小赞的店铺上传

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1第27讲函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及三角函数模型的简单应用1．函数y＝Asin(ωx＋φ)的有关概念y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)振幅周期频率相位初相AT＝2πωf＝1T＝ω2πωx＋φφ2．用五点法画y＝Asin(ωx＋φ)(A

>0，ω>0)一个周期内的简图用五点法画y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)一个周期内的简图时，要找五个关键点，如下表所示：ωx＋φ0π2π3π22πx－φωπ2ω－φωπ－φω3π2ω－φω2π－φωy＝Asin(ωx＋φ)0A0－A0五点法作图的步骤用“五点法”作函数y＝

Asin(ωx＋φ)的简图，精髄是通过变量代换，设z＝ωx＋φ，由z取0，π2，π，3π2，2π来求出相应的x，通过列表，计算得出五点坐标，描点后得出图象，其2中相邻两点的横向距离均为T4.3．由函数y＝sinx的图象通过变换

得到y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的图象的两种方法➢考点1函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及变换[名师点睛]作函数y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的图象常用如下两种方法：(1)五点法作图：用“五点法”作y＝As

in(ωx＋φ)的简图，主要是通过变量代换，设z＝ωx＋φ，由z取0，π2，π，32π，2π来求出相应的x，通过列表，计算得出五点坐标，描点后得出图象；(2)图象的变换法：由函数y＝sinx的图象通过变换得到y＝Asin(ωx＋φ)的图象有两种途径：“

先平移后伸缩”与“先伸缩后平移”．[典例]1．（2022·浙江·高考真题）为了得到函数2sin3yx=的图象，只要把函数π2sin35yx=+图象上所有的点（）A．向左平移π5个单位长度B．向右平移π5个单位长度C．向左平移π15个单位长度D．向右平移π15个单位长度32．（2022·

安徽·合肥市第八中学模拟预测（文））若函数()()sinfxx=+(其中0,||2)图象的一个对称中心为,03，其相邻一条对称轴方程为712x=，且函数在该对称轴处取得最小值，为了得到(

)cos26gxx=+的图象，则只要将f（x）的图象（）A．向右平移12个单位长度B．向左平移12个单位长度C．向右平移6个单位长度D．向左平移6个单位长度[举一反三]1．（2022·湖北·荆州中学三模）要得到

函数2cos2yx=的图象，只需将函数2sin24yx=+的图象（）A．向左平移8个单位B．向右平移8个单位C．向左平移4个单位D．向右平移4个单位2．（2022·全国·高三专题练习）由函数sin2yx=的图象经过图象变换得到函数πsin4yx=+

的图象，则这个变换过程为（）A．向左平移π8个单位长度，把所有点的横坐标扩大为原来的2倍（纵坐标不变）B．向左平移π4个单位长度，把所有点的横坐标扩大为原来的2倍（纵坐标不变）C．把所有点的横坐标缩小为原来的12（纵坐标不变），向左平移π4个单位长度D．把所有点的横坐标缩小为原来的1

2（纵坐标不变），向左平移π8个单位长度3．（2022·河北唐山·高三期末）为了得到函数sin2yx=的图像，只需把函数sin22yx=+的图像（）A．向左平移2个单位B．向右平移2个单位C．向左平移4个单位D．向右移4个单

位➢考点2由图象求解析式[名师点睛]4确定y＝Asin(ωx＋φ)＋b(A＞0，ω＞0)的步骤和方法(1)求A，b，确定函数的最大值M和最小值m，则A＝M－m2，b＝M＋m2.(2)求ω，确定函数的最小正周期T，则可得ω＝2πT.(3)求φ，常用的方法有：①代入法：把图

象上的一个已知点代入(此时A，ω，b已知)或代入图象与直线y＝b的交点求解(此时要注意交点在上升区间上还是在下降区间上)；②特殊点法：确定φ值时，往往以寻找“最值点”为突破口．具体如下：“最大值点”(即图象的“峰点”)时ωx＋φ＝π2＋2kπ(k∈Z)；“最小值点”(即图象

的“谷点”)时ωx＋φ＝3π2＋2kπ(k∈Z)．[典例]1．（2022·广东茂名·二模）已知函数π()3sin(2)(||)2fxx=+的部分图象如图所示．将函数()fx的图象向左平移π12个单位得到()gx

的图象，则（）A．()3sin(2)6gxx=+）B．()3sin(2)12gxx=+C．()3cos2gxx=−D．()3cos2gxx=2．（2022·浙江·高三专题练习）已知函数()()sin0,0,2fxAxA

=+在一个周期内的图象如图所示.5（1）求()fx的解析式；（2）将函数()yfx=的图象向右平移6个单位长度后，得到函数()ygx=的图象，求()gx在0,上的单调递增区间.6[举一反三]1．（2022·山东潍坊·模拟预测）函数()(

)sin0,0,2fxAxA=+的部分图像如图所示，现将()fx的图像向左平移6个单位长度，得到函数()gx的图像，则()gx的表达式可以为（）A．()2sin2gxx=B．()2cos23gxx=−

C．()2sin6gxx=−D．()2cos3gxx=+2．（2022·广东惠州·高三阶段练习）已知函数()()sin0,0,2fxAxA=+的部分图像如图所示，则将()fx的图像向左平移12个单位后

，所得图像的函数解析式为（）A．3sin446yx=−B．3cos44yx=C．3sin244yx=+D．3cos44yx=−3．（2022·河北·模拟预测）已知函数()()()sin0,0fxx=+的图象过点,03

，7且相邻两个零点的距离为.若将函数()fx的图象向左平移3个单位长度得到()gx的图象，则函数()gx的解析式为___________.4．（2022·全国·高三专题练习）函数()()sin0,0,2fxAxA=+的部分

图象如图所示，若将()fx图象上的所有点向左平移12个单位得到函数()gx的图象，则函数()gx=___________.➢考点3函数y＝Asin(ωx＋φ)图象与性质的综合应用[名师点睛]先将y＝f(x)化为y＝Asin(ωx＋φ)＋B

的形式，再借助y＝Asin(ωx＋φ)的图象和性质(如定义域、值域、最值、周期性、对称性、单调性等)解决相关问题．[典例]1．（多选）（2022·江苏徐州·模拟预测）已知函数()cos(2)1(0,0)fxAxA=+−，若函数|()|y

fx=的部分图象如图所示，则关于函数()sin()gxAAx=−，下列结论中正确的是（）A．函数()gx的图象关于直线6x=对称B．函数()gx的图象关于点,03对称8C．函数()gx在区间0,2

上的减区间为0,12D．函数()gx的图象可由函数()1yfx=+的图象向左平移6个单位长度而得到2．（2022·湖北·襄阳五中模拟预测）已知数2()3sin2sin1(0)6212xfxx=+++−的相邻两

对称轴间的距离为2.(1)求()fx的解析式；(2)将函数()fx的图象向右平移6个单位长度，再把各点的横坐标缩小为原来的12（纵坐标不变），得到函数()ygx=的图象，当,126x−时，求函数()gx的值域；(3)对

于第（2）问中的函数()gx，记方程4()3gx=在4,63x上的根从小到大依次为12,,nxxx，若m=1231222nnxxxxx−+++++，试求n与m的值.9[举一反三]1．（2022·天津·高考真

题）已知1()sin22fxx=，关于该函数有下面四个说法：①()fx的最小正周期为2π；②()fx在ππ[,]44−上单调递增；③当ππ,63x−时，()fx的值域为33,44−；④()fx的图象可由1πg()sin(2)24xx=+的图象向左平移π8个单

位长度得到．以上四个说法中，正确的个数有（）A．1B．2C．3D．42．（2022·江苏南京·高三开学考试）设函数ln,0()sin,04xxxfxxx+=+−有5个不同的零点，则正实数的取值范围

为（）A．1317[,)44B．1317(,)44C．1317(,]44D．1317[,]443．（多选）（2022·湖南·岳阳市教育科学技术研究院三模）若函数()π2sin26fxx=+的图象向右平移π4个单位长

度后，得到函数()ygx=的图象，则下列关于函数()gx的说法中，错误的是（）A．数()gx的图象关于直线7π24x=对称B．函数()gx的图象关于点π,024对称C．函数()gx的单调递增区间为ππ2π,2π,412kkkZ

−++D．函数5π12gx+是偶函数4．（2022·重庆八中模拟预测）已知函数()sin()0,0,||2fxAxBA=++的部分10图象如图所示．(1)求函数()fx的解析式；(2)将函数(

)yfx=的图象上所有的点向右平移12个单位，再将所得图象上每一个点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），得到函数()ygx=的图象．当130,6x时，方程()0gxa−=恰有三个不相等的实数根()123

123,,xxxxxx，求实数a的取值范围和1232xxx++的值．11➢考点4三角函数模型及其应用[名师点睛]三角函数模型在实际应用中体现的两个方面(1)已知函数模型，利用三角函数的有关性质解决问题，其关键是准确理解

自变量的意义及自变量与因变量之间的对应法则；(2)需要建立精确的或者数据拟合的模型去解决问题，尤其是利用已知数据建立拟合函数解决实际问题，此类问题体现了数学建模核心素养，考查应用意识．[典例]1．（2022·北京东城·三模）如图，某摩天轮最高点距离地

面高度为120m，转盘直径为110m，开启后按逆时针方向匀速旋转，旋转一周需要30min.游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱，开始转动tmin后距离地面的高度为Hm，则在转动一周的过程中，高度H关于时间t的函数解析式是（）A．()55cos()650

30152Htt=−+B．()55sin()65030152Htt=−+C．()55cos()65030102Htt=−++D．()55sin()65030102Htt=−++2．（2022·上海·华东师范大学附属东昌中

学高三阶段练习）降噪耳机主要有主动降噪耳机和12被动降噪耳机两种.其中主动降噪耳机的工作原理是：先通过微型麦克风采集周围的噪声，然后降噪芯片生成与噪声振幅相同、相位相反的反向声波来抵消噪声（如图所示）.已知某噪声的声波曲线是()()2sin0,03fxAxA=+

，其中的振幅为2，且经过点()1,2.−(1)求该噪声声波曲线的解析式()fx以及降噪芯片生成的降噪声波曲线的解析式()gx；(2)先将函数()fx图象上各点的横坐标变为原来的3倍，纵坐标不变，再将所得函数图象向右

平移6个单位，得到函数()hx的图象．若锐角满足()1013h=−，求sin2的值．13[举一反三]1．（2022·天津滨海新·高三阶段练习）筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，既经济又环保.明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理（图1）.假定在

水流量稳定的情况下，筒车上的每一个盛水筒都做匀速圆周运动.如图2，将筒车抽象为一个半径为R的圆，设筒车按逆时针方向每旋转一周用时120秒，当0=t时，盛水筒M位于点0(3,33)P−，经过t秒后运动到点(,)Pxy，点P的纵坐标满足()yft

=sin()Rt=+（0t，0，||2），则下列叙述不正确的是（）A．筒车转动的角速度60=B．当筒车旋转100秒时，盛水筒M对应的点P的纵坐标为23−C．当筒车旋转100秒时，盛水筒

M和初始点0P的水平距离为6D．筒车在(0,60]秒的旋转过程中，盛水筒M最高点到x轴的距离的最大值为62．（2022·山东·烟台二中高三期末）武威“天马之眼”摩天轮，于2014年5月建成运营．夜间的“天马之眼”摩天轮美轮

美奂，绚丽多彩，气势宏大，震撼人心，是武威一颗耀眼的明珠．该摩天轮直径为120米，摩天轮的最高点距地面128米，摩天轮匀速转动，每转动一圈需要t分钟，若小夏同学从摩天轮的最低点处登上摩天轮，从小夏登上摩天轮的时刻开始计时．

14(1)求小夏与地面的距离y（米）与时间x（分钟）的函数关系式；(2)在摩天轮转动一圈的过程中，小夏的高度在距地面不低于98米的时间不少253分钟，求t的最小值第27讲函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及三角函数模型的简单应用1．函数y＝Asin(ωx＋φ)的有关概念y＝Asin(ω

x＋φ)(A>0，ω>0)振幅周期频率相位初相AT＝2πωf＝1T＝ω2πωx＋φφ2．用五点法画y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)一个周期内的简图用五点法画y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)一个周期内的简图时，要找五个关键点

，如下表15所示：ωx＋φ0π2π3π22πx－φωπ2ω－φωπ－φω3π2ω－φω2π－φωy＝Asin(ωx＋φ)0A0－A0五点法作图的步骤用“五点法”作函数y＝Asin(ωx＋φ)的简图，精髄是通过

变量代换，设z＝ωx＋φ，由z取0，π2，π，3π2，2π来求出相应的x，通过列表，计算得出五点坐标，描点后得出图象，其中相邻两点的横向距离均为T4.3．由函数y＝sinx的图象通过变换得到y＝Asin

(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的图象的两种方法➢考点1函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及变换[名师点睛]作函数y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的图象常用如下两种方法：(1)五点法作图：用“五点法”作y

＝Asin(ωx＋φ)的简图，主要是通过变量代换，设z＝ωx＋φ，由z取0，π2，π，32π，2π来求出相应的x，通过列表，计算得出五点坐标，描点后得16出图象；(2)图象的变换法：由函数y＝sinx的图象通过变换得到y＝Asin(ωx＋φ)的图象有两种途径：“先

平移后伸缩”与“先伸缩后平移”．[典例]1．（2022·浙江·高考真题）为了得到函数2sin3yx=的图象，只要把函数π2sin35yx=+图象上所有的点（）A．向左平移π5个单位长度B．向右平移π5个单位长度C．向左

平移π15个单位长度D．向右平移π15个单位长度【答案】D【解析】因为ππ2sin32sin3155yxx==−+，所以把函数π2sin35yx=+图象上的所有点向右平移π15个单位长

度即可得到函数2sin3yx=的图象．故选：D.2．（2022·安徽·合肥市第八中学模拟预测（文））若函数()()sinfxx=+(其中0,||2)图象的一个对称中心为,03，其相邻

一条对称轴方程为712x=，且函数在该对称轴处取得最小值，为了得到()cos26gxx=+的图象，则只要将f（x）的图象（）A．向右平移12个单位长度B．向左平移12个单位长度C．向右平移6个单位长度D．向左平移6个单位长度【答案】D【解析】解：函数()fx图象的一个

对称中心为,03，其相邻一条对称轴方程为712x=，所以1274123=−，所以2=.因为函数()fx在712x=时取得最小值，所以732+=2122k+，Zk，∴=23k+，Zk17∵||2∴3=∴()si

n(2)cos(2)cos(2)3326fxxxx=+=+−=−根据平移变换规律可知，()fx向左平移6个单位，可得函数cos266yx=+−，所以()fx向左平移6个单位可得()cos26gxx=+的图象，故选：D.

[举一反三]1．（2022·湖北·荆州中学三模）要得到函数2cos2yx=的图象，只需将函数2sin24yx=+的图象（）A．向左平移8个单位B．向右平移8个单位C．向左平移4个单位D．向右平移4个单位【答案】A【解析】2cos22sin22sin224yxxx

==+=+，所以2sin24yx=+的图象向左平移8个单位得：2sin22sin2842yxx=++=+.故选：A.2．（2022·全国·高三专题练习）由函数sin2yx=的图象经过图象变

换得到函数πsin4yx=+的图象，则这个变换过程为（）A．向左平移π8个单位长度，把所有点的横坐标扩大为原来的2倍（纵坐标不变）B．向左平移π4个单位长度，把所有点的横坐标扩大为原来的2倍（纵

坐标不变）C．把所有点的横坐标缩小为原来的12（纵坐标不变），向左平移π4个单位长度D．把所有点的横坐标缩小为原来的12（纵坐标不变），向左平移π8个单位长度【答案】A【解析】sin2yx=的图象经过图象变换得到函数πsin4yx=+的图象,18可先平移后伸缩：将函数图象向左平

移π8个单位长度得ππsin2()sin(2)84yxx=+=+，再将所有点的横坐标扩大为原来的2倍（纵坐标不变），即可得到πsin4yx=+的图象；先伸缩后平移：把所有点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），得到1si

n2sin2yxx==，再将图象左移π4个单位，得到πsin4yx=+的图象.故选：A3．（2022·河北唐山·高三期末）为了得到函数sin2yx=的图像，只需把函数sin22yx=+的图像（）A．向左平移2个单位B．向右平移2个单位C

．向左平移4个单位D．向右移4个单位【答案】D【解析】因为：sin2sin224yxx=+=+．所以：函数sin22yx=+的图象向右平移4个单位，可得到函数sin2yx=的图象．

故选:D.➢考点2由图象求解析式[名师点睛]确定y＝Asin(ωx＋φ)＋b(A＞0，ω＞0)的步骤和方法(1)求A，b，确定函数的最大值M和最小值m，则A＝M－m2，b＝M＋m2.(2)求ω，确定函数的最小正周期T，则可得ω＝2πT

.(3)求φ，常用的方法有：①代入法：把图象上的一个已知点代入(此时A，ω，b已知)或代入图象与直线y＝b的19交点求解(此时要注意交点在上升区间上还是在下降区间上)；②特殊点法：确定φ值时，往往以寻找“最值点”为突破口．具体如下：“最大值点”(即图象的“峰点”)时ωx＋φ＝π2＋2kπ(k∈Z

)；“最小值点”(即图象的“谷点”)时ωx＋φ＝3π2＋2kπ(k∈Z)．[典例]1．（2022·广东茂名·二模）已知函数π()3sin(2)(||)2fxx=+的部分图象如图所示．将函数()fx的图象向左平移π12个单位得到()gx的图象，则（）A．()3sin(2)6g

xx=+）B．()3sin(2)12gxx=+C．()3cos2gxx=−D．()3cos2gxx=【答案】D【解析】由图象知，3(0)2f=，∵π()3sin(2)(||)2fxx=+，∴33(0)3sin,sin22f===，又π||2，∴π3=，

∴π()3sin(2)3fxx=+，∵将函数()fx的图象向左平移π12个单位得到()gx的图象，∴ππ()3sin[2()]3cos2123gxxx=++=，故选：D．202．（2022·浙江·高三专题练习）已知函数()()sin0,0,2fxAxA

=+在一个周期内的图象如图所示.（1）求()fx的解析式；（2）将函数()yfx=的图象向右平移6个单位长度后，得到函数()ygx=的图象，求()gx在0,上的单调递增区间.【解】（1）

由图可得函数()fx的最小正周期为11521212T=−=，所以，22T==，552sin0126f=+=，则5sin06+=，22−，则54363+，56+=，则6π=，所以，()sin26f

xAx=+，因为()10sin162fAA===，所以，2A=，所以，()2sin26fxx=+；（2）由题意可得()2sin22sin2666gxxx=−+=−

，令222262kxk−+−+，kZ，得63kxk−++，kZ，记(),63ZAkkk−+=+，则50,0,,36A=.因此，函数()gx

在0,上的增区间是0,3、5,6.[举一反三]1．（2022·山东潍坊·模拟预测）函数()()sin0,0,2fxAxA=+的部分图像如21图所示，现将()fx的图像向左平移6个单位长度，得到函数()gx的图

像，则()gx的表达式可以为（）A．()2sin2gxx=B．()2cos23gxx=−C．()2sin6gxx=−D．()2cos3gxx=+【答案】B【解析】由图像可知：()

max2fx=，2A=；又()02sin1f==−，1sin2=−，又2，6=−，772sin012126f=−=，由五点作图法可知：7126−=，

解得：2=，()2sin26fxx=−；()2sin22sin22cos2666626gxfxxxx=+=+−=+=−+2co

s22cos233xx=−=−.故选：B.2．（2022·广东惠州·高三阶段练习）已知函数()()sin0,0,2fxAxA=+的部分图像如图所示，则将()fx的图像向左平移12个单位后

，所得图像的函数解析式为（）22A．3sin446yx=−B．3cos44yx=C．3sin244yx=+D．3cos44yx=−【答案】B【解析】由题0,0A，2由图34A=，3324432482TT=−−====

，0sin02466f−=−+==所以()3sin446fxx=+，向左平移12个单位后，得到333sin4sin4cos44126424yxxx=++=+=故选：B.3．（20

22·河北·模拟预测）已知函数()()()sin0,0fxx=+的图象过点,03，且相邻两个零点的距离为.若将函数()fx的图象向左平移3个单位长度得到()gx的图象，则函数()gx的解析式为___________.【答案】()singxx=−【解析】

()fx的相邻两个零点的距离为，()fx的最小正周期2T=，1=；又sin033f=+=，()Z3kk+=，解得：()Z3kk=−，23又0，23=，()2sin3fxx=+，()()sinsin3gx

fxxx=+=+=−.故答案为：()singxx=−.4．（2022·全国·高三专题练习）函数()()sin0,0,2fxAxA=+的部分图象如图所示，若将()fx图象上的所有

点向左平移12个单位得到函数()gx的图象，则函数()gx=___________.【答案】cos2x【解析】根据函数π()sin()(0,0,||)2fxAxA=+的部分图象，可得1A=，1274

123=−，2=．再结合五点法作图，可得23+=，3=，()sin(2)3fxx=+．将()fx图象上的所有点向左平移12个单位得到函数()sin(2)cos22gxxx=+=的图象，故答案为：cos2x．➢考点3函数y＝Asin(ωx＋φ)图象与性质的综合应

用[名师点睛]先将y＝f(x)化为y＝Asin(ωx＋φ)＋B的形式，再借助y＝Asin(ωx＋φ)的图象和性质(如定义域、值域、最值、周期性、对称性、单调性等)解决相关问题．[典例]1．（多选）（2022·江苏徐州·模拟预测）已知函数()cos(2)1(0

,0)fxAxA=+−，24若函数|()|yfx=的部分图象如图所示，则关于函数()sin()gxAAx=−，下列结论中正确的是（）A．函数()gx的图象关于直线6x=对称B．函数()gx的图象关于点,03对称C．函数()gx在区间0,2上的减区间为

0,12D．函数()gx的图象可由函数()1yfx=+的图象向左平移6个单位长度而得到【答案】BC【解析】根据函数图象可得：1311AA+=−=，∴2A=，()2cos(2)1fxx=+−，又()02cos12,0πf=−=，故23=，所以

2()2sin2,3gxx=−对称轴为22326xkx−=+=，时56kZ=−，故A项错．22,332kxkxkZ−==+,，∴()gx关于,03对称，故B项对．函数()gx的单调递减区间为325222,2321212kxkkxk

−+−−+−++，0k=时()gx在0,12单调递减，故C项对．212cos22cos2()633fxxxgx++=++=−，故D项错．故

选：BC.2．（2022·湖北·襄阳五中模拟预测）已知数2()3sin2sin1(0)6212xfxx=+++−的相邻两对称轴间的距离为2.(1)求()fx的解析式；(2)将函数()fx的图象向右平

移6个单位长度，再把各点的横坐标缩小为原来的12（纵坐标不变），得到函数()ygx=的图象，当,126x−时，求函数()gx的值域；25(3)对于第（2）问中的函数()gx，记方程4()3gx=在4,63x上的根从小到大依次为12,,nxxx，若

m=1231222nnxxxxx−+++++，试求n与m的值.【解析】(1)由题意，函数21()3sin()2sin()1626fxxx=+++−3sin()cos()2sin()2sin6666xxxx

=+−+=+−=因为函数()fx图象的相邻两对称轴间的距离为2，所以T=，可得2=.故()2sin2fxx=(2)将函数()fx的图象向右平移6个单位长度，可得2sin(2)3yx=−的图象.再把橫坐标缩小为原来的12，得到函数()2sin(4)

3ygxx==−的图象.当,126x−时，24,333x−−，当432x−=−时，函数()gx取得最小值，最小值为2−，当433x−=时，函数()gx取得最大值，最大值为3，故函数()gx的值域2,3−.(3)由方程

4()3gx=，即42sin(4)33x−=，即2sin(4)33x−=，因为4,63x，可得4,533x−，设43x=−，其中,53，即2sin3=，结合正弦函数sinyx=的图象，可

得方程2sin3=在区间,53有5个解，即5n=，其中122334453,5,7,9+=+=+=+=，即12233445443,445,447,44933333333xxxxxxxx

−+−=−+−=−+−=−+−=26解得1223344511172329,,,12121212xxxxxxxx+=+=+=+=所以m=()()()()1212345233445223220xxxxxxxxxxxxx=++++++++++++=.综上，2053nm

==，[举一反三]1．（2022·天津·高考真题）已知1()sin22fxx=，关于该函数有下面四个说法：①()fx的最小正周期为2π；②()fx在ππ[,]44−上单调递增；③当ππ,63x−时，()fx的值域为33,44−；④()fx的图象可由1πg

()sin(2)24xx=+的图象向左平移π8个单位长度得到．以上四个说法中，正确的个数有（）A．1B．2C．3D．4【答案】A【解析】因为1()sin22fxx=，所以()fx的最小正周期为2ππ2T==，①不正确；令ππ2,22tx=−，而1sin2yt=在

ππ,22−上递增，所以()fx在ππ[,]44−上单调递增，②正确；因为π2π2,33tx=−，3sin,12t−，所以()31,42fx−，③不正确；由于

1π1πg()sin(2)sin22428xxx=+=+，所以()fx的图象可由1πg()sin(2)24xx=+的图象向右平移π8个单位长度得到，④不正确．故选：A．2．（2022·江苏南京·高三开学考试）设函数ln,0()sin,04xxxfxxx+=

+−有5个不同的零点，则正实数的取值范围为（）A．1317[,)44B．1317(,)4427C．1317(,]44D．1317[,]44【答案】A【解析】由题，当0x时，()lnfxxx=+，显然单调递增，且11ln1001010f=−

，()22ln20f=+，所有此时()fx有且只有一个零点，所有当0x−时，()sin4fxx=+有4个零点，令()0fx=，即,4xkkZ+=，解得4,kxkZ

−+=，由题可得0x−区间内的4个零点分别是0,1,2,3k=−−−，所以−即在34kk=−=−与之间，即3444−−−−−−，解得131744故选：A3．（多选）（2022·湖南·岳阳市教育科学技术研究院三模）若

函数()π2sin26fxx=+的图象向右平移π4个单位长度后，得到函数()ygx=的图象，则下列关于函数()gx的说法中，错误的是（）A．数()gx的图象关于直线7π24x=对称B．函数()gx的图象关于点π,0

24对称C．函数()gx的单调递增区间为ππ2π,2π,412kkkZ−++D．函数5π12gx+是偶函数【答案】ABC【解析】由题意得：()πππ2sin22sin2263gxxx=−+=−，将7π24x=代入()gx得：7π7πππ

2sin2sin2241234g=−=故A错误；28将π24x=代入()gx得：ππππ2sin2sin2241234g=−=−=−，B错误；令πππ2π22π,232kxkkZ−+−+，解得

：π5πππ,1212kxkkZ−++，故(gx）的单调递增区间不是ππ2π,2π,412kkkZ−++，C错误；5π5πππ2sin22sin22cos212632gxxxx+=+−

=+=，为偶函数，D选项正确.故选：ABC4．（2022·重庆八中模拟预测）已知函数()sin()0,0,||2fxAxBA=++的部分图象如图所示．(1)求函数(

)fx的解析式；(2)将函数()yfx=的图象上所有的点向右平移12个单位，再将所得图象上每一个点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），得到函数()ygx=的图象．当130,6x时，方程()0gxa−=恰有三个不相等的实数根(

)123123,,xxxxxx，求实数a的取值范围和1232xxx++的值．【解】(1)解：由图示得：515+12,322AB−====，又71212122T=−=，所以T=，所以22T==，所以()2sin(2)3fxx=++，又因为()f

x过点,512，所以52sin2312=++，即πsinφ16骣琪+=琪桫，所以2,62kkZ+=+，解得2,3kkZ=+，又||2，所以3=，所以()2sin233fxx=++；(2)解：由已

知得()2sin36gxx=++，29当130,6x时，7,663x+，令7,663tx=+，则2sin32sin36xt++=+，令()2sin3htt=+，则2sin3466

h=+=，2sin3522h=+=，332sin3122h=+=，772sin33+333h=+=，所以43+3a，，因为()0hta−=有三个不同的实数根()1231

23,,tttttt，则12312,22tttt+===+，所以12324ttt++=，即12324666xxx+++++=，所以123102

3xxx++=．➢考点4三角函数模型及其应用[名师点睛]三角函数模型在实际应用中体现的两个方面(1)已知函数模型，利用三角函数的有关性质解决问题，其关键是准确理解自变量的意义及自变量与因变量之间的对应法则；(2)需要建立精确的或者数据拟合的模型去解决问题，尤

其是利用已知数据建立拟合函数解决实际问题，此类问题体现了数学建模核心素养，考查应用意识．[典例]1．（2022·北京东城·三模）如图，某摩天轮最高点距离地面高度为120m，转盘直径为110m，开启后按逆时针方向匀速旋转，旋转一周需要30min.游客在座舱转到距离地面最近的位置

进舱，开始转动tmin后距离地面的高度为Hm，则在转动一周的过程中，高度H关于时间t的函数解析式是（）30A．()55cos()65030152Htt=−+B．()55sin()65030152Htt=−+C．()55cos()65030102Htt=−++

D．()55sin()65030102Htt=−++【答案】B【解析】解：根据题意设，()()sin()030HtAtBt=++，因为某摩天轮最高点距离地面高度为120m，转盘直径为110m，所以，该摩天轮最低点距离地面高度为10m，所以

12010ABAB+=−+=，解得55,65AB==，因为开启后按逆时针方向匀速旋转，旋转一周需要30min，所以，230T==，解得15=，因为0=t时，()010H=，故1055sin65=+，即sin1=−，解得2,Z2kk=−+.所以，(

)()55sin()65030152Httt=−+故选：B2．（2022·上海·华东师范大学附属东昌中学高三阶段练习）降噪耳机主要有主动降噪耳机和被动降噪耳机两种.其中主动降噪耳机的工作原理是：先通过微型麦克风采集周围的噪声，然后降噪芯片生成与噪声振幅相同、相位相反的反向声波

来抵消噪声（如图所示）.已知某31噪声的声波曲线是()()2sin0,03fxAxA=+，其中的振幅为2，且经过点()1,2.−(1)求该噪声声波曲线的解析式()fx以及降噪芯片生成

的降噪声波曲线的解析式()gx；(2)先将函数()fx图象上各点的横坐标变为原来的3倍，纵坐标不变，再将所得函数图象向右平移6个单位，得到函数()hx的图象．若锐角满足()1013h=−，求sin2的值．【解】(1)解：由已知可得2A=，()212sin2

3f=+=−，可得2sin13+=−，所以，()232Z32kk+=+，得()52Z6kk=+，因为0，则56=，故()252sin36fxx=+，()()252sin36g

xfxx=−=−+.(2)解；将函数()fx图象上各点的横坐标变为原来的3倍，纵坐标不变，可得到函数52sin26yx=+的图象，再将所得函数图象向右平移6个单位，可得函数()hx的图象，则()52sin22cos266hxxx=−

+=，因为()102cos213h==−，则5cos213=−，02，则02，故212sin21cos213=−=.[举一反三]1．（2022·天津滨海新·高三阶段练习）筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，既经济又环保.明朝科学家徐光启在《农政全书》中

用图画描绘了筒车的工作原理（图1）.假定在水流量稳定的情况下，筒车上的每一个盛水筒都做匀速圆周运动.如图2，将筒车抽象为一个半径为R的圆，设筒车按逆时针方向每旋转一周用时120秒，当0=t时，盛水筒M位于点0(3,33)P−，经过t秒后运动到点

(,)Pxy，点P的纵坐标满足()yft=sin()Rt=+（0t，320，||2），则下列叙述不正确的是（）A．筒车转动的角速度60=B．当筒车旋转100秒时，盛水筒M对应的点P的纵坐标为23−C．当筒车旋转10

0秒时，盛水筒M和初始点0P的水平距离为6D．筒车在(0,60]秒的旋转过程中，盛水筒M最高点到x轴的距离的最大值为6【答案】B【解析】A：因为筒车按逆时针方向每旋转一周用时120秒，所以212060==，因此本选项叙述正确；

B：因为当0=t时，盛水筒M位于点0(3,33)P−，所以223(33)6R=+−=，所以有3(0)6sin33sin2f==−=−，因为||2，所以3=−，即()6sin()603ftt=−，所

以43(100)6sin(100)6sin6()3360332f=−==−=−，因此本选项叙述不正确；C：由B可知：盛水筒M的纵坐标为33−，设它的横坐标为x，所以有22(33)63xx+−==，因为筒车旋转100秒时，所以此时盛水筒M在第三象限，故3x=−，

盛水筒M和初始点0P的水平距离为3(3)6−−=，因此本选项叙述正确；D：因为50(0,60]6032tx−==，所以筒车在(0,60]秒的旋转过程中，盛水筒M最高点到x轴的距离的最大值为6

，因此本选项叙述正确，故选：B2．（2022·山东·烟台二中高三期末）武威“天马之眼”摩天轮，于2014年5月建成运营．夜33间的“天马之眼”摩天轮美轮美奂，绚丽多彩，气势宏大，震撼人心，是武威一颗耀眼的明珠．该摩天轮直径为120米，摩天轮的最高点距地面128米，摩天轮匀速转动，每转

动一圈需要t分钟，若小夏同学从摩天轮的最低点处登上摩天轮，从小夏登上摩天轮的时刻开始计时．(1)求小夏与地面的距离y（米）与时间x（分钟）的函数关系式；(2)在摩天轮转动一圈的过程中，小夏的高度在距地面不低于98米的时间不少253分钟，求t的最小值．【解】(1)如图，以摩天轮最低点的

正下方的地面处1O为原点，以地平面所在直线为x轴建立平面直角坐标系1xOy，摩天轮的最高点距地面128米，摩天轮的半径为60米，摩天轮的圆心O到地面的距离为68米．因为每转动一圈需要t分钟，所以12xOOPt=．()126868cos60cos680yOAOPOOPxxt

=−=−=−+．(2)依题意，可知260cos6898xyt=−+，即21cos2xt−，不妨取第一圈，可得22433xt，233ttx，持续时间为225333tt−，即25t，故t的最小值为25