【文档说明】天津市和平区2021届高三高考数学第一次质检试卷（一模） 含解析.doc，共(17)页，1.177 MB，由小赞的店铺上传

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2021年天津市和平区高三高考数学第一次质检试卷（一模）一、选择题（共9小题）.1．已知集合A＝{0，1，2}，B＝{x||x|＜2}，C＝{﹣2，﹣1，0}，则（A∩B）∪C＝（）A．{0}B．{0，1，2}C．{﹣2，﹣1，0

，1}D．{﹣2，﹣1，0，1，2}2．设a∈R，则“2＜a＜3”是“a2﹣5a﹣6＜0”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件3．某校高三年级的全体学生参加体育测试，成绩的频率分布直方图如图，数据的分组

依次为；[20，40），[40，60），[60，80），[80，100]．若低于60分的人数是90，则该校高三年级的学生人数是（）A．270B．300C．330D．3604．函数y＝在（﹣π，π）的图象大致为（）A

．B．C．D．5．设a＝8，b＝log32，c＝log23，则a，b，c的大小关系为（）A．a＜b＜cB．b＜a＜cC．b＜c＜aD．c＜a＜b6．已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为2，则三棱锥A﹣B1CD1的体积为（）A．B．C．4D．67．已知抛物线y2＝8x的准线经

过双曲线＝1（a＞0，b＞0）的一个焦点，且双曲线的两条渐近线相互垂直，则双曲线的方程为（）A．﹣y2＝1B．x2＝1C．＝1D．＝18．设函数f（x）＝sin2x+cos2x，给出下列结论：①f（x）的最小正周期是π；②f（x）在区间（﹣，）内单调递

增；③将函数y＝f（x）的图象向左平移个单位长度，可得到函数y＝cos2x的图象．其中所有正确结论的序号是（）A．①②B．①③C．②③D．①②③9．已知a∈R，设函数f（x）＝，若关于x的方程f（x）＝x+a恰有两个互异的实数解，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞

，0]B．（，+∞）C．（﹣∞，0]∪（，+∞）D．（﹣∞，）∪[，+∞）二、填空题（共6小题）.10．i是虚数单位，则复数的虚部为．11．在（x﹣）5的展开式中，x2的系数是．12．已知直线l：x+y﹣2＝0与圆C：（x﹣1）2+y2＝1相交于A，B两点，则线段AB的长度为．13．甲、乙两名

同学进行篮球投篮练习，甲同学一次投篮命中的概率为，乙同学一次投篮命中的概率为，假设两人投篮命中与否互不影响，则甲、乙两人各投篮一次，至少有一人命中的概率是．14．已知a＞0，b＞0，则的最小值为．15．如图，四边形ABCD中，AB∥CD，AB＝5，CD＝2，BC＝，•＝0，M

，N分别是线段AB，AD上的点，且||+||＝2，则的最大值为．三、解答题：本大题共5题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．16．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，b＝2，c＝2，B＝．（Ⅰ）求a的值；（Ⅱ）求sinA；（Ⅲ）求s

in（B+2A）的值．17．如图，在四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，已知侧棱AA1⊥底面ABCD，侧面ABB1A1是正方形，AB1与A1B交于点O，AB⊥BC，AB∥CD，AB＝2，BC＝CD＝1．（Ⅰ

）求证：AD∥平面COC1；（Ⅱ）求直线OC1与平面AB1C所成角的正弦值；（Ⅲ）若点P在线段A1D1上，且A1P＝A1D1，求二面角C﹣AB1﹣P的正弦值．18．已知椭圆C：＝1（a＞b＞0）的右焦点为F（1，

0），离心率为．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）设经过点F的直线l不与坐标轴垂直，直线l与椭圆C相交于点A，B，且线段AB的中点为M，经过坐标原点O作射线OM与椭圆C交于点N，若四边形OANB为平行四边形，求直线l的

方程．19．已知等比数列{an}的前n项和为Sn，{bn}是等差数列，S2＝0，b1﹣a1＝1，b3+a2＝5，2b5＝b4+3b2．（Ⅰ）求{an}和{bn}的通项公式；（Ⅱ）设{bn}的前n项和为Tn，cn＝，n∈N*．（ⅰ）当n是奇数时

，求cn+cn+1的最大值；（ⅱ）求证：ci＜1．20．（16分）已知函数f（x）＝axlnx，a∈R．（Ⅰ）当a＝1时，直线l与y＝f（x）相切于点（e，f（e）），（ⅰ）求f（x）的极值，并写出直线l的方程；（ⅱ）若对任意的x≥e都有f

（x）≥e，m＞0，求m的最大值；（Ⅱ）若函数g（x）＝f（x）+x2有且只有两个不同的零点x1，x2，求证：x1x2＞e2．参考答案一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合A＝{0，1，2}，B＝{x||x|＜2}，C＝{﹣2，﹣1，0}，则（A∩

B）∪C＝（）A．{0}B．{0，1，2}C．{﹣2，﹣1，0，1}D．{﹣2，﹣1，0，1，2}解：A＝{0，1，2}，B＝{x|﹣2＜x＜2}，C＝{﹣2，﹣1，0}，∴A∩B＝{0，1}，（A∩B）∪C＝{﹣2，﹣1，

0，1}．故选：C．2．设a∈R，则“2＜a＜3”是“a2﹣5a﹣6＜0”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解：由a2﹣5a﹣6＜0，可得﹣1＜a＜6，由2＜a＜3可推出﹣1＜a＜6，由﹣1＜a＜6不

能够推出2＜a＜3，所以a∈R，“2＜a＜3”是“a2﹣5a﹣6＜0”的充分不必要条件．故选：A．3．某校高三年级的全体学生参加体育测试，成绩的频率分布直方图如图，数据的分组依次为；[20，40），[40，60），[60，80），[80，10

0]．若低于60分的人数是90，则该校高三年级的学生人数是（）A．270B．300C．330D．360解：由频率分布直方图可知，低于60分的频率为（0.005+0.01）×20＝0.3，因为低于60分的人数是90，所以该年级的学生人数是．故选：B．4．函数y＝在（﹣π，π）的图象大致为（）A

．B．C．D．解：根据题意，设f（x）＝，在区间（﹣π，π），有x≠±，其定义域关于原点对称，有f（﹣x）＝﹣＝﹣f（x），则函数f（x）为奇函数，排除AC，又有f（0）＝0，排除B，故选：D．5．设a＝8，b＝log32，c＝log23，则a，b，c的大

小关系为（）A．a＜b＜cB．b＜a＜cC．b＜c＜aD．c＜a＜b解：∵a＝8＝2＞2，0＝log31＜b＝log32＜log33＝1，1＝log22＜c＝log23＜log24＝2，∴a，b，c的大小关系为b＜c

＜a．故选：C．6．已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为2，则三棱锥A﹣B1CD1的体积为（）A．B．C．4D．6解：如图，由图可知，三棱锥A﹣B1CD1是棱长为2的正四面体D1﹣AB1C，设D1在底面的射影为O，可得AO＝＝．∴D1O＝＝．∴三棱锥A﹣B1CD1的体积为V＝×2×2

××＝．故选：B．7．已知抛物线y2＝8x的准线经过双曲线＝1（a＞0，b＞0）的一个焦点，且双曲线的两条渐近线相互垂直，则双曲线的方程为（）A．﹣y2＝1B．x2＝1C．＝1D．＝1解：抛物线y2＝8x的准线x＝﹣2经过双曲线＝1（a

＞0，b＞0）的一个焦点（﹣2，0），双曲线的两条渐近线相互垂直，可知a＝b，所以c＝a，所以a＝，所以＝1．故选：D．8．设函数f（x）＝sin2x+cos2x，给出下列结论：①f（x）的最小正周期是π；②f（x）在区间（﹣，）内单调递增；③将函数y

＝f（x）的图象向左平移个单位长度，可得到函数y＝cos2x的图象．其中所有正确结论的序号是（）A．①②B．①③C．②③D．①②③解：函数f（x）＝sin2x+cos2x＝sin（2x+），①f（x）的最小正周期是T＝＝π，所以①正确；②当﹣时，解得≤x≤时，函数是增函数，所以f（

x）在区间（﹣，）内单调递增，所以②正确③将函数y＝f（x）的图象向左平移个单位长度，可得到函数y＝sin（2x++）＝cos（2x+）的图象．所以③不正确；故选：A．9．已知a∈R，设函数f（x）＝，若

关于x的方程f（x）＝x+a恰有两个互异的实数解，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，0]B．（，+∞）C．（﹣∞，0]∪（，+∞）D．（﹣∞，）∪[，+∞）解：当x＞1时，令lnx+1＝﹣+a，则lnx++1﹣a＝0，因为lnx+为增函数，所以当

该方程在x＞1时无实数根时，，所以a，①a时，x＞1时有一个解，所以x≤1时，x有一个解，当x≤1时，x2+（）x+a是递减的，1+，所以x≤1时有一个解，所以a成立，时，lnx+1＝﹣x+a在x＞1时无解，但x在x≤1时有两个解，所以a＝时成立，③a时，

lnx+1＝﹣在x＞1时无解，x≤1时，x，所以x，该方程要在x≤1时有2个解，，所以a或a，因为a，所以a，且x＝1时，1+，所以a，所以a，综上，a的范围为（﹣）），故选：D．二、填空题：本大题共6个小题，每小题5分，共3

0分．10．i是虚数单位，则复数的虚部为．解：复数＝＝＝的虚部为．故答案为：．11．在（x﹣）5的展开式中，x2的系数是﹣15．解：展开式的通项为T＝C，令5﹣3r＝2，解得r＝1，所以x2的系数为C＝﹣15，故答案为：﹣15．12．已知直线l：x+y﹣2＝0与圆C：（x﹣1

）2+y2＝1相交于A，B两点，则线段AB的长度为．解：根据题意，圆C：（x﹣1）2+y2＝1，其圆心为（1，0），半径r＝1，圆心（1，0）到直线x+y﹣2＝0的距离d＝＝，则|AB|＝2×＝2×＝，故答案为：．13．甲、乙两名同学进行篮球投篮练习，甲同

学一次投篮命中的概率为，乙同学一次投篮命中的概率为，假设两人投篮命中与否互不影响，则甲、乙两人各投篮一次，至少有一人命中的概率是．解：甲、乙两名同学进行篮球投篮练习，甲同学一次投篮命中的概率为，乙同学一次投篮命中的概率为，假设两人投篮命中与否互不影响，则甲、乙两人各投篮一次，至少

有一人命中的对立事件是两人同时没有命中，∴甲、乙两人各投篮一次，至少有一人命中的概率是：P＝1﹣（1﹣）（1﹣）＝．故答案为：．14．已知a＞0，b＞0，则的最小值为2．解：因为a＞0，b＞0，所以，所以＝，当且仅当时

取等号，所以的最小值为2．故答案为：2．15．如图，四边形ABCD中，AB∥CD，AB＝5，CD＝2，BC＝，•＝0，M，N分别是线段AB，AD上的点，且||+||＝2，则的最大值为．解：设AC，BD的交点为O，根据AB∥CD

，AB＝5，CD＝2，可设OC＝2x，OA＝5x；OD＝2y，OB＝5y，则由AC⊥BD得：OC2+OD2＝CD2，OC2+OB2＝BC2，即（2x）2+（2y）2＝4①，（2x）2+（5y）2＝13②．联立①②可得：，故＝16，故AD＝4．又

．所以在△ABD中，由余弦定理得：＝．再设，则，（0＜x＜2）．所以＝x（2﹣x）×cos∠BAD＝，显然，当x＝1时，的最大值为．故答案为：．三、解答题：本大题共5题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．16．在△ABC中，内角A

，B，C所对的边分别为a，b，c，b＝2，c＝2，B＝．（Ⅰ）求a的值；（Ⅱ）求sinA；（Ⅲ）求sin（B+2A）的值．解：（Ⅰ）因为b＝2，c＝2，B＝，由余弦定理b2＝a2+c2﹣2accosB，可得28＝a2+4﹣2×，

可得a2﹣2a﹣24＝0，解得a＝6，或﹣4（舍去），即a的值为6．（Ⅱ）由正弦定理，可得sinA＝＝＝．（Ⅲ）因为cosA＝＝＝﹣，所以sin2A＝2sinAcosA＝2××（﹣）＝﹣，cos2A＝2cos2A﹣1＝2×﹣1＝﹣，

sin（B+2A）＝sinBcos2A+cosBsin2A＝×（﹣）+（﹣）＝﹣．17．如图，在四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，已知侧棱AA1⊥底面ABCD，侧面ABB1A1是正方形，AB1与A1B交于点O，AB⊥BC，AB∥CD，AB＝2，BC＝CD＝1．（Ⅰ）求证：AD∥平面CO

C1；（Ⅱ）求直线OC1与平面AB1C所成角的正弦值；（Ⅲ）若点P在线段A1D1上，且A1P＝A1D1，求二面角C﹣AB1﹣P的正弦值．【解答】（Ⅰ）证明：分别取线段AB，CC1的中点E，F，连结CE，OE，OF，则AE＝CD，AE∥CD，OE＝AA1＝CF，OE∥AA1∥CF，所以四边形AECD

和四边形OECF均为平行四边形，所以AD∥CE∥OF，又AD⊄平面COC1，OF⊂平面COC1，所以AD∥平面COC1；（Ⅱ）解：建立空间直角坐标系如图所示，则A（2，0，0），C（0，0，1），B1（

0，2，0），C1（0，2，1），O（1，1，0），所以，设平面AB1C的法向量为，则有，令x＝1，则y＝1，z＝2，故，所以，所以直线OC1与平面AB1C所成角的正弦值为；（Ⅲ）解：根据题意可得，A1（2，2，0），D1（1，2，1），设P（x0，y0，z0），则，，因为A

1P＝A1D1，所以，所以，故，设平面AB1P的法向量为，则有，令a＝1，则b＝1，c＝﹣2，故，所以，所以＝，故二面角C﹣AB1﹣P的正弦值为．18．已知椭圆C：＝1（a＞b＞0）的右焦点为F（1，0），离心率为．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）设经

过点F的直线l不与坐标轴垂直，直线l与椭圆C相交于点A，B，且线段AB的中点为M，经过坐标原点O作射线OM与椭圆C交于点N，若四边形OANB为平行四边形，求直线l的方程．解：（Ⅰ）由已知可得，解得a＝，b＝1，所以椭圆的方程为；（Ⅱ）由题意可知直线l的斜率存在且不为0

，可设直线l的方程为y＝k（x﹣1），A（x1，y1），B（x2，y2），M（x0，y0），联立方程，消去y整理可得：（1+2k2）x2﹣4k2x+2k2﹣2＝0，则x，所以x，所以点M的坐标为（），在平行四边形OANB中，有，设点N的坐标为（x3，y3），所以点N

的坐标为（），又因为点N在椭圆上，所以，解得k＝，所以直线l的方程为y＝或y＝﹣．19．已知等比数列{an}的前n项和为Sn，{bn}是等差数列，S2＝0，b1﹣a1＝1，b3+a2＝5，2b5＝b4+3b2．（Ⅰ）求{an}和

{bn}的通项公式；（Ⅱ）设{bn}的前n项和为Tn，cn＝，n∈N*．（ⅰ）当n是奇数时，求cn+cn+1的最大值；（ⅱ）求证：ci＜1．解：（Ⅰ）b1﹣a1＝1①，b3+a2＝5②，2b5＝b4+3b2③，②﹣①可得b3﹣b1+a1+a2＝4，因为S2＝a1+a

2＝0，所以b3﹣b1＝4，设{bn}的公差为d，则2d＝4，即d＝2，代入③可得b5﹣b4+b5﹣b2＝2b2，所以b2＝4，b1＝2，所以bn＝2+2（n﹣1）＝2n；由①②可得a1＝1，a2＝﹣1，等比数列{an}的公比为﹣1，

an＝（﹣1）n+1（n∈N*），（Ⅱ）（ⅰ）Tn＝＝n（n+1），当n为奇数时，cn+cn+1＝﹣＝+﹣﹣＝﹣＝，由cn+cn+1＝，递减，所以当n＝1时，cn+cn+1的最大值为；（ⅱ）证明：ci＝c1+c2+…+c2n＝1+﹣﹣+…﹣﹣＝1﹣＜1．即ci＜1．

20．（16分）已知函数f（x）＝axlnx，a∈R．（Ⅰ）当a＝1时，直线l与y＝f（x）相切于点（e，f（e）），（ⅰ）求f（x）的极值，并写出直线l的方程；（ⅱ）若对任意的x≥e都有f（x）≥e，m＞0，

求m的最大值；（Ⅱ）若函数g（x）＝f（x）+x2有且只有两个不同的零点x1，x2，求证：x1x2＞e2．解：（Ⅰ）（i）a＝1时，f（x）＝xlnx，f′（x）＝lnx+1（x＞0），令f′（x）＞0，解得：x＞，

令f′（x）＜0，解得：0＜x＜，故f（x）在（0，）递减，在（，+∞）递增，故f（x）的极小值是f（）＝ln＝﹣，没有极大值，又f（）＝ln＝，f′（）＝ln+1＝，故直线l的方程为y﹣＝（x﹣），即5x﹣3y﹣3＝0；（ii）对任意x≥e

都有f（x）≥e＝ln，即f（x）≥f（）恒成立，由m＞0，故＞0，故＞1，由（i）知f（x）在（，+∞）单调递增，故x≥，可得lnx≥，即xlnx≥m，当x≥e时，f（x）的最小值是f（e）＝e，故m的最大值是e；（Ⅱ）证明：要证x1x2＞e2，只需证明ln

（x1x2）＞2即可，由题意x1，x2是方程axlnx+x2＝0的两个不相等的实数根，∵x＞0，∴，消去a，整理得：ln（x1x2）＝ln•，不妨设x1＞x2，令t＝，则t＞1，故只需证明当t＞1时，lnt•

＞2，即证明lnt＞，设h（t）＝lnt﹣，则h′（t）＝﹣2＝＞0，于是h（t）在（1，+∞）单调递增，从而h（t）＞h（1）＝0，故lnt＞，故x1x2＞e2．