【文档说明】安徽省皖东名校联盟体2024届高三上学期9月第二次质量检测数学试题 含解析.docx，共(26)页，2.050 MB，由小赞的店铺上传

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2023年皖东名校联盟体高三9月第二次教学质量检测试卷满分：150分考试用时：120分钟注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标

号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合1,2,4,5,6P=，2,4,6M=，则下列说法正确的是（）A.xP

，xMB.xP，xMC.xM，xPD.xP，xM【答案】B【解析】【分析】根据子集的定义，结合任意性和存在性的定义逐一判断即可.【详解】A：显然1P，1M，所以本选项不正确；B：显然1P，1M，所以本选项正确；C：因为

MP，所以不存在xM，xP，因此本选项不正确；D：因为2P，2M，所以本选项不正确，故选：B2.若2iz=+，则22zz−=（）A.5B.1C.2D.2【答案】A【解析】【分析】计算出234iz

=+，进而计算出2i212zz−−+=，利用模长公式计算出答案.【详解】由题意可得()22224434z=+=++=+iiii，则()22231i224iizz−−=+=++−，故22145zz−=+=．故选：A．3.已知向量2),(ax=，其中0x，(

0,2)b=，则2aba的最大值为（）A.2B.12C.22D.1【答案】B【解析】【分析】计算出224abaxx=+，利用基本不等式求出最值.【详解】2),(ax=，(0,2)b=，故22222()()22,2424

0abxxxaxxx===+++，，因为0x，所以4424xxxx+=，当且仅当4xx=，即2x=时，等号成立，故22142abaxx=+.故选：B．4.已知A，B，C为三个随机事件且()PA，()P

B，()PC>0，则A，B，C相互独立是A，B，C两两独立的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】利用相互独立事件的概念以及充分必要条件的概念即可.【详解】A，

B，C相互独立,则满足()()()()PABCPAPBPC=，且()()()PABPAPB=，()()()PBCPBPC=，()()()PACPAPC=；A，B，C两两独立则满足()()()PABPAPB=，()()()PBCPBPC=，()()()PACPAPC=；故而A，B，C相

互独立则有A，B，C两两独立，但是A，B，C两两独立不能得出A，B，C相互独立，故A正确．故选：A5.若0.2ea=，b=1.2，c=ln3.2，则a，b，c的大小关系为（）A.a>b>cB.c>b>aC.a>c>bD.b>a>>c【答案】A【解析】【分析

】先比较a与b的大小，构造函数()()e10xfxxx=−−，利用导数证明得到0x时，e1xx+，从而得到0.2e0.211.2ab=+==，通过()()561.26ee2.7387.4=，

()53.2335.5，结合lnyx=的单调性即可得到bc，从而得出判断.【详解】令()()e10xfxxx=−−，则()e10xfx=−，∴()fx在()0,+上单调递增，()()0fxf，即e1xx+，∴0.

2e0.211.2ab=+==，又1.21.2lneb==，ln3.2c=，∵()()561.26ee2.7387.4=，()53.2335.5，1.2e3.2，故bc，∴abc．故选：A．6.如图，正方形EFGH的中心与正方形ABCD的中心重合，正方形A

BCD的面积为2，截去如图所示的阴影部分后，将剩下的部分翻折得到正四棱锥MEFGH−(A，B，C，D四点重合于点M)，当四棱锥体积达到最大值时，图中阴影部分面积为（）A.25B.45C.43D.23【答案】A【解析】【分析】设2EFx=，表达出棱锥侧面的高，进而表达出棱锥的高，表示

出棱锥体积，利用导函数求出棱锥体积的最大值，求出阴影部分面积.【详解】取正方形中心为O，连接BD交EF于点T，正方形ABCD的面积为2，故正方形ABCD的边长为2，1OBOD==，设2EFx=，则OTx=，所得的棱锥侧面的

高1TBOBOTx=−=−，故棱锥的高为22(1)12hxxx=−−=−，四棱锥体积为()224144(2)121212333Vxxxxxx=−=−=−，令()()411202fxxxx−=，则3()2(25)fxxx=−，当205x时，()0fx

，当2152x时，()0fx，∴()fx在20,5上单调递增，在21,52上单调递减，∴当25x=时，体积最大，此时25FT=，315TBx=−=，由勾股定理可得222313555BF=+=，

点F到边长BC的距离210d=，121221010BCFS==，∴阴影部分面积245BCFSS==.故选：A．7.直观想象是数学六大核心素养之一，某位教师为了培养学生的直观想象能力，在课堂上提出了

这样一个问题：现有10个直径为4的小球，全部放进棱长为a的正四面体盒子中，则a的最小值为（）A.646+B.846+C.446+D.546+【答案】B【解析】【分析】分析10个小球在正四面体内的位置情况，把正四面体的高用小球半径与正四面体的棱长表示，列等

式即可求解.【详解】我们先来证明如下引理：如下图所示：设正四面体棱长为a，AF⊥面BCD，BECD⊥，所以122aCECD==，2222322aaBEBCCEa=−=−=，显然F为面BCD的重心，所以2333aBFBE==，由勾股定理可得面22223633aaAFABBF

a=−=−=,所以正四面体的高等于其棱长的面63倍.接下来我们来解决此题：如下图所示：10个直径为4的小球放进棱长为a的正四面体ABCD中，成三棱锥形状，有3层，则从上到下每层的小球个数依次为：1，(12)+，(123)++个，当a取最小值时，从上到下每

层放在边缘的小球都与正四面体的侧面相切，底层的每个球都与正四面体底面相切，任意相邻两个小球都外切，位于每层正三角状顶点的所有上下相邻小球的球心连线为一个正四面体EFGH−，则该正四面体EFGH的棱长为2428++=，可求得其高为686833EP==，所以正四面体ABCD的高为86

86232833AQAEEPPQ=++=++=+，进而可求得其棱长a的最小值为863884636+=+．故选：B.8.设1()cosfxx=，将()fx的图像向右平移3个单位，得到()gx的图像，设()()()hxfxgx=

+，,124x，则()hx的最大值为（）A.62B.6C.26D.36【答案】B【解析】【分析】根据平移得到()gx的解析式，根据()()()hxfxgx=+得到()hx的解析式，根据三角变换公式以及()hx的增减性最后得到()hx的最大值.【详解】将()fx的图像向右平

移3个单位，得到()gx的图像，的1()cos3gxx=−，()()()1111coscoscoscos36666hxfxgxxxxx=+=+=+−−+−−，()113131cos()sin()cos()sin(

)26262626hxxxxx=+−+−−−−，223cos()6()3cos)1()sin(6446xxxhx−−−=−，221()[1cos()])6463cos()6(3cos4xx

hxx−−−−−=，23cos36()11cos464cos6cos6xhxxxx−==−−−−−，∵,124x，[,]61212x−−，∴62cos,164x+−

，令cos()6tx=−，62,14t+,114cos64cos6xttx−−=−−，易知14ytt=−在62,14t+单调递增，即14

cos6cos6xx−−−ππ,124单调递增，∴()hxππ,124单调递减，∴当62cos64x+−=时，()hx最大值为6，故答案为：B.【点睛】关键点点睛

：关键在于利用通分以及22sincos1xx+=对()hx化简，以及观察()hx的单调性.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的．全选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0

分．9.已知三次函数()320,,R()fxaxbxcabc=++，下列结论正确的是（）A.当2ab==时，()fx单调递减区间为2,03−B.当2ab==时，()fx单调递增区间为2,03−C.当4ca=−时，若函数()fx恰有两个不同的零点，则

3ba=D.当0bc==时，()lnfxx恒成立，则a的取值范围为1,3e+【答案】ACD【解析】【分析】利用导数研究()fx区间单调性判断A、B，由函数()fx恰有两个不同的零点，则有一个极值为

0，易得203bfa−=或()00f=判断C；将不等式恒成立化为3lnxax恒成立，对右侧构造函数，应用导数求其最大值即可判断D.【详解】()320,,R()fxaxbxcabc=++，则()()32fxxaxb=+，当2ab==时()()232fxxx=+，在

区间2,03−上()0fx，在在所以()fx在2,03−上单调递减区间，A正确，B错误；要使函数()fx恰有两个不同的零点，则()fx有一个极值为0，由上分析知：203bfa−=或()00f=，而()00f=时0a=，不满足题意；

所以4ca=−，有23bfa−=33228440279bbaaa−+−=，化简可得3ba=，C正确；当0bc==时()lnfxx恒成立，即3lnxax恒成立，令3ln()xhxx=，则413ln()xhxx−

=，故30()eh=，在()30,e上()0hx，()hx单调递增，在()3e,+上()0hx，()hx单调递减，∴()3max1()e3ehxh==，故13ea，D正确．故选：ACD10.在四面体ABCD中，1ABCD==，2ACADBCBD====，E，F，G分别是棱B

C，AC，AD上的动点，且满足AB，CD均与面EFG平行，则（）A.直线AB与平面ACD所成的角的余弦值为1515B.四面体ABCD被平面EFG所截得的截面周长为定值1C.EFG的面积的最大值为18D.四面体ABCD的内

切球的表面积为7π30【答案】ACD【解析】【分析】利用面面垂直性质找出直线AB与平面ACD所成的角，即可求得其余弦值，判断A；明确截面四边形的形状即可求得其周长，判断B；根据截面四边形形状结合基本不等式可判断C；利用割补法结合等体积法即

可判断D.【详解】对于A，取AB的中点Q，CD的中点M，连接,,AMBMQM，由于2ACADBCBD====，故,CDAMCDBM⊥⊥，而,,AMBMMAMBM=平面ABM，故CD⊥平面ABM，又CD平面ACD，故平面ACD⊥平面

ABM，则BAM即为直线AB与平面ACD所成的角，又22112,1152()222AQABAM===−=，而221152()22BM=−=,故AMBM=，则MQAB⊥，故15cos15AQBAMAM==，A正确；对于B，设平面EFG与棱BD的交点为P，因为AB∥平面EFG，且

AB平面ABC，平面ABC平面EFGEF=，故ABEF∥，且由题意知ABEF，否则,ABEF重合，不合题意，故四边形ABEF为梯形，同理四边形FCDG为梯形，所以,EFCFFGAFABACCDAC==，由于1ABCD==，故1,1CFAFEFFGEFFGACACAB

CD+=+=+=，又因为ABEF∥，同理可证ABGP∥，则//EFGP；同理证明FGEP∥，则四边形EFGP为平行四边形，故四边形EFGP的周长为2，即四面体ABCD被平面EFG所截得的截面周长为定

值2，B错误；对于C，因为CD⊥平面ABM，AB平面ABM，故CDAB⊥；而ABEF∥，同理可证FGCD∥，故EFFG⊥，结合1EFFG+=，故21112228EFGEFFGSEFFG+==，当且仅当12EFFG=

=时等号成立，即EFG的面积的最大值为18，C正确；对于D，由以上分析知15,12AMBMAB===，故2241511141()()222ABMS=−=，而CD⊥平面ABM，1CD=，故114312ABCD

ABMVSCD−==，而22111512()224ABCABDADCBCDSSSS====−=，设四面体ABCD的内切球的半径为r，则1()3ABCDABCABDADCBCDVSSSSr−=+++，即14121015,12360rr==，故四面体ABCD的内切球的表面积为221

07π4π()6030=，D正确，故选：ACD【点睛】难点点睛：解答本题要充分发挥空间想象，明确空间图形结构特征，难点在于C、D选项的判断，解答时要推出截面的形状，明确其中的数量关系，结合基本不等式判断C；利用割补法可求得四面体内切球的半径.11.已知抛物线C：24

yx=的焦点为F，过点F的直线与抛物线C交于A、B两点，直线l：=1x−，M为l上一动点，则下列结论正确的是（）A.4AFBF+的最小值为10．B.若1AAl⊥，1A为垂足，且MA为1AAB的平分线，则MF⊥ABC.对任意点M，均有0MAMBD.当ABM为等边三角形时，ABM的面积为363

【答案】BCD【解析】【分析】A选项，设AB：1xty=+，联立抛物线方程，得到两根之和，两根之积，结合焦半径公式得到111AFBF+=，利用基本不等式“1”的妙用求出最值；B选项，证明三角形全等，得到结论；C选项，设()1,Mm

−，表达出()()()()()212121120MAMBxxymymmt=++−=+−−；D选项，设AB中点为G，表达出()221,2Gtt+，分当0=t和0t时，先求出1ABkt=，进而表达出22(22)1MGtt=++，222AGt=+，利用两者数量关系得到

方程，求出22t=，得到等边三角形的边长和高，求出面积.【详解】设AB：1xty=+，()()1122,,,AxyBxy，联立214xtyyx=+=，得2440yty−−=，则124yyt+=，124yy=−，()21212242xxtyy

t+=++=+，对于A，∵221212116yyxx==，则12121212211111111xxAFBFxxxxxx+++=+==+++++，∴()411454AFBFAFBFBFAFAFBFAFBF++=

+=++4529AFBFBFAF+=，当且仅当4AFBFBFAF=，即2BFAF=时，等号成立，A错误；对于B，∵1AAAF=，MA为1AAB的平分线，则1AAM≌FAM△，∴190AFMAAM==，B正确；对于C，设()1,Mm−，则()(

)()()121211MAMBxxymym=++−−+()()2121212121xxxxyymyym=++++−++22421441ttmm=+−+++−2244tmmt−=+()220mt=−，C正确；对于D，设A

B中点为G，由于212212xxt+=+，1222yyt+=，则()221,2Gtt+，当0=t时，显然AMB为直角三角形，不合题意，当0t时，12121212111AByyyykxxtytyt−−===−+−−，∴MGkt=−，2221(22)1GMMGtxxtt=+−

=++，()2121122222AGABxxt==++=+，又3MGAG=，解得22t=，63MG=，6AG=，13632ABMSABMG==，D正确．故选：BCD．【点睛】圆锥曲线中最值或范围问题的常见解法：（1）几何法，若题目的条件和结论能明显体现几何特

征和意义，则考虑利用几何法来解决；（2）代数法，若题目的条件和结论能体现某种明确的函数关系，则可首先建立目标函数，再求这个函数的最值或范围．12.记有限数集为M，1∈M，定义在M上的函数记为()fx，()fx的图象经过旋转变换之后会得到g(x)的图象(()gx的图象

有可能不是函数图象)，若()fx的图象绕原点逆时针旋转π3后得到的()gx图象与原函数()fx的图象重合，则在下列选项中f(1)的取值不可能是（）A.0B.3C.33D.32【答案】ABC【解析】【分析】根据题意给的定义和函数的应用即可求解

.【详解】设点1(1,(1))Af，若()fx逆时针旋转π3后与原图重合，则旋转后1A的对应点2A也在()fx的图象上，同理有2A的对应点3A也在其图象上，以此类推，于是()fx对应的图象可以为一个圆周上的6等分的6个点.当(1)0

f=时，即1(1,0)A，则213,22A，易验证513,22−A，显然不符合函数的定义，故A项不可能；当()13f=时，即1(1,3)A，同理，()51,3A−，不符合函数的定义，故B项不可能；当()313f=时，即13(1,)3A，同理，63(1,)3A−．

不符合函数的定义，故C项不可能；当()312f=时，即13(1,)2A，满足题意，故D项可能.故选：ABC．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.数学家波利亚说：“为了得到一个方程，我们必须把同一个量以两种不同的方

法表示出来，即将一个量算两次，从而建立相等关系”这就是算两次原理，又称为富比尼原理．由等式()()()2111nnnxxx++=+利用算两次原理可得011220CCCCCCCC=nnnnnnnnnnnn−−++++__________．(用组合数表示即可)【答案】2Cnn【解析】

【分析】利用二项式定理，结合已知条件，即可推出结果.【详解】依题意()()()()0122012211CCCCCCCCnnnnnnnnnnnnnnxxxxxxxx++=++++++++，故011220CCCCCCCCnnnnnnnnnnnn−−++++是展开式中nx的系数，而()21nx+展开式中

nx的系数为2Cnn，所以0112202CCCCCCCCCnnnnnnnnnnnnnn−−++++=．故答案为：2Cnn.14.已知(2,2),(1,1)AB，又P点为圆O：22xym+=上任意一点且满足(1)PAkkPB=

，则k=________．【答案】2【解析】【分析】设00(,)Pxy，然后根据题意可得22002200(2)(2)(1)(1)(1)PAxykkPBxy−+−==−+−化简后可求出k的值.【详解】设00

(,)Pxy，则0022ymx+=，且P点到点A的距离与到点B的距离之比为定值(1)kk，所以22002200(2)(2)(1)(1)(1)PAxykkPBxy−+−==−+−，所以20000844(222)mxykmxy+−−=+−−，所以22

242428(2)kkmkm==+=+，解得22,4km==，因为1k，所以2k=故答案为：2．15.已知正实数a，b满足2245abab+=，则当21ab+取最小值时，ab=________．【答案】52【解析】【分析】变形换元后得到()332212451kakbk+++=，令()(

)32(2)045kfkkkk+=+，求导得到函数单调性和最值，从而求出52akb==.【详解】3332223322322211224545415ababaaaababbaaabbbbb+=+=+=++++，令0akb=，则()3

32212451kakbk+++=，令()()32(2)045kfkkkk+=+，则()()()2222222(2)1215(85)(2)2(2)(25)(1)4545kkkkkkkkfkkkkk++−+++−+==++，当50,2k时，()0fk，()fk在50

,2上单调递减，当5,2k+时，()0fk，()fk在5,2+上单调递增，故()fk在52k=处取得极小值，也是最小值，()min52ffk=，即52akb==．故答案：52．16.

如图，椭圆：22221xyab+=(0ab)的右焦点为F，离心率为e，点P是椭圆上第一象限内任意一点且tan1POF，FQOP⊥，()0OQOP=uuuruuur．若e，则离心率e的最小值是_________．【答案】

63【解析】【分析】设直线OP的方程为(01)ykxx=，代入椭圆方程求得P，Q的坐标，由向量数量积为0的等价条件可得OP，FQ的斜率之积为-1，整理，可将用a、b、c表示出来，再依据e，对任意01k恒成立，可得所求离心率的范围．【详解】∵点P是

上第一象限内任意一点且tan1POF，∴0,4POF，设直线OP的斜率为k，则01k．由2222,1,0,0.ykxxxyaxxy=+==可得222222abxbakkabybak=+=

+，故222222,abkabPbakbak++，∴为222222,abkabQbakbak++，∵0FQOP=uuuruuur，故1QFkk=−，∴2222221kabbakabkcbak+=−−+，解得2222(1)cbakabk+=+，∵e对

任意的01k恒成立，故2222(1)cbakeabk++，整理得到22222abbk−对任意的01k恒成立，故只需2222abb−，即2223ac，即613e，故离心率e最小值为63．故答案为：63四、解答题：本题共

6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.数列na各项均为正数，na的前n项和记作nS，已知11S=，2120,(2)nnnaaSn−−−=．（1）求na的通项公式；（2）设()()1tantannnnbaa+=，求数列nb的前2023项和

．【答案】（1）()*Nnann=（2）tan20242024tan1−【解析】【分析】（1）当2n时，有2112122nnnnnnaaSaaS++−−=−=相减得22112nnnnnaaaaa++−+−=,结合na各项均为正

数，并因式分解即可求解.（2）由（1）得1tan()tan()tantan(1)nnnbaann+==+，结合tan(1)tantan1tan(1)1tan(1)tannnnnnn+−=+−=++可知tan(1)tantan(1)tan1tan1nnnbnn+

-=+=-，由裂项相消法即可求解.【小问1详解】当2n时，有2112122nnnnnnaaSaaS++−−=−=相减得22112nnnnnaaaaa++−+−=，即()()1110nnnnaaaa++−−+=，na各项均为正数，所以()112nnaan+=+，又当2n=时，222

2122220aaSaa−=−−=-，解得22a=或21a=−(舍)，所以对任意正整数n，均有11nnaa+=+，故na是以首项为1，公差以1的等差数列，所以()*Nnann=．【小问2详解】由于tan(1)tantan1t

an(1)1tan(1)tannnnnnn+−=+−=++，故tan(1)tantan(1)tan1tan1nnnn+-+=-，由（1）得1tan()tan()tantan(1)nnnbaann+==+，记nb前n项和为nT，则231...nnTbbbb=++++1tan(1)tan

tantan(1)...tan2tan1tan1nnnnn=+−+−−++−−1tan(1)tan1tan1nn=+−−tan(1)1tan1nn+=−−，所以2023tan20242024tan1T=−.18.

在△ABC中，3B=，D在边AC上，∠A，∠B．∠C对应的边为a，b，c．（1）当BD为B的角平分线且3BD=时，求11ac+的值；（2）当D为AC的中点且23BD=时，求2ca+的取值范围．【答案】（1）1（2）()43,83【解析】【分析】（1）利用ABCA

BDBCDSSS=+△△△可得出结论；（2）由正弦定理分别表示出a，c，得出216sin8sin3ca+=+−，再根据的范围及正弦函数的性质求解答案即可.【小问1详解】由题意知，BD为角平分线且长度已知，则利用面积相等可得111sinsins

in232626acBDcBDa=+，整理可得()3322acac=+，所以111caacac++==.【小问2详解】以a，c为边做平行四边形，另一个端点设为M，连接BM，易知BM交AC于点D.设∠DBC=θ，则由正弦定理知：4

32sinsinsin33ca==−化简可得8sinc=，8sin3a=−，．则216sin8sin3ca+=+−，合并化简可283sin6ca+=+，易知0,3，则,662

+，∴()283sin43,836ca+=+．∴2ca+的取值范围为()43,83.19.如图，正方体1111ABCDABCD−的棱长为4，M，N，P，Q分别为棱111

1,,,BBBCADDD的中点，平面1DAMN与平面1CBPQ将该正方体截成三个多面体．（1）求平面AMN与平面1AMN所成夹角的余弦值的大小；（2）求多面体11MNDAPQCB−的体积．【答案】（1）79（2）803【解

析】【分析】（1）以向量法为工具结合平面夹角公式，即可解决;（2）将所求多面体体积通过大正方体的体积减去部分几何体的体积进行转化，即可解决.【小问1详解】以A为原点，分别以1,,ABADAA为,,xyz轴建立空间直角坐标系

(如图)，则(4,0,2),M(4,2,0),N1(0,0,4)A，(4,0,2)AM=，(0,2,2)MN=−，1(4,0,2)MA=−．设(),,mxyz=为平面AMN的一个法向量，则420220mAMxzmMNyz=+

==−=取1x=，解得2yz==−，故()1,2,2m=−−．设()=,,nabc为平面1AMN的一个法向量，则1420220nMAacnMNbc=−+==−=取1a=，解得2bc==，故(

)=1,2,2n．则7cos,9mnmnmn==−，∴平面AMN与平面1AMN所成夹角的余弦值为79.【小问2详解】由正方体特性可知：1111MBNAADPDQBCCVV−−=多面体多面体，所求多面体111111MNDAPQCBMBNAADPD

QBCCVVVV−−−=−−多面体正方体多面体多面体，12MBNAADVV−=−正方体多面体;而几何体1MBNAAD−可以看成两三棱锥相减，将AB延长至O点，使BOAD=，得到几何体1MBNAAD−的体积为三棱锥1OADA−的体积减去三棱锥OBMN−的体积，∴1111111156448224

3332323ADABMNMBNAADVSOASOB−=−=−=几何体．∴11356804233MNDAPQCBV−=−=多面体．20.2022年国庆节某商场进行砸金蛋活动，现有

8个外形完全相同的金蛋，8个金蛋中有1个一等奖，1个二等奖，3个三等奖，3个参与奖，现甲乙两人进行砸金蛋比赛，砸中1个一等奖记4分，砸中1个二等奖记3分，砸中1个三等奖记2分，砸中1个参与奖记1分，规定砸蛋人得分不低于8分为获胜，

否则为负，并制定规则如下：①一个人砸蛋，另一人不砸蛋；②砸蛋的人先砸1个金蛋，若砸出的是一等奖，则再砸2个金蛋；若砸出的不是一等奖，则再砸3个金蛋，砸蛋人的得分为两次砸出金蛋的记分之和．（1）若由甲砸蛋，如果甲先砸出的是一等奖，求该局甲获胜的概率；（2）若由乙砸蛋，如果乙

先砸出的是二等奖，求该局乙得分的分布列和数学期望()E．【答案】（1）37（2）分布列见解析；期望为607【解析】【分析】（1）分两种情况，结合古典概型及组合即可求解；（2）写出随机变量的所有取值，分别求出概率，即可得出

分布列，再根据数学期望公式即可求出期望.【小问1详解】记“甲先砸出的是一等奖，甲获胜”为事件A，则()11216327CCC93C217PA+===，【小问2详解】如果乙先砸出的是二等奖，则可以再砸3个金蛋，则得分情况有6，7，8，9，10，11，()3337C16C35P===，()21

3337CC9C573P===，()123337CC9C583P===，()21331337CCC49C35P+===，()11131337CCC109C35P===，()213137CC3311C5P===，所以的分布列为：P678910111359359

35435935335所以的数学期望：19949360()678910113535353535357E=+++++=．21.已知双曲线22221xyab−=(0ab)左、右焦点为12,FF，其中焦距为27，双曲线经过点()4,3D．（1）求双曲线的方程

；（2）过右焦点2F作直线交双曲线于M，N两点(M，N均在双曲线的右支上)，过原点O作射线OP，其中OPMN⊥，垂足为,EP为射线OP与双曲线右支的交点，求24MNOP−的最大值．【答案】（1）22143xy−=（2）12【解析】【分析】（1）根据已知条件求得,ab，从而求得双曲线的方程.（2）

根据直线MN的斜率是否存在进行分类讨论，先求得24MNOP−的表达式，然后利用基本不等式求得最大值.【小问1详解】由题意得221691ab−=，7c=，227ab+=，解得2a=，3b=，双曲线的方程为：22143xy−=.【小问2详解】当直线MN斜率不存在时，3MN=，2

OP=，则248MNOP−=，当直线MN斜率存在时，假设直线方程为()7ykx=−，联立双曲线方程得()2222348728120kxkxk−+−−=，则21228734kxxk−+=−，21222812

34kxxk−−=−，0，∵直线与双曲线交于右支，∴234k，则()2222121212212(1)11443kMNkxxkxxxxk+=+−=++−=−，设射线OP方程为：1=−yxk，联立与双曲线的方程，∴2221234kxk=−，234k，22212(

1)34kOPk+=−，∴211112MNOP−=，∴()2222244124111254OPMNMNMNOPOPMNOPMNOP−=−+=−−2212524124OPMNMNOP−=，当且仅当2346OPMN==时等号成立

，最大值为12．综上，24MNOP−的最大值为12.【点睛】求得双曲线的标准方程，关键是根据已知条件求得,ab，,ab是两个未知数，所以求解需要两个条件.求解圆锥曲线中的最值问题，可先求得需要求最值的式子的表达式，然后根据表达式的结构选取合适的方法来求最值

.22.已知函数()()ln1fxxax=−+，()21e14xgxxx=−−−，曲线()yfx=与()ygx=在原点处的切线相同．（1）求()fx的单调区间；（2）若0x时，()()0gxkfx+，求k的最小值．【答案】（1）()fx在()1,0−递减，在()0

,+递增；（2）12−【解析】【分析】（1）根据导数的几何意义结合条件可计算得1a=，再利用导数研究函数单调区间即可；（2）多次求导结合端点效应分类讨论计算即可.小问1详解】由题意可得：()()111afxxx+=−−，()

1e12xgxx=−−，所以()()00fg=得11011aa−=−−=，故()1xfxx=+，令()00fxx，令()001fxx−，【所以()fx在()1,0−递减，在()0,+递增；【小问2详解】记()()()()0hxgxkfx

x=+，则()1e121xkxhxxx−+=−+，设()()uxhx=，则()()21e21xkuxx=−++，设()()mxux=，则()()32e1xkmxx=−+，①当0k时，()()()0221ee1e0211xxkk

uxxx+==−+++，即()ux在)0,+上单调递增，所以()()()000uxuh==∴()hx在)0,+递增，故()()00hxh=，即0k满足题设；②当102k-?时，()0mx，故()ux在)0,+递增，当0x时，()()1002uxuk=

+，则()()uxhx=在)0,+上单调递增，此时()()00hxh=，故()hx在)0,+递增，故()()00hxh=，即102k-?满足题设；③当12k−时，同②知()0mx，故()ux在)0,+递增，此时()1002uk

=+，取21mk=−−，则0m，且()21ee102(1)mmkumm=+=−+−，故()ux在()0,m上存在唯一零点0x，在()00,x上()0ux，此时()ux递减，00xx，则()()()000uxuh==，即()hx在()00,x单调递

减，∴当00xx时，()()00hxh=与()0hx矛盾，故12k−应舍去；综上知，当12k−时满足题设，因此k的最小值为12−.获得更多资源请扫码加入享学资源网微信公众号www.xiangxue100.com